广东省湛江重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高三上·湛江开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·广东月考）已知复数，则=（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2023高三上·湛江开学考）在中，是边的中点，是的中点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·湛江开学考）已知函数，则的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·湛江开学考）设公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·湛江开学考）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·湛江开学考）已知为钝角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·湛江开学考）已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高三上·湛江开学考）一组数据：，，，，，，，则（ ）
A．这组数据的平均数为 B．这组数据的方差为
C．这组数据的极差为 D．这组数据的第百分位数为
10．（2023高三上·湛江开学考）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有两个零点
C．恒成立 D．恒成立
11．（2023高三上·湛江开学考）已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．当时，
C．当且时， D．当时，的最小值为
12．（2023高三上·湛江开学考）九章算术里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．此鳖臑的体积的最大值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥的内切球的半径为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高三上·湛江开学考）二项式的展开式中含的系数为 ．
14．（2023高三上·湛江开学考）小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为 ．
15．（2023高三上·湛江开学考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
16．（2023高三上·湛江开学考）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点，满足，的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高三上·湛江开学考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的值；
（2）若，求角，的大小．
18．（2023高三上·湛江开学考）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（2023高三上·湛江开学考）如图，直三棱柱中，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，为上一点，且，求二面角的余弦值．
20．（2023高三上·湛江开学考） 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三个班级每个班随机抽取名同学进行问卷，统计数据如下表：
课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时
名以前
名以后
（1）求的值；
（2）依据上表，根据小概率值的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；
（3）学校在成绩名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中课余学习时间超过两小时的学生人数为，求的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．
21．（2023高三上·潮安）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
22．（2023高三上·湛江开学考）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解： ，即，解得， ， ，解得， ， .
故答案为：C.
【分析】先分别求出 ，再利用并集的定义求.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算，求出z，即可得到。
3．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解： 是边的中点，，又 是的中点， ， ， ， .
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的加法和平行四边形法则求解.
4．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令 ，，在单调递增，在单调递减单调递增， 在单调递减单调递增 .
故答案为：A.
【分析】根据复合函数单调性求 的增区间 .
5．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：为等差数列，，，
，即化简得，
故答案为：D.
【分析】利用等差中项得，，再根据等差数列通项和 得，进而求解.
6．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得 ，点 在垂直平方线上，，即， ，解得 .
故答案为：A.
【分析】由题意得 ，所以点 在垂直平方线上，进而求解.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解： 为钝角，，
由 ，得，，求得，
，
故答案为：D.
【分析】结合三角函数二倍角公式和正切的两角和公式求解.
8．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：， 关于对称，当时，，化简得，又，时，取最小值为.
故答案为：A.
【分析】由 得函数 关于对称，再根据正弦函数的对称性求 的最小值.
9．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、这组数据的平均数为：，A正确；
B、这组数据的方差为：，B错误；
C、这组数据的极差为：，C错误；
D、，第70百分位数是第5个数7，D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数判断选项.
10．【答案】A,D
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意得 定义域为， ，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，C错误；
又，，存在，使得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
A、当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，A正确；
BD、 ，设 ，当时，恒成立，设 ，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，只有一个零点，恒成立，只有一个零点，B错误，D正确.
故答案为：AD.
【分析】对函数 求导，通过分析导数正负和单调性，得到函数单调性，进而判断选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：A、由题意知圆的圆心坐标为 ，A正确；
B、当 时，，由，即，解得 ，B正确；
C、 且 ，.
即，解得或，C错误；
D、，圆的直径为2，为圆的直径，
，即，
当时，最小为6，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A根据圆的方程得出圆心坐标；B根据两圆的位置关系求m的取值范围；C利用勾股定理和两点间距离公式求解；D由 知为圆的直径，进而求解.
12．【答案】B,C
【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：AB、由题意得鳖臑，可补形成以为体对角线的长方体，的外接球半径为，，
又外接球的表面积为，，求得，，
当且仅当时，取得 最大 值 ，A错误，B正确；
C、由题意知平面 ，直线与平面所成的角即为，，C正确；
D、由B知，
设三棱锥的内切球半径为，则，
又，，求得，D错误.
故答案为：BC.
【分析】AB、由题知为外接直径，先根据球的体积公式求出半径，再根据得到，利用三棱锥体积公式和基本不等式求体积取得最大时取值和体积最大值；C由平面 ，得直线与平面所成的角即为，进而求解，D利用等体积法求内切球的半径.
13．【答案】10
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解： 的展开式通项为，令，得，含的系数为.
故答案为：10.
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，进而求的系数.
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：记事件A：这道题被做出来，
则，.
故答案为： .
【分析】利用对立事件求解.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：由题意得 在上恒成立，，，令，
当时，，令，
又，在单调递增，，符合题意，
当时，，存在，使得，当时，，不符合题意， .
故答案为： .
【分析】对 求导，令在上恒成立，进而求解实数的取值范围.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】解：设三角形 内切圆半径为，与，y轴切点分别为，，，N，，
由三角形内切圆性质知，
又 ，圆与轴相切
根据圆的切线性质知，
由双曲线定义知，，
得，，即，化简得，，解得.
故答案为： .
【分析】根据三角形内切圆性质知，双曲线定义知，进而求得，，再利用勾股定理求解.
17．【答案】（1）解：因为，，，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，所以，
由余弦定理可得：，
所以，即，
所以，
因为，
可得，
所以
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)结合条件利用余弦定理求的值 ；
(2)由结合余弦定理得到 ，进而求解.
18．【答案】（1）解：由，得，
又，是以为首项，为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为．
（2）解：由知，，
则，
得，
得
，
故．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)由条件化简得即 是等比数列，进而求数列的通项；
(2)由知，，结合错位相减和等比数列 前项和公式求 数列的前项和.
19．【答案】（1）证明：过作于，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，且平面，
所以，
在直三棱柱中，平面，且平面，
所以，
由可知，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
，，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 过作于，根据面面垂直性质定理得平面，进而通过证明 和得到 平面，所以；
(2) 以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 利用空间向量求二面角的余弦值．
20．【答案】（1）解：由题意可得高三个班级共抽取名，
所以，得；
（2）解：利用列联表可得，
则在犯错误概率不超过的情况下，认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）解：这人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为，
的取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：
．
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据列联表列等式计求解；
(2)根据列联表计算 ，再参照与临界值表作答；
(3)先求出课余学习时间超过两小时的人数，再写出 的取值，并求对应的概率列出分布列，求数学期望.
21．【答案】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得，， 则， 即可求得椭圆的方程；
（2） 由直线的方程为，由点到直线的距离公式得， 联立方程组， 整理可得， 根据，得到，结合弦长公式求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
22．【答案】（1）解：，，
设，，
在上为单调递增函数，
，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
时，取得最小值，；
（2）证明：要证，只需证，
即证，令，则，
当时，令，则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又，
存在，使得，
由，
得，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
令，
则，
在上单调递增，，
，，
即．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 对 求导，再对 求导，通过的正负性 ，判断 的增减性，进而求 的最小值；
(2) 分析得只要证明，进而利用导数分析证明 即可.
1 / 1广东省湛江重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高三上·湛江开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解： ，即，解得， ， ，解得， ， .
故答案为：C.
【分析】先分别求出 ，再利用并集的定义求.
2．（2023高三上·广东月考）已知复数，则=（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算，求出z，即可得到。
3．（2023高三上·湛江开学考）在中，是边的中点，是的中点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解： 是边的中点，，又 是的中点， ， ， ， .
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的加法和平行四边形法则求解.
4．（2023高三上·湛江开学考）已知函数，则的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令 ，，在单调递增，在单调递减单调递增， 在单调递减单调递增 .
故答案为：A.
【分析】根据复合函数单调性求 的增区间 .
5．（2023高三上·湛江开学考）设公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：为等差数列，，，
，即化简得，
故答案为：D.
【分析】利用等差中项得，，再根据等差数列通项和 得，进而求解.
6．（2023高三上·湛江开学考）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得 ，点 在垂直平方线上，，即， ，解得 .
故答案为：A.
【分析】由题意得 ，所以点 在垂直平方线上，进而求解.
7．（2023高三上·湛江开学考）已知为钝角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解： 为钝角，，
由 ，得，，求得，
，
故答案为：D.
【分析】结合三角函数二倍角公式和正切的两角和公式求解.
8．（2023高三上·湛江开学考）已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：， 关于对称，当时，，化简得，又，时，取最小值为.
故答案为：A.
【分析】由 得函数 关于对称，再根据正弦函数的对称性求 的最小值.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高三上·湛江开学考）一组数据：，，，，，，，则（ ）
A．这组数据的平均数为 B．这组数据的方差为
C．这组数据的极差为 D．这组数据的第百分位数为
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、这组数据的平均数为：，A正确；
B、这组数据的方差为：，B错误；
C、这组数据的极差为：，C错误；
D、，第70百分位数是第5个数7，D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数判断选项.
10．（2023高三上·湛江开学考）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有两个零点
C．恒成立 D．恒成立
【答案】A,D
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意得 定义域为， ，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，C错误；
又，，存在，使得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
A、当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，A正确；
BD、 ，设 ，当时，恒成立，设 ，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，只有一个零点，恒成立，只有一个零点，B错误，D正确.
故答案为：AD.
【分析】对函数 求导，通过分析导数正负和单调性，得到函数单调性，进而判断选项.
11．（2023高三上·湛江开学考）已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．当时，
C．当且时， D．当时，的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：A、由题意知圆的圆心坐标为 ，A正确；
B、当 时，，由，即，解得 ，B正确；
C、 且 ，.
即，解得或，C错误；
D、，圆的直径为2，为圆的直径，
，即，
当时，最小为6，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A根据圆的方程得出圆心坐标；B根据两圆的位置关系求m的取值范围；C利用勾股定理和两点间距离公式求解；D由 知为圆的直径，进而求解.
12．（2023高三上·湛江开学考）九章算术里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．此鳖臑的体积的最大值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥的内切球的半径为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：AB、由题意得鳖臑，可补形成以为体对角线的长方体，的外接球半径为，，
又外接球的表面积为，，求得，，
当且仅当时，取得 最大 值 ，A错误，B正确；
C、由题意知平面 ，直线与平面所成的角即为，，C正确；
D、由B知，
设三棱锥的内切球半径为，则，
又，，求得，D错误.
故答案为：BC.
【分析】AB、由题知为外接直径，先根据球的体积公式求出半径，再根据得到，利用三棱锥体积公式和基本不等式求体积取得最大时取值和体积最大值；C由平面 ，得直线与平面所成的角即为，进而求解，D利用等体积法求内切球的半径.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高三上·湛江开学考）二项式的展开式中含的系数为 ．
【答案】10
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解： 的展开式通项为，令，得，含的系数为.
故答案为：10.
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，进而求的系数.
14．（2023高三上·湛江开学考）小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：记事件A：这道题被做出来，
则，.
故答案为： .
【分析】利用对立事件求解.
15．（2023高三上·湛江开学考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【解答】解：由题意得 在上恒成立，，，令，
当时，，令，
又，在单调递增，，符合题意，
当时，，存在，使得，当时，，不符合题意， .
故答案为： .
【分析】对 求导，令在上恒成立，进而求解实数的取值范围.
16．（2023高三上·湛江开学考）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点，满足，的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】解：设三角形 内切圆半径为，与，y轴切点分别为，，，N，，
由三角形内切圆性质知，
又 ，圆与轴相切
根据圆的切线性质知，
由双曲线定义知，，
得，，即，化简得，，解得.
故答案为： .
【分析】根据三角形内切圆性质知，双曲线定义知，进而求得，，再利用勾股定理求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高三上·湛江开学考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的值；
（2）若，求角，的大小．
【答案】（1）解：因为，，，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，所以，
由余弦定理可得：，
所以，即，
所以，
因为，
可得，
所以
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)结合条件利用余弦定理求的值 ；
(2)由结合余弦定理得到 ，进而求解.
18．（2023高三上·湛江开学考）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：由，得，
又，是以为首项，为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为．
（2）解：由知，，
则，
得，
得
，
故．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)由条件化简得即 是等比数列，进而求数列的通项；
(2)由知，，结合错位相减和等比数列 前项和公式求 数列的前项和.
19．（2023高三上·湛江开学考）如图，直三棱柱中，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，为上一点，且，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：过作于，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，且平面，
所以，
在直三棱柱中，平面，且平面，
所以，
由可知，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
，，
二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 过作于，根据面面垂直性质定理得平面，进而通过证明 和得到 平面，所以；
(2) 以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 利用空间向量求二面角的余弦值．
20．（2023高三上·湛江开学考） 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三个班级每个班随机抽取名同学进行问卷，统计数据如下表：
课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时
名以前
名以后
（1）求的值；
（2）依据上表，根据小概率值的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；
（3）学校在成绩名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中课余学习时间超过两小时的学生人数为，求的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．
【答案】（1）解：由题意可得高三个班级共抽取名，
所以，得；
（2）解：利用列联表可得，
则在犯错误概率不超过的情况下，认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）解：这人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为，
的取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：
．
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据列联表列等式计求解；
(2)根据列联表计算 ，再参照与临界值表作答；
(3)先求出课余学习时间超过两小时的人数，再写出 的取值，并求对应的概率列出分布列，求数学期望.
21．（2023高三上·潮安）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得，， 则， 即可求得椭圆的方程；
（2） 由直线的方程为，由点到直线的距离公式得， 联立方程组， 整理可得， 根据，得到，结合弦长公式求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
22．（2023高三上·湛江开学考）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，，
设，，
在上为单调递增函数，
，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
时，取得最小值，；
（2）证明：要证，只需证，
即证，令，则，
当时，令，则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又，
存在，使得，
由，
得，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
令，
则，
在上单调递增，，
，，
即．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 对 求导，再对 求导，通过的正负性 ，判断 的增减性，进而求 的最小值；
(2) 分析得只要证明，进而利用导数分析证明 即可.
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