广西南宁市武鸣区2023-2024学年高三上册数学开学调研测试试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2023高三上·武鸣开学考）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
2．（2023高三上·武鸣开学考）已知复数满足（i是虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·武鸣开学考）记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．4 B．24 C．30 D．32
4．（2023高三上·武鸣开学考）如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼高度约为（ ）
A．91m B．74m C．64m D．52m
5．（2023高三上·武鸣开学考）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·武鸣开学考）已知函数，则（ ）
A．
B．函数有一个零点
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于点对称
7．（2023高三上·武鸣开学考）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高三上·武鸣开学考）武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
二、选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023高三上·武鸣开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·武鸣开学考）下列命题为真命题的有（ ）
A．若随机变量的方差为，则
B．已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为
C．若随机变量，且，则
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关
11．（2023高三上·武鸣开学考）已知O为坐标原点，抛物线C：的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则（ ）
A．若，则 B．若，则直线l的斜率为1
C． D．面积的最小值为2
12．（2023高三上·武鸣开学考）点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．sinα=cos
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2023高三上·武鸣开学考）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
14．（2023高三上·武鸣开学考）已知向量，，且．则的值为 .
15．（2023高三上·武鸣开学考）已知两城市的距离是，根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是6元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 （精确到，参考数据）
16．（2023高三上·武鸣开学考）已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（共6小题，其中17题10分，其他题12分，满分70分）
17．（2023高三上·武鸣开学考）公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.
18．（2023高三上·武鸣开学考）某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 30 70
女性 35 15 50
合计 75 45 120
根据上述信息，解决下列问题：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
（2）从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
19．（2023高三上·武鸣开学考）已知在四棱锥中，，，，，E为CD的中点.
（1）证明：平面平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值.
20．（2023高三上·武鸣开学考）某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障．此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该维护人员无法对其他设备进行维护．工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到维护人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．
（1）若安排1名维护人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；
（2）设该工厂有甲、乙两个车间．甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2名维护人员，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2名维护人员共同负责维护．若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低．
21．（2023高三上·武鸣开学考）已知双曲线E：的离心率为，点在双曲线E上.
（1）求E的方程；
（2）过点的直线l与双曲线E交于A，B两点（异于点P）.设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，判断：P，M，N三点是否共线？并说明理由.
22．（2023高三上·武鸣开学考）设函数，其中.
（1）讨论函数在上的极值；
（2）若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.
南宁市武鸣区2023-2024学年高三上学期开学调研测试
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得，
集合，
集合或；
故.
故答案为：B.
【分析】先对集合A，B进行化简，再根据集合的交集的概念运算即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意得，复数满足，
所以；
所以 的虚部是.
故答案为：D.
【分析】根据复数的除法运算并化简即可得到复数的代数形式，从而可得 的虚部 .
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为 ，
因为，，
则有，
解得，
所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，从而可得通项公式，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
在 ，
在 中， ，
则；
在 中， 由正弦定理得，
所以 ，化简计算得
在 中，
故答案为：B.
【分析】数形结合，根据图形以及题意先求出AC，的值，再用正弦定理即可得出，从而得出结论.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得，椭圆的左、右顶点分别为，，
直线 可化简为：，
以线段 为直径的圆与直线 相切， 即与直线 相切，
所以原点到直线的距离 ， 化为：
所以椭圆 C 的离心率.
故答案为：A.
【分析】直线与圆相切可转化为求点到直线的距离计算，化简即可.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由题意得，
函数 的定义域为R，
对于A选项 ，函数，
令，则函数 在 R上为增函数，易得在 R上为减函数，
则在 R上为增函数，故在 R上为增函数，
则有 ，故 A错误；
对于 B选项 ， ，有 ，则有 ，
所以没有零点，故 B错误；
对于C选项， ，
所以 ，不是偶函数， 故C错误；
对于D选项，因为，
所以，
所以 ，
所以函数的图象关于点 对称，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据函数的单调性、奇偶性以及对称性等性质对各个选项进行化简运算即可判断.
7．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意得，
因为是定义在 R 上的奇函数， 且当 时，，
所以当时，，
所以，
故在R上单调递增，
又因为，而，即；
所以
对任意的，有不等式恒成立，
所以
因为，取最大值为，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性即可求出函数的解析式，再根据题干条件恒成立，可得，利用分离参数法，再求出时，取得最大值即可得出 的取值范围 .
8．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
先从 5 天中选 3 天排太极拳， 有 种，
然后再从所选的 3 天中选一节排太极拳有种，
所以太极拳有=80种排法，
从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次， 分三种情况如下：
①若五天中有 1 天既有太极拳又有形意拳，则哪一天重复有 种，
再从另外不重复的 2 天中每天选 1 天排形意拳，有种，
再从剩下的 4 节课中选 2 节排长拳， 有 种，则另外 2 节排兵器，
所以有=72种，
②若五天中有 2 天既有太极拳又有形意拳，则哪两天重复有 种，
再从另外不重复的 2 天中排形意拳， 有种，
再从剩下的 4 节课中抽 2 节课排长拳， 有 种， 则另外 2 节排兵器，
但排在同一天不合适， 所以有种，
所以共有 =48种，
③若五天中有 3 天既有太极拳又有形意拳，
则剩下的 4 节课中选 2 节排长拳， 有种， 再去掉排同一天的 种，
所以有 =4种，
综上所述，共有种.
故答案为：D.
【分析】理解题意，先求出从5天中选3天排太极拳的排法，再分三种情况讨论：五天中有3天既有太极拳又有形意拳、五天中有2天既有太极拳又有形意拳、五天中有1天既有太极拳又有形意拳，计算可得出结论.
9．【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，
需要 ，因为不能满足， 故A选项错误；
由指数函数的性质， 在R上单调递增，当时， 有， 故B选项正确；
由幂函数 的性质， 当 时， 有， 即， 故C选项正确；
当 时， 满足， 但不成立， 故D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】由指数函数、对数函数和幂函数的性质，以及不等式的性质，和特殊值法判断各个选项不等式是否成立即可.
10．【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；正态分布定义
【解析】【解答】解：由题意得，
对于 A， 因为的方差为，所以， 故A 错误；
对于 B， 由关于的回归直线方程为， 得样本点 (2，-3) ，
则残差为， 故B正确；
对于 C， 由题意知，随机变量，且，
则有
所以，故C 正确；
对于D，因为，
所以有的把握认为与有无关，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】利用方差性质、回归方程、独立性检验、残差公式以及正态分布的对称性对各个选项进行运算判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】
【解答】解：由题意得，
因为抛物线的准线方程为 x=-1， 故 ，
所以抛物线方程为， 焦点为 F(1，0)，
设 ，
对于 A，，
将代入抛物线方程得 ，
所以， 故 A 正确；
对于 B，|AB|=8，则 ，
当直线 AB 为 x=1 时， |AB|=4，
故可判断 |AB|=8 时， 直线 l 的斜率存在且不等于0.
设直线 l 的方程为 y=k(x-1)， 联立 可得：
由韦达定理可得，，解得，满足， 故 B 错误；
对于 C， 由 B 的分析可知，
当直线 AB 为 x=1 时， 也有成立；
故，
当且仅当 即时， 取得等号， 故 C 正确；
对于 D， 不妨设 A 点在第一象限， 则
故的面积
所以.
当且仅当 时等号成立， 即 面积的最小值为 2 ， 故 D 正确，
故答案为：ACD.
【分析】利用抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、再结合基本不等式求最值对各个选项进行逐一运算判断即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
对于 A， 因为为球 O 的直径， B 为球 O 上一点，，
又平面，
所以 平面， 故A正确；
对于 B， 因为为球 O 的直径， A 为球 O 上一点，直径所对的圆周角为直角，
所以，
由B选项分析可知： 平面， 又平面， 所以
因为平面 ，所以 平面 ，
又平面 ，所以平面 平面 ， 故B 正确；
对于 C，结合图形，可得：，
，
则四面体的表面积，
所以四面体内切球半径， 故C 错误.
对于 D， 取 中点 ， 连接，
分别为 中点，
分别为中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ， ；
因为球 O 的表面积为 ， 所以，解得，
又
又，
为等边三角形， ，
则为AC中点，
又平面平面 ， 平面 平面平面 ，
平面 ， ，
故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直判定可判断 A ； 由线面垂直和面面垂直的判定可判断 B ；利用体积可求得， 再由表面积公式可判断C； 根据平行关系和异面直线所成角定义可知， 由面面垂直性质和线面角定义可知 ， 由长度关系可判断D.
13．【答案】80
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意得，
二项式的展开式通项为
令，
则 的系数为 .
故答案为： 80 .
【分析】先求出展开式通项，再令即可确定时， 的系数.
14．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由题意得，
因为向量，， 且 ，
所以有，即 ，
即， 化简为，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以 .
故答案为： . 【分析】利用向量共线的坐标公式以及二倍角公式化简即可.
15．【答案】57
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，
设速度为，行车的总费用为y，
则有
当且仅当 ， 即 时， 等号成立，故为了这次行车的总费用最少，
那么最经济的车速是 .
故答案为： 57 .
【分析】根据题意列出等式，再结合基本不等式的公式，求出最小值时的车速即可求解.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】结合题意可得，
函数关于 x 轴对称的函数为 ，
因为 的图象与 的图象在 上恰有两对关于 x 轴对称的点，
所以方程在上恰有两个不相等的实根，
即 ，
即 ，
即，
所以 在上恰有两个不相等的实根，
令， 则 ，
所以函数 在上单调递增，
所以， 即 ，，
故原问题等价于与 在 上恰有两个不同的交点，
令 ， 则
当时， ， 当 x>2时， ，
所以函数 在上单调递减， 在 上单调递增，
又，，当 时， ，
如图， 作出函数在 上的大致图象，
要使函数 与 在 上恰有两个不同的交点，只要 ，因为 ， 所以 ，所以实数的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】先求出关于 x 轴对称的函数为 ，与在上恰有两对关于轴对称的点，可等价于在上恰有两个不相等的实根，化简可在上恰有两个不相等的实根， 可得 ， 则原问题等价于与 在 上恰有两个不同的交点， 令 ， 利用导数求单调区间， 作出函数大致图象， 结合图象即可得解.
17．【答案】（1）解：由，得．又∵成等比数列，
∴，即，解得或（舍去），∴，故．
（2）解：由题意，所以，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】 (1) 运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差和首项即可得到；
(2) 由等比数列的通项公式可得，即，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可得出答案.
18．【答案】（1）解：由题意得，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；
（2）解：由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，故X的取值可能为0，1，2，则，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
故
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据列联表，计算卡方的值，与临界值表比较即可得结论；
(2)先确定随机抽取6人中男性和女性的人数，进而确定随机变量X的可能取值0，1，2，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.
19．【答案】（1）解：平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下：
在△中，故，即，所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故，因为，且，面，所以面，由面，故面面.
（2）解：平面，是二面角的平面角，过点作，分别与，相交于，，连接，由（1）知平面，为直线与平面所成的角，且，由，则，由，则，
又，且面，则面，而面，
所以，结合，，且面，
所以面，则为直线与平面所成的角，
由题意知，，
因为知，，又，是平行四边形，，，因为，，，
于是，所以，又，，，所以，
因为，面，面，则，则，即，
因为为中点，则，又因为，且平面，平面，
则二面角的正切值即为，则，
所以二面角的正弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1) 由已知可得， 即有 ， 再由线面垂直的判定证明平面，再根据面面垂直的判定即可得结论.
(2)作出辅助线，结合图形，为直线与平面所成的角， 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等， 得到边的关系， 最后得到二面角的平面角为，则利用其正切值即可求得正弦值，从而得出结论.
20．【答案】（1）解：3台设备自动模式不出故障的台数记为ξ，则ξ～B.记“1名维护人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝2)＝＝＋＝.
（2）解：甲车间将6台设备平均分配给2名维护人员，即甲车间分成了两个小组，则甲车间分成的两个小组相互独立，由(1)知每个小组能保证设备顺利运行至工作时段结束的概率为，记“甲车间所有设备顺利运行至工作时段结束”为事件B，则P(B)＝＝＝.
乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为η，则η～B，
记“乙车间所有设备顺利运行至工作时段结束”为事件C，
则P(C)＝P(η＝7)＋P(η＝6)＋P(η＝5)＝
＝.
因为＝<1，所以P(B)
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】(1)可记3台设备自动模式不出故障的台数为ξ，则 ξ服从正态分布，ξ～B ，由此求解1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率即可；
(2)记乙车间7台设备自动模式不出故障的台数为η，则η服从正态分布，η～B ，再求出乙车间设备能顺利运行至工作时段结束的概率，然后用做商法比较大小即可比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低 .
21．【答案】（1）解：双曲线的离心率为，所以，即，，
将代入的方程可得，即，则，
故的方程为．
（2）解：依题意，可设直线，，．
与联立，整理得，
所以，，解得，且，
，，所以．（*）
又，所以的坐标为，
由可得，，
从而可得的纵坐标
，
将（*）式代入上式，得，即．
所以，，将（*）式代入上式，
得，又，直线MN与直线PM有公共点M，
所以P，M，N三点共线．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)通过离心率求得，再将代入E的方程可得，从而得出的方程；
(2)联立直线l和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点C坐标得出，最后结合可得直线MN的斜率为定值2，而直线PM的斜率也是2，从而得解.
22．【答案】（1）解：由知，
①当时，且有，，单调递增，故无极值；
②当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.
综上，当时，无极值；当时，极小值为，无极大值；
（2）解：由（1）可知当时，，，且，
由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得
，令，且，即，，
将其代入，整理可令得，
而，
①当时，且，有，单调递增，，满足题设；
②当时，且，有，单调递减，，不满足题设；
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)求出，对和这两种情况分别讨论，利用导数得到的单调性，进而可得在上的极值；
(2)结合(1)以及零点存在定理得，利用换元法令，且，再结合，整理可得，构造函数 ，对函数进行求导，分别讨论和两种情况，根据函数的单调性和最值即可得出结论.
1 / 1广西南宁市武鸣区2023-2024学年高三上册数学开学调研测试试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2023高三上·武鸣开学考）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得，
集合，
集合或；
故.
故答案为：B.
【分析】先对集合A，B进行化简，再根据集合的交集的概念运算即可.
2．（2023高三上·武鸣开学考）已知复数满足（i是虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意得，复数满足，
所以；
所以 的虚部是.
故答案为：D.
【分析】根据复数的除法运算并化简即可得到复数的代数形式，从而可得 的虚部 .
3．（2023高三上·武鸣开学考）记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．4 B．24 C．30 D．32
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为 ，
因为，，
则有，
解得，
所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，从而可得通项公式，即可求解.
4．（2023高三上·武鸣开学考）如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼高度约为（ ）
A．91m B．74m C．64m D．52m
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
在 ，
在 中， ，
则；
在 中， 由正弦定理得，
所以 ，化简计算得
在 中，
故答案为：B.
【分析】数形结合，根据图形以及题意先求出AC，的值，再用正弦定理即可得出，从而得出结论.
5．（2023高三上·武鸣开学考）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得，椭圆的左、右顶点分别为，，
直线 可化简为：，
以线段 为直径的圆与直线 相切， 即与直线 相切，
所以原点到直线的距离 ， 化为：
所以椭圆 C 的离心率.
故答案为：A.
【分析】直线与圆相切可转化为求点到直线的距离计算，化简即可.
6．（2023高三上·武鸣开学考）已知函数，则（ ）
A．
B．函数有一个零点
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由题意得，
函数 的定义域为R，
对于A选项 ，函数，
令，则函数 在 R上为增函数，易得在 R上为减函数，
则在 R上为增函数，故在 R上为增函数，
则有 ，故 A错误；
对于 B选项 ， ，有 ，则有 ，
所以没有零点，故 B错误；
对于C选项， ，
所以 ，不是偶函数， 故C错误；
对于D选项，因为，
所以，
所以 ，
所以函数的图象关于点 对称，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据函数的单调性、奇偶性以及对称性等性质对各个选项进行化简运算即可判断.
7．（2023高三上·武鸣开学考）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意得，
因为是定义在 R 上的奇函数， 且当 时，，
所以当时，，
所以，
故在R上单调递增，
又因为，而，即；
所以
对任意的，有不等式恒成立，
所以
因为，取最大值为，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性即可求出函数的解析式，再根据题干条件恒成立，可得，利用分离参数法，再求出时，取得最大值即可得出 的取值范围 .
8．（2023高三上·武鸣开学考）武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
先从 5 天中选 3 天排太极拳， 有 种，
然后再从所选的 3 天中选一节排太极拳有种，
所以太极拳有=80种排法，
从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次， 分三种情况如下：
①若五天中有 1 天既有太极拳又有形意拳，则哪一天重复有 种，
再从另外不重复的 2 天中每天选 1 天排形意拳，有种，
再从剩下的 4 节课中选 2 节排长拳， 有 种，则另外 2 节排兵器，
所以有=72种，
②若五天中有 2 天既有太极拳又有形意拳，则哪两天重复有 种，
再从另外不重复的 2 天中排形意拳， 有种，
再从剩下的 4 节课中抽 2 节课排长拳， 有 种， 则另外 2 节排兵器，
但排在同一天不合适， 所以有种，
所以共有 =48种，
③若五天中有 3 天既有太极拳又有形意拳，
则剩下的 4 节课中选 2 节排长拳， 有种， 再去掉排同一天的 种，
所以有 =4种，
综上所述，共有种.
故答案为：D.
【分析】理解题意，先求出从5天中选3天排太极拳的排法，再分三种情况讨论：五天中有3天既有太极拳又有形意拳、五天中有2天既有太极拳又有形意拳、五天中有1天既有太极拳又有形意拳，计算可得出结论.
二、选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023高三上·武鸣开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小；幂函数的图象与性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，
需要 ，因为不能满足， 故A选项错误；
由指数函数的性质， 在R上单调递增，当时， 有， 故B选项正确；
由幂函数 的性质， 当 时， 有， 即， 故C选项正确；
当 时， 满足， 但不成立， 故D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】由指数函数、对数函数和幂函数的性质，以及不等式的性质，和特殊值法判断各个选项不等式是否成立即可.
10．（2023高三上·武鸣开学考）下列命题为真命题的有（ ）
A．若随机变量的方差为，则
B．已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为
C．若随机变量，且，则
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关
【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；正态分布定义
【解析】【解答】解：由题意得，
对于 A， 因为的方差为，所以， 故A 错误；
对于 B， 由关于的回归直线方程为， 得样本点 (2，-3) ，
则残差为， 故B正确；
对于 C， 由题意知，随机变量，且，
则有
所以，故C 正确；
对于D，因为，
所以有的把握认为与有无关，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】利用方差性质、回归方程、独立性检验、残差公式以及正态分布的对称性对各个选项进行运算判断即可.
11．（2023高三上·武鸣开学考）已知O为坐标原点，抛物线C：的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则（ ）
A．若，则 B．若，则直线l的斜率为1
C． D．面积的最小值为2
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】
【解答】解：由题意得，
因为抛物线的准线方程为 x=-1， 故 ，
所以抛物线方程为， 焦点为 F(1，0)，
设 ，
对于 A，，
将代入抛物线方程得 ，
所以， 故 A 正确；
对于 B，|AB|=8，则 ，
当直线 AB 为 x=1 时， |AB|=4，
故可判断 |AB|=8 时， 直线 l 的斜率存在且不等于0.
设直线 l 的方程为 y=k(x-1)， 联立 可得：
由韦达定理可得，，解得，满足， 故 B 错误；
对于 C， 由 B 的分析可知，
当直线 AB 为 x=1 时， 也有成立；
故，
当且仅当 即时， 取得等号， 故 C 正确；
对于 D， 不妨设 A 点在第一象限， 则
故的面积
所以.
当且仅当 时等号成立， 即 面积的最小值为 2 ， 故 D 正确，
故答案为：ACD.
【分析】利用抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、再结合基本不等式求最值对各个选项进行逐一运算判断即可.
12．（2023高三上·武鸣开学考）点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．sinα=cos
【答案】A,B,D
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
对于 A， 因为为球 O 的直径， B 为球 O 上一点，，
又平面，
所以 平面， 故A正确；
对于 B， 因为为球 O 的直径， A 为球 O 上一点，直径所对的圆周角为直角，
所以，
由B选项分析可知： 平面， 又平面， 所以
因为平面 ，所以 平面 ，
又平面 ，所以平面 平面 ， 故B 正确；
对于 C，结合图形，可得：，
，
则四面体的表面积，
所以四面体内切球半径， 故C 错误.
对于 D， 取 中点 ， 连接，
分别为 中点，
分别为中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ， ；
因为球 O 的表面积为 ， 所以，解得，
又
又，
为等边三角形， ，
则为AC中点，
又平面平面 ， 平面 平面平面 ，
平面 ， ，
故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直判定可判断 A ； 由线面垂直和面面垂直的判定可判断 B ；利用体积可求得， 再由表面积公式可判断C； 根据平行关系和异面直线所成角定义可知， 由面面垂直性质和线面角定义可知 ， 由长度关系可判断D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2023高三上·武鸣开学考）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
【答案】80
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意得，
二项式的展开式通项为
令，
则 的系数为 .
故答案为： 80 .
【分析】先求出展开式通项，再令即可确定时， 的系数.
14．（2023高三上·武鸣开学考）已知向量，，且．则的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由题意得，
因为向量，， 且 ，
所以有，即 ，
即， 化简为，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以 .
故答案为： . 【分析】利用向量共线的坐标公式以及二倍角公式化简即可.
15．（2023高三上·武鸣开学考）已知两城市的距离是，根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是6元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 （精确到，参考数据）
【答案】57
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，
设速度为，行车的总费用为y，
则有
当且仅当 ， 即 时， 等号成立，故为了这次行车的总费用最少，
那么最经济的车速是 .
故答案为： 57 .
【分析】根据题意列出等式，再结合基本不等式的公式，求出最小值时的车速即可求解.
16．（2023高三上·武鸣开学考）已知函数，（），若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】结合题意可得，
函数关于 x 轴对称的函数为 ，
因为 的图象与 的图象在 上恰有两对关于 x 轴对称的点，
所以方程在上恰有两个不相等的实根，
即 ，
即 ，
即，
所以 在上恰有两个不相等的实根，
令， 则 ，
所以函数 在上单调递增，
所以， 即 ，，
故原问题等价于与 在 上恰有两个不同的交点，
令 ， 则
当时， ， 当 x>2时， ，
所以函数 在上单调递减， 在 上单调递增，
又，，当 时， ，
如图， 作出函数在 上的大致图象，
要使函数 与 在 上恰有两个不同的交点，只要 ，因为 ， 所以 ，所以实数的取值范围是 .
故答案为：.
【分析】先求出关于 x 轴对称的函数为 ，与在上恰有两对关于轴对称的点，可等价于在上恰有两个不相等的实根，化简可在上恰有两个不相等的实根， 可得 ， 则原问题等价于与 在 上恰有两个不同的交点， 令 ， 利用导数求单调区间， 作出函数大致图象， 结合图象即可得解.
四、解答题（共6小题，其中17题10分，其他题12分，满分70分）
17．（2023高三上·武鸣开学考）公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.
【答案】（1）解：由，得．又∵成等比数列，
∴，即，解得或（舍去），∴，故．
（2）解：由题意，所以，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】 (1) 运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差和首项即可得到；
(2) 由等比数列的通项公式可得，即，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可得出答案.
18．（2023高三上·武鸣开学考）某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：
喜欢 不喜欢 合计
男性 40 30 70
女性 35 15 50
合计 75 45 120
根据上述信息，解决下列问题：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
（2）从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由题意得，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；
（2）解：由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，故X的取值可能为0，1，2，则，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
故
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据列联表，计算卡方的值，与临界值表比较即可得结论；
(2)先确定随机抽取6人中男性和女性的人数，进而确定随机变量X的可能取值0，1，2，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式可求得数学期望.
19．（2023高三上·武鸣开学考）已知在四棱锥中，，，，，E为CD的中点.
（1）证明：平面平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值.
【答案】（1）解：平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下：
在△中，故，即，所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故，因为，且，面，所以面，由面，故面面.
（2）解：平面，是二面角的平面角，过点作，分别与，相交于，，连接，由（1）知平面，为直线与平面所成的角，且，由，则，由，则，
又，且面，则面，而面，
所以，结合，，且面，
所以面，则为直线与平面所成的角，
由题意知，，
因为知，，又，是平行四边形，，，因为，，，
于是，所以，又，，，所以，
因为，面，面，则，则，即，
因为为中点，则，又因为，且平面，平面，
则二面角的正切值即为，则，
所以二面角的正弦值是.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1) 由已知可得， 即有 ， 再由线面垂直的判定证明平面，再根据面面垂直的判定即可得结论.
(2)作出辅助线，结合图形，为直线与平面所成的角， 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等， 得到边的关系， 最后得到二面角的平面角为，则利用其正切值即可求得正弦值，从而得出结论.
20．（2023高三上·武鸣开学考）某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障．此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该维护人员无法对其他设备进行维护．工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到维护人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．
（1）若安排1名维护人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；
（2）设该工厂有甲、乙两个车间．甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2名维护人员，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2名维护人员共同负责维护．若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低．
【答案】（1）解：3台设备自动模式不出故障的台数记为ξ，则ξ～B.记“1名维护人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝2)＝＝＋＝.
（2）解：甲车间将6台设备平均分配给2名维护人员，即甲车间分成了两个小组，则甲车间分成的两个小组相互独立，由(1)知每个小组能保证设备顺利运行至工作时段结束的概率为，记“甲车间所有设备顺利运行至工作时段结束”为事件B，则P(B)＝＝＝.
乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为η，则η～B，
记“乙车间所有设备顺利运行至工作时段结束”为事件C，
则P(C)＝P(η＝7)＋P(η＝6)＋P(η＝5)＝
＝.
因为＝<1，所以P(B)【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】(1)可记3台设备自动模式不出故障的台数为ξ，则 ξ服从正态分布，ξ～B ，由此求解1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率即可；
(2)记乙车间7台设备自动模式不出故障的台数为η，则η服从正态分布，η～B ，再求出乙车间设备能顺利运行至工作时段结束的概率，然后用做商法比较大小即可比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低 .
21．（2023高三上·武鸣开学考）已知双曲线E：的离心率为，点在双曲线E上.
（1）求E的方程；
（2）过点的直线l与双曲线E交于A，B两点（异于点P）.设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，判断：P，M，N三点是否共线？并说明理由.
【答案】（1）解：双曲线的离心率为，所以，即，，
将代入的方程可得，即，则，
故的方程为．
（2）解：依题意，可设直线，，．
与联立，整理得，
所以，，解得，且，
，，所以．（*）
又，所以的坐标为，
由可得，，
从而可得的纵坐标
，
将（*）式代入上式，得，即．
所以，，将（*）式代入上式，
得，又，直线MN与直线PM有公共点M，
所以P，M，N三点共线．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)通过离心率求得，再将代入E的方程可得，从而得出的方程；
(2)联立直线l和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点C坐标得出，最后结合可得直线MN的斜率为定值2，而直线PM的斜率也是2，从而得解.
22．（2023高三上·武鸣开学考）设函数，其中.
（1）讨论函数在上的极值；
（2）若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.
南宁市武鸣区2023-2024学年高三上学期开学调研测试
【答案】（1）解：由知，
①当时，且有，，单调递增，故无极值；
②当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.
综上，当时，无极值；当时，极小值为，无极大值；
（2）解：由（1）可知当时，，，且，
由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得
，令，且，即，，
将其代入，整理可令得，
而，
①当时，且，有，单调递增，，满足题设；
②当时，且，有，单调递减，，不满足题设；
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)求出，对和这两种情况分别讨论，利用导数得到的单调性，进而可得在上的极值；
(2)结合(1)以及零点存在定理得，利用换元法令，且，再结合，整理可得，构造函数 ，对函数进行求导，分别讨论和两种情况，根据函数的单调性和最值即可得出结论.
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