浙江省温州市十校联合体2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
1．（2023高二下·温州期末）集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·温州期末）复数的实部与虚部互为相反数，且满足，，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高二下·温州期末）函数的大致图象为
A． B．
C． D．
4．（2023高二下·温州期末）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（ ）
A． B． C．20 D．40
5．（2023高二下·温州期末）冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，.关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）
A．4班的平均分比5班的平均分高
B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散
C．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等
6．（2023高二下·温州期末）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件为其在前两轮射击中没有被罚时，事件为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·温州期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C． D．
8．（2023高二下·温州期末）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高二下·温州期末）已知数列的前项和为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·温州期末）已知圆，点，点在圆上，为原点，则下列命题正确的是（ ）
A．在圆上 B．线段长度的最大值为
C．当直线与圆相切时， D．的最大值为
11．（2023高二下·温州期末）已知，，为实数，则满足函数有且仅有一个零点的条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．（2023高二下·温州期末）已知三棱锥，，其余棱长均为，则下列命题正确的是（ ）
A．该几何体外接球的表面积为
B．直线和所成的角的余弦值是
C．若点在线段上，则最小值为3
D．到平面的距离是
13．（2023高二下·温州期末）已知平面向量，，，，，则的值是 .
14．（2023高二下·温州期末）如图所示，为平面四边形的对角线，设，，为等边三角形，则四边形的面积的最大值为 .
15．（2023高二下·温州期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 .
16．（2023高二下·温州期末）函数为数学家高斯创造的取整函数，表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，且，若，则数列的前2023项和为 .
17．（2023高二下·温州期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求到平面的距离.
18．（2023高二下·温州期末）设公差不为零的等差数列，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，数列的前项和为，求使得成立的最小正整数.
19．（2023高二下·温州期末）中，三个内角，，所对的边分别为，，且
（1）若，，求内切圆的半径长；
（2）已知，，求的面积.
20．（2023高二下·温州期末）三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为类青蟹
（1）现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用表示其中类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望；
（2）另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有只，若，试给出蟹池中青蟹数目的估计值（以使取得最大值的为估计值）.
21．（2023高二下·温州期末）已知函数，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，总有，求的最大值.
22．（2023高二下·温州期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得，
，，
∴
故选：C.
【分析】求出A、B集合，再求出 .
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵，
∴，
∵复数的实部与虚部互为相反数，，
∴
∴复数在复平面上对应的点位于第二象限，
故选：B.
【分析】根据复数的运算法则化简求出，根据题意求出，即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】∵，
∴为偶函数，排除选项AC ，
∵当x取无穷大时趋近1，最大值为1，
∴函数最大值不能超过1，
故选：D.
【分析】确定函数的奇偶性，排除AC，再根据函数的取值确定函数图象.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令时，
解得：，
根据二项式定理可得，
，
，
∴，
故选：A.
【分析】 根据展开式中各项系数的和为，求出，再根据二项式定理求出常数项即可.
5．【答案】D
【知识点】总体分布的估计
【解析】【解答】A、4班的平均分98比5班的平均分108低，选项错误；
B、5班图象矮胖，成绩更分散，选项错误；
C、 的最大值为，则，，选项错误；
D、 的最大值为，则，5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等，选项正确.
故选：D.
【分析】根据图像，判断AB选项，根据正态分布的对称性判断CD选项.
6．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】根据题意可得，
’
∴，
故选：C.
【分析】 事件前三轮中有一次没有击中， 第4轮射击中有2次没有击中，事件第三轮有1发击中，第4轮射击中有2次没有击中.
7．【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意可得：
，
∵的奇函数，
∴，，
解得，
设，
则，
的对称中心为，
即，
原始，
故选：C.
【分析】的对称中心为，即，据此分析求出答案.
8．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】令，
，
当时，，
∴在单调递增，
∵，
∴，
∴，
令，
∵，
∴在单调递减，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，
，
当时，，
∴在单调递增，
∵，
∴，
∴
∴，
∴ ，
故选：D.
【分析】构造函数令，令，求出导数，根据单调性判断大小.
9．【答案】A,C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，A选项正确.
当时，
，
，
①-②得，
∴
即，
∵，
∴，B选项错误；
∴ ，C选项正确；
∵，
∴，D选项错误.
【分析】根据题意求出，逐项判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】A、 把点， 代入圆的方程可得，不在圆上，选项错误.
B、线段，长度的最大值为，选项正确.
C、当直线与圆相切时，解得，选项正确.
D、设动点，，，，把，
代入，，最大值为 ，选项正确.
故选：BCD.
【分析】把点，代入圆的方程判断A，圆外一点到圆上一点的距离判断B选项，切线长与半径及点与圆心距离的勾股定理判断C，向量乘积判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 A、当，时， ，，函数在R上单调递增，当时，，当时，，∴函数与x轴只有一个交点，故A正确.
B、当，时，，，函数在R上单调递增，当时，，当时，，∴函数与x轴只有一个交点，故B正确.
C、当，时，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
在x=-1取极大值，，在x=1取极小值，
函数，当时，，当时，，∴函数与x轴有二个交点，故C不正确.
D、当，时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
在x=-1取极大值，，在x=1取极小值，
函数在R上单调递增，当时，，当时，，∴函数与x轴只有一个交点，故D正确.
【分析】对函数求导，根据导数的单调性判断出极值，再根据当时，取值，判断与x轴交点的个数.
12．【答案】A,B
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】A、把三棱锥放在长方体中如图所示， 三棱锥为正方体各面的对角线，根据题意可得，
，，，
解得：AH=2，AE=AN=1，
长方体的对角线长为：，
三棱锥和长方体有相同的外接球，外接球的面积为，故选项正确.
B、连接CD、NF交于点O，
∵
∴直线和所成的角就是直线和所成的角，
根据余弦定理可得：
直线和所成的角的余弦值是，选项错误.
C、以CD为轴旋转△ACD至与△BCD 为同一个平面，
∵BC＝AD，BD=CA，
∴四边形ACBD为平行四边形，
当M为CD中点时， 的值最小，
在△BCD 中，根据余弦定理可得，
，
在△BCM 中，根据余弦定理可得，
，
，
最小值为，选项正确.
D、到平面的距离是由A选项可知，长方体ANCH-EDFB的体积为2x1x1=2，
∴，
由C选项，
所
∴A到平面BCD的距离为，选项正确，
故答案为：ACD.
【分析】A选项求出长方体的对角线长，根据球的表面积公式求出即可.B选项连接CD、NF交于点O，根据余弦定理求出余弦值.C选项以CD为轴旋转△ACD至与△BCD 为同一个平面，在△BCD 和在△BCM 中根据余弦定理求出.Ｄ选项长方体ANCH-EDFB的体积为2x1x1=2，根据Ｃ选项求出，求出，再求出距离．
13．【答案】3
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】设，求出向量，再根据向量距离求出.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
，
，
∴四边形的面积
，
∵，
当时，有最大值：
【分析】正弦定理求出，余弦定理求出，把 四边形的面积表示出即可.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据 与的面积相等可得，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据 与的面积相等可得，，得到，求出离心率.
16．【答案】4962
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】 ∵，
∴，
即，
∴，
∴，
当时，时，
；
当时，时，
；
当时，时，
；
当时，时，
；
数列的前2023项和为，
故答案为：4962.
【分析】根据题意求出，，分情况求出数列的前2023项和 .
17．【答案】（1）证明：因为是正方体，所以平面，所以.
又，，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）解：在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
，设平面的一个法向量为，.
由令，则，， ，设平面的一个法向量为，.
设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】 (1)、证明平面，平面，即可证明两个平面垂直.
(2)、，设平面的一个法向量为，求出，根据距离公式求出.
18．【答案】（1）解：设等差数列公差为，由题知，
，解得，所以.
（2）解：因为，
所以，
由得，解得，
由且，得最小正整数为4
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的实际应用
【解析】【分析】 (1)、 设等差数列公差为，由题知列出等式，求出首相和等差，即可求出通项公式.
(2)、 整理变形，通过裂项相消求出 ， 再求出最小整数n.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
由得，
由，解得，
∴，
设内切圆的半径长为，
则，所以.
（2）解：由及已知条件得：，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
由得为锐角，∴，，，，
∴，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)、 根据余弦定理求出b、c，根据三角形面积公式求出面积，根据等面积求出半径.
(2)、 由及已知条件得：，通过角的和差公式求出，再根据正弦定理求出.
20．【答案】（1）解：由题意的取值为0，1，2
，，
分布列为
0 1 2
（2）解：设
，
所以时，
时，，时，
所以当或200时，最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)、 由题意的取值为0，1，2，先求出概率，再求出期望值.
(2)、 设，求出估计值，当或200时最大.
21．【答案】（1）解：当时，，，
可知，，
故切线方程为，即.
（2）解：若，总有，即，
得，恒成立，即，
设，，，
设，，
单调递增，代入可知，，
令，且，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故
，
因是整数，故的最大值为.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)、 当时写出函数方程和导数，求出切线方程.
(2)、 若，总有，设，求出导函数，设并求出导函数，单调递增，令，且，求出.
22．【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】 (1)、 设直线的方程为，代入抛物线，设，，则，求出抛物线方程.
(2)、①设，，由，可得，则，求出斜率，解得，即可证明垂直.
②由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，求出，把面积表示出来，求出最小值.
1 / 1浙江省温州市十校联合体2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
1．（2023高二下·温州期末）集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得，
，，
∴
故选：C.
【分析】求出A、B集合，再求出 .
2．（2023高二下·温州期末）复数的实部与虚部互为相反数，且满足，，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】∵，
∴，
∵复数的实部与虚部互为相反数，，
∴
∴复数在复平面上对应的点位于第二象限，
故选：B.
【分析】根据复数的运算法则化简求出，根据题意求出，即可求出答案.
3．（2023高二下·温州期末）函数的大致图象为
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】∵，
∴为偶函数，排除选项AC ，
∵当x取无穷大时趋近1，最大值为1，
∴函数最大值不能超过1，
故选：D.
【分析】确定函数的奇偶性，排除AC，再根据函数的取值确定函数图象.
4．（2023高二下·温州期末）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（ ）
A． B． C．20 D．40
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令时，
解得：，
根据二项式定理可得，
，
，
∴，
故选：A.
【分析】 根据展开式中各项系数的和为，求出，再根据二项式定理求出常数项即可.
5．（2023高二下·温州期末）冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，.关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）
A．4班的平均分比5班的平均分高
B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散
C．4班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等
【答案】D
【知识点】总体分布的估计
【解析】【解答】A、4班的平均分98比5班的平均分108低，选项错误；
B、5班图象矮胖，成绩更分散，选项错误；
C、 的最大值为，则，，选项错误；
D、 的最大值为，则，5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等，选项正确.
故选：D.
【分析】根据图像，判断AB选项，根据正态分布的对称性判断CD选项.
6．（2023高二下·温州期末）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件为其在前两轮射击中没有被罚时，事件为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】根据题意可得，
’
∴，
故选：C.
【分析】 事件前三轮中有一次没有击中， 第4轮射击中有2次没有击中，事件第三轮有1发击中，第4轮射击中有2次没有击中.
7．（2023高二下·温州期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意可得：
，
∵的奇函数，
∴，，
解得，
设，
则，
的对称中心为，
即，
原始，
故选：C.
【分析】的对称中心为，即，据此分析求出答案.
8．（2023高二下·温州期末）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】令，
，
当时，，
∴在单调递增，
∵，
∴，
∴，
令，
∵，
∴在单调递减，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，
，
当时，，
∴在单调递增，
∵，
∴，
∴
∴，
∴ ，
故选：D.
【分析】构造函数令，令，求出导数，根据单调性判断大小.
9．（2023高二下·温州期末）已知数列的前项和为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，A选项正确.
当时，
，
，
①-②得，
∴
即，
∵，
∴，B选项错误；
∴ ，C选项正确；
∵，
∴，D选项错误.
【分析】根据题意求出，逐项判断即可.
10．（2023高二下·温州期末）已知圆，点，点在圆上，为原点，则下列命题正确的是（ ）
A．在圆上 B．线段长度的最大值为
C．当直线与圆相切时， D．的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】A、 把点， 代入圆的方程可得，不在圆上，选项错误.
B、线段，长度的最大值为，选项正确.
C、当直线与圆相切时，解得，选项正确.
D、设动点，，，，把，
代入，，最大值为 ，选项正确.
故选：BCD.
【分析】把点，代入圆的方程判断A，圆外一点到圆上一点的距离判断B选项，切线长与半径及点与圆心距离的勾股定理判断C，向量乘积判断D选项.
11．（2023高二下·温州期末）已知，，为实数，则满足函数有且仅有一个零点的条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 A、当，时， ，，函数在R上单调递增，当时，，当时，，∴函数与x轴只有一个交点，故A正确.
B、当，时，，，函数在R上单调递增，当时，，当时，，∴函数与x轴只有一个交点，故B正确.
C、当，时，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
在x=-1取极大值，，在x=1取极小值，
函数，当时，，当时，，∴函数与x轴有二个交点，故C不正确.
D、当，时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
在x=-1取极大值，，在x=1取极小值，
函数在R上单调递增，当时，，当时，，∴函数与x轴只有一个交点，故D正确.
【分析】对函数求导，根据导数的单调性判断出极值，再根据当时，取值，判断与x轴交点的个数.
12．（2023高二下·温州期末）已知三棱锥，，其余棱长均为，则下列命题正确的是（ ）
A．该几何体外接球的表面积为
B．直线和所成的角的余弦值是
C．若点在线段上，则最小值为3
D．到平面的距离是
【答案】A,B
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】A、把三棱锥放在长方体中如图所示， 三棱锥为正方体各面的对角线，根据题意可得，
，，，
解得：AH=2，AE=AN=1，
长方体的对角线长为：，
三棱锥和长方体有相同的外接球，外接球的面积为，故选项正确.
B、连接CD、NF交于点O，
∵
∴直线和所成的角就是直线和所成的角，
根据余弦定理可得：
直线和所成的角的余弦值是，选项错误.
C、以CD为轴旋转△ACD至与△BCD 为同一个平面，
∵BC＝AD，BD=CA，
∴四边形ACBD为平行四边形，
当M为CD中点时， 的值最小，
在△BCD 中，根据余弦定理可得，
，
在△BCM 中，根据余弦定理可得，
，
，
最小值为，选项正确.
D、到平面的距离是由A选项可知，长方体ANCH-EDFB的体积为2x1x1=2，
∴，
由C选项，
所
∴A到平面BCD的距离为，选项正确，
故答案为：ACD.
【分析】A选项求出长方体的对角线长，根据球的表面积公式求出即可.B选项连接CD、NF交于点O，根据余弦定理求出余弦值.C选项以CD为轴旋转△ACD至与△BCD 为同一个平面，在△BCD 和在△BCM 中根据余弦定理求出.Ｄ选项长方体ANCH-EDFB的体积为2x1x1=2，根据Ｃ选项求出，求出，再求出距离．
13．（2023高二下·温州期末）已知平面向量，，，，，则的值是 .
【答案】3
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】设，求出向量，再根据向量距离求出.
14．（2023高二下·温州期末）如图所示，为平面四边形的对角线，设，，为等边三角形，则四边形的面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
，
，
∴四边形的面积
，
∵，
当时，有最大值：
【分析】正弦定理求出，余弦定理求出，把 四边形的面积表示出即可.
15．（2023高二下·温州期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据 与的面积相等可得，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据 与的面积相等可得，，得到，求出离心率.
16．（2023高二下·温州期末）函数为数学家高斯创造的取整函数，表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，且，若，则数列的前2023项和为 .
【答案】4962
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】 ∵，
∴，
即，
∴，
∴，
当时，时，
；
当时，时，
；
当时，时，
；
当时，时，
；
数列的前2023项和为，
故答案为：4962.
【分析】根据题意求出，，分情况求出数列的前2023项和 .
17．（2023高二下·温州期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求到平面的距离.
【答案】（1）证明：因为是正方体，所以平面，所以.
又，，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）解：在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
，设平面的一个法向量为，.
由令，则，， ，设平面的一个法向量为，.
设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】 (1)、证明平面，平面，即可证明两个平面垂直.
(2)、，设平面的一个法向量为，求出，根据距离公式求出.
18．（2023高二下·温州期末）设公差不为零的等差数列，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，数列的前项和为，求使得成立的最小正整数.
【答案】（1）解：设等差数列公差为，由题知，
，解得，所以.
（2）解：因为，
所以，
由得，解得，
由且，得最小正整数为4
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的实际应用
【解析】【分析】 (1)、 设等差数列公差为，由题知列出等式，求出首相和等差，即可求出通项公式.
(2)、 整理变形，通过裂项相消求出 ， 再求出最小整数n.
19．（2023高二下·温州期末）中，三个内角，，所对的边分别为，，且
（1）若，，求内切圆的半径长；
（2）已知，，求的面积.
【答案】（1）解：因为，所以，
由得，
由，解得，
∴，
设内切圆的半径长为，
则，所以.
（2）解：由及已知条件得：，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
由得为锐角，∴，，，，
∴，.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)、 根据余弦定理求出b、c，根据三角形面积公式求出面积，根据等面积求出半径.
(2)、 由及已知条件得：，通过角的和差公式求出，再根据正弦定理求出.
20．（2023高二下·温州期末）三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为类青蟹
（1）现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用表示其中类青蟹的只数，请写出的分布列，并求的数学期望；
（2）另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有只，若，试给出蟹池中青蟹数目的估计值（以使取得最大值的为估计值）.
【答案】（1）解：由题意的取值为0，1，2
，，
分布列为
0 1 2
（2）解：设
，
所以时，
时，，时，
所以当或200时，最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)、 由题意的取值为0，1，2，先求出概率，再求出期望值.
(2)、 设，求出估计值，当或200时最大.
21．（2023高二下·温州期末）已知函数，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，总有，求的最大值.
【答案】（1）解：当时，，，
可知，，
故切线方程为，即.
（2）解：若，总有，即，
得，恒成立，即，
设，，，
设，，
单调递增，代入可知，，
令，且，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故
，
因是整数，故的最大值为.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)、 当时写出函数方程和导数，求出切线方程.
(2)、 若，总有，设，求出导函数，设并求出导函数，单调递增，令，且，求出.
22．（2023高二下·温州期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】 (1)、 设直线的方程为，代入抛物线，设，，则，求出抛物线方程.
(2)、①设，，由，可得，则，求出斜率，解得，即可证明垂直.
②由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，求出，把面积表示出来，求出最小值.
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