浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二下·衢州期末）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·衢州期末） 设（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高二下·衢州期末）已知直线，和平面，，则使平面平面成立的充分条件是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
4．（2023高二下·衢州期末） 已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·衢州期末） 函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．和
6．（2023高二下·衢州期末） 已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
7．（2023高二下·衢州期末） 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A． B．
C． D．若，则周期为
8．（2023高二下·衢州期末） 衣柜里有5副不同颜色的手套，从中随机选4只，在取出两只是同一副的条件下，取出另外两只不是同一副的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二下·衢州期末） 给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若样本数据的期望为3、方差为6，则数据的期望为5、方差为11
B．假设经验回归方程为，则当时，的预测值为
C．随机变量服从正态分布，若，则
D．甲同学所在的某校高三共有5000人，按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本.则甲被抽到的概率为
10．（2023高二下·衢州期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．当椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．对任意点都有
D．的最小值为2
11．（2023高二下·衢州期末） 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
B．关于的方程有8个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图像与轴围成图形的面积为6
12．（2023高二下·衢州期末）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，点在棱上且，点是所在平面内的动点，点是所在平面内的动点，且点到直线的距离与到点的距离相等，则（ ）
A．平面
B．若二面角的余弦值为，则点到平面的距离为
C．若，则动点的轨迹长度为
D．若，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二下·衢州期末） 在的展开式中，各项系数的和是 .
14．（2023高二下·衢州期末） 88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为 ．
15．（2023高二下·衢州期末）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，，与相交于点，且，则的面积为 .
16．（2023高二下·衢州期末） 原有一块棱长为的正四面体石材，在搬运的过程有所损伤，剩下了一块所有棱长均为的八面体石材（如图），现将此八面体石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积与该八面体石材外接球的表面积之比为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二下·衢州期末） 近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查了、两地区的200名观众，得到如下所示的2×2列联表.
非常喜欢 喜欢 合计
60 30
合计
若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众中抽取8名.
附：，其中.
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.
（2）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的数学期望.
18．（2023高二下·衢州期末） 已知数列满足：，对任意且时，其中表示不超过的最大整数.
（1）求；
（2）设，求数列的前项.
19．（2023高二下·衢州期末）在中，角，，所对的边为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求.
20．（2023高二下·衢州期末）如图，在正三棱台中，，，过棱的截面与棱，分别交于、.
（1）记几何体和正三棱台体积分别为，，若，求的长度；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023高二下·衢州期末） 已知函数
（1）若过点作函数的切线有且仅有两条，求的值；
（2）若对于任意，直线与曲线都有唯一交点，求实数的取值范围.
22．（2023高二下·衢州期末） 已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，
（1）若点恰为的中点，求直线的斜率；
（2）记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】集合，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
故选：B.
【分析】对集合A进行化简，结合指数函数的单调性，化简求出A的解集，结合集合B，求出交集，
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，
，
，
所以z在复平面内对应点坐标为，
所以点在第一象限，
故选：A.
【分析】根据复数的运算法则，进行化简，化简得到复平面内对应点坐标.
3．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】A选项：
因为，
所以在平面里存在一条直线n，使得，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以A选项正确
故选：A.
【分析】根据线面垂直的定义，结合平行线的性质，可以推导证出面面垂直.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
因为，
所以，
故选：D.
【分析】首先利用二倍角公式，结合诱导公式，进行化简，从而求出正弦值.
5．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】由题意设，，
所以t在和上单调递减，在和上单调递增，
因为在上单调递减，
所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，
故选：C.
【分析】首先分析二次函数的单调性，结合对数函数的单调性，从而可知复合函数的单调性.
6．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，
所以，
因为，
所以，
所以公差，
结合，所以，
又因为，
所以前n项积，
所以，
当时，，
又因为，，且是等差数列，
所以，，，
所以当时，n最大整数为21，
故选：B.
【分析】首先根据等差数列前n项和的大小，得到公差，同时求出、，再结合数列前n项积，得到n最大值.
7．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】A选项：
取，得到，
所以或，
所以A选项错误
B选项：
当时，取，
得到，
所以，所以既是奇函数也是偶函数，
所以成立
当时，取，
得到，所以是偶函数，
所以成立
所以B选项正确，
C选项：
取，得到，
所以可见，
所以C选项正确，
D选项：
取，得到，
所以，
所以，
，
，
，
，
，
所以周期，
所以D选项正确，
故选：A.
【分析】利用取特殊值法，得到值，可知A选项错误，再结合奇偶性，周期性得到B、C、D选项正确.
8．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】由题意可知5幅不同颜色手套，共10只，
在取出两只是同一副的条件下，取出另外两只不是同一副的概率，可知是条件概率，
设从中随机选4只，其中有两只是同一副为事件A，
从中随机选4只，其中有两只不是同一副为事件B：，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】分别设出两个随机事件为A、B，求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，最终求得概率值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】简单随机抽样；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差；正态分布定义
【解析】【解答】A选项：因为样本数据的期望为3、方差为6，所以数据的期望为，方差为，
所以A选项错误，
B选项：
因为，
所以y的预测值为，
所以B选项正确，
C选项：由题意可知均值，
所以根据正态分布图像可知， ，
所以，
所以C选项正确，
D选项：
，
所以D选项正确，
故选：BCD.
【分析】根据期望和方差的性质，可知A选项错误；把x值代入回归方程，得到y的预测值，B选项正确；根据正态分布的图像性质，可知概率，C选项正确；由简单随机抽样概率均等，可知甲被抽到的概率.
10．【答案】A,B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据题意知，长轴长为4，
所以，
所以离心率，
又因为点在椭圆外，
所以
所以，
所以，
所以A选项正确，
当离心率时，
所以，
又因为，
所以，
所以B正确，
当点Q位置在时，，
所以C选项错误，
，
所以D选项错误，
故选：AB.
【分析】利用椭圆的性质，结合题意得到b的范围，根据离心率表达式，得到离心率范围，A正确；根据离心率求得b值，求得椭圆上一点到焦点的距离范围，B正确；取特殊值验证可知C错误；利用基本不等式，求出最小值.
11．【答案】A,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数有四个零点，
所以两个图像有四个交点，
由函数得到如下图像，
从图像可知，，
所以斜率k的取值范围为，
所以A正确，
当时，若k取值5，
那么与只有1个交点，
所以B选项错误，
取特殊值：，
所以，
所以C选项错误，
当时，与x轴围成的面积为，
所以D选项正确，
故选：AD.
【分析】结合分段函数表达式，画出函数图象，利用函数图象求交点，再结合斜率与点坐标关系，求得K值范围；再利用取特殊值法，验证BC选项错误；再根据函数图象，求得函数与x轴所围成面积.
12．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两条直线垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】作图如下：
A选项：
作，
因为平面平面，且，
所以得到，
所以，
由题意知，，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以A选项正确，
B选项：
作，证出，
因为二面角的余弦值为，
所以，
设，，
利用余弦定理求，，
在三角形PAC中PC的高为，
即为点A到平面的距离为，
所以B选项错误，
C选项：
设，
利用体积公式可知，，
所以
所以点E到平面的距离为，
又因为点F是内动点，
且，
可知点F轨迹为一个圆，
半径，
所以轨迹为，
所以C选项正确，
D选项：
如图建立空间直角坐标系，
取中点为M，取中点为Q，
，
所以，
所以抛物线方程为：，
设G坐标为，
A坐标为，
所以，
利用一元二次函数单调性，可知最小值为，
所以D选项正确，
故选： ACD
【分析】结合题意，结合所给条件，利用线线垂直，证出线面垂直；通过线线垂直，构造二面角，结合余弦定理，从而的东西奥点到平面距离；根据体积公式，求出动点轨迹；构造空间直角坐标系，结合抛物线方程，利用一元二次函数求出最值.
13．【答案】1
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】设，二项展开式的各项系数之和，
故答案为：1.
【分析】设二项式中所有变量都等于1，则计算出来的结果，就等于二项展开式的各项系数之和.
14．【答案】880
【知识点】等比数列的性质；等比数列的实际应用
【解析】【解答】由题意知，递增的等比数列，
所以设，
因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：880.
【分析】根据题意可知是等比数列，利用等比数列通项公式，求出公比，从而得到第61项数值.
15．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用；相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意画图，如下：
由题意知，，
所以F是MN中点，
所以，
设T坐标为，
因为，且，
所以，
又因为，
所以，
，
又因为P是抛物线上一点，
所以，
所以，
所以点P坐标为，
所以的高为，
所以，
又因为与等高，
所以.
故答案为：.
【分析】首先根据题意绘图，对向量化简，得到向量之间关系式，再结合相似三角形的性质，求得QP长度，从而得到点P坐标，最后求得三角形面积.
16．【答案】3：11
【知识点】球面距离及相关计算；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】将正四面体补全，
由题意知棱长为，
所以底面的高为，
求得正四面体的高，
设内接球半径为R，
所以，，，
因为，
所以，
又因为，
所以利用相似可得到平面到平面距离为，
所以O到平面距离为，
由因为，
所以外界球半径，
所以内接球与外接球表面积之比为：.
故答案为：3：11.
【分析】首先将八面体补全为正四面体，由正四面体的性质，可求得底面三角形的高，结合相似性质，进一步求出内接球的半径，然后利用勾股定理得到外接球的半径，从而得到表面积之比.
17．【答案】（1）解：依题意，B区为“非常喜欢”的观众人数为，
表格补充完整如下
非常喜欢 喜欢 合计
60 30 90
80 30 110
合计 140 60 200
零假设为：观众喜爱程度与所在地区无关.
所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
（2）解：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率
从A地区随机抽取3人，则，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以．
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)根据分层抽样，计算出B区“非常喜欢”的观众人数，从而求出B区“喜欢”的观众人数，完成列表，再结合卡方检验，求两个变量的独立性.
(2)首先列出A区“非常喜欢”人数所有可能取值，依次求出概率，最后再结合离散随机变量分布列的期望公式，求出期望值.
18．【答案】（1）解：当为偶数时，
故
（2）解：由题可得，又，故，
，
【知识点】等比数列的前n项和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意知是分段数列，结合第一问可知2n是偶数，得到表达式，结合裂项消除，求得通项公式.
(2)由(1)得到通项公式，代入，结合裂项消元以及等比数列求和公式，化简得到通项公式.
19．【答案】（1）解：因为，
所以
所以，则
所以或（舍），又因为，即
（2）解：由及可得，
由正弦定理可得：，又，
所以，
故，所以，
由于，所以，则或，
当时，，则，
综合，或.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式，代入整理，再结合两角差公式，进行转换化简，可以得到∠A值.
(2)根据题目所给条件，首先将c代入等式，由正弦定理，将所有边转化为三角值，再由三角形内角和为180°，将∠B转换为∠A和∠C的关系式，代入化简，最后得到∠C正弦值.
20．【答案】（1）解：∵三棱台是正三棱台，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，
若，则，几何体是三棱柱，记，，
此时，不满足题意，舍去；
因此，设与交于点，与交于点，则
因为，即交于同一点，
∴几何体是三棱台
∵，∴，∴.
（2）解：如图，延长，，交于点，作中点，连接，，
∵，，平面∴平面，
过作交于，则，
∵平面∴平面，
∴即直线与平面所成的角，
∵，，，
∴在中，由余弦定理可得，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据正三棱台，得到线面平行，再由线面平行的性质，推导出线线平行，然后根据题目所给体积之比，化简得到EF值.
(2)首先根据题目所给条件，得到一组线面垂直，再由线面垂直的性质，得到线线垂直，然后证出另外一组线面垂直，从而找到所求直线与平面夹角，结合余弦定理，求出夹角余弦值，最后得到正弦值.
21．【答案】（1）解：设过点作函数切线的切点为，
因为，所以切线方程为，即，
又因为切线过点，所以.
令，则，
所以，，递减；
，，递增；
，，递减.
当时，取极小值；当时，取极小值，
，时；时，
根据以上信息作出的大致图象，
由题意，直线与的图象有且仅有两个交点，
所以.
（2）解：由题可得有唯一解，即有唯一解．
令，
若，则与题设，矛盾，故.
又因为，；，，
结合题意可得在上单调递增，
即，所以，
结合（1）可得，所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)首先设出切点坐标，对函数求导，得到切线斜率，进一步得到切线方程表达式，代入切线所过点坐标，代入得到m的表达式，再设出m的表达式，对其求导，利用一次导数的正负性，得到函数单调性，从而得到函数值域，结合函数图象，图像刚好有两个交点，得到m值.
(2)由题意知，直线和曲线有唯一交点，利用导数，得到单调性，求出函数的最大值，从而得到b的取值范围.
22．【答案】（1）解：由题意可得，设，，
由，得，即，即
其中，，
所以，又，故；
（2）解：如图，
设，，，
由
得，又，故，
从而，同理有，
另一方面，，
设，由得
，
故，代入上式有
，
由直线交双曲线于两支可知，令，
故，当且仅当时，即时，取等号，
即.
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据双曲线方程，设出直线与曲线图像交点坐标，联立方程组，化简，得到直线AB与直线OP斜率之积，再结合直线OP的斜率，从而求得直线AB斜率值.
(2)由题意知，直线AF经过双曲线的焦点，设出AF的直线方程以及点D和点E坐标，联立方程组，结合韦达定理，得到点D的纵坐标，同理得到点E的纵坐标，结合三角形面积值之比关系式，再次结合韦达定理的性质，代入化简表达式，得到最终面积比的取值范围.
1 / 1浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二下·衢州期末）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】集合，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
故选：B.
【分析】对集合A进行化简，结合指数函数的单调性，化简求出A的解集，结合集合B，求出交集，
2．（2023高二下·衢州期末） 设（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，
，
，
所以z在复平面内对应点坐标为，
所以点在第一象限，
故选：A.
【分析】根据复数的运算法则，进行化简，化简得到复平面内对应点坐标.
3．（2023高二下·衢州期末）已知直线，和平面，，则使平面平面成立的充分条件是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】A选项：
因为，
所以在平面里存在一条直线n，使得，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以A选项正确
故选：A.
【分析】根据线面垂直的定义，结合平行线的性质，可以推导证出面面垂直.
4．（2023高二下·衢州期末） 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
因为，
所以，
故选：D.
【分析】首先利用二倍角公式，结合诱导公式，进行化简，从而求出正弦值.
5．（2023高二下·衢州期末） 函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．和
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】由题意设，，
所以t在和上单调递减，在和上单调递增，
因为在上单调递减，
所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，
故选：C.
【分析】首先分析二次函数的单调性，结合对数函数的单调性，从而可知复合函数的单调性.
6．（2023高二下·衢州期末） 已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为，
所以，
因为，
所以，
所以公差，
结合，所以，
又因为，
所以前n项积，
所以，
当时，，
又因为，，且是等差数列，
所以，，，
所以当时，n最大整数为21，
故选：B.
【分析】首先根据等差数列前n项和的大小，得到公差，同时求出、，再结合数列前n项积，得到n最大值.
7．（2023高二下·衢州期末） 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A． B．
C． D．若，则周期为
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】A选项：
取，得到，
所以或，
所以A选项错误
B选项：
当时，取，
得到，
所以，所以既是奇函数也是偶函数，
所以成立
当时，取，
得到，所以是偶函数，
所以成立
所以B选项正确，
C选项：
取，得到，
所以可见，
所以C选项正确，
D选项：
取，得到，
所以，
所以，
，
，
，
，
，
所以周期，
所以D选项正确，
故选：A.
【分析】利用取特殊值法，得到值，可知A选项错误，再结合奇偶性，周期性得到B、C、D选项正确.
8．（2023高二下·衢州期末） 衣柜里有5副不同颜色的手套，从中随机选4只，在取出两只是同一副的条件下，取出另外两只不是同一副的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】由题意可知5幅不同颜色手套，共10只，
在取出两只是同一副的条件下，取出另外两只不是同一副的概率，可知是条件概率，
设从中随机选4只，其中有两只是同一副为事件A，
从中随机选4只，其中有两只不是同一副为事件B：，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】分别设出两个随机事件为A、B，求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，最终求得概率值.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023高二下·衢州期末） 给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若样本数据的期望为3、方差为6，则数据的期望为5、方差为11
B．假设经验回归方程为，则当时，的预测值为
C．随机变量服从正态分布，若，则
D．甲同学所在的某校高三共有5000人，按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本.则甲被抽到的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】简单随机抽样；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差；正态分布定义
【解析】【解答】A选项：因为样本数据的期望为3、方差为6，所以数据的期望为，方差为，
所以A选项错误，
B选项：
因为，
所以y的预测值为，
所以B选项正确，
C选项：由题意可知均值，
所以根据正态分布图像可知， ，
所以，
所以C选项正确，
D选项：
，
所以D选项正确，
故选：BCD.
【分析】根据期望和方差的性质，可知A选项错误；把x值代入回归方程，得到y的预测值，B选项正确；根据正态分布的图像性质，可知概率，C选项正确；由简单随机抽样概率均等，可知甲被抽到的概率.
10．（2023高二下·衢州期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．当椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．对任意点都有
D．的最小值为2
【答案】A,B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据题意知，长轴长为4，
所以，
所以离心率，
又因为点在椭圆外，
所以
所以，
所以，
所以A选项正确，
当离心率时，
所以，
又因为，
所以，
所以B正确，
当点Q位置在时，，
所以C选项错误，
，
所以D选项错误，
故选：AB.
【分析】利用椭圆的性质，结合题意得到b的范围，根据离心率表达式，得到离心率范围，A正确；根据离心率求得b值，求得椭圆上一点到焦点的距离范围，B正确；取特殊值验证可知C错误；利用基本不等式，求出最小值.
11．（2023高二下·衢州期末） 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
B．关于的方程有8个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图像与轴围成图形的面积为6
【答案】A,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数有四个零点，
所以两个图像有四个交点，
由函数得到如下图像，
从图像可知，，
所以斜率k的取值范围为，
所以A正确，
当时，若k取值5，
那么与只有1个交点，
所以B选项错误，
取特殊值：，
所以，
所以C选项错误，
当时，与x轴围成的面积为，
所以D选项正确，
故选：AD.
【分析】结合分段函数表达式，画出函数图象，利用函数图象求交点，再结合斜率与点坐标关系，求得K值范围；再利用取特殊值法，验证BC选项错误；再根据函数图象，求得函数与x轴所围成面积.
12．（2023高二下·衢州期末）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，点在棱上且，点是所在平面内的动点，点是所在平面内的动点，且点到直线的距离与到点的距离相等，则（ ）
A．平面
B．若二面角的余弦值为，则点到平面的距离为
C．若，则动点的轨迹长度为
D．若，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两条直线垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】作图如下：
A选项：
作，
因为平面平面，且，
所以得到，
所以，
由题意知，，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以A选项正确，
B选项：
作，证出，
因为二面角的余弦值为，
所以，
设，，
利用余弦定理求，，
在三角形PAC中PC的高为，
即为点A到平面的距离为，
所以B选项错误，
C选项：
设，
利用体积公式可知，，
所以
所以点E到平面的距离为，
又因为点F是内动点，
且，
可知点F轨迹为一个圆，
半径，
所以轨迹为，
所以C选项正确，
D选项：
如图建立空间直角坐标系，
取中点为M，取中点为Q，
，
所以，
所以抛物线方程为：，
设G坐标为，
A坐标为，
所以，
利用一元二次函数单调性，可知最小值为，
所以D选项正确，
故选： ACD
【分析】结合题意，结合所给条件，利用线线垂直，证出线面垂直；通过线线垂直，构造二面角，结合余弦定理，从而的东西奥点到平面距离；根据体积公式，求出动点轨迹；构造空间直角坐标系，结合抛物线方程，利用一元二次函数求出最值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023高二下·衢州期末） 在的展开式中，各项系数的和是 .
【答案】1
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】设，二项展开式的各项系数之和，
故答案为：1.
【分析】设二项式中所有变量都等于1，则计算出来的结果，就等于二项展开式的各项系数之和.
14．（2023高二下·衢州期末） 88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为 ．
【答案】880
【知识点】等比数列的性质；等比数列的实际应用
【解析】【解答】由题意知，递增的等比数列，
所以设，
因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：880.
【分析】根据题意可知是等比数列，利用等比数列通项公式，求出公比，从而得到第61项数值.
15．（2023高二下·衢州期末）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，，与相交于点，且，则的面积为 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用；相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意画图，如下：
由题意知，，
所以F是MN中点，
所以，
设T坐标为，
因为，且，
所以，
又因为，
所以，
，
又因为P是抛物线上一点，
所以，
所以，
所以点P坐标为，
所以的高为，
所以，
又因为与等高，
所以.
故答案为：.
【分析】首先根据题意绘图，对向量化简，得到向量之间关系式，再结合相似三角形的性质，求得QP长度，从而得到点P坐标，最后求得三角形面积.
16．（2023高二下·衢州期末） 原有一块棱长为的正四面体石材，在搬运的过程有所损伤，剩下了一块所有棱长均为的八面体石材（如图），现将此八面体石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积与该八面体石材外接球的表面积之比为 .
【答案】3：11
【知识点】球面距离及相关计算；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】将正四面体补全，
由题意知棱长为，
所以底面的高为，
求得正四面体的高，
设内接球半径为R，
所以，，，
因为，
所以，
又因为，
所以利用相似可得到平面到平面距离为，
所以O到平面距离为，
由因为，
所以外界球半径，
所以内接球与外接球表面积之比为：.
故答案为：3：11.
【分析】首先将八面体补全为正四面体，由正四面体的性质，可求得底面三角形的高，结合相似性质，进一步求出内接球的半径，然后利用勾股定理得到外接球的半径，从而得到表面积之比.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二下·衢州期末） 近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查了、两地区的200名观众，得到如下所示的2×2列联表.
非常喜欢 喜欢 合计
60 30
合计
若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众中抽取8名.
附：，其中.
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.
（2）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的数学期望.
【答案】（1）解：依题意，B区为“非常喜欢”的观众人数为，
表格补充完整如下
非常喜欢 喜欢 合计
60 30 90
80 30 110
合计 140 60 200
零假设为：观众喜爱程度与所在地区无关.
所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．
（2）解：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率
从A地区随机抽取3人，则，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以．
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)根据分层抽样，计算出B区“非常喜欢”的观众人数，从而求出B区“喜欢”的观众人数，完成列表，再结合卡方检验，求两个变量的独立性.
(2)首先列出A区“非常喜欢”人数所有可能取值，依次求出概率，最后再结合离散随机变量分布列的期望公式，求出期望值.
18．（2023高二下·衢州期末） 已知数列满足：，对任意且时，其中表示不超过的最大整数.
（1）求；
（2）设，求数列的前项.
【答案】（1）解：当为偶数时，
故
（2）解：由题可得，又，故，
，
【知识点】等比数列的前n项和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意知是分段数列，结合第一问可知2n是偶数，得到表达式，结合裂项消除，求得通项公式.
(2)由(1)得到通项公式，代入，结合裂项消元以及等比数列求和公式，化简得到通项公式.
19．（2023高二下·衢州期末）在中，角，，所对的边为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求.
【答案】（1）解：因为，
所以
所以，则
所以或（舍），又因为，即
（2）解：由及可得，
由正弦定理可得：，又，
所以，
故，所以，
由于，所以，则或，
当时，，则，
综合，或.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式，代入整理，再结合两角差公式，进行转换化简，可以得到∠A值.
(2)根据题目所给条件，首先将c代入等式，由正弦定理，将所有边转化为三角值，再由三角形内角和为180°，将∠B转换为∠A和∠C的关系式，代入化简，最后得到∠C正弦值.
20．（2023高二下·衢州期末）如图，在正三棱台中，，，过棱的截面与棱，分别交于、.
（1）记几何体和正三棱台体积分别为，，若，求的长度；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：∵三棱台是正三棱台，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，
若，则，几何体是三棱柱，记，，
此时，不满足题意，舍去；
因此，设与交于点，与交于点，则
因为，即交于同一点，
∴几何体是三棱台
∵，∴，∴.
（2）解：如图，延长，，交于点，作中点，连接，，
∵，，平面∴平面，
过作交于，则，
∵平面∴平面，
∴即直线与平面所成的角，
∵，，，
∴在中，由余弦定理可得，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据正三棱台，得到线面平行，再由线面平行的性质，推导出线线平行，然后根据题目所给体积之比，化简得到EF值.
(2)首先根据题目所给条件，得到一组线面垂直，再由线面垂直的性质，得到线线垂直，然后证出另外一组线面垂直，从而找到所求直线与平面夹角，结合余弦定理，求出夹角余弦值，最后得到正弦值.
21．（2023高二下·衢州期末） 已知函数
（1）若过点作函数的切线有且仅有两条，求的值；
（2）若对于任意，直线与曲线都有唯一交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设过点作函数切线的切点为，
因为，所以切线方程为，即，
又因为切线过点，所以.
令，则，
所以，，递减；
，，递增；
，，递减.
当时，取极小值；当时，取极小值，
，时；时，
根据以上信息作出的大致图象，
由题意，直线与的图象有且仅有两个交点，
所以.
（2）解：由题可得有唯一解，即有唯一解．
令，
若，则与题设，矛盾，故.
又因为，；，，
结合题意可得在上单调递增，
即，所以，
结合（1）可得，所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)首先设出切点坐标，对函数求导，得到切线斜率，进一步得到切线方程表达式，代入切线所过点坐标，代入得到m的表达式，再设出m的表达式，对其求导，利用一次导数的正负性，得到函数单调性，从而得到函数值域，结合函数图象，图像刚好有两个交点，得到m值.
(2)由题意知，直线和曲线有唯一交点，利用导数，得到单调性，求出函数的最大值，从而得到b的取值范围.
22．（2023高二下·衢州期末） 已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，
（1）若点恰为的中点，求直线的斜率；
（2）记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，设，，
由，得，即，即
其中，，
所以，又，故；
（2）解：如图，
设，，，
由
得，又，故，
从而，同理有，
另一方面，，
设，由得
，
故，代入上式有
，
由直线交双曲线于两支可知，令，
故，当且仅当时，即时，取等号，
即.
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据双曲线方程，设出直线与曲线图像交点坐标，联立方程组，化简，得到直线AB与直线OP斜率之积，再结合直线OP的斜率，从而求得直线AB斜率值.
(2)由题意知，直线AF经过双曲线的焦点，设出AF的直线方程以及点D和点E坐标，联立方程组，结合韦达定理，得到点D的纵坐标，同理得到点E的纵坐标，结合三角形面积值之比关系式，再次结合韦达定理的性质，代入化简表达式，得到最终面积比的取值范围.
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