4.1《比的意义》（教学设计）-六年级上册数学人教版

《比的意义》教学设计
备教材内容
1．本节课学习的是教材48～49页的内容及相关习题。
2．教材选择了中国人引以为傲的内容作为载体，先介绍杨利伟展示的两面旗，引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同类量的比。然后介绍飞船的运行路程与时间，让学生用除法表示飞船进入轨道后的速度，由此引出非同类量的比。进而通过这两种情况的实例，概括比的意义。接着以这几个比为例，说出比的意义，比的读、写方法及比的各部分名称以及比值的概念，并由比值计算的实例引出“比值通常用分数表示”。然后根据分数与除法的关系，具体说明比也可以写成分数形式。最后引导学生讨论比的后项可不可以是0。
3．通过本节课的学习，学生在已有的知识基础上认识比的意义，了解比与除法之间的关系。为后面学习百分数和比例打下了基础。
备教法学法
学生已经掌握除法与分数的对应关系，教师可以在此基础上引导学生先合作探究比的意义及比与除法、分数之间的关系，再体会数学知识之间的内在联系。
教学目标
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义，会读、写比；认识比的各部分名称，会求比值。
2.在实际情境中，理解比的意义，体会作为度量的比的重要功能，感悟变与不变的数学思想。
3.体会比在生活中的应用价值，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的热情。
教学重难点
教学重点：
通过丰富的素材，发展、拓展学生对比的意义的理解。
教学难点：
感悟比的应用价值。
备已学知识
除法与分数之间的关系：除法中的被除数相当于分数中的分子；除法中的除数相当于分数中的分母，除法中的除号相当于分数中的分数线，即a÷b＝(b≠0)。
备知识讲解
知识点一　比的意义
知识回顾　除法与分数的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。
问题导入　2003年10月15日，我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
(1)杨利伟展示的两面旗都是长15 cm，宽10 cm。怎样用算式表示它们长和宽倍数的关系？
(2)“神舟”五号进入运行轨道后，在距地350 km的高空做圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。怎样用算式表示飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米？(教材48页)
过程讲解　
1．读题，理解题意，收集数学信息
旗 长15 cm，宽10 cm。 用算式表示二者之间倍数的关系。
“神舟”五号 在高空做圆周运动 平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。 用算式表示飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米。
[德育建议：从学生感兴趣的“神舟”五号飞船切入主题，使学生在关注数学信息的同时，了解我国航天事业的飞速发展，激发学生的爱国热情和民族自豪感。]
2．解决问题(1)——用算式表示旗长和宽倍数的关系
(1)用除法表示。
长是宽的多少倍？15÷10
宽是长的几分之几？10÷15
(2)用比表示。两个数量之间的倍数关系也可以用“比”表示。长和宽的比是15比10，宽和长的比是10比15。
(3)明确相比的两个数量之间的关系。
无论是长和宽的比，还是宽和长的比，都表示两个长度的比，即相比的两个数量是同类数量　　　　。
[重点提示：两个同类数量的比表示这两个数量之间倍数的关系。]
3．解决问题(2)——用算式表示飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米
(1)用除法表示。
求平均每分钟飞行多少千米，根据“路程÷时间＝速度”可以用除法表示，即42252÷90。
(2)用比表示。
路程和时间的关系还有一种表示方法，就是用路程和时间的比来表示，即飞船飞行的路程和时间的比是42252比90。
(3)明确相比的两个数量之间的关系。
路程和时间不是同类数量，这两个不同类数量之间的关系也可以用比来表示。只有两个数量之间有一定的联系，它们的比才有意义。
4．理解比的意义
用除法表示 用比表示
长和宽的关系 15÷10 15比10
宽和长的关系 10÷15 10比15
路程和时间的关系 42252÷90 42252比90
　　长和宽、宽和长、路程和时间都是用两个数相除表示两个数量之间的倍数关系，它们都可以用比来表示。
5．比的写法
(1)比的符号。
比用符号“∶”表示，“∶”叫做比号，读作“比”。
(2)用“∶”代替“比”。
15比10记作15∶10
10比15记作10∶15
42252比90记作42252∶90
(3)根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。例如：15∶10可以写成，10∶15可以写成，42252∶90可以写成。
6．比的读法
两种形式的比都读作几比几。15∶10读作15比10；表示比时，读作15比10。
7．结合实例认识比的各部分名称
归纳总结
1．两个数的比表示两个数相除。
2．在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
拓展提高　
球类比赛中的“3∶2”与数学中的“3∶2”的区别。
第一，球类比赛中的“3∶2”表示的是比赛双方的得分情况，是相差关系，一方得3分，另一方得2分，双方相差1分；数学中的“3∶2”表示的是“3÷2”，是相除关系，商是1.5。鉴于此，球类比赛中的“比”(其实是比分)，比号后面的数可以是0，即双方的比分可以是2∶0，也可以是0∶0；而数学中的“比”，比号后面的数(相当于除数)不可以是0。
第二，数学中的“比”是可以化简的，如“4∶2＝2∶1”；而“4∶2”在球类比赛中却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分。
知识点二　求比值的方法
问题导入　求下面各比的比值。
10∶5　　　∶4　　　0.3∶0.5
过程讲解　
1．方法分析
重点提示 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。
根据比值的意义，求比值时要把比改写成除法计算。
2．计算过程
10∶5＝10÷5＝2
∶4＝÷4＝×＝
0．3∶0.5＝0.3÷0.5＝0.6
3．探究比和比值的联系和区别
联系：比和比值都可以用分数形式表示，例如：既可以表示3∶5，又可以表示3∶5的比值，要根据具体情况确定它表示的是比还是比值。
区别：比表示两个数量之间的相除关系，只能写成a∶b或(b≠0)的形式；比值是一个具体的数，可以是分数，也可以是小数或整数。
归纳总结
1．求比值的方法：用比的前项除以比的后项。
2．比和比值的关系：二者在写法上可能是相同的，但比表示两个数量之间的相除关系，比值表示一个具体的数。
知识点三　比、除法、分数三者之间的关系
导入新知　想一想：比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可以是0吗？(教材49页)
过程讲解　
1．比、除法、分数三者之间的联系
(1)观察。
(2)归纳整理。
①用表格表示三者之间的联系。
比 前项 ∶(比号) 后项 比值
除法 被除数 ÷(除号) 除数 商
分数 分子 —(分数线) 分母 分数值
②用字母表示三者之间的联系。
a∶b＝a÷b＝(b≠0)
2．比、除法、分数三者之间的区别
(1)意义不同：比表示两个数量之间的相除关系；除法是一种运算；分数是一个数。
(2)表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数形式表示；比可以用分数形式表示，但分数不一定表示两个数量的比。
(3)结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才进行计算；而分数本身就是一个数，无需计算。
3．探究比的后项为什么不能是0
(1)比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能是0，所以比的后项也不能是0。
(2)比的后项相当于分数的分母，因为分数的分母不能是0，所以比的后项也不能是0。
归纳总结
比、除法、分数三者之间的关系：a∶b＝a÷b＝(b≠0)。
拓展提高　
比值是否带单位？
分两种情况：一种是同类数量的比：同类数量的比表示同类数量之间的倍数关系，比值是不带单位的。另一种是不同类数量的比：借用了比的形式，其结果(比值)是带单位的，这种情况下的比值是一个复合单位。例如：一辆卡车2小时行驶100千米，这时路程和时间的比值产生了一个新的量，即速度，单位是千米/时。
知识点四　求比中未知项的方法
问题导入　(　　)∶8＝2　15∶(　　)＝
过程讲解　
1．求比中未知项的方法
根据比和除法的关系推导出：比的前项＝比的后项×比值，比的后项＝比的前项÷比值。
2．求比中未知项的过程
因为8×2＝16，所以(16)∶8＝2；因为15÷＝45，所以15∶(45)＝。
[方法提示：也可以将未知项看作x，转化成方程来解。如15∶(　　)＝可以转化成15÷x＝，求得x＝45。]
3．解决问题
(16)∶8＝2　　　15∶(45)＝
归纳总结
根据比和除法的关系，已知比的前项、后项中的任意一项和比值，都可以求出另一项。
备易错易混
误区一　选择：求3 km∶4 km的比值，正确的是(A)。
A．3 km∶4 km＝3∶4　　B．3 km∶4 km＝
错解分析　此题错在没有掌握比值和比的区别。
错解改正　B
温馨提示
比值是一个具体的数，可以是分数、小数或整数。
误区二　判断：一场足球比赛，双方都没有进球，比赛结果是0∶0，因此比的前项和后项都可以是0。(√)
错解分析　球类比赛中的“比”并不是数学中的“比”，球类比赛中的“比”要体现双方得分的多少，是相差关系；数学中的“比”要体现一个量是另一个量的几倍(或几分之几)，是相除关系。
错解改正　×
温馨提示
生活中，有时会用比的形式表示某种关系，这个“比”与数学中的“比”的意义不同，要仔细区别，不能混淆概念。
备综合能力
方法运用　运用转化法解决总价比问题
典型例题　王老师购买的白菜和芹菜的单价比是3∶7，数量比是5∶4，白菜和芹菜的总价比是多少？
思路分析　题中存在两种量，分别是单价和数量，要求总价比。根据“总价＝单价×数量”，可以用3×5表示白菜的总价，用7×4表示芹菜的总价，则白菜和芹菜的总价比是(3×5)∶(7×4)。
正确解答　(3×5)∶(7×4)＝15∶28
答：白菜和芹菜的总价比是15∶28。
方法提示　解决此题时，可以根据题中的数量关系求比。
思维开放　根据行程问题中时间和速度之间的关系解决实际问题
典型例题　王玉和杨华分别从甲、乙两个村子同时出发，相向而行。已知王玉和杨华的速度比是3∶4，王玉从甲村走到乙村用了2小时，杨华从乙村走到甲村用了多长时间？
思路分析　王玉和杨华走相同的路程，速度越快，用的时间越少；速度越慢，用的时间越多。因为王玉和杨华的速度比是3∶4，所以他们用的时间比就应该是4∶3，即王玉用的时间是4份，杨华用的时间是3份。根据题意先求出一份的时间是多少，再求出杨华用的时间。
正确解答　王玉和杨华用的时间比是4∶3。
2÷4×3＝1.5(时)
答：杨华从乙村走到甲村用了1.5小时。
方法总结　两人走相同的路程，时间比等于速度比的反比。
备教学资源
数学中的比与比赛记分牌上的比有什么不同
记分牌上的比，是体育比赛时记录得分多少的一种方法。例如：甲、乙两队的分数比是75∶70，表示甲队得了75分，乙队得了70分，甲队比乙队多得了5分。这种比分不存在相除关系，若乙队得了0分，则比的后项为0，这样的比分是有意义的。
数学中的比，是对两个量进行比较，这两个量可以是同类量，也可以是非同类量。在比较两个同类量之间的关系时，把两个同类量中一个量是另一个量的几倍或几分之几叫做这两个量的比。两个非同类量的比能产生一种新的量。如路程和时间的比值是速度。
数学中的比与分数、除法之间有着密切的联系。被除数相当于分子(前项)，除数相当于分母(后项)。因为除数(或分母)不能为0，所以比的后项也不能为0。由此可以看出，数学中的比与比赛记分牌上的比是不一样的，有着不同的意义。