(共32张PPT)
第1课时 不等关系与不等式
预学案
共学案
预学案
一、不等关系与不等式
(1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和________，常用________来研究含有不等关系的问题．
(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________，以表示不等关系．“a≠b”应包含“a>b”或“a
不等关系
不等式
代数式
微点拨
(1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a(2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一．
【即时练习】 据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃，则明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是( )
A. t≤13 ℃ B．t＜13 ℃
C．t＝13 ℃ D．t＞13 ℃
答案：A
解析：∵明天白天的最高温度为13 ℃，∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃，故选A.
二、两个实数的大小关系
依据 a>b ____________
a＝b ____________
a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________与0的大小
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
差
【即时练习】 已知M＝x2＋5x＋6，N＝2x2＋5x＋8，则M，N的大小关系是________．
M解析：由于N－M＝x2＋2>0，所以M三、重要不等式
a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
≥
a＝b
【即时练习】 已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，则xy的最大值是________．
2
解析：由于x2＋y2≥2xy，所以2xy≤4，故xy的最大值为2.
微点拨
比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
共学案
【学习目标】
(1)能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
(2)初步学会作差法比较两实数的大小．
题型 1 用不等式(组)表示不等关系
【问题探究1】 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示：①最低限速50 km/h，v≥50.②限制质量10 t，0<ω≤10.③限制高度3.5 m，0例1 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组．
家电名称 空调 彩电 冰箱
工时(h)
解析：由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．
因为每周所用工时不超过40 h，
所以x＋y＋(120－x－y)≤40，即3x＋y≤120；
又每周至少生产冰箱20台，
所以120－x－y≥20，即x＋y≤100.
所以满足题意的不等式组为
题后师说
用不等式(组)表示不等关系的步骤
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是____________．
(2)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为____________．
4.5t<28 000
8(x＋19)>2 200
解析：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．
题型 2 作差法比较大小
【问题探究2】 在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
例2 比较下列各组中代数式的大小．
(1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0；
(2)2a2＋2b2与(a＋b)2.
解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，
故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)．
(2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2
＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.
题后师说
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2.
∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0，
即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．
题型 3 重要不等式
【问题探究3】
如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示：正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一点，这时有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
例3 已知a>0，b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
学霸笔记：比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明．
跟踪训练3 已知a>0，b>0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．
证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
随堂练习
1.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72 000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A．a＋b＋c<130且abc<72 000
B．a＋b＋c>130且abc>72 000
C．a＋b＋c≤130且abc≤72 000
D．a＋b＋c≥130且abc≥72 000
答案：C
解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
答案：A
解析：由题意，可得400x＋500y≤20 000，化简得4x＋5y≤200.故选A.
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
答案：A
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以M>N.故选A.
4．若实数a≥b，则a2－ab________ba－b2(填“≥”或“≤”)．
≥
解析：因为a≥b，所以a－b≥0，所以(a2－ab)－(ba－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，即a2－ab≥ba－b2.
课堂小结
1.用不等式(组)表示不等关系．
2．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法．
3．重要不等式 a，b∈R，a2＋b2≥2ab的应用．(共28张PPT)
第2课时 等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
微点拨
(1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性．
(2)性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性；运算中的不变性就是性质．
【即时练习】 (多选)下列运用等式的性质变形正确的是( )
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝b D．若x＝y，则＝
答案：ABC
解析：对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，故A正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，故B正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，故C正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故D错误．
二、不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b，b>c a>c ______
3 可加性 a>b a＋c____b＋c ______
4 可乘性 a>b，c>0 ________ a>b，c<0 ________ c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d ________ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________ 同向
7 可乘方性 a>b>0 an____bn(n∈N，n≥2) 同正
<
不可逆
>
可逆
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
>
微点拨
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反．性质4中的a，b可以是实数，也可以是式子．
(3)性质5中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d.
(4)性质6是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘，即若，则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“ ”表示等价关系，可以互相推出，而符号“ ”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若>1，则a>b.( )
(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b>0.( )
(3) x∈R，都有x2>x－1.( )
(4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.( )
×
×
√
×
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
答案：D
解析：可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.
共学案
【学习目标】
(1)了解等式的性质．
(2)掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
【问题探究】 根据你的预习回答：
(1)若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示：(1)a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
题型 1 利用不等式的基本性质判断命题的真假
例1 (多选)下列结论正确的是( )
A．若a>b，则ac>bc B．若a>b>0，则<
C．若ac2>bc2，则a>b D．若a答案：BC
解析：对于A：当a>b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A不正确；
对于B：当a>b>0时，两边同乘以，有>，即<.故B正确；
对于C：当ac2>bc2，两边同乘以，则a>b.故C正确；
对于D：当a题后师说
利用不等式的性质判断命题真假的2种策略
跟踪训练1 如果a2>b2，那么下列不等式中成立的是( )
A．a>0>b B．a>b>0
C．|a|>|b| D．a>|b|
答案：C
解析：因为a2>b2，故由不等式的性质得|a|>|b|，故C选项正确；对于A选项，当a＝2，b＝1时满足a2>b2，但a>0>b不成立，故A选项错误；对于B选项，由于(－3)2>(－2)2，但－3<－2<0，故B选项错误；对于D选项，由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：>.
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
所以a－c>b－c>0，所以0<<，所以>.
学霸笔记：
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练2 若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
题型 3 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
解析：(1)因为－1所以－3<－y<－2，所以－4(2)由－1所以1<3x＋2y<18.
一题多变 若将本例条件改为－1解析：因为－1所以－3<－y<1，所以－4又因为x所以－4跟踪训练3 已知1
解析：因为2又1所以的取值范围是<<2.
随堂练习
1.已知x>0，0A．xy>x>xy2 B．xy>xy2>x
C．x>xy>xy2 D．x>xy2>xy
答案：C
解析：由0y>y2，可得x>xy>xy2.故选C.
2．若a>b>0，c<0，则下列结论正确的是( )
A．< B．a＋cC．> D．a－c答案：C
解析：因为a>b>0，则<，又c<0，所以>，故A错误；因为a>b>0，c<0，所以a＋c>b＋c，故B错误；因为a>b>0，则<，又c<0，所以>，故C正确；因为a>b>0，c<0，所以a－c>b－c，故D错误．故选C.
3．(多选)若a>b>0，则下列结论正确的是( )
A．a2>b2 B．ac2>bc2
C．< D．a2>ab
答案：ACD
解析：由a>b>0，则a2>b2，>>0即<，a2>ab，故A、C、D正确；当c＝0时ac2＝bc2，故B错误．故选ACD.
4．若－1<α<β<1，m＝α－β，则m的取值范围为____________．
{m|－2解析：∵α<β，∴α－β<0，又－1<α<1，－1<－β<1，∴－2<α－β<2，综上，－2<α－β<0.
课堂小结
1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要注意不等式成立的条件．
2．利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件．第1课时 不等关系与不等式
一、不等关系与不等式
(1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和________，常用________来研究含有不等关系的问题．
(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________，以表示不等关系．“a≠b”应包含“a>b”或“a【即时练习】 据天气预报可知明天白天的最高温度为13℃，则明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关系是( )
A.t≤13℃B．t＜13℃
C．t＝13℃D．t＞13℃
微点拨
(1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a(2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一．
二、两个实数的大小关系
依据 a>b ____________a＝b ____________a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________与0的大小
【即时练习】 已知M＝x2＋5x＋6，N＝2x2＋5x＋8，则M，N的大小关系是________．
三、重要不等式
a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
【即时练习】 已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，则xy的最大值是________．
微点拨
比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
第1课时 不等关系与不等式
一、
不等关系 不等式 代数式
[即时练习]
解析：∵明天白天的最高温度为13℃，∴明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关系是t≤13℃，故选A.
答案：A
二、
a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差
[即时练习]
解析：由于N－M＝x2＋2>0，所以M答案：M三、
≥ a＝b
[即时练习]
解析：由于x2＋y2≥2xy，所以2xy≤4，故xy的最大值为2.
答案：2第2课时 等式性质与不等式性质
一、等式性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
【即时练习】 (多选)下列运用等式的性质变形正确的是( )
A．若x＝y，则x＋5＝y＋5B．若a＝b，则ac＝bc
C．若＝，则a＝bD．若x＝y，则＝
微点拨
(1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性．
(2)性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性；运算中的不变性就是性质．
二、不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b，b>c a>c ______
3 可加性 a>b a＋c____b＋c ______
4 可乘性 a>b，c>0 ________a>b，c<0 ________ c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d ________ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________ 同向
7 可乘方性 a>b>0 an____bn(n∈N，n≥2) 同正
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若>1，则a>b.( )
(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b>0.( )
(3) x∈R，都有x2>x－1.( )
(4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.( )
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b|B．a2>b2
C．>1D．a3>b3
微点拨
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反．性质4中的a，b可以是实数，也可以是式子．
(3)性质5中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d.
(4)性质6是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘，即若，则a1a2…an>b1b2…bn.
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“ ”表示等价关系，可以互相推出，而符号“ ”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明不等式时，要注意是否可逆．
第2课时 等式性质与不等式性质
一、
[即时练习]
解析：对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，故A正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，故B正确；对于选项C，由等式的性质4知，若＝，则a＝b，故C正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故D错误．
答案：ABC
二、
< 不可逆 > 可逆 ac>bc acb＋d ac>bd >
[即时练习]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.
答案：D