人教B版（2019）必修第四册 第九章 解三角形 单元检测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册 第九章 解三角形 单元检测卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 14:13:29 | ||
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文档简介
第九章 解三角形 检测卷
一、单选题
1．若三角形的三边长度分别为5，6，7，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定的
2．如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）（其中，，精确到）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，M为边BC上一点，，△ABC的面积为4，则∠BAC的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
5．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为.
A． B． C． D．
6．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m，m+1，m+2，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．在中，下列各式恒成立的是．
A． B．
C． D．
8．师宗文笔塔，位于曲靖市师宗县城东面文笔山上，为当代重建古塔，风水宝塔．今天我们所看到的文笔搭为1997年重建而成，2011年，师宗县以文笔塔为中心，始建师宗文笔山主题公园，名为文笔公园．如图，为测量文笔塔的高度，我校高一某学生取了从西到东相距74（单位：米）的两个观测，点，在点测得文笔塔在北偏东的点处（在同水平面上），在点测得文笔塔在北偏西，塔顶的仰角为，则文笔塔的高度（单位：米）为（ ）
A．26 B． C．37 D．
二、多选题
9．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则
C．若，三角形面积，则
D．若，则为等腰三角形
11．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 ；
B．若，则一定为等腰三角形；
C．若，则为直角三角形；
D．若为锐角三角形，则 .
12．在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则符合条件的有两个
B．若，则是钝角三角形
C．若，则
D．若，则为等腰三角形
三、填空题
13．已知中，，，则 .
14．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若，则的值是 .
15．在中,是边上的一点,,，,则 ．
16．锐角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且，则周长的取值范围是 .
四、解答题
17．记的内角所对边分别为．已知．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知函数
(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a，b，c，，，，D为边BC上一点，且，求AD的值．
19．在中内角，，所对边的长分别为，，，已知，，．
(1)求；
(2)求．
20．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的值.
21．在中，a，b，c分别为A，B，C的对边，.
(1)求的大小.
(2)若，求的值.
22．设的内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，的面积为，求；
(2)若，求的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据三边长，求最大角的余弦值，即可判断三角形的形状.
【详解】设三角形的三边长分别为，最长边为，则
，所以三角形为锐角三角形.
故选：C
2．C
【分析】由正弦定理求解即可
【详解】由题意可知，
由正弦定理可知，
即，
解得，
故选：C
3．A
【分析】由三角形面积公式列方程求得，进而可得，，再求出△ABC各边长，应用余弦定理求∠BAC的余弦值.
【详解】由题设，
所以，故，
又，故，，故，
在为等腰三角形，且，则，
由余弦定理知：，
综上，.
故选：A
4．D
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5．D
【分析】运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.
【详解】因为， 所以，即，
令，可得，
于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
6．B
【分析】由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.
【详解】在三角形中，由余弦定理得：，
化简可得：，解得或（舍）.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题.
7．D
【分析】根据三角形两边的和大于第三边列式，然后利用正弦定理进行转化，由此得出正确选项.
【详解】由于三角形中，两边的和大于第三边，故，由正弦定理得，故选D.
【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查三角形边的关系，属于基础题.
8．C
【分析】根据题意结合直角三角形分析运算即可.
【详解】由题意可得：（米），
在中，可得，则（米），
在Rt中，可得为等腰直角三角形，即（米）.
故选：C.
9．ABD
【分析】已知，结合余弦定理化简求得，再利用三角形面积公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D.
【详解】解：对于A，已知，则，
由余弦定理可知，所以，即，
等号两边同时平方，可得，
则，即，
因为，所以，
则，即，
因为，则，
，A选项正确；
对于B，，
因为点O为的外心，所以，，
则，B选项正确；
对于C，由余弦定理，
由正弦定理，则，C选项错误；
对于D，因为，则，
即，所以①，
同理，
即，所以②，
联立①②，解得，，D选项正确；
故选：ABD.
10．BC
【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解；
对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解；
对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解；
对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解.
【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确；
对于B，在中，，则，由正弦定理得，，
即，故B正确；
对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确；
对于D，由及正弦定理，得，即，
因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确.
故选：BC.
11．AC
【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.
【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；
对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；
对于C，，
则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；
对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.
12．BC
【分析】由正弦定理得，判断A错误；
由余弦定理得，判断B正确；
由正弦定理得，判断C正确；
将已知式子移项平方得，判断错误；
【详解】由正弦定理得，显然无解，故A错误；
因为，所以，所以，所以是钝角三角形，故B正确；
因为，所以由正弦定理得，所以，故C正确；
因为，所以，
所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误.
故选:.
13．
【解析】先由已知条件结合正弦定理得到与三边关系，再根据比例关系取特殊值，结合余弦定理计算b边，即可得值.
【详解】中，，∴，
∴，结合正弦定理得.
∵，结合正弦定理得，不妨设，则，结合余弦定理得且，即，
解得，∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
14．2
【分析】根据面积公式得到即，联立方程利用韦达定理得到
代入计算得到答案.
【详解】
设即，
设直线方程为 ，故 得到
代入计算得到：
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线方程，根据面积公式得到是解题的关键.
15．
【分析】在中由题意可得，故得，过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可得，，则，利用算出，然后在中，利用正弦定理即可得到答案
【详解】在中，，，
可得，
∵，∴，
过点作，交的延长线于点，如下图，
则，，，
所以，所以，∴，
因为，且，，
所以，所以，
在中，由正弦定理得，
∴，
故答案为：
16．
【分析】首先利用正弦定理角化边公式得到，从而得到，利用正弦定理得到，再利用三角函数的性质求范围即可.
【详解】由正弦定理可得，
∴，可得，
∴，
∵，∴，
由正弦定理可得，
∴，，
，
∵为锐角三角形，则，解得，
∴，∴，则.
因此，周长的取值范围是.
故答案为：
17．(1)；
(2).
【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；
(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，
若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1），
由正弦定理知，即．
在中，由，
．
．
．
．
（2）若选择条件①，由正弦定理，得．
．
又，即．
．
．
若选择条件②，由，即．
设．
则．
由，得．
．
．
18．(1)对称中心为；单调递增区间为，.
(2)
【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据整体代入法即可求得对称中心和单调区间；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.
【详解】（1）函数
.
由，，解得，．
故对称中心为．
由，，解得，
令，有，令，有，又
所以所求的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
即
又在锐角中，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，解得，
又由余弦定理得，解得或2，
当BC=2时，，
此时为钝角三角形，与题设矛盾，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理可得
，
故的值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）因为，，，
由余弦定理可得：，
即；
（2）因为，，所以，
所以．
20．(1);(2).
【详解】试题分析：（1）根据条件，由正弦定理，可将等式中“边化角”，再根据两角和正弦公式，进行整理化简，可算出的值，从而可求得的值；（2）根据题意，由（1）可得的值，根据三角形面积公式，可计算出的值，结合条件，根据余弦定理，从而可求出的值.
试题解析：（1）∵，∴，
即 ，∴；
（2） ，
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理的边角形式即可求解，
（2）由二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】（1）由 可得，由正弦定理可得，
所以 由于，所以,
（2）得,
故
22．(1)
(2)
【分析】（1）先应用面积公式求a,再应用余弦定理求解即可；
（2）先应用正弦定理边角转化，再应用辅助角公式结合正弦求值域即可解.
【详解】（1），解得，
由余弦定理可得；
（2）由正弦定理得，
所以，
，
，
，
，
，
的取值范围是．
一、单选题
1．若三角形的三边长度分别为5，6，7，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定的
2．如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）（其中，，精确到）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，M为边BC上一点，，△ABC的面积为4，则∠BAC的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
5．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为.
A． B． C． D．
6．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m，m+1，m+2，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．在中，下列各式恒成立的是．
A． B．
C． D．
8．师宗文笔塔，位于曲靖市师宗县城东面文笔山上，为当代重建古塔，风水宝塔．今天我们所看到的文笔搭为1997年重建而成，2011年，师宗县以文笔塔为中心，始建师宗文笔山主题公园，名为文笔公园．如图，为测量文笔塔的高度，我校高一某学生取了从西到东相距74（单位：米）的两个观测，点，在点测得文笔塔在北偏东的点处（在同水平面上），在点测得文笔塔在北偏西，塔顶的仰角为，则文笔塔的高度（单位：米）为（ ）
A．26 B． C．37 D．
二、多选题
9．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则
C．若，三角形面积，则
D．若，则为等腰三角形
11．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 ；
B．若，则一定为等腰三角形；
C．若，则为直角三角形；
D．若为锐角三角形，则 .
12．在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则符合条件的有两个
B．若，则是钝角三角形
C．若，则
D．若，则为等腰三角形
三、填空题
13．已知中，，，则 .
14．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若，则的值是 .
15．在中,是边上的一点,,，,则 ．
16．锐角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且，则周长的取值范围是 .
四、解答题
17．记的内角所对边分别为．已知．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知函数
(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a，b，c，，，，D为边BC上一点，且，求AD的值．
19．在中内角，，所对边的长分别为，，，已知，，．
(1)求；
(2)求．
20．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的值.
21．在中，a，b，c分别为A，B，C的对边，.
(1)求的大小.
(2)若，求的值.
22．设的内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，的面积为，求；
(2)若，求的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据三边长，求最大角的余弦值，即可判断三角形的形状.
【详解】设三角形的三边长分别为，最长边为，则
，所以三角形为锐角三角形.
故选：C
2．C
【分析】由正弦定理求解即可
【详解】由题意可知，
由正弦定理可知，
即，
解得，
故选：C
3．A
【分析】由三角形面积公式列方程求得，进而可得，，再求出△ABC各边长，应用余弦定理求∠BAC的余弦值.
【详解】由题设，
所以，故，
又，故，，故，
在为等腰三角形，且，则，
由余弦定理知：，
综上，.
故选：A
4．D
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5．D
【分析】运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.
【详解】因为， 所以，即，
令，可得，
于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
6．B
【分析】由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.
【详解】在三角形中，由余弦定理得：，
化简可得：，解得或（舍）.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题.
7．D
【分析】根据三角形两边的和大于第三边列式，然后利用正弦定理进行转化，由此得出正确选项.
【详解】由于三角形中，两边的和大于第三边，故，由正弦定理得，故选D.
【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查三角形边的关系，属于基础题.
8．C
【分析】根据题意结合直角三角形分析运算即可.
【详解】由题意可得：（米），
在中，可得，则（米），
在Rt中，可得为等腰直角三角形，即（米）.
故选：C.
9．ABD
【分析】已知，结合余弦定理化简求得，再利用三角形面积公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D.
【详解】解：对于A，已知，则，
由余弦定理可知，所以，即，
等号两边同时平方，可得，
则，即，
因为，所以，
则，即，
因为，则，
，A选项正确；
对于B，，
因为点O为的外心，所以，，
则，B选项正确；
对于C，由余弦定理，
由正弦定理，则，C选项错误；
对于D，因为，则，
即，所以①，
同理，
即，所以②，
联立①②，解得，，D选项正确；
故选：ABD.
10．BC
【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解；
对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解；
对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解；
对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解.
【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确；
对于B，在中，，则，由正弦定理得，，
即，故B正确；
对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确；
对于D，由及正弦定理，得，即，
因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确.
故选：BC.
11．AC
【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.
【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；
对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；
对于C，，
则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；
对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.
12．BC
【分析】由正弦定理得，判断A错误；
由余弦定理得，判断B正确；
由正弦定理得，判断C正确；
将已知式子移项平方得，判断错误；
【详解】由正弦定理得，显然无解，故A错误；
因为，所以，所以，所以是钝角三角形，故B正确；
因为，所以由正弦定理得，所以，故C正确；
因为，所以，
所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误.
故选:.
13．
【解析】先由已知条件结合正弦定理得到与三边关系，再根据比例关系取特殊值，结合余弦定理计算b边，即可得值.
【详解】中，，∴，
∴，结合正弦定理得.
∵，结合正弦定理得，不妨设，则，结合余弦定理得且，即，
解得，∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
14．2
【分析】根据面积公式得到即，联立方程利用韦达定理得到
代入计算得到答案.
【详解】
设即，
设直线方程为 ，故 得到
代入计算得到：
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线方程，根据面积公式得到是解题的关键.
15．
【分析】在中由题意可得，故得，过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可得，，则，利用算出，然后在中，利用正弦定理即可得到答案
【详解】在中，，，
可得，
∵，∴，
过点作，交的延长线于点，如下图，
则，，，
所以，所以，∴，
因为，且，，
所以，所以，
在中，由正弦定理得，
∴，
故答案为：
16．
【分析】首先利用正弦定理角化边公式得到，从而得到，利用正弦定理得到，再利用三角函数的性质求范围即可.
【详解】由正弦定理可得，
∴，可得，
∴，
∵，∴，
由正弦定理可得，
∴，，
，
∵为锐角三角形，则，解得，
∴，∴，则.
因此，周长的取值范围是.
故答案为：
17．(1)；
(2).
【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；
(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，
若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1），
由正弦定理知，即．
在中，由，
．
．
．
．
（2）若选择条件①，由正弦定理，得．
．
又，即．
．
．
若选择条件②，由，即．
设．
则．
由，得．
．
．
18．(1)对称中心为；单调递增区间为，.
(2)
【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据整体代入法即可求得对称中心和单调区间；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.
【详解】（1）函数
.
由，，解得，．
故对称中心为．
由，，解得，
令，有，令，有，又
所以所求的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
即
又在锐角中，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，解得，
又由余弦定理得，解得或2，
当BC=2时，，
此时为钝角三角形，与题设矛盾，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理可得
，
故的值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）因为，，，
由余弦定理可得：，
即；
（2）因为，，所以，
所以．
20．(1);(2).
【详解】试题分析：（1）根据条件，由正弦定理，可将等式中“边化角”，再根据两角和正弦公式，进行整理化简，可算出的值，从而可求得的值；（2）根据题意，由（1）可得的值，根据三角形面积公式，可计算出的值，结合条件，根据余弦定理，从而可求出的值.
试题解析：（1）∵，∴，
即 ，∴；
（2） ，
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理的边角形式即可求解，
（2）由二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】（1）由 可得，由正弦定理可得，
所以 由于，所以,
（2）得,
故
22．(1)
(2)
【分析】（1）先应用面积公式求a,再应用余弦定理求解即可；
（2）先应用正弦定理边角转化，再应用辅助角公式结合正弦求值域即可解.
【详解】（1），解得，
由余弦定理可得；
（2）由正弦定理得，
所以，
，
，
，
，
，
的取值范围是．