第一章勾股定理单元复习题（含解析） 北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元复习题
一、单选题
1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是（　　）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
2．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．，，
C．a＝40，b＝50，c＝60 D．，，
3．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是(　　)
A．2，3，4 B．3，5，7 C．4，6，8 D．6，8，10
5．如图矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3 ，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线
PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
7．将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（　　）
A．2cm B．4cm C． D．
8．如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
10．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4 ，则FD的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题
11．若一个三角形的三边长分别是6、8、a，如果这个三角形是直角三角形，则＝　 　.
12．如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为　 　．
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，则△AOB的周长为　 　．
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
三、解答题
15．如图，在中，于点，，，．
（1）求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
16．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=900．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
17．求如图的Rt△ABC的面积．
18．如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC＝0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
四、综合题
19．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕．请回答下列问题：
（1）AF＝　 　；
（2）试求线段DE的长度．
20．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：
（1）在离A站多少km处？
（2）判定三角形DEC的形状．
21．如图， ABC中，AC=2AB=6，BC= ．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．
（1）求BE的长；
（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为　 　．
22．如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C
【简单应用】
（1）如图2，在等边△ABC中，AB＝10，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　 　°．
（3）如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，由勾股定理可得：
所以此门通过的木板最长为 ，
所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米.
故能通过的是③号木板.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵三角形为直角三角形
A选项，∵，不能构成直角三角形，不符合题意；
B选项，∵，可以构成直角三角形，符合题意；
C选项，∵，不能构成直角三角形，不符合题意；
D选项，∵，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由三角形勾股定理逆定理可得当三角形三边长a，b，c满足时，该三角形为直角三角形，分别计算四个选项是否满足条件即可得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴EF=AE=5，
在Rt△BEF中，
∵EF=5，BF=3，
∴BE= = =4，
∴AB=AE+BE=5+4=9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=9．
故答案为：C．
【分析】由翻折的性质知EF=AE=5，在Rt△BEF中由勾股定理得出BE的长，根据矩形的性质得出结论。
4．【答案】D
【解析】【分析】找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．A、22+32≠42，不能构成直角三角形；,B、32+52≠72，不能构成直角三角形；C、42+62≠82，不能构成直角三角形；D、62+82=102，能构成直角三角形；故选D．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理的应用，是基础题，比较简单
5．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD，BC1，
在△C′BD中，BC1+DC1＞BD，
由折叠的性质可知，C1D＝CD＝3，
∴当C1在线段BD上时，点B到点C1的距离最短，
在Rt△BCD中，BD＝ ＝6，
此时BC1＝6﹣3＝3，
故答案为：C．
【分析】连接BD，BC1，根据三角形三边关系得到BC1+DC1＞BD，得到当C1在线段BD上时，点B到点C1的距离最短，根据勾股定理计算即可
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED.
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2.
∴32+AE2=(9﹣AE)2.
解得：AE=4cm.
∴△ABE的面积为： ×3×4=6(cm2).
故答案为：A.
【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出 ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB，
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=6cm，
∴∠A=∠B=30°，AC=BC=3cm，
∴AP=AC=，
∴AP=PB=，
∴ 橡皮筋被拉长了 AP+PB-AB=
故答案为：C.
【分析】过点P作PC⊥AB，由等腰三角形的性质及三角形内角和可得∠A=∠B=30°，AC=BC=3cm，从而得出AP=AC=，根据橡皮筋被拉长了AP+PB-AB，据此计算即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
设AB＝2a，BC＝a，则AC＝ a，
∵CD＝BC＝a，
∴AD＝AC﹣CD＝（ ﹣1）a，
∵AE＝AD，
∴AE＝（ ﹣1）a，
∴ ＝ .
故答案为：C.
【分析】设AB＝2a，BC＝a，则AC＝ a，利用勾股定理求得AE的长，即可得出AE：AB的值.
9．【答案】C
【解析】【解答】S阴影=S△ACD+ S△ABE+ S△BCF= AD2+ AE2+ BF2= （AD2+ AE2+ BC2）= （ AC2+ AB2+ BC2）= （AC2+ AB2+ BC2）= ×（2 AB2）=4.5.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的面积等于两直角边积的一半，又等腰直角三角形两腰相等即可得出S△ACD= AD2，S△ABE= AE2，S△BCF= BF2，再根据S阴影=S△ACD+ S△ABE+ S△BCF根据乘法分配律的逆用，勾股定理整体代入即可算出答案。
10．【答案】B
【解析】【解答】∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中， ，解得x=4．
故答案为：B．
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等条件EF=EC是解题的关键。
根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG,然后利用"HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x,表示出FC、BF,然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解。
11．【答案】100或28
【解析】【解答】解：当8为直角边时，由勾股定理可得：；
当8为斜边时，由勾股定理可得：，
故答案为：100或28.
【分析】分当8为直角边时与当8为斜边时两种情况，分别根据勾股定理算出a2的值.
12．【答案】/
【解析】【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴AB==.
由题意可得BC=AB=，
∴OC=OB+BC=1+，
∴点C的横坐标为1+.
故答案为：1+.
【分析】由勾股定理可得AB的值，即为BC，然后根据OC=OB+BC求出OC的值，据此可得点C的横坐标.
13．【答案】8
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
OA=OB=OC=OD，
∴∠ABC=90°，
∴AC= ，
∵OA=OB=2.5，
∴ C△AOB=OA+OB+AB=2.5+2.5+3=8；
故答案为：8.
【分析】因为四边形ABCD为矩形，所以∠ABC为直角，对角线互相平分且相等，OA=OB=OC=OD，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC，则OA和OB长可求，△ABC的周长也可求。
14．【答案】38
【解析】【解答】如图，
S3=S1+S2，即S3=9+16+4+9=38．
【分析】根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，从而得出答案。
15．【答案】（1）解：在中，，，，
，
；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
在中，，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
∴是直角三角形．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出AC和AB的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可.
16．【答案】解：（1）∵∠B=900， AB=3m，BC=4m， ∴AC= =5m， 又∵CD=12m，DA=13m， ∴AC2+CD2=DA2， ∴△ACD是直角三角形． （ 2 ）解：连接AC， 则由勾股定理得AC=5m， ∵AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD= AB BC+ AC DC= （3×4+5×12）=36m2． 故需要的费用为36×100=3600元． 答：铺满这块空地共需花费3600元．
【解析】【分析】连接AC，用勾股定理可求得AC的长，再用勾股定理的逆定理可判断三角形ACD是直角三角形，则四边形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积即可求解。
17．【答案】解：由勾股定理得：（x+4）2=36+x2，
解得：x= ，
所以△ABC的面积= ×6× =7.5
【解析】【分析】首先利用勾股定理得到三边关系，进而建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用三角形的面积公式计算即可．
18．【答案】解：由题意得：AB＝2.5米，BE＝0.7米，
∵在Rt△ABE中∠AEB＝90°，AE2＝AB2﹣BE2，
∴AE＝ ＝2.4（m）；
由题意得：EC＝2.4﹣0.4＝2（米），
∵在Rt△CDE中∠CED＝90°，
DE2＝CD2﹣CE2，
∴DE＝ ＝1.5（米），
∴BD＝DE﹣BE＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
答：梯脚B将外移（即BD长）0.8米．
【解析】【分析】由题意得：AB＝2.5米，BE＝0.7米，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE，则EC=AE-AC=2米，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理求出DE，再根据BD＝DE-BE进行计算即可.
19．【答案】（1）10
（2）解：∵AB=8，AF=10，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴ ，
∴CF＝BC﹣BF＝10-6=4，
设DE＝x，则CE＝8﹣x，
∵折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕．
∴EF=DE=x，∠D=∠AFE=90°，
∴EF2＝CF2+CE2，即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴DE＝5．
【解析】【解答】（1）在长方形ABCD中，BC＝10，
∴AD＝BC=10，
∵折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕．
∴AF＝AD＝10，
故答案为：10
【分析】（1）由折叠的性质可得AF=AD，根据矩形的性质即可得到AF的长；
（2）利用勾股定理可求出BF的长，进而求出CF的长，设DE=x，根据折叠性质可得EF=DE=x，利用勾股定理列出方程求得x的值即可得到答案。
20．【答案】（1）解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25﹣x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km；
（2）解：△DEC是直角三角形，理由如下：
∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA=∠ECB，∠ADE=∠CEB，
∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即△DEC是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km；（2）三角形DEC的形状是直角三角形，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．
21．【答案】（1）解：连接AE，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ABC是直角三角形， ，
∵DE垂直平分AC，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，解得 ；
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵DE垂直平分AC，M是DF上一动点，
∴ ，
∴ ，
若使 的值最小，则A，M，N共线，且 ，如图，
，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
【分析】（1）首先证明∠ABC=90°，∠ACB=30°，求出CE可得结论；
（2）连接AE,延长AE交CF于H，因为CB，FD是△ACF的高，所以AH也是高，因为FD垂直平分线段AC，推出CM=AM，推出CM+MN=AM+MN,gj AM+MN≥AH，即可得出结论。
22．【答案】（1）BE；
（2）80
（3）解：如图，作点A关于OB的对称点A1，点B关于OA的对称点B1，连接A1B1，交OB于点C，交OA于点D，
∴AC=A1C，BD=B1D，OA=OA1=1，OB=OB1=2，∠A1OC=∠AOB=∠AOB1=30°，
∴AC+CD+BD=A1C+CD+B1D=A1B1，此时货船行驶的水路最短，
∵∠A1OB1=∠A1OC+∠AOB+∠AOB1=90°，
∴A1B1=（千米），
∴最短路径是 千米.
【解析】【解答】解：（1）∵在等边△ABC中，AD⊥BC，
∴B与C关于直线AD对称，
∴BM=MC，
∴EM+MC=EM+BM=BE，
∴EM+MC的最小值就是线段BE，
∵E是AC的中点，AB=AC=10，
∴BE⊥AC，AE=5，
∴BE=，
∴EM+MC的最小值是，
故答案为：BE；；
（2）如图，延长AB到A′，使BA′=AB，延长AD到A″，使DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，
同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD=140°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=40°，
∴∠AMN+∠ANM=2×40°=80°，
故答案为：80；
【分析】（1）根据轴对称的性质得出BM=MC，得出EM+MC=BE，即可得出EM+MC的最小值就是线段BE，在根据勾股定理求出BE的长，即可得出答案；
（2）延长AB到A′，使BA′=AB，延长AD到A″，使DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，根据轴对称的性质得出此时△AMN的周长最小，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得出
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），求出∠A′+∠A″的度数，即可得出答案；
（3）作点A关于OB的对称点A1，点B关于OA的对称点B1，连接A1B1，交OB于点C，交OA于点D，根据轴对称的性质得出此时货船行驶的水路最短，证出∠A1OB1=90°，利用勾股定理求出A1B1的长，即可得出答案.