湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高二上学期数学入学考试试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高二上·长沙开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二上·长沙开学考）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·长沙开学考）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高二上·长沙开学考）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·长沙开学考）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·长沙开学考）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=（ ）
A． B． C． D．3
7．（2023高二上·长沙开学考）在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．（2023高二上·长沙开学考）已知，，，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高二上·长沙开学考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ）
A．1829周岁人群参保总费用最少
B．30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%
C．54周岁以上的参保人数最少
D．丁险种更受参保人青睐
10．（2023高二上·长沙开学考）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则（ ）
A．
B．B1G⊥平面BEF
C．直线AB交平面EFC于点P，则AP=AB
D．点A1到平面BEF的距离为
11．（2023高二上·长沙开学考）下列各式中，值为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023高二上·长沙开学考）若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，，的最大值为4
C．的单调递增区间为，
D．若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数k的取值范围为（，1）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高二上·长沙开学考）已知，则的值为 ．
14．（2023高二上·长沙开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意一点（包含端点），则的最大值为 ．
15．（2023高二上·长沙开学考）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
16．（2023高二上·长沙开学考）已知△ABC的边AC=，且，则△ABC的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高二上·长沙开学考）已知函数．
（1）若，求在的单调区间；
（2）若在上的最小值为，求实数m的取值范围．
18．（2023高二上·长沙开学考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面C1BD；
（2）若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为，求四棱锥B-AA1C1D的体积．
19．（2023高二上·长沙开学考）某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上（包括50分，满分100分）共有100人，分成[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到0.1）；
（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任取3人，求此3人分数都在[60，70）的概率．
20．（2023高二上·长沙开学考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求c．
21．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
（1）求证：AM⊥平面QCD；
（2）在棱BQ上是否存在点N使平面ACN⊥平面ACM成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
22．（2023高二上·长沙开学考）已知函数（）的图象经过点（1，0）和点（e，1），．
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对于任意，都有，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，得，由对数定义域得
所以
故答案为：C.
【分析】解不等式化简集合，由对数定义域得，再利用交集的定义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数的乘除运算化简得，结合共轭复数的定义得
故答案为：B.
【分析】由复数的乘除运算化简得，结合共轭复数的定义可得.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：时，可以推出，充分性成立，当时，不能推出，所以是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】时，可以推出，当时，不能推出，即可判断.
4．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为函数是上的增函数，结合二次函数的性质得，解得.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的图象性质，结合二次函数性质进行求解即可.
5．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： 已知 ，得，由，结合同角三角函数公式得，由得，根据三角函数的恒等变换得
故答案为：A.
【分析】根据给定条件，利用同角三角函数及三角函数的恒等变换，计算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：令圆锥底面圆半径为，，解得，由勾股定理得圆锥的高，所以圆锥的体积，解得
故答案为：C.
【分析】根据题意，圆锥底面圆的半径和高分别用表示，再代入圆锥体积公式计算求解即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理得，，代入中，得，化简得，可得或，所以 个三角形是等腰或者直角三角形
故答案为：D.
【分析】】利用余弦定理表示出，，代入，化简即可确定三角形的形状.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由已知，，，所以，当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：A.
【分析】由已知利用常值“1”的代换，再利用基本不等式即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：A、根据参保人数比例图可知，54周岁及以上的参保人数最少，占比为17%，其余年龄段的参保人数均比18-29周岁人却、群参保人数多，由不同年龄段人均参保费用图可知，因为，所以18-29周岁人群参保总费用最少，故A错误；
B、根据参保人数比例图可知，30周岁以上的参保人群约占参保总人数的80%，故B错误；
C、根据参保人数比例图可知，54周岁及以上的参保人数最少，占比为17%，故C正确；
D、根据参保险种比例图可知，丁险种参保人群约占参保总人群的55%，所以丁险种更受参保人的青睐，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知的三个图表逐个分析即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
易知，则，所以，故A错误；
B、，，所以，又，所以平面，故B正确；
C、如图所示：延长交于点，连接交于点，根据已知条件可得，因为，所以，故，又因为，所以，故C正确；
D、设平面的法向量为，则，令，即，，所以点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】建立如图空间直角坐标系，写出相应点和向量的坐标，根据数量积的坐标表示即可判断AB；延长交于点，连接交于点，利用结合已知条件即可判断C；设平面的法向量，根据法向量垂直于平面求得法向量，再根据距离公式即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】简单的三角恒等变换；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、
，故B正确；
C、
，故C错误；
D、
，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式，特殊角三角函数值逐一计算即可.
12．【答案】B,C,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由条件 ①，恒有 ，令，可得，所以函数是以4为周期的周期函数，再由 ②，恒有 可得函数的图象关于直线对称，则再由 ③时， ，可得，故A错误；
函数在区间上单调递增，所以当时，，根据对称性和周期性可知，，，的最大值为4，故B正确；
因为函数在时单调递增，并且函数的周期为4，所以函数的单调递增区间为，故C正确；
曲线恒过定点，且关于直线对称，在同一直角坐标系中作出函数与函数的图象，如图：
根据图象可知，曲线与函数的图象有6个不同的交点，当且仅当，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件①②求出函数的周期和对称性，再结合条件③即可求得，根据在的单调性求出函数的最值，即可判断B；分析函数在的单调性即可判断C；画出曲线与函数的图象，数形结合列式即可求解实数的取值范围.
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为，所以，可得，，所以.
【分析】根据对数和指数互化可得，从而推出，计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】建立如图所示平面直角坐标系：
易得，设，所以，，又因为，所以，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】先建立如图所示平面直角坐标系，写对应点和向量的坐标，设，最后根据平面向量数量积的坐标运算求解即可.
15．【答案】0.32
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，且各场比赛结果相互独立，设甲队以4：1获胜的概率是.
甲队以4：1获胜 的情况有：
前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，
所以 甲队以4：1获胜的概率.
故答案为：0.32.
【分析】根据题意，甲队以4：1获胜可分为前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜；
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，分别计算每种情况的概率，从而求得甲队以4：1获胜的概率.
16．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理
【解析】【解答】解：设的三边分别为，易知，由，根据同角三角函数基本关系可化为，化简整理可得，所以，又因为，所以，再根据正弦定理可得，即，故的面积为
，因为，所以，当时，的面积取得最大值.
【分析】设的三边分别为，根据三角恒等变换和同角三角函数基本关系，正弦定理化简可得，再利用三角形面积公式，结合角A的取值范围求取面积的最大值即可.
17．【答案】（1）.
令，
解得，
在上的递增区间为，
当时，得到，当时，得到，
故在上的递增区间为和，递减区间为.
（2），得.
在[0，m]上的最小值为-2，故的最小值为，
故，解得.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】
【分析】(1)首先利用二倍角公式及辅助角公式将化简，再利用正弦函数的单调性求解即可；
（2）转化为的最小值为， 由可得．
18．【答案】（1）在直三梭柱中，侧面四边形是平行四边形，
交于，连接DO，
则是的中点，又是AC的中点，
所以平面平面，
所以平面；
（2）过作于，因为平面平面ABC，
所以，
又平面，所以平面.
异面直线AC和所成角的余弦值为，
即直线AC和AB所成角的余弦值为.
在Rt中，，
所以
，
，
四棱锥的体积
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】
【分析】（1） 交于，连接DO， 利用中位线定理证明AB1∥平面C1BD；
（2） 过作于 ，利用几何法求出异面直线和所成角的余弦值为 ，求出梯形的面积，代入四棱锥的体积公式，计算求解即可.
19．【答案】（1）由，解得，
这次数学竞赛成绩的平均数为，
前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中，数学成绩位于的有人，记为a，b.
数学成绩位于的有人，记为A、B、C、D，
从6人中任取3人，基本事件有：abA、abB、abC、abD、aAB、aAC、aAD、aBC、aBD、aCD，bAB、bAC，bAD，bBC、bBD，bCD，ABC，ABD、ACD、BCD，共20种，
其中3人分数都在的有ABC、ABD、ACD、BCD，共4种，
所以从6人中任取3人，分数都在的概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图列方程，可得， 这次数学竞赛成绩的平均数为，根据中位数的定义可求得样本的中位数；
（2）分层抽样抽取的6人中，数学成绩位于的有人，记为a，b. 数学成绩位于的有4人，记为 A、B、C、D ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
20．【答案】（1）由题意得，
则，即，
由余弦定理得，整理得，则，又，
则，所以，则.
（2）由正弦定理得，
所以，
则或(舍去)，所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】
【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得，由，结合同角三角函数的关系得，即可求出，再代入三角形面积公式，计算求解即可；
（2）由正弦定理求出， 所以.
21．【答案】（1）因为侧面QAD是正三角形，是QD的中点，
所以，
因为，面面ABCD，面面面ABCD，
所以面QAD，
又面QAD，所以，
又平面QCD，
所以平面QCD.
（2）以A为原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面ACM的法向量为，则
即令，得.所以，
，设，
则，
设平面ACN的法向量为，则
即
令
得.所以，
若平面平面ACM，
则，即，所以，即，
所以当时，平面平面ACM.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】
【分析】（1）由题意得，利用面面垂直的性质得 ，再利用线面垂直的判定证明出AM⊥平面QCD；
（2） 以A为原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设， 分别求出 设平面ACM的法向量为， 平面ACN的法向量为， 由得 ， 所以当时，平面平面.
22．【答案】（1）依题意可得.
解得
所以.
（2）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
，
所以，
只需，即，
设，
因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，
又，即，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1） 依题意可得，计算求解可得 ；
（2） 因为且，所以且， 由二次函数性质得的最大值可能是或， 依题意只需，即， 设， 判断在上单调递增，结合，即可求出，即可得到答案．
1 / 1湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高二上学期数学入学考试试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高二上·长沙开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，得，由对数定义域得
所以
故答案为：C.
【分析】解不等式化简集合，由对数定义域得，再利用交集的定义求解即可.
2．（2023高二上·长沙开学考）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数的乘除运算化简得，结合共轭复数的定义得
故答案为：B.
【分析】由复数的乘除运算化简得，结合共轭复数的定义可得.
3．（2023高二上·长沙开学考）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：时，可以推出，充分性成立，当时，不能推出，所以是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】时，可以推出，当时，不能推出，即可判断.
4．（2023高二上·长沙开学考）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：因为函数是上的增函数，结合二次函数的性质得，解得.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的图象性质，结合二次函数性质进行求解即可.
5．（2023高二上·长沙开学考）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： 已知 ，得，由，结合同角三角函数公式得，由得，根据三角函数的恒等变换得
故答案为：A.
【分析】根据给定条件，利用同角三角函数及三角函数的恒等变换，计算求解即可.
6．（2023高二上·长沙开学考）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：令圆锥底面圆半径为，，解得，由勾股定理得圆锥的高，所以圆锥的体积，解得
故答案为：C.
【分析】根据题意，圆锥底面圆的半径和高分别用表示，再代入圆锥体积公式计算求解即可.
7．（2023高二上·长沙开学考）在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理得，，代入中，得，化简得，可得或，所以 个三角形是等腰或者直角三角形
故答案为：D.
【分析】】利用余弦定理表示出，，代入，化简即可确定三角形的形状.
8．（2023高二上·长沙开学考）已知，，，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由已知，，，所以，当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：A.
【分析】由已知利用常值“1”的代换，再利用基本不等式即可求解.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高二上·长沙开学考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ）
A．1829周岁人群参保总费用最少
B．30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%
C．54周岁以上的参保人数最少
D．丁险种更受参保人青睐
【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：A、根据参保人数比例图可知，54周岁及以上的参保人数最少，占比为17%，其余年龄段的参保人数均比18-29周岁人却、群参保人数多，由不同年龄段人均参保费用图可知，因为，所以18-29周岁人群参保总费用最少，故A错误；
B、根据参保人数比例图可知，30周岁以上的参保人群约占参保总人数的80%，故B错误；
C、根据参保人数比例图可知，54周岁及以上的参保人数最少，占比为17%，故C正确；
D、根据参保险种比例图可知，丁险种参保人群约占参保总人群的55%，所以丁险种更受参保人的青睐，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知的三个图表逐个分析即可.
10．（2023高二上·长沙开学考）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则（ ）
A．
B．B1G⊥平面BEF
C．直线AB交平面EFC于点P，则AP=AB
D．点A1到平面BEF的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
易知，则，所以，故A错误；
B、，，所以，又，所以平面，故B正确；
C、如图所示：延长交于点，连接交于点，根据已知条件可得，因为，所以，故，又因为，所以，故C正确；
D、设平面的法向量为，则，令，即，，所以点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】建立如图空间直角坐标系，写出相应点和向量的坐标，根据数量积的坐标表示即可判断AB；延长交于点，连接交于点，利用结合已知条件即可判断C；设平面的法向量，根据法向量垂直于平面求得法向量，再根据距离公式即可判断D.
11．（2023高二上·长沙开学考）下列各式中，值为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B
【知识点】简单的三角恒等变换；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、
，故B正确；
C、
，故C错误；
D、
，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式，特殊角三角函数值逐一计算即可.
12．（2023高二上·长沙开学考）若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．，，的最大值为4
C．的单调递增区间为，
D．若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数k的取值范围为（，1）
【答案】B,C,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由条件 ①，恒有 ，令，可得，所以函数是以4为周期的周期函数，再由 ②，恒有 可得函数的图象关于直线对称，则再由 ③时， ，可得，故A错误；
函数在区间上单调递增，所以当时，，根据对称性和周期性可知，，，的最大值为4，故B正确；
因为函数在时单调递增，并且函数的周期为4，所以函数的单调递增区间为，故C正确；
曲线恒过定点，且关于直线对称，在同一直角坐标系中作出函数与函数的图象，如图：
根据图象可知，曲线与函数的图象有6个不同的交点，当且仅当，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件①②求出函数的周期和对称性，再结合条件③即可求得，根据在的单调性求出函数的最值，即可判断B；分析函数在的单调性即可判断C；画出曲线与函数的图象，数形结合列式即可求解实数的取值范围.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高二上·长沙开学考）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为，所以，可得，，所以.
【分析】根据对数和指数互化可得，从而推出，计算求解即可.
14．（2023高二上·长沙开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意一点（包含端点），则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】建立如图所示平面直角坐标系：
易得，设，所以，，又因为，所以，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】先建立如图所示平面直角坐标系，写对应点和向量的坐标，设，最后根据平面向量数量积的坐标运算求解即可.
15．（2023高二上·长沙开学考）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
【答案】0.32
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，且各场比赛结果相互独立，设甲队以4：1获胜的概率是.
甲队以4：1获胜 的情况有：
前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，
前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，
所以 甲队以4：1获胜的概率.
故答案为：0.32.
【分析】根据题意，甲队以4：1获胜可分为前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜；
前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜；前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，分别计算每种情况的概率，从而求得甲队以4：1获胜的概率.
16．（2023高二上·长沙开学考）已知△ABC的边AC=，且，则△ABC的面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理
【解析】【解答】解：设的三边分别为，易知，由，根据同角三角函数基本关系可化为，化简整理可得，所以，又因为，所以，再根据正弦定理可得，即，故的面积为
，因为，所以，当时，的面积取得最大值.
【分析】设的三边分别为，根据三角恒等变换和同角三角函数基本关系，正弦定理化简可得，再利用三角形面积公式，结合角A的取值范围求取面积的最大值即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高二上·长沙开学考）已知函数．
（1）若，求在的单调区间；
（2）若在上的最小值为，求实数m的取值范围．
【答案】（1）.
令，
解得，
在上的递增区间为，
当时，得到，当时，得到，
故在上的递增区间为和，递减区间为.
（2），得.
在[0，m]上的最小值为-2，故的最小值为，
故，解得.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】
【分析】(1)首先利用二倍角公式及辅助角公式将化简，再利用正弦函数的单调性求解即可；
（2）转化为的最小值为， 由可得．
18．（2023高二上·长沙开学考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面C1BD；
（2）若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为，求四棱锥B-AA1C1D的体积．
【答案】（1）在直三梭柱中，侧面四边形是平行四边形，
交于，连接DO，
则是的中点，又是AC的中点，
所以平面平面，
所以平面；
（2）过作于，因为平面平面ABC，
所以，
又平面，所以平面.
异面直线AC和所成角的余弦值为，
即直线AC和AB所成角的余弦值为.
在Rt中，，
所以
，
，
四棱锥的体积
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】
【分析】（1） 交于，连接DO， 利用中位线定理证明AB1∥平面C1BD；
（2） 过作于 ，利用几何法求出异面直线和所成角的余弦值为 ，求出梯形的面积，代入四棱锥的体积公式，计算求解即可.
19．（2023高二上·长沙开学考）某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上（包括50分，满分100分）共有100人，分成[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到0.1）；
（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任取3人，求此3人分数都在[60，70）的概率．
【答案】（1）由，解得，
这次数学竞赛成绩的平均数为，
前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中，数学成绩位于的有人，记为a，b.
数学成绩位于的有人，记为A、B、C、D，
从6人中任取3人，基本事件有：abA、abB、abC、abD、aAB、aAC、aAD、aBC、aBD、aCD，bAB、bAC，bAD，bBC、bBD，bCD，ABC，ABD、ACD、BCD，共20种，
其中3人分数都在的有ABC、ABD、ACD、BCD，共4种，
所以从6人中任取3人，分数都在的概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图列方程，可得， 这次数学竞赛成绩的平均数为，根据中位数的定义可求得样本的中位数；
（2）分层抽样抽取的6人中，数学成绩位于的有人，记为a，b. 数学成绩位于的有4人，记为 A、B、C、D ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
20．（2023高二上·长沙开学考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求c．
【答案】（1）由题意得，
则，即，
由余弦定理得，整理得，则，又，
则，所以，则.
（2）由正弦定理得，
所以，
则或(舍去)，所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】
【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得，由，结合同角三角函数的关系得，即可求出，再代入三角形面积公式，计算求解即可；
（2）由正弦定理求出， 所以.
21．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
（1）求证：AM⊥平面QCD；
（2）在棱BQ上是否存在点N使平面ACN⊥平面ACM成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）因为侧面QAD是正三角形，是QD的中点，
所以，
因为，面面ABCD，面面面ABCD，
所以面QAD，
又面QAD，所以，
又平面QCD，
所以平面QCD.
（2）以A为原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面ACM的法向量为，则
即令，得.所以，
，设，
则，
设平面ACN的法向量为，则
即
令
得.所以，
若平面平面ACM，
则，即，所以，即，
所以当时，平面平面ACM.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】
【分析】（1）由题意得，利用面面垂直的性质得 ，再利用线面垂直的判定证明出AM⊥平面QCD；
（2） 以A为原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设， 分别求出 设平面ACM的法向量为， 平面ACN的法向量为， 由得 ， 所以当时，平面平面.
22．（2023高二上·长沙开学考）已知函数（）的图象经过点（1，0）和点（e，1），．
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对于任意，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）依题意可得.
解得
所以.
（2）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
，
所以，
只需，即，
设，
因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，
又，即，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1） 依题意可得，计算求解可得 ；
（2） 因为且，所以且， 由二次函数性质得的最大值可能是或， 依题意只需，即， 设， 判断在上单调递增，结合，即可求出，即可得到答案．
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