贵州省黔西南州2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·黔西期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】对集合B进行求解：
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】首先对B集合解不等式，求得集合B，再根据A中变量范围，取得交集.
2．（2023高二下·黔西期末）若复数满足，则（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】对等式化简，得到复数z的表达式，再根据定义求出复数z的模.
3．（2023高二下·黔西期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为，
所以，
因为斜率等于倾斜角的正切值，
所以，又
所以，
故选：B.
【分析】根据一般式，转换为斜截式，通过定义可知斜率等于倾斜角的正切值，求出倾斜角度数.
4．（2023高二下·黔西期末）在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】因为是等差数列，
所以，
因为，且，
所以，
因为 公差，
所以，
所以，
故选：B.
【分析】根据等差数列的性质，可知，求出值，由此可以求出公差d，再计算出.
5．（2023高二下·黔西期末）为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派5名优秀的教师到、、、四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】5名老师分派到四所学校，每所学校至少派一人，
所以其中一所学校安排两个老师，剩余三所学校分别安排一位老师：
，
故选：C.
【分析】由题意可知，5名老师选出任意两人进行搭配，有种情况，再进行排列组合，同时四所学校会有四种不同分派方式，最终得到所有方案的情况.
6．（2023高二下·黔西期末）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意可知，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
【分析】利用向量的共线，构造等式，结合向量坐标的加减进行化简，联立方程组，求得k值.
7．（2023高二下·黔西期末）函数，上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为函数，
所以，
所以，
所以，
所以是奇函数，
因此排除AB选项，
当x趋近于时，
，
，
所以，
所以排除C选项，
故选：D.
【分析】利用函数的奇偶性，排除AB选项，再对函数特殊取值，排除C选项.
8．（2023高二下·黔西期末）已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】作图，取MN中点为D，
因为，
所以，
根据双曲线方程的性质，可知，，
所以，
所以，
又因为，
又因为过的直线斜率为，
所以，
设出，
所以，
又因为，
所以，
在中，，注意到，
所以，
所以离心率，
故选：B.
【分析】首先作图，取MN中点D，得到，结合直线斜率求出三边之间关系式，从而得到c与x关系，然后根据勾股定理得到a与x关系，最后求出离心率.
二、多选题
9．（2023高二下·黔西期末）若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】A选项：
当时，，
因此A选项错误.
B选项：
当时，，
因此B选项错误.
C选项：
因为，
所以
因此C选项正确.
D选项：
当时，a，b为负数，无法开根号
因此D选项错误.
故选：ABD.
【分析】根据不等式的性质可知，两边同乘以负数，不等号要变号，说明A选项错误；取特殊值法，可以验证B选项和D选项也是错误的.
10．（2023高二下·黔西期末）为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表：
其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为和，并且计算相关系数，经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ）
A．点必在回归直线上，即
B．变量，负线性相关
C．当，则必有
D．
【答案】A,B,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项：
回归直线方程必过样本中心点，
所以有直线方程：，
因此A选项正确.
B选项：
相关系数，
所以， 所以成负相关性， 因此B选项正确.
C选项： 当时， ，但不一定是， 因此C选项错误.
D选项： 相关系数， 所以， 因此D正确.
故选：ABD.
【分析】由回归直线方程必过样本中心点，代入可知直线方程，A选项正确；由相关系数为负数可知B选项和D选项正确.
11．（2023高三上·唐山期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A选项，若，则可能异面，A选项错误.
B选项，若，则，B选项正确.
C选项，若，则可能相交，C选项正确.
D选项，若，则，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】利用空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项进行判断，可得答案.
12．（2023高二下·黔西期末）已知函数且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A．若为偶函数，则
B．若的一个对称中心为，则
C．若在区间上单调递增，则的最大值为
D．若在区间内有三个零点，则
【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意只，
，
，
所以周期，
又因为图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以最小正周期，
所以，
所以，
A选项：
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
因此A选项正确，
B选项：
因为的一个对称中心为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
因此B选项错误，
C选项：
因为在区间单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以最大值，
因此C选项正确，
D选项：
因为在区间内有三个零点，且最小正周期为，
所以，
所以，
因此D选项正确，
故选：ACD.
【分析】首先利用辅助角公式对表达式进行化简，根据正弦函数的性质，结合各选项条件，分别求出值.
三、填空题
13．（2023高二下·黔西期末）若，且为第三象限角，则 ；
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，
且，
所以，
又因为为第三象限角，
所以，
所以.
【分析】利用，结合三角函数值在各象限的正负判断，求出值.
14．（2023高二下·黔西期末）的展开式中含项的系数为 ．
【答案】80
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】对进行展开，
求得通项公式为，
所以化简后得到，
要求项的系数，
所以设，
所以，
此时项的系数为：.
故答案为：80
【分析】根据二项式定理的展开式，得到通项公式，根据题意找出含项的系数.
15．（2023高二下·黔西期末）一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高．如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意可知，
两个球缺，高之比为，且，
化简求得，
所以，
所以.
故答案为：
【分析】找到两个球缺对应高，分别与球半径R之间的关系式，再结合题目所给球缺体积公式，代入化简，得到体积之比.
16．（2023高二下·黔西期末）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ．
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对曲线求导，
所以，
设切点坐标为，，
所以斜率为
所以切线方程为：，
代入，
所以化简得：
设，
所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，有最大值0，
所以a的范围为.
故答案为：
【分析】首先利用求导，求出切线斜率，设出切点，进一步求出切线方程，再次利用求导数，得到函数单调性，进而得到a的取值范围.
四、解答题
17．（2023高二下·黔西期末）已知等差数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设公差为，由得，，解得，
∴；
（2）解：由得，
∴.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）首先根据等差数列的前n项和的公式，联立方程组，求出首项和公差，代入求得等差数列的通项公式.
（2）首先将（1）中求出的通项公式代入得到，分拆成一个等差和一个等比，分别求和，最后得到的前n项和.
18．（2023高二下·黔西期末）在中，角所对的边分别为，．
（1）求角；
（2）若的面积为，且，求的周长．
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，即，
即，，
，
（2）解：，
又，
所以，即（负值舍去），
又，所以的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理，将等式左右两边的边转换为三角，再结合三角形内角和为，将∠C转换为∠B与∠A，最后得到∠A的正切值，再求出∠A值.
（2）利用三角函数表达出三角形面积，再结合余弦定理，化简求的值，得到三角形周长.
19．（2023高二下·黔西期末）2022年9月23日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片《亚运+1》和主办城市推广曲《最美的风景》．杭州某大学从全校学生中随机抽取了1200名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，
收看 未收看
男生 600 200
女生 200 200
参考公式和数据：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据以上数据说明，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，参加杭州2023年第19届亚运会志愿者宣传活动．若从这8人中随机选取2人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍．记为人选的2人中女生的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：零假设：学生是否收看宣传片与性别无关．
由题中数据可知，，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以，可以认为学生是否收看宣传片与性别有关．
（2）解：根据分层抽样方法，选取的8人中，男生有人，女生有人，
根据题意，所有可能取值为0，1，2．
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）首先作出原假设，根据独立性检验公式，代入各项参数值，对照所给表，可知原假设不成立，所以宣传片与性别有关.
（2）根据分层抽样可知，分别计算出样本中男生和女生的人数，再求出女生人数的各个概率，列出分布列，最后求出期望.
20．（2023高二下·黔西期末）如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.
（1）求证：平面；
（2）若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：作，垂足为，易证，四边形为正方形.
所以，.又，
因为，所以.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，所以平面.
（2）解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
则，，.
设平面的法向量为，
由，得，
令，可得平面的一个法向量为.
设与平面所成角为，
则.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先由勾股定理得到线线垂直，再由题意所给线面垂直的性质，得到另外一组线线垂直，最后由这两组线线垂直，得到线面垂直.
(2)首先建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，再求得向量坐标，进一步求出平面的法向量，最后再利用向量求出直线与平面的夹角.
21．（2023高二下·黔西期末）已知函数，．
（1）若在上是增函数，求的取值范围；
（2）若在上的最小值，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，所以，
令，则，
因为在上是增函数，所以，则恒成立，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，故，则，此时在上是増函数，
所以的取值范围是，
（2）解：由（1）知在上是增函数，，
当时，在上单调递增，，
令，得，故；
当，即时，，在上单调递减，，
令，解得，此时不存在；
当时，，存在，使得，即，
故当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，
所以，令，解得，此时不存在；
综上所述，的取值范围是.
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)首先对求导，得到一次导数表达式，分母显然大于0，所以对分子的正负性进行讨论，结合题意在上是增函数，可见分子范围恒大于等于0，对再次单独求导，利用单调性，可得最小值，从而得到a范围.
(2)根据(1)可知在上是增函数，分别对a进行讨论，可以得到的范围，进一步得到在上的最小值，从而求出a的取值范围.
22．（2023高二下·黔西期末）已知，分别为椭圆：的左，右顶点，椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆上异于，的一点，且直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为，
（2）证明：由（1）可知，由题意可知存在，且不为零，设，
则，，
所以，
所以设直线为，则直线为，
将代入直线，得，
所以，所以直线为，
由，得，
设，则，得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为为公共点，所以，，三点共线．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)代入椭圆方程经过的点坐标，已知离心率得到a，c关系，再结合椭圆方程的性质可知a，b，c之间关系式，联立方程组，求出a，b，c值，代入得到椭圆的标准方程.
(2)设出椭圆上点P坐标，根据两点坐标，分别表示出直线，的斜率，求得斜率之积为一个常数，然后分别设出两条直线方程，代入横坐标，求出M、N点坐标，最后再将BN直线方程与椭圆方程，联立方程组，求出Q点坐标，化简得到直线AN与直线AQ斜率相同，故三点共线.
1 / 1贵州省黔西南州2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·黔西期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·黔西期末）若复数满足，则（ ）
A． B．5 C． D．6
3．（2023高二下·黔西期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·黔西期末）在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
5．（2023高二下·黔西期末）为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派5名优秀的教师到、、、四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
6．（2023高二下·黔西期末）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2023高二下·黔西期末）函数，上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高二下·黔西期末）已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·黔西期末）若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·黔西期末）为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表：
其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为和，并且计算相关系数，经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ）
A．点必在回归直线上，即
B．变量，负线性相关
C．当，则必有
D．
11．（2023高三上·唐山期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．（2023高二下·黔西期末）已知函数且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A．若为偶函数，则
B．若的一个对称中心为，则
C．若在区间上单调递增，则的最大值为
D．若在区间内有三个零点，则
三、填空题
13．（2023高二下·黔西期末）若，且为第三象限角，则 ；
14．（2023高二下·黔西期末）的展开式中含项的系数为 ．
15．（2023高二下·黔西期末）一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高．如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比 ．
16．（2023高二下·黔西期末）若曲线有两条过的切线，则的范围是 ．
四、解答题
17．（2023高二下·黔西期末）已知等差数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（2023高二下·黔西期末）在中，角所对的边分别为，．
（1）求角；
（2）若的面积为，且，求的周长．
19．（2023高二下·黔西期末）2022年9月23日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片《亚运+1》和主办城市推广曲《最美的风景》．杭州某大学从全校学生中随机抽取了1200名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，
收看 未收看
男生 600 200
女生 200 200
参考公式和数据：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据以上数据说明，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，参加杭州2023年第19届亚运会志愿者宣传活动．若从这8人中随机选取2人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍．记为人选的2人中女生的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
20．（2023高二下·黔西期末）如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.
（1）求证：平面；
（2）若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.
21．（2023高二下·黔西期末）已知函数，．
（1）若在上是增函数，求的取值范围；
（2）若在上的最小值，求的取值范围．
22．（2023高二下·黔西期末）已知，分别为椭圆：的左，右顶点，椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆上异于，的一点，且直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】对集合B进行求解：
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】首先对B集合解不等式，求得集合B，再根据A中变量范围，取得交集.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】对等式化简，得到复数z的表达式，再根据定义求出复数z的模.
3．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】因为，
所以，
因为斜率等于倾斜角的正切值，
所以，又
所以，
故选：B.
【分析】根据一般式，转换为斜截式，通过定义可知斜率等于倾斜角的正切值，求出倾斜角度数.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】因为是等差数列，
所以，
因为，且，
所以，
因为 公差，
所以，
所以，
故选：B.
【分析】根据等差数列的性质，可知，求出值，由此可以求出公差d，再计算出.
5．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】5名老师分派到四所学校，每所学校至少派一人，
所以其中一所学校安排两个老师，剩余三所学校分别安排一位老师：
，
故选：C.
【分析】由题意可知，5名老师选出任意两人进行搭配，有种情况，再进行排列组合，同时四所学校会有四种不同分派方式，最终得到所有方案的情况.
6．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意可知，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
【分析】利用向量的共线，构造等式，结合向量坐标的加减进行化简，联立方程组，求得k值.
7．【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为函数，
所以，
所以，
所以，
所以是奇函数，
因此排除AB选项，
当x趋近于时，
，
，
所以，
所以排除C选项，
故选：D.
【分析】利用函数的奇偶性，排除AB选项，再对函数特殊取值，排除C选项.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】作图，取MN中点为D，
因为，
所以，
根据双曲线方程的性质，可知，，
所以，
所以，
又因为，
又因为过的直线斜率为，
所以，
设出，
所以，
又因为，
所以，
在中，，注意到，
所以，
所以离心率，
故选：B.
【分析】首先作图，取MN中点D，得到，结合直线斜率求出三边之间关系式，从而得到c与x关系，然后根据勾股定理得到a与x关系，最后求出离心率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】A选项：
当时，，
因此A选项错误.
B选项：
当时，，
因此B选项错误.
C选项：
因为，
所以
因此C选项正确.
D选项：
当时，a，b为负数，无法开根号
因此D选项错误.
故选：ABD.
【分析】根据不等式的性质可知，两边同乘以负数，不等号要变号，说明A选项错误；取特殊值法，可以验证B选项和D选项也是错误的.
10．【答案】A,B,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项：
回归直线方程必过样本中心点，
所以有直线方程：，
因此A选项正确.
B选项：
相关系数，
所以， 所以成负相关性， 因此B选项正确.
C选项： 当时， ，但不一定是， 因此C选项错误.
D选项： 相关系数， 所以， 因此D正确.
故选：ABD.
【分析】由回归直线方程必过样本中心点，代入可知直线方程，A选项正确；由相关系数为负数可知B选项和D选项正确.
11．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A选项，若，则可能异面，A选项错误.
B选项，若，则，B选项正确.
C选项，若，则可能相交，C选项正确.
D选项，若，则，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】利用空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意只，
，
，
所以周期，
又因为图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以最小正周期，
所以，
所以，
A选项：
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
因此A选项正确，
B选项：
因为的一个对称中心为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
因此B选项错误，
C选项：
因为在区间单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以最大值，
因此C选项正确，
D选项：
因为在区间内有三个零点，且最小正周期为，
所以，
所以，
因此D选项正确，
故选：ACD.
【分析】首先利用辅助角公式对表达式进行化简，根据正弦函数的性质，结合各选项条件，分别求出值.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，
且，
所以，
又因为为第三象限角，
所以，
所以.
【分析】利用，结合三角函数值在各象限的正负判断，求出值.
14．【答案】80
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】对进行展开，
求得通项公式为，
所以化简后得到，
要求项的系数，
所以设，
所以，
此时项的系数为：.
故答案为：80
【分析】根据二项式定理的展开式，得到通项公式，根据题意找出含项的系数.
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意可知，
两个球缺，高之比为，且，
化简求得，
所以，
所以.
故答案为：
【分析】找到两个球缺对应高，分别与球半径R之间的关系式，再结合题目所给球缺体积公式，代入化简，得到体积之比.
16．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对曲线求导，
所以，
设切点坐标为，，
所以斜率为
所以切线方程为：，
代入，
所以化简得：
设，
所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，有最大值0，
所以a的范围为.
故答案为：
【分析】首先利用求导，求出切线斜率，设出切点，进一步求出切线方程，再次利用求导数，得到函数单调性，进而得到a的取值范围.
17．【答案】（1）解：设公差为，由得，，解得，
∴；
（2）解：由得，
∴.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）首先根据等差数列的前n项和的公式，联立方程组，求出首项和公差，代入求得等差数列的通项公式.
（2）首先将（1）中求出的通项公式代入得到，分拆成一个等差和一个等比，分别求和，最后得到的前n项和.
18．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，即，
即，，
，
（2）解：，
又，
所以，即（负值舍去），
又，所以的周长为.
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理，将等式左右两边的边转换为三角，再结合三角形内角和为，将∠C转换为∠B与∠A，最后得到∠A的正切值，再求出∠A值.
（2）利用三角函数表达出三角形面积，再结合余弦定理，化简求的值，得到三角形周长.
19．【答案】（1）解：零假设：学生是否收看宣传片与性别无关．
由题中数据可知，，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以，可以认为学生是否收看宣传片与性别有关．
（2）解：根据分层抽样方法，选取的8人中，男生有人，女生有人，
根据题意，所有可能取值为0，1，2．
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）首先作出原假设，根据独立性检验公式，代入各项参数值，对照所给表，可知原假设不成立，所以宣传片与性别有关.
（2）根据分层抽样可知，分别计算出样本中男生和女生的人数，再求出女生人数的各个概率，列出分布列，最后求出期望.
20．【答案】（1）证明：作，垂足为，易证，四边形为正方形.
所以，.又，
因为，所以.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，所以平面.
（2）解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
则，，.
设平面的法向量为，
由，得，
令，可得平面的一个法向量为.
设与平面所成角为，
则.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先由勾股定理得到线线垂直，再由题意所给线面垂直的性质，得到另外一组线线垂直，最后由这两组线线垂直，得到线面垂直.
(2)首先建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，再求得向量坐标，进一步求出平面的法向量，最后再利用向量求出直线与平面的夹角.
21．【答案】（1）解：因为，所以，
令，则，
因为在上是增函数，所以，则恒成立，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，故，则，此时在上是増函数，
所以的取值范围是，
（2）解：由（1）知在上是增函数，，
当时，在上单调递增，，
令，得，故；
当，即时，，在上单调递减，，
令，解得，此时不存在；
当时，，存在，使得，即，
故当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，
所以，令，解得，此时不存在；
综上所述，的取值范围是.
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)首先对求导，得到一次导数表达式，分母显然大于0，所以对分子的正负性进行讨论，结合题意在上是增函数，可见分子范围恒大于等于0，对再次单独求导，利用单调性，可得最小值，从而得到a范围.
(2)根据(1)可知在上是增函数，分别对a进行讨论，可以得到的范围，进一步得到在上的最小值，从而求出a的取值范围.
22．【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为，
（2）证明：由（1）可知，由题意可知存在，且不为零，设，
则，，
所以，
所以设直线为，则直线为，
将代入直线，得，
所以，所以直线为，
由，得，
设，则，得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为为公共点，所以，，三点共线．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)代入椭圆方程经过的点坐标，已知离心率得到a，c关系，再结合椭圆方程的性质可知a，b，c之间关系式，联立方程组，求出a，b，c值，代入得到椭圆的标准方程.
(2)设出椭圆上点P坐标，根据两点坐标，分别表示出直线，的斜率，求得斜率之积为一个常数，然后分别设出两条直线方程，代入横坐标，求出M、N点坐标，最后再将BN直线方程与椭圆方程，联立方程组，求出Q点坐标，化简得到直线AN与直线AQ斜率相同，故三点共线.
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