(共50张PPT)
形如＿＿(a≥o)的式子叫做二次根式。在二次根式 中，字母 a 必须满足＿＿＿，即被开方数必须是非负数.
1.从形式上看，二次根式必须含有“ ”如： ，等号左边是二次根式，右边不是二次根式.
a≥0
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
3. a≥0 在二次根式概念中必不可少，因此，对于一些式子，只有在一定的条件下才是二次根式.如 只有在 x≥－5 时，才是二次根式.
分别指出下列根式是不是二次根式：
二次根式必须满足的条件：⑴ 有二次根号；⑵ 被开方数大于或等于零.
解：⑴ ⑶ ⑸ 不是二次根式； ⑵ ⑷ ⑹是二次根式.
求下列各式的值：
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab) ＝a b 进行变形，然后再计算.
先化简再求值：
首先利用二次根式的性质将已知式子进行化简，脱去根号后，再把 x 的值代入求值.
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b≥0)
⑵ 在涉及二次根式运算时，如果没有特别说明，被开方数都是非负数.
⑶ 公式中的 a、b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的.
⑷ 当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式的法则进行运算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
⑸ 二次根式乘法运算的结果必须化成最简形式.
⑴ a≥0，b≥0是公式成立的前提条件，如果不满足这个条件，等式的左端就没有意义，等式也就不能成立了。
计算：
二次根式
的乘法
被开方数相乘
根指数不变
化为最简形式
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数
商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根的商。
⑵ 二次根式的运算结果要化到最简，分母中不能带根号.
⑶ 如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数.
⑴ 公式中，a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立.如果 a、b 都是负数，虽然 ＞0， 有意义，但 ， 在实数范围内无意义.
计算：
利用二次根式除法法则进行计算，被开方数相除时可以用除以一个数（不为零）等于乘以这个数的倒数这个性质约分化简.
二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，这种把分母中的根号化去的变形，叫做分母有理化.
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.
如： 与 ，( )与( ).
分母有理化：
利用分数的基本性质，将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使原数的分母中不再带有根号.
⑴ 被开方数不含分母；
⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简二次根式的条件：
化简二次根式的方法：
⑴ 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；
⑵ 化去根号下的分母；
⑶ 被开方数是多项式时要先因式分解.
设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a－b＜0时，a＜b；当a－b＝0时，a＝b；当a－b＞0时，a＞b”来比较a与b的大小.
⑴ 求差法：
⑵ 求商法：
如果a、b都是正实数，若 ＞1，则a＞b；若 ＞1，则a＞b；若 ＞1，则a＞b.
先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即若a＞0，b＞0，且a ＞b ，则a＞b；若a＜0，b＜0，且a ＞b ，则a＜b.
⑶ 平方法：
⑷ 移动因式法：
当a＞0、b＞0时，若要比较形如 与
两数的大小，可先把根号外的正因数a与b平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.
比较下列各式的大小：
⑴ 可选用求差的方法进行比较；⑵ 可选用求商的方法进行比较；⑶可选用移动因式的方法进行比较.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
同类二次根式的定义：
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需要把所需判断的二次根式化成最简二次根式，再观察被开方数是否相同.若相同，则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号外的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不是同类二次根式的不能合并.
⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数（式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式；
⑵ 找出其中同类二次根式；
⑶ 合并同类二次根式.
1、在运算过程中要注意，根号外的因式就是这个二次根式的系数，如果系数是带分数，还要化成假分数.
2、二次根式化为最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并，但是绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
计算：
1、先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
2、在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的运算律及去括号、添括号法则仍适用.
二次根式混合运算顺序和有理数（式）的运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.
⑴ 二次根式的和相乘，与多项式乘法类似，并且乘法公式仍然适用；
⑵ 运算结果如果是二次根式，要化为最简二次根式；
⑶ 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的，要尽量使用乘法公式，这样可以使计算过程简化.
计算：
二次根式的运算规律与整式的运算规律相同，且多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.注意将结果化为最简二次根式.
1、利用二次根式的定义求所含字母的取值范围.
确定二次根式中字母的取值范围，关键是根据二次根式的被开方数是非负数，建立关于被开方数（式）的不等式（组），通过解不等式（组）确定字母的取值范围.
例 1 ：当 x 取何值时，下列各式有意义？
解决这类问题，既要考虑到二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，又要考虑到分式有意义的条件，即分母不为零.把所有的条件都列成式子，组成不等式（组），解之即可.
2、利用二次根式的非负性化简或计算.
二次根式 (a≥0)是一个非负数，a也是非负数. 因此，我们可以利用二次根式的两个非负性来建立数学模型，若式子中含有多个二次根式，则字母的取值应确保二次根式中的被开方数都是非负数，最后利用非负性来建立方程或不等式（组），从而使问题获得解决.
例 2 ：已知 与 互为相反数，求(x－y) 的平方根.
由题意建立等式
建立数学模型
获得结果
利用二次根
式的非负性
求出 x、y
的值
3、利用二次根式的性质 1 分解因式.
根据二次根式的性质 1 可知实数范围内任何一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方的形式，从而可以使因式分解在实数范围内进行.
例 3 ：在实数范围内分解因式：
⑴ x －7 ⑵ 4x －3x
⑶ x －2 x＋5
在实数范围内分解因式
⑴ 用平方差公式分解
⑵ 先提取公因式，再利用平方差公式进行分解
⑶ 用完全平方公式进行分解
根据多项式的结构特征选择合适的因式分解的方法
解题依据：二次根式的性质 1 的逆用 a＝( ) (a≥0)
4、巧用二次根式乘除法公式简化计算过程.
在有些二次根式乘除运算中，当二次根式不是最简二次根式时，若逐一将每个二次根式化成最简二次根式，再按前后顺序计算，则运算过程变得很繁.若灵活运用二次根式的乘除法公式，则使运算过程变得简单.
例 4 ：计算
⑴ 是几个二次根式相乘，可以把所有的非二次根式因式在一起相乘，所有的二次根式因式在一起相乘.
⑵ 可从左往右依次计算.
5、利用二次根式的概念求值.
同类二次根式的概念与同类项类似，几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关. 我们利用这些特征可以求出根式中未知字母的值.
例 5 ：已知 和
是同类二次根式，求 m、n 的值.
首先把第一个二次根式化为最简二次根式，然后根据两个二次根式的根指数都是 2 ，被开方数相同，建立数学模型——二元一次方程组，然后解之.
观察下列各式：
请将你猜想到的规律用含正整数 n 的代数式表示出来：＿＿＿＿＿＿.
观察题中所给各式的特点，把各式进行适当拆分，分析拆分后的各式，可从中归纳出规律，从而得到结果.
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第16章《二次根式》单元复习导学案
学习目标·导思
1.理解二次根式的定义及其性质，并利用它们进行计算和化简．
2.通过对二次根式的概念和性质的理解，运用它们进行二次根式的四则运算，运用公式，严谨解题.
学习重点与难点
重点：二次根式的定义及其性质.
难点：二次根式定义及其性质的运用.
学法指导
通过观察、动手操作领悟二次根式的性质，同伴合作能利用二次根式的性质解答有关问题.
学习过程
一、课前预习·导学
二次根式的性质1、2、3、4.
二、课内学习、合作探究：
探究1：形如＿＿（a≥0）的式子叫做二次根式. 在二次根式中，字母a必须满足___________，即被开方数必须是＿＿＿＿＿.21世纪教育网版权所有
练一练1：
分别指出下列根式是不是二次根式：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
探究2：() ＝a（a≥0）.即非负数的算术平方根的平方等于＿＿＿＿.
练一练2：
直接写出下列各式的值：
（1）() （2）() （3）() （4）()
探究3：二次根式的性质2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练一练3：
先化简再求值：，其中x＝.
探究4：
算术平方根的积等于____________________________________积的算术平方根.
积的算术平方根等于____________________________________的算术平方根.
练一练4：
计算：
（1） （2）
（3） （4）
探究5：
两个二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿＿，作为商的被开方数.
商的算术平方根等于＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿的商.
练一练5：
计算：
（1） （2）
探究6：
分母有理化：二次根式的除法运算，通常采用 ( http: / / www.21cnjy.com )分子、分母同乘以一个式子化去＿＿＿＿＿＿的方法来进行，这种把＿＿＿＿＿＿＿化去的变形，叫做分母有理化.
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积＿＿＿＿＿＿＿，就说这两个代数式互为有理化因式.
练一练6：
把下列各式进行分母有理化：
（1） （2） （3）
探究7：
化简二次根式的条件：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿ ( http: / / www.21cnjy.com )＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
化简二次根式的方法：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿ ( http: / / www.21cnjy.com )＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 21教育网
探究8：
二次根式大小的比较：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )_____________________；（2）_______________________；（3）平方法；（4）移动因式法.21cnjy.com
练一练7：
比较下列各式的大小：
（1）与 （2）与 （3）与
探究9：
同类二次根式的定义：
几个二次根式化成_____________________以后，如果_______________________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.www.21-cn-jy.com
探究10：
二次根式加减运算的一般步骤：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练一练8：
计算：（1） （2）
探究11：
二次根式混合运算的一般步骤：
二次根式混合运算顺序和有理数（式）的运算顺序相同，即先算＿＿＿＿，再算＿＿＿，最后算＿＿＿＿，有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.21·cn·jy·com
练一练9：
计算：（1） （2）
【典型例题讲解】
1.利用二次根式有意义的条件，求字母的取值范围.
例 1 ：当x取何值时，下列各式有意义？
（1） （2） （3） （4）
解：（1）当5－2x≥0，即x≤时，有意义；
（2）∵不论x取何值时，(3x－1)2≥0，∴当x为任意实数时，有意义；
（3）∵由x+3≥0，且1－2x≥0,得－3≤x≤,
∴当－3≤x≤时, 有意义；
（4）∵由 得：x≥－4，且x≠2，
∴当x≥－4，且x≠2时，有意义.
2.利用二次根式的非负性化简或计算.
例 2 ：已知与互为相反数，求(x－y) 的平方根.
解：∵与互为相反数，
∴(x－y+3)+(x+y－1)＝0
∴x＝－1，y＝2，
∴(x－y) ＝9，
∴(x－y) 的平方根为±3，
3.利用二次根式的性质 1 分解因式.
例 3 ：在实数范围内分解因式：
（1） x －7 （2） 4x －3x （3）x －2x＋5
解：原式＝－ 原式＝x(4x2－3) 原式＝x2－2+()2
＝(x+)(x－) ＝x(2x+)(2x－) ＝(x－)2
4.巧用二次根式乘除法公式简化计算过程.
例 4 ：计算
（1）× （2）×
解：原式＝(×8×) 原式＝(1÷3×)
＝× ＝×2
＝2 ＝2·1·c·n·j·y
5.利用二次根式的概念求值.
例 5 ：已知和是同类二次根式，求m、n的值.
解：∵和是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
∴m、n的值分别为5，2.
达标练习
计算：（1） （2）
（3）
拓展练习
观察下列各式：
① ② ③
④ ……
请将你猜想到的规律用含正整数n的代数式表示出来：
________________________________________________________________________.
学习反思
通过对本章内容的复习，你有何感悟？还有哪些困惑？
导学案练习答案
练一练1：
1.分别指出下列根式是不是二次根式：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
解：（1）、（3）、（5）不是二次根式；（2）、（4）、（6）是二次根式.
练一练2：
2.直接写出下列各式的值：
（1）() ＝300 （2）() ＝4 （3）() ＝2.7 （4）() ＝20
练一练3：
3.先化简再求值：，其中x＝.
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练一练4：
4.计算：（1） （2） （3） （4）
解：（1）＝＝5，
（2）＝3×2＝36，
（3）＝－×9＝－18，
（4）＝＝.
练一练5：
5.计算：（1） （2）
解：（1）＝＝＝2，
（2） ＝－＝－.
练一练6：
6.把下列各式进行分母有理化：
（1） （2） （3）
解：（1）＝＝ ，
（2）＝＝ ，
（3）＝＝.
练一练7：
7.比较下列各式的大小：
（1）与 （2）与 （3）与
练一练8：
8.计算：（1） （2）
解：（1）原式＝+2＝3，
（2）原式＝2－+－+＝－.
练一练9：
9.计算：（1） （2）
解：（1）原式＝×+×＝3+2，
（2）原式＝4÷2－3÷2＝2－.
达标练习
计算：（1） （2）
（3）
（3）原式＝
＝10－7
＝3
拓展练习
观察下列各式：
① ② ③ ④
……请将你猜想到的规律用含正整数n的代数式表示出来：
(n+1)＝
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