《一次函数》教学设计
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文档简介
《一次函数的性质》教学设计
设计者：海口实验中学初中部
数学组 许艳航
《一次函数的性质》教学设计
一、教材分析
本节课是华东师大版八年级下第十八章第三节第三课时。一次函数是函数中图形、性质相对简单的函数，它将是学习其他复杂函数的基础。本节是在学生对函数的知识及一次函数的意义、图象有一定认识的基础上进行的。通过本节的学习丰富了对一次函数的认识，教学中所体现的对数形结合思想的运用，为研究其他函数的性质和今后利用图形直观解决相关问题指明了方向。
二、教学目标
1．知识与技能：
1）通过对一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象的研究，探索一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。
2）能根据k与b的值说出函数的有关性质.
2．过程与方法：
1）借助动手画一次函数的图象，感知一次函数中k、b的取值对直线位置的影响。
2）经历由一次函数图象探索一次函数的性质的过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。
3．情感、态度与价值观：
感受数学魅力，能用一次函数解决有关的实际问题，进一步发展数学应用意识。提高学生数形结合能力。
三、重点与难点
重点：一次函数的性质
难点：通过一次函数的图象总结其性质
四、学情分析
初二阶段的学生，已经具备一定的观察、分析问题的能力，能与他人进行沟通交流，表达自己的看法、认识，对问题有一种有一定的探究能力。
教法：
新课程倡导，学生是学习的主体。学生主动参与课堂才能促使知识的积极建构，才会形成丰富的情感体验。因此本节课利用问题引路，采取学生先动手画图，直观感知，再合作交流，归纳概括，后实践运用，练习巩固的教学流程。做好对不同形式的函数对比概括的教学。
学法：
本节教学方法设计给学生提供动脑，动手的机会，优化教学过程，把学习主动权交给学生，真正让学生成为教学活动的主体。
同时运用演示课件、几何画板、设计游戏等形式教学、激发学生学习兴趣。
五、教学过程
(一)、创设情境
1.在前面对一次函数图象研究中知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样才能便捷画出一次函数的图象呢？
（设计意图：复习一次函数的图象，为本节课的学习做好铺垫）
答：直线与坐标轴的交点（，0）、（0，b）。
2.在同一直角坐标系中，画出函数和y＝3x-2的图象.
（设计说明：本节课关键是结合图象研究一次函数的性质，由于几何画板能够直观的看出横纵坐标的变化规律，这里运用了几何画板软件,容易理解，学生对一次函数的性质的探究水到渠成。第一步，做出两个k ＞0时一次函数的图象，研究此时函数的性质；第二步，做出两个k＜0时一次函数的图象，研究此时函数的性质，对比研究函数上升还是下降是由什么决定的。）
做图：
（二）、探究归纳
1.观察图象发现在直线上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.
即：函数值y随自变量x的增大而增大.
请同学们讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象
讨论结果：函数y＝3x-2也有这种现象。
设问：是不是所有的一次函数的图象都有如下的性质？
（设计意图：在研究两个一次函数的图象均为函数值y随自变量x的增大而增大，学生会疑惑为什么要研究这一性质，是不是所有的一次函数都有这样的性质，这里的设问给学生指明方向，引发学生思考。）
3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和的图象（图略）.
根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？你能发现什么规律。
（设计意图：在学生疑惑的同时为学生展示以上两个函数，并画出他们的图象，学生类比前面的研究就会发现并不是所有的一次函数都具有这样的性质，这一部分内容可以留给学生自主探究。）
观察函数y＝-x＋2和的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.
即：函数值y随自变量x的增大而减小。
设问：通过画图我们可以看到有的时候函数值y随自变量x的增大而增大，有的时候函数值y随自变量x的增大而减小，那么是由什么决定的？
通过对比与的图象，学生很快发现b相同，所以图象的这种性质是由k的符号决定的，从而得到一次函数的第一个性质。
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。
特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质。
练习：下列一次函数中，y的值随x的增大而减小的有________。
（1） y=-2x-1
（2） y=3x+2
（3） y=4-x
（4） y=6x-1
（设计意图：在对第一个性质探究结束以后，设计练习，加强对性质的理解，其中（1）（2）（4）是基础题，（3）改变两项的位置，有一定的难度。）
4．研究b的取值对函数图象的影响
设问：k的符号决定了图象是上升还是下降，那么b的取值对图象有着怎样的影响？
运用几何画板做出y＝kx＋b的图象，先改变k的值，再改变b的值，观察b的取值对一次函数图象的影响，学生可以发现，直线与y轴的交点即为（0，b），从而得出性质二。
(2)当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，直线与y轴交于负半轴。
（设计意图：对于b对函数性质的影响仍然运用了几何画板这一软件，因为几何画板可以迅速做出函数图象，可以很清楚的发现，无论怎样改变k的值，函数在y轴上的交点始终保持不变。这样设计直观，明了，减轻学生理解负担。）
5．巩固提高
创设游戏：选择你喜欢的一个字，按要求回答问题。
（设计意图：此时学生对一次函数的性质已经有了初步的了解，并且提高学生的学习兴趣，巩固训练设计为一个游戏，投影游戏的题目，学生选择题目回答问题，题目是六个根据图象判断k，b的取值范围，代表六种不同的情况，包括正比例函数，并且在学生答对的基础上，跟问图象所在的象限有哪些？）
6.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？
问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近。
问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多。
（设计意图：一次函数是一种重要的数学模型，学生要能够运用性质解决实际问题，本题为学生提供了联系实际的机会，体会学习数学的价值，从而感受到学好数学的意义。）
（三）、实践应用
例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？
分析： 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．
解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋5，函数值y随x的增大而减小．
所以，2m-1﹤0,即.
例2 已知点(2,m)和(-3,n)都在直线上，试比较m和n的大小.你能想出几种判断的方法？
分析：m为自变量为2时的函数值，n为自变量为-3时的函数值，可以分别求出m、n的值进行比较；还可以根据一次函数的性质，由于k= ﹥0，所以y随x的增大而增大，由2﹥-3，所以m﹥n。
解答过程略。
（设计意图：例1，例2为学生在学习一次函数的性质后的应用，例1相对基础，例2增加难度，提高了学生的综合应用能力，巩固性质一）
（四）、交流反思
这节课我们有哪些收获？
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
(2)当b>0时，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；
当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.
（五）、检测反馈
1.函数y=3x+1经过那几个象限？
2.已知点(-1,a)和都在直线上，试比较a和b的大小。
(设计意图：检测题的目的在于巩固所学内容，由学生独立完成，此时不再增加题目的难度，减轻学生负担，让学生有成功的体验，帮助学生获得学好数学的信心。)
（六）．作业
课本P48，第8题；学习指导P26，§18.3（四）第二题。
六、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间用于画图分析，右边用于书写例题，左边用于书写以下内容
§18.3.3一次函数的性质一次函数y＝kx＋b的性质：(1)当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小；当b＝0时，正比例函数也有上述性质。(2)当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线经过原点。
（补充说明：对于课本P45的做一做，与一次函数的性质联系不明显，对学生的数形结合能力要求较高，在设计上我作为一次函数的性质的第二课时，不作为本节课的教学内容。这节课在我所教学的班级实践，学生在一个轻松的氛围内较好的理解了一次函数的性质，完成了教学目标，效果较好，时间安排上也比较合理。设计上有更好的意见和建议，欢迎指正，不胜感激！）
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设计者：海口实验中学初中部
数学组 许艳航
《一次函数的性质》教学设计
一、教材分析
本节课是华东师大版八年级下第十八章第三节第三课时。一次函数是函数中图形、性质相对简单的函数，它将是学习其他复杂函数的基础。本节是在学生对函数的知识及一次函数的意义、图象有一定认识的基础上进行的。通过本节的学习丰富了对一次函数的认识，教学中所体现的对数形结合思想的运用，为研究其他函数的性质和今后利用图形直观解决相关问题指明了方向。
二、教学目标
1．知识与技能：
1）通过对一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象的研究，探索一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。
2）能根据k与b的值说出函数的有关性质.
2．过程与方法：
1）借助动手画一次函数的图象，感知一次函数中k、b的取值对直线位置的影响。
2）经历由一次函数图象探索一次函数的性质的过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。
3．情感、态度与价值观：
感受数学魅力，能用一次函数解决有关的实际问题，进一步发展数学应用意识。提高学生数形结合能力。
三、重点与难点
重点：一次函数的性质
难点：通过一次函数的图象总结其性质
四、学情分析
初二阶段的学生，已经具备一定的观察、分析问题的能力，能与他人进行沟通交流，表达自己的看法、认识，对问题有一种有一定的探究能力。
教法：
新课程倡导，学生是学习的主体。学生主动参与课堂才能促使知识的积极建构，才会形成丰富的情感体验。因此本节课利用问题引路，采取学生先动手画图，直观感知，再合作交流，归纳概括，后实践运用，练习巩固的教学流程。做好对不同形式的函数对比概括的教学。
学法：
本节教学方法设计给学生提供动脑，动手的机会，优化教学过程，把学习主动权交给学生，真正让学生成为教学活动的主体。
同时运用演示课件、几何画板、设计游戏等形式教学、激发学生学习兴趣。
五、教学过程
(一)、创设情境
1.在前面对一次函数图象研究中知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样才能便捷画出一次函数的图象呢？
（设计意图：复习一次函数的图象，为本节课的学习做好铺垫）
答：直线与坐标轴的交点（，0）、（0，b）。
2.在同一直角坐标系中，画出函数和y＝3x-2的图象.
（设计说明：本节课关键是结合图象研究一次函数的性质，由于几何画板能够直观的看出横纵坐标的变化规律，这里运用了几何画板软件,容易理解，学生对一次函数的性质的探究水到渠成。第一步，做出两个k ＞0时一次函数的图象，研究此时函数的性质；第二步，做出两个k＜0时一次函数的图象，研究此时函数的性质，对比研究函数上升还是下降是由什么决定的。）
做图：
（二）、探究归纳
1.观察图象发现在直线上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.
即：函数值y随自变量x的增大而增大.
请同学们讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象
讨论结果：函数y＝3x-2也有这种现象。
设问：是不是所有的一次函数的图象都有如下的性质？
（设计意图：在研究两个一次函数的图象均为函数值y随自变量x的增大而增大，学生会疑惑为什么要研究这一性质，是不是所有的一次函数都有这样的性质，这里的设问给学生指明方向，引发学生思考。）
3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和的图象（图略）.
根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？你能发现什么规律。
（设计意图：在学生疑惑的同时为学生展示以上两个函数，并画出他们的图象，学生类比前面的研究就会发现并不是所有的一次函数都具有这样的性质，这一部分内容可以留给学生自主探究。）
观察函数y＝-x＋2和的图象发现：当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.
即：函数值y随自变量x的增大而减小。
设问：通过画图我们可以看到有的时候函数值y随自变量x的增大而增大，有的时候函数值y随自变量x的增大而减小，那么是由什么决定的？
通过对比与的图象，学生很快发现b相同，所以图象的这种性质是由k的符号决定的，从而得到一次函数的第一个性质。
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。
特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质。
练习：下列一次函数中，y的值随x的增大而减小的有________。
（1） y=-2x-1
（2） y=3x+2
（3） y=4-x
（4） y=6x-1
（设计意图：在对第一个性质探究结束以后，设计练习，加强对性质的理解，其中（1）（2）（4）是基础题，（3）改变两项的位置，有一定的难度。）
4．研究b的取值对函数图象的影响
设问：k的符号决定了图象是上升还是下降，那么b的取值对图象有着怎样的影响？
运用几何画板做出y＝kx＋b的图象，先改变k的值，再改变b的值，观察b的取值对一次函数图象的影响，学生可以发现，直线与y轴的交点即为（0，b），从而得出性质二。
(2)当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，直线与y轴交于负半轴。
（设计意图：对于b对函数性质的影响仍然运用了几何画板这一软件，因为几何画板可以迅速做出函数图象，可以很清楚的发现，无论怎样改变k的值，函数在y轴上的交点始终保持不变。这样设计直观，明了，减轻学生理解负担。）
5．巩固提高
创设游戏：选择你喜欢的一个字，按要求回答问题。
（设计意图：此时学生对一次函数的性质已经有了初步的了解，并且提高学生的学习兴趣，巩固训练设计为一个游戏，投影游戏的题目，学生选择题目回答问题，题目是六个根据图象判断k，b的取值范围，代表六种不同的情况，包括正比例函数，并且在学生答对的基础上，跟问图象所在的象限有哪些？）
6.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？
问题1 随着时间的增长,小明离北京越来越近。
问题2 随着时间的增长,小张的存款越来越多。
（设计意图：一次函数是一种重要的数学模型，学生要能够运用性质解决实际问题，本题为学生提供了联系实际的机会，体会学习数学的价值，从而感受到学好数学的意义。）
（三）、实践应用
例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？
分析： 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．
解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋5，函数值y随x的增大而减小．
所以，2m-1﹤0,即.
例2 已知点(2,m)和(-3,n)都在直线上，试比较m和n的大小.你能想出几种判断的方法？
分析：m为自变量为2时的函数值，n为自变量为-3时的函数值，可以分别求出m、n的值进行比较；还可以根据一次函数的性质，由于k= ﹥0，所以y随x的增大而增大，由2﹥-3，所以m﹥n。
解答过程略。
（设计意图：例1，例2为学生在学习一次函数的性质后的应用，例1相对基础，例2增加难度，提高了学生的综合应用能力，巩固性质一）
（四）、交流反思
这节课我们有哪些收获？
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
(2)当b>0时，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；
当b=0时，直线与y轴交于坐标原点.
（五）、检测反馈
1.函数y=3x+1经过那几个象限？
2.已知点(-1,a)和都在直线上，试比较a和b的大小。
(设计意图：检测题的目的在于巩固所学内容，由学生独立完成，此时不再增加题目的难度，减轻学生负担，让学生有成功的体验，帮助学生获得学好数学的信心。)
（六）．作业
课本P48，第8题；学习指导P26，§18.3（四）第二题。
六、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间用于画图分析，右边用于书写例题，左边用于书写以下内容
§18.3.3一次函数的性质一次函数y＝kx＋b的性质：(1)当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小；当b＝0时，正比例函数也有上述性质。(2)当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线经过原点。
（补充说明：对于课本P45的做一做，与一次函数的性质联系不明显，对学生的数形结合能力要求较高，在设计上我作为一次函数的性质的第二课时，不作为本节课的教学内容。这节课在我所教学的班级实践，学生在一个轻松的氛围内较好的理解了一次函数的性质，完成了教学目标，效果较好，时间安排上也比较合理。设计上有更好的意见和建议，欢迎指正，不胜感激！）
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