上海市崇明区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．已知直线l经过点，，则它的斜率 .
【答案】
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：因为直线 l 经过点，，
所以由两点间的斜率公式可得，
故答案为：.
【分析】由两点间的斜率公式即可得出结论.
2．（2021高二上·和平期末）双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故答案为：
【分析】由双曲线的简单性质，计算出结果即可。
3．抛物线的焦点到准线的距离是 .
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，
故抛物线的焦点到准线的距离是2.
故答案为：2.
【分析】分别求出抛物线的焦点和准线，从而求得答案.
4．在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是 .
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：因为点到点、的距离之和为，
即点的轨迹方程是 以、为焦点，焦点在x 轴上的椭圆，；
，，
b2=a2-c2=25-9=16，
.
故 点的轨迹方程是
故答案为：.
【分析】由已知条件，点的轨迹方程满足椭圆的定义，再分别得出的值从而得出椭圆的标准方程.
5．假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是0.92、0.95、0.94．则该部件的总体良品率是 ．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，由全概率公式，可得
任意取一个部件是良品的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据题意，可用全概率公式计算即可得出结论.
6．已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆的直径为线段，
圆心坐标为，
圆的半径为，
故圆的方程为：
故答案为：.
【分析】先求出线段的中点即为圆心，再求出的长度，即可求得圆的半径，从而可得圆的方程.
7．已知直线，直线，若，则 ．
【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：直线，直线，且，
，解得或，
当时，两直线重合，不符合题意，
故，
故答案为：.
【分析】由两条直线平行求出m值，注意需要检验两条直线重合的情况即可.
8．（2023·宝山模拟）从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ．
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.
9．已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
因为点、 的横坐标恰好是方程的根，
所以 x1+x2=-3， x1 x2 =-2；
联立，消去y，可得；
由韦达定理有x1+x2=k， x1 x2 =-b；
所以k=-3，-b=-2；即k=-3，b=2，经检验，符合题意；
所以直线的方程为
故答案为：.
【分析】设出直线的方程，因为点、 的横坐标恰好是方程的根，由韦达定理可得 x1+x2， x1 x2 的值，再联立抛物线与直线方程，再次由韦达定理，从而可求出 的值，即可得解.
10．（2013·上海理）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA= ，若AB=4，BC= ，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为 ，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA= ，BC= ，∴点C的坐标为C（﹣1，1），
因点C在椭圆上，∴ ，
∴b2= ，
∴c2=a2﹣b2=4﹣ = ，c= ，
则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为 ，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
11．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
【答案】0.2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：
随机变量的可能取值为1，2，3，4，5；
赌金的分布列为：
1 2 3 4 5
P
故；
随机变量的可能取值为1.4，2.8，4.2，5.6；
，；
奖金的分布列为：
1.4 2.8 4.2 5.6
P
；
则0.2；
故答案为：0.2.
【分析】分别求出随机变量和的分布列，可计算得出的值，从而得出结论.
12．已知实数、、、满足，，，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；含三角函数的复合函数的值域与最值；点与圆的位置关系；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：因为实数 、、、 满足，，
可设圆上有点 ，上有点，
则 ，又因为，
则有 ， 所以 ， 所以，
所以， 其中 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：.
【分析】设 分别在圆上，由可得从而可知，再转化为三角函数形式即可求得最大值.
二、单选题
13．（2023·黄浦模拟）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】直线与直线垂直，
则，解得，
故答案为：B.
【分析】利用直线垂直的性质求出实数的a的值.
14．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．200 B．150 C．250 D．100
【答案】A
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：由题意得，因为成绩X服从正态分布，
所以其正态曲线关于直线对称，
又因为数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的 ，
由正态分布的对称性知：数学考试成绩不低于120分的学生约为总人数的 ，
此次 统考中 数学考试成绩不低于120分的学生约有：人；
故答案为：A.
【分析】根据正态分布的对称性即可求得结论.
15．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴 ，建立坐标系，
设 ；
因为 ，所以 ，化简可得，即
故动点M的轨迹是双曲线：
故答案为：D.
【分析】建立坐标系，设出三点坐标，由可列出表达式，从而可得双曲线的标准方程，从而得出答案；
16．将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，，
当 时， ， 函数，在 上递增，
当 时， ， 函数在 上递减，
可得在处切线的倾斜角为，
因此， 要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，
旋转后的切线倾斜角最多为 ，
即最大旋转角为.
故答案为：.
【分析】对函数进行求导，求出函数单调性及其增减区间，并求出处的倾斜角，旋转后的切线倾斜角最多为，计算即可得出结论.
三、解答题
17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：
（1）“所选3人中女生人数”的概率；
（2）X的期望与方差.
【答案】（1）“所选3人中女生人数”的概率：
．
（2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
设随机变量表示所选3人中女生的人数，
的可能取值为0，1，2，
，，，
的分布列为：
0 1 2
的均值．的方差．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用概率加法公式即可求解；
（2）先求出离散型随机变量X的分布列，即可求出 X的期望与方差.
18．已知直线l：与圆C：相交于A、B两点．
（1）若，求k；
（2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）因为圆C：，
所以圆心坐标为，半径为2，因为，
所以C到AB的距离为，
由点C到直线的距离为：，解得；
（2）设，，l的方程为，
则，得，
因为，所以，，
设存在点满足题意，即，
所以，
因为，
所以，
所以，解得．
所以存在点符合题意．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）先求出圆心和半径，再由点到直线的距离公式即可求得；
（2）联立直线与圆的方程，由韦达定理可得，的值，再结合斜率关系即可求得m值，从而可得答案.
19．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成；经测量，，米，曲线段BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA，OB的距离都是50米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于25米；设米，游乐场的面积为S平方米；
（1）以点O为原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
（2）求面积S关于x的函数解析式；
（3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大（结果精确到0.1米）；
【答案】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
代入可得：，.
所以曲线段BC的方程为：.
（2）由题意，线段的方程为，
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以.
（3）当时，，令，得，（舍去）.
当时，；当时，.
因此当时，是极大值，也是最大值.
当时，，
当时，是最大值.
因为，
所以当时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】（1）利用坐标法可分别表达出 ，，的坐标， 设曲线段所在抛物线的方程，代入求解即可；
（2）由题意，分别讨论点在曲线段和 上的情况，写出分段函数解析式即可；
（3）分别计算当时和当时以及当时取的最大值，比较即可.
20．已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
（1）设，求的值；
（2）求证：；
（3）设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）因为，且，解得，.
（2）因为，所以，，
又、，，
所以，所以直线：，令，解得，
所以，
所以，，
所以.
（3）当时由（2）可知，，所以椭圆方程为，
设直线方程为，，则，
联立得，
则，，.
直线的方程为，
令得
，
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用离心率是 和的关系即可求得；
(2)由离心率可得关系，并由焦点坐标可得出，的值，从而可得直线：，结合图形，解得，从而可分别表示向量，坐标，从而得证；
(3)先由已知条件求出椭圆方程为，设直线方程为，，则，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，值，从而可得 直线的方程 ，令，即运算可解得，从而得出结论.
21．（2023·静安模拟）已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
（3）解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程 。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，从而得出当时的函数的最小值。
（3） 当时，得出函数的解析式，再利用函数的零点的求解方法得出函数在上有一个零点；当 时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，再结合零点存在性定理判断出函数在上只有一个零点，综上可得当时的函数在上的零点个数。.
1 / 1上海市崇明区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．已知直线l经过点，，则它的斜率 .
2．（2021高二上·和平期末）双曲线的渐近线方程是 .
3．抛物线的焦点到准线的距离是 .
4．在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是 .
5．假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是0.92、0.95、0.94．则该部件的总体良品率是 ．
6．已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是 .
7．已知直线，直线，若，则 ．
8．（2023·宝山模拟）从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ．
9．已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 .
10．（2013·上海理）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA= ，若AB=4，BC= ，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
11．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
12．已知实数、、、满足，，，则的最大值为 .
二、单选题
13．（2023·黄浦模拟）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
14．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．200 B．150 C．250 D．100
15．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
16．将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：
（1）“所选3人中女生人数”的概率；
（2）X的期望与方差.
18．已知直线l：与圆C：相交于A、B两点．
（1）若，求k；
（2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
19．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成；经测量，，米，曲线段BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA，OB的距离都是50米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于25米；设米，游乐场的面积为S平方米；
（1）以点O为原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
（2）求面积S关于x的函数解析式；
（3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大（结果精确到0.1米）；
20．已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
（1）设，求的值；
（2）求证：；
（3）设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21．（2023·静安模拟）已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：因为直线 l 经过点，，
所以由两点间的斜率公式可得，
故答案为：.
【分析】由两点间的斜率公式即可得出结论.
2．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故答案为：
【分析】由双曲线的简单性质，计算出结果即可。
3．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，
故抛物线的焦点到准线的距离是2.
故答案为：2.
【分析】分别求出抛物线的焦点和准线，从而求得答案.
4．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：因为点到点、的距离之和为，
即点的轨迹方程是 以、为焦点，焦点在x 轴上的椭圆，；
，，
b2=a2-c2=25-9=16，
.
故 点的轨迹方程是
故答案为：.
【分析】由已知条件，点的轨迹方程满足椭圆的定义，再分别得出的值从而得出椭圆的标准方程.
5．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，由全概率公式，可得
任意取一个部件是良品的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据题意，可用全概率公式计算即可得出结论.
6．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆的直径为线段，
圆心坐标为，
圆的半径为，
故圆的方程为：
故答案为：.
【分析】先求出线段的中点即为圆心，再求出的长度，即可求得圆的半径，从而可得圆的方程.
7．【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：直线，直线，且，
，解得或，
当时，两直线重合，不符合题意，
故，
故答案为：.
【分析】由两条直线平行求出m值，注意需要检验两条直线重合的情况即可.
8．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.
9．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
因为点、 的横坐标恰好是方程的根，
所以 x1+x2=-3， x1 x2 =-2；
联立，消去y，可得；
由韦达定理有x1+x2=k， x1 x2 =-b；
所以k=-3，-b=-2；即k=-3，b=2，经检验，符合题意；
所以直线的方程为
故答案为：.
【分析】设出直线的方程，因为点、 的横坐标恰好是方程的根，由韦达定理可得 x1+x2， x1 x2 的值，再联立抛物线与直线方程，再次由韦达定理，从而可求出 的值，即可得解.
10．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为 ，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA= ，BC= ，∴点C的坐标为C（﹣1，1），
因点C在椭圆上，∴ ，
∴b2= ，
∴c2=a2﹣b2=4﹣ = ，c= ，
则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为 ，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
11．【答案】0.2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：
随机变量的可能取值为1，2，3，4，5；
赌金的分布列为：
1 2 3 4 5
P
故；
随机变量的可能取值为1.4，2.8，4.2，5.6；
，；
奖金的分布列为：
1.4 2.8 4.2 5.6
P
；
则0.2；
故答案为：0.2.
【分析】分别求出随机变量和的分布列，可计算得出的值，从而得出结论.
12．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；含三角函数的复合函数的值域与最值；点与圆的位置关系；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：因为实数 、、、 满足，，
可设圆上有点 ，上有点，
则 ，又因为，
则有 ， 所以 ， 所以，
所以， 其中 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：.
【分析】设 分别在圆上，由可得从而可知，再转化为三角函数形式即可求得最大值.
13．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】直线与直线垂直，
则，解得，
故答案为：B.
【分析】利用直线垂直的性质求出实数的a的值.
14．【答案】A
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：由题意得，因为成绩X服从正态分布，
所以其正态曲线关于直线对称，
又因为数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的 ，
由正态分布的对称性知：数学考试成绩不低于120分的学生约为总人数的 ，
此次 统考中 数学考试成绩不低于120分的学生约有：人；
故答案为：A.
【分析】根据正态分布的对称性即可求得结论.
15．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴 ，建立坐标系，
设 ；
因为 ，所以 ，化简可得，即
故动点M的轨迹是双曲线：
故答案为：D.
【分析】建立坐标系，设出三点坐标，由可列出表达式，从而可得双曲线的标准方程，从而得出答案；
16．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，，
当 时， ， 函数，在 上递增，
当 时， ， 函数在 上递减，
可得在处切线的倾斜角为，
因此， 要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，
旋转后的切线倾斜角最多为 ，
即最大旋转角为.
故答案为：.
【分析】对函数进行求导，求出函数单调性及其增减区间，并求出处的倾斜角，旋转后的切线倾斜角最多为，计算即可得出结论.
17．【答案】（1）“所选3人中女生人数”的概率：
．
（2）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
设随机变量表示所选3人中女生的人数，
的可能取值为0，1，2，
，，，
的分布列为：
0 1 2
的均值．的方差．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用概率加法公式即可求解；
（2）先求出离散型随机变量X的分布列，即可求出 X的期望与方差.
18．【答案】（1）因为圆C：，
所以圆心坐标为，半径为2，因为，
所以C到AB的距离为，
由点C到直线的距离为：，解得；
（2）设，，l的方程为，
则，得，
因为，所以，，
设存在点满足题意，即，
所以，
因为，
所以，
所以，解得．
所以存在点符合题意．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）先求出圆心和半径，再由点到直线的距离公式即可求得；
（2）联立直线与圆的方程，由韦达定理可得，的值，再结合斜率关系即可求得m值，从而可得答案.
19．【答案】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
代入可得：，.
所以曲线段BC的方程为：.
（2）由题意，线段的方程为，
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以.
（3）当时，，令，得，（舍去）.
当时，；当时，.
因此当时，是极大值，也是最大值.
当时，，
当时，是最大值.
因为，
所以当时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】（1）利用坐标法可分别表达出 ，，的坐标， 设曲线段所在抛物线的方程，代入求解即可；
（2）由题意，分别讨论点在曲线段和 上的情况，写出分段函数解析式即可；
（3）分别计算当时和当时以及当时取的最大值，比较即可.
20．【答案】（1）因为，且，解得，.
（2）因为，所以，，
又、，，
所以，所以直线：，令，解得，
所以，
所以，，
所以.
（3）当时由（2）可知，，所以椭圆方程为，
设直线方程为，，则，
联立得，
则，，.
直线的方程为，
令得
，
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用离心率是 和的关系即可求得；
(2)由离心率可得关系，并由焦点坐标可得出，的值，从而可得直线：，结合图形，解得，从而可分别表示向量，坐标，从而得证；
(3)先由已知条件求出椭圆方程为，设直线方程为，，则，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，值，从而可得 直线的方程 ，令，即运算可解得，从而得出结论.
21．【答案】（1）解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
（3）解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程 。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，从而得出当时的函数的最小值。
（3） 当时，得出函数的解析式，再利用函数的零点的求解方法得出函数在上有一个零点；当 时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，再结合零点存在性定理判断出函数在上只有一个零点，综上可得当时的函数在上的零点个数。.
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