广东省东莞市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2023高二上·东莞开学考）为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取名同学进行党史测试．已知该校高一学生人，高二学生人，高三学生人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·东莞开学考）若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·东莞开学考）如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·东莞开学考）在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高二上·东莞开学考）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·东莞开学考）某班名篮球队队员的身高（单位：）分别是：则第百分位数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·东莞开学考）中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·东莞开学考）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是、的中点，平面PAC，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．（2023高二上·东莞开学考）已知某随机试验的两个随机事件概率满足，事件“事件与事件恰有一个发生”，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则是互斥事件
B．若是互为独立事件，则不可能是互斥事件
C．
D．
10．（2023高二上·东莞开学考）已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高二上·东莞开学考）某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法正确的是（ ）
A．丁险种参保人数超过五成
B．岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．周岁人群参保的总费用最少
D．人均参保费用不超过元
12．（2023高二上·东莞开学考）如图，在等腰梯形中，，将沿着翻折，使得点到点，且下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的大小为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高一下·湖州期末）已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是 .
14．（2023高二上·东莞开学考）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）
15．（2023高二上·东莞开学考）某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率 .
16．（2023高二上·东莞开学考）在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高二上·东莞开学考）现有名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，组成一个小组代表学校参加竞赛.
（1）求被选中的概率；
（2）求和至多有一个被选中的概率
18．（2023高二上·东莞开学考）如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．
（1）若，过点画一个与棱平行的平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；
（2）若平面交棱于，求四边形的周长的最小值．
19．（2023高一下·温州期末） 现行国家标准中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．
20．（2023高二上·东莞开学考）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，.
（1）已知，且
当时，求的面积；
②若，求.
（2）已知，且，求的最大值.
21．（2023高二上·东莞开学考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．
22．（2023高二上·东莞开学考）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晚从正西方点处落入地平面．
（1）太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
（2）若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样知应抽取高一学生人数为.
故答案为：B.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，，.
故答案为：A.
【分析】先移项得，再根据复数除法计算求解.
3．【答案】C
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：由题意得，又，.
故答案为：C.
【分析】先求出直观图的面积 ，再结合求原图形面积.
4．【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得， ，向量方向上的单位向量，向量在向量上的投影为，向量在向量上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据投影向量的计算公式代入求解.
5．【答案】A
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：不妨设 ，
由题意得，，
，，
，
，与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】由题意得，，再根据向量求夹角的余弦值的计算公式求解.
6．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将名篮球队队员的身高从小到大排列得，
，
第百分位数是.
故答案为：D.
【分析】先将名篮球队队员的身高有序排列，再根据百分位数的定义计算求解.
7．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；圆的标准方程；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图建立坐标系，则 ，设，
，，化简得，
在 方向投影，其中，
.
故答案为：D.
【分析】建立坐标系，设，由得到的轨迹方程，在数量积运算求解.
8．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】 【解答】解：如图，
分别是、的中点 ，，又平面，平面，平面，，又，是边长为的正三角形，易得，两两垂直，三棱锥外接球 的半径，球 的体积.
故答案为：D.
【分析】由平面，得平面，进而得到两两垂直，再分析求外接球半径，体积.
9．【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、若 ，则，是对立事件，它们一定互斥，A正确；
B、若，是互为独立事件，由，得，，不可能是斥事件，B正确；
C、事件“事件或事件发生”，，当，是互斥事件时，，C错误；
D、事件“事件与事件同时发生”，当时， ，，此时 ，D错误.
故答案为：AB.
【分析】A利用对立事件与互斥事件的关系判断；B利用独立事件的概念及互斥事件的概念判断；C根据和事件的概率及互斥事件的概念判断；D当时判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在 中有，
A、 ，A正确；
B、 ，B错误；
C、 ，C正确；
D、结合A知，由正弦定理得 ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】AB根据诱导公式判断；C诱导公式和两角和的正切公式化简判断 ；D结合A和正弦定理化简判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：A、由参保险种比例图知，丁险种参保人数比例为，A正确；
B、由参保人数比例图知，41岁以上参保人数比例为，没有超过总参保人数的五成，B错误；
C、由不同年龄段人均参保费用图和参保人数比例图知，周岁人群人均参保费用在范围，所占比例为，周岁以上参保人数人均参保费用为，所占比例为，周岁人群参保的总费用最少，C正确；
D、由不同年龄段人均参保费用图和参保人数比例图知，人均参保费用不超过5000元，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据统计图表逐一分析选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A、由题意知 ， ，，
在中， 有，又，，平面，平面，平面，平面平面，A正确；
B、如图，
取的中点，
易证得平面，过点作平行线为轴，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，
易知平面的法向量为，设平面的法向量为，
，不妨令，则，
，二面角的的大小为，B错误；
C、在中，取的中点，过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球球心在该直线上，设，外接球半径为，则，即，求得，，外接球的表面积为，C正确；
D、，点到平面 的距离，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A、根据面面垂直的判定定理判断，ＢＣＤ、取的中点，过点作平行线为轴，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断.
13．【答案】132.25
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设总体平均数为，方差为，男生平均数为，方差为，女生平均数为，方差为，由题意得，，，，
故答案为：132.25
【分析】根据分层抽样原理，代入平均数和方差公式进行求解。
14．【答案】8
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由题意得，
在中，由正弦定理得，，又得，其中，由正弦函数图象知，使该三角形有唯一解，则或，或.
故答案为：8.
【分析】在中，由正弦定理得，再根据的范围求满足条件的 值 .
15．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：要使该电路正常运行有3种情况： 正常工作且其中一个正常工作或两个正常工作，概率为 .
故答案为： .
【分析】根据分类加法计数原理计算求解.
16．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；圆的标准方程；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：设 ，由题意得，，
，，即， ，当且仅当时取等，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意得点P坐标满足，再利用，求出关于的关系，利用柯西不等式求其最大值.
17．【答案】（1）解：用表示从人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，则对应的样本空间， 共有个样本点，
记事件“被选中”，则，
共有个样本点，
所以被选中的概率.
（2）解：记事件“，至多有一个被选中”，则其对立事件“，全被选中”
可得，共个样本点，所以.
由对立事件的概率公式得.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)利用列举法列举出所有样本点求出总数和所求事件中样本点个数，利用古典概型的概率计算公式求解；
(2)根据古典概型的概率公式结合对立事件求解.
18．【答案】（1）解：分别在，，上取，，，使，，
则，，此时，
又，又，平面，
所以平面，平面，所以，
则交线围成的正方形如图所示．
因为为矩形，所以，
又平面，平面，所以平面
因为长方体被平面（正方形）分成两个高为的直棱柱，
所以其体积比为它们各自的底面的面积比，又，
所以．
（2）解：平面交棱于，因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
同理可得，所以四边形为平行四边形，
平行四边形的周长最小当且仅当最小，将平面沿翻折到与平面同一水平面，当三点共线时，最小为，
故四边形周长最小为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的概念、画法及表示；平行公理；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】(1)分别在，，上取，，，使，，画出图形，则长方体被平面（正方形）分成两个高为的直棱柱，进而求解体积之比；
(2)根据面面平行的性质得到 ， ，所以四边形为平行四边形，所以当且仅当最小时平行四边形的周长最小，进而分析求解．
19．【答案】（1）解：由，解得．
则这条鱼汞含量的样本平均数为．
（2）解：样本中汞含量在内的频率为．
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标．
（3）解：由题意可知，样本中汞含量在内的频率为，
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为．
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出a，进而由平均数的公式求解即可；
（2）求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计；
（3）由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率.
20．【答案】（1）解：①设，在中，由余弦定理得，
解得，
在中，，则底边上的高，
所以的面积.
②设，依题意，，
则，，即，而，所以.
（2）解：连接，中，，， 由余弦定理得，
则，，设，在中，，
于是，
在中，，由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，，
所以AC的最大值是.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）①在中，由余弦定理求出，再求面积；
② 利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解；
(2) 连接，在中利用余弦定理求出得，， 再利用余弦定理、二倍角公式和辅角公式求解.
21．【答案】（1）解：连结，∵侧棱底面，平面，∴．
又∵底面是正方形，∴．
而且，平面．
∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）解：过作交于，过作于，连接．
在平面中，，，
∴，因为底面，
∴平面，
又平面，
∴，
又∵，，平面，
∴平面，又平面，
∴，
∴为二面角的平面角．
故，则．
设，则，，．
在中，，∴．
在中，，
∴．所以，当二面角的余弦值为时，．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)通过证明， ，得到 平面，所以平面平面；
(2) 过作交于，过作于，连接，证明 平面，得到 为二面角的平面角，进而分析求解.
22．【答案】（1）解：根据题意，可得，，
由二面角定义可知，为圆平面与地平面的锐二面角，
在半圆中， ，，
所以，
即圆平面与地平面所成的锐二面角为．
（2）解：过作平面，与平面交，
所以为直线与地平面的夹角，
过作直线，与直线交于，连接，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，且平面，
所以平面，所以是平面与平面所成角的平面角，
则，
由点为下午太阳所在位置，，
所以，，
在直角三角形中，，
所以直线与地平面的夹角为，即此时阳光入射当地地平面的角度为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)由，，得到 为圆平面与地平面的锐二面角，进而求解；
(2) 过作平面，与平面交，得到 为直线与地平面的夹角， ， 过作直线，与直线交于，连接，，得到 平面，所以，在中，.
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2023高二上·东莞开学考）为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取名同学进行党史测试．已知该校高一学生人，高二学生人，高三学生人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样知应抽取高一学生人数为.
故答案为：B.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
2．（2023高二上·东莞开学考）若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，，.
故答案为：A.
【分析】先移项得，再根据复数除法计算求解.
3．（2023高二上·东莞开学考）如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：由题意得，又，.
故答案为：C.
【分析】先求出直观图的面积 ，再结合求原图形面积.
4．（2023高二上·东莞开学考）在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得， ，向量方向上的单位向量，向量在向量上的投影为，向量在向量上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据投影向量的计算公式代入求解.
5．（2023高二上·东莞开学考）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：不妨设 ，
由题意得，，
，，
，
，与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】由题意得，，再根据向量求夹角的余弦值的计算公式求解.
6．（2023高二上·东莞开学考）某班名篮球队队员的身高（单位：）分别是：则第百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将名篮球队队员的身高从小到大排列得，
，
第百分位数是.
故答案为：D.
【分析】先将名篮球队队员的身高有序排列，再根据百分位数的定义计算求解.
7．（2023高二上·东莞开学考）中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；圆的标准方程；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图建立坐标系，则 ，设，
，，化简得，
在 方向投影，其中，
.
故答案为：D.
【分析】建立坐标系，设，由得到的轨迹方程，在数量积运算求解.
8．（2023高二上·东莞开学考）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是、的中点，平面PAC，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】 【解答】解：如图，
分别是、的中点 ，，又平面，平面，平面，，又，是边长为的正三角形，易得，两两垂直，三棱锥外接球 的半径，球 的体积.
故答案为：D.
【分析】由平面，得平面，进而得到两两垂直，再分析求外接球半径，体积.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．（2023高二上·东莞开学考）已知某随机试验的两个随机事件概率满足，事件“事件与事件恰有一个发生”，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则是互斥事件
B．若是互为独立事件，则不可能是互斥事件
C．
D．
【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、若 ，则，是对立事件，它们一定互斥，A正确；
B、若，是互为独立事件，由，得，，不可能是斥事件，B正确；
C、事件“事件或事件发生”，，当，是互斥事件时，，C错误；
D、事件“事件与事件同时发生”，当时， ，，此时 ，D错误.
故答案为：AB.
【分析】A利用对立事件与互斥事件的关系判断；B利用独立事件的概念及互斥事件的概念判断；C根据和事件的概率及互斥事件的概念判断；D当时判断.
10．（2023高二上·东莞开学考）已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在 中有，
A、 ，A正确；
B、 ，B错误；
C、 ，C正确；
D、结合A知，由正弦定理得 ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】AB根据诱导公式判断；C诱导公式和两角和的正切公式化简判断 ；D结合A和正弦定理化简判断.
11．（2023高二上·东莞开学考）某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法正确的是（ ）
A．丁险种参保人数超过五成
B．岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．周岁人群参保的总费用最少
D．人均参保费用不超过元
【答案】A,C,D
【知识点】用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：A、由参保险种比例图知，丁险种参保人数比例为，A正确；
B、由参保人数比例图知，41岁以上参保人数比例为，没有超过总参保人数的五成，B错误；
C、由不同年龄段人均参保费用图和参保人数比例图知，周岁人群人均参保费用在范围，所占比例为，周岁以上参保人数人均参保费用为，所占比例为，周岁人群参保的总费用最少，C正确；
D、由不同年龄段人均参保费用图和参保人数比例图知，人均参保费用不超过5000元，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据统计图表逐一分析选项.
12．（2023高二上·东莞开学考）如图，在等腰梯形中，，将沿着翻折，使得点到点，且下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的大小为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．点到平面的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A、由题意知 ， ，，
在中， 有，又，，平面，平面，平面，平面平面，A正确；
B、如图，
取的中点，
易证得平面，过点作平行线为轴，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，
易知平面的法向量为，设平面的法向量为，
，不妨令，则，
，二面角的的大小为，B错误；
C、在中，取的中点，过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球球心在该直线上，设，外接球半径为，则，即，求得，，外接球的表面积为，C正确；
D、，点到平面 的距离，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A、根据面面垂直的判定定理判断，ＢＣＤ、取的中点，过点作平行线为轴，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高一下·湖州期末）已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差是 .
【答案】132.25
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设总体平均数为，方差为，男生平均数为，方差为，女生平均数为，方差为，由题意得，，，，
故答案为：132.25
【分析】根据分层抽样原理，代入平均数和方差公式进行求解。
14．（2023高二上·东莞开学考）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）
【答案】8
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由题意得，
在中，由正弦定理得，，又得，其中，由正弦函数图象知，使该三角形有唯一解，则或，或.
故答案为：8.
【分析】在中，由正弦定理得，再根据的范围求满足条件的 值 .
15．（2023高二上·东莞开学考）某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率 .
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：要使该电路正常运行有3种情况： 正常工作且其中一个正常工作或两个正常工作，概率为 .
故答案为： .
【分析】根据分类加法计数原理计算求解.
16．（2023高二上·东莞开学考）在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；圆的标准方程；二维形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：设 ，由题意得，，
，，即， ，当且仅当时取等，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意得点P坐标满足，再利用，求出关于的关系，利用柯西不等式求其最大值.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高二上·东莞开学考）现有名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，组成一个小组代表学校参加竞赛.
（1）求被选中的概率；
（2）求和至多有一个被选中的概率
【答案】（1）解：用表示从人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，则对应的样本空间， 共有个样本点，
记事件“被选中”，则，
共有个样本点，
所以被选中的概率.
（2）解：记事件“，至多有一个被选中”，则其对立事件“，全被选中”
可得，共个样本点，所以.
由对立事件的概率公式得.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)利用列举法列举出所有样本点求出总数和所求事件中样本点个数，利用古典概型的概率计算公式求解；
(2)根据古典概型的概率公式结合对立事件求解.
18．（2023高二上·东莞开学考）如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．
（1）若，过点画一个与棱平行的平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；
（2）若平面交棱于，求四边形的周长的最小值．
【答案】（1）解：分别在，，上取，，，使，，
则，，此时，
又，又，平面，
所以平面，平面，所以，
则交线围成的正方形如图所示．
因为为矩形，所以，
又平面，平面，所以平面
因为长方体被平面（正方形）分成两个高为的直棱柱，
所以其体积比为它们各自的底面的面积比，又，
所以．
（2）解：平面交棱于，因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
同理可得，所以四边形为平行四边形，
平行四边形的周长最小当且仅当最小，将平面沿翻折到与平面同一水平面，当三点共线时，最小为，
故四边形周长最小为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的概念、画法及表示；平行公理；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】(1)分别在，，上取，，，使，，画出图形，则长方体被平面（正方形）分成两个高为的直棱柱，进而求解体积之比；
(2)根据面面平行的性质得到 ， ，所以四边形为平行四边形，所以当且仅当最小时平行四边形的周长最小，进而分析求解．
19．（2023高一下·温州期末） 现行国家标准中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．
【答案】（1）解：由，解得．
则这条鱼汞含量的样本平均数为．
（2）解：样本中汞含量在内的频率为．
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标．
（3）解：由题意可知，样本中汞含量在内的频率为，
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为．
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出a，进而由平均数的公式求解即可；
（2）求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计；
（3）由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率.
20．（2023高二上·东莞开学考）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，.
（1）已知，且
当时，求的面积；
②若，求.
（2）已知，且，求的最大值.
【答案】（1）解：①设，在中，由余弦定理得，
解得，
在中，，则底边上的高，
所以的面积.
②设，依题意，，
则，，即，而，所以.
（2）解：连接，中，，， 由余弦定理得，
则，，设，在中，，
于是，
在中，，由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，，
所以AC的最大值是.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）①在中，由余弦定理求出，再求面积；
② 利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解；
(2) 连接，在中利用余弦定理求出得，， 再利用余弦定理、二倍角公式和辅角公式求解.
21．（2023高二上·东莞开学考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．
【答案】（1）解：连结，∵侧棱底面，平面，∴．
又∵底面是正方形，∴．
而且，平面．
∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）解：过作交于，过作于，连接．
在平面中，，，
∴，因为底面，
∴平面，
又平面，
∴，
又∵，，平面，
∴平面，又平面，
∴，
∴为二面角的平面角．
故，则．
设，则，，．
在中，，∴．
在中，，
∴．所以，当二面角的余弦值为时，．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)通过证明， ，得到 平面，所以平面平面；
(2) 过作交于，过作于，连接，证明 平面，得到 为二面角的平面角，进而分析求解.
22．（2023高二上·东莞开学考）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晚从正西方点处落入地平面．
（1）太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
（2）若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？
【答案】（1）解：根据题意，可得，，
由二面角定义可知，为圆平面与地平面的锐二面角，
在半圆中， ，，
所以，
即圆平面与地平面所成的锐二面角为．
（2）解：过作平面，与平面交，
所以为直线与地平面的夹角，
过作直线，与直线交于，连接，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，且平面，
所以平面，所以是平面与平面所成角的平面角，
则，
由点为下午太阳所在位置，，
所以，，
在直角三角形中，，
所以直线与地平面的夹角为，即此时阳光入射当地地平面的角度为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)由，，得到 为圆平面与地平面的锐二面角，进而求解；
(2) 过作平面，与平面交，得到 为直线与地平面的夹角， ， 过作直线，与直线交于，连接，，得到 平面，所以，在中，.
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