(共24张PPT)
14.1.4.3 多项式乘多项式
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式的乘法法则.
2灵活运用多项式乘多项式的运算法则.
3经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，进一步发展观察、归纳、概括的能力，发展学生有条理的思考及语言表达能力.
新知导入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
②再把所得的积相加.
①将单项式分别乘以多项式的各项，
2.进行单项式与多项式乘法运算时,要注意什么
①不能漏乘：
即单项式要乘遍多项式的每一项
②去括号时注意符号的确定.
新知讲解
如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽p米的长方形绿地，加长了b米，加宽了q米.你能用几种方法计算这块林区现在的面积.
新知讲解
b
a
p
q
从图形上看
扩大后的面积
整体
部分
(a + b)(p + q)
ap + aq + bp + bq
＝
新知讲解
数量关系
扩大后的面积＝扩大后的长×扩大后的宽
(p + q)
(a + b)
×
问题：根据思路一可知 (a + b)(p + q)＝ap + aq + bp + bq，那么思路二的计算结果是否同样满足？
多项式
多项式
多项式×多项式
多项式×单项式
转化
猜测：满足.
新知讲解
计算： (a + b)(p + q) =？
提示：你还记得单项式乘以多项式的方法吗？
设x=(a+b),
则原式变为：x(p+q)=xp+xq，
再将x=(a+b)带入原式,
得，x(p+q)=xp+xq=p(a+b)+q(a+b)=ap+bp+aq+bq,
∴ (a+b) (p+q)= ap+bp+aq+bq
归纳总结
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______ 乘另一个多项式的_______，再把所得的积_____.
多项式乘多项式乘法法则
每一项
每一项
相加
( a + b )( p + q )＝
ap
+ aq
+ bp
+ bq
【注意事项】
1.多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。
2.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
典例精析
例1.计算：
(1) (3x+1)(x+2) (2) (x-8y)(x-y) (3) (x+y)(x2-xy+y2)
解：(1) (3x + 1)(x + 2)
多项式乘多项式
单项式乘多项式
单项式乘单项式
= 3x · (x + 2) + 1×(x + 2)
= 3x · x + 3x · 2 + 1 · x + 1×2
= 3x2 + 6x + x + 2
= 3x2 + 7x + 2.
典例精析
(3) 原式 = x · x2 - x · xy + xy2 + y · x2 - y ·xy + y · y2
(2) 原式 = x · x - xy - 8xy + 8y2
= x2 - 9xy + 8y2.
计算时不能漏乘
= x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3
= x3 + y3.
注意符号问题
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．计算(a－2)(a＋3)的结果是( )
A．a2－6 B．a2＋a－6 C．a2＋6 D．a2－a＋6
2.下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2
C．(ab3)2＝a2b6 D．5a－2a＝3
B
C
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．已知ab＝a＋b＋1，则(a－1)(b－1)＝________．
4.（2x2﹣3x﹣1）（x+b）的计算结果不含x2项，则b的值为_____．
5．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是___________
2
1.5
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6．已知(x＋ay)(x＋by)＝x2－11xy＋6y2，求整式3(a＋b)－2ab的值．
解：因为(x＋ay)(x＋by)
＝x2＋(a＋b)xy＋aby2
＝x2－11xy＋6y2，
所以a＋b＝－11，ab＝6.
所以3(a＋b)－2ab
＝3×(－11)－2×6
＝－33－12
＝－45.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7．已知(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式中不含x3和x2项．
(1)求m，n的值；
解：(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋(n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n，
根据展开式中不含x3和x2项，得m＋4＝0，n－3m＝0，
解得m＝－4，n＝－12.
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
解：因为(m＋n)(m2－mn＋n2)
＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3
＝m3＋n3，
所以当m＝－4，n＝－12时，
原式＝(－4)3＋(－12)3＝-64－1728＝－1792.
课堂总结
多项式×多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
注意
不要漏乘；正确确定各符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
板书设计
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n的值为( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
2.如图，有正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为 (a + 3b)，宽为(a + b) 大长方形，则需要 C 类卡片张数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.先化简,再求值：(a-2b)(a2+2ab+4b2)-a(a-5b)(a+3b),
其中a=-1，b=1.
当a=-1,b=1时，
解：原式=a3-8b3-(a2-5ab)(a+3b)
=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2
=-8b3+2a2b+15ab2.
原式=-8+2-15=-21.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，某小区有一块长为 (2a + 3b) ，宽为 (3a + 2b) 的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形的小路，小路的底边宽为 a ，将阴影部分进行绿化 .
3a+2b
2a+3b
a
(1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ；
(2) 若a = 3m，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1) S＝(3a＋2b)(2a＋3b－a)
＝(3a＋2b)(a＋3b)
＝3a2＋11ab＋6b2.
(2) 当 a = 3，b = 6 时，
S＝3×32＋11×3×6＋6×62＝441.
答：当 a = 3，b = 6 时，S＝441.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十四章
课标要求 1、了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)； 2、能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)和除法运算(仅限单项式除以单项式，多项式除以单项式且商为整式)； 3、能推导乘法公式：(a+b)(a-b)=，，了解每个公式几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理； 4、能理解因式分解的概念；了解从整式乘法得出因式分解的方法，并能用提公因式法、公式法进行因式分解。
内容分析 本章内容建立在已经学习了的有理数运算，列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要的意义.同时，这些知识也是学习物理、 化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.
学情分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理能力，他们在七年级上已经学习过整式的有关概念，对同类项进行过简单的辨析与学习，对合并同类项的学习以及应用具备一定的基础，只是解决问题的意识和能力还不够。因此，学生正处在“从数到式”的过渡阶段，这一阶段由具体到抽象，从特殊到一般，对学生的认知水平和思维能力是一个巨大的挑战，所以教学中要尽可能多的与前面相关内容衔接，结合实际问题展开教学，进一步发展学生的符号感。
单元目标 教学目标 1.理解幂的乘方，积的乘方的运算性质。 2.理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算 3.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算 4.完全平方公式的学习与探讨。 (二)教学重点、难点 教学重点：熟练掌握整式乘法的计算和因式分解的解题方法 教学难点:灵活的应用乘法公式进行运算或进行因式分解
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数14.1整式的乘法714.2乘法公式314.3因式分解3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1整式的乘法掌握正整数幕的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式|的法则，并运用它们进行计算. 能利用法则进行幂的运算，整式乘法运算任务1.掌握幂的运算法则 任务2.归纳整式乘法的运算法则 任务3.出示例题14.2乘法公式会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式)，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算推到乘法公式并能运用公式进行计算任务1：认识平方差公式 任务2.推导完全平方公式 任务3.出示例题13.3等腰三角形理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是相反方向的运算，了解因式分解的方法和一般步骤，能熟练运用方法进行多项式的因式分解学生能选择适当的方式分解因式任务1.理解因式分解的定义 任务2.探究提公因式法分解因式的方法 任务3.探究运用平方差公式分解因式 任务4：探究运用完全平方公式进行因式分解
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分课时教学设计
第一课时《14.1.4.3多项式乘多项式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是14.1.4的第三课时，学生学习了单项式的乘法后，通过一系列学习活动来猜测多项式乘以多项式的运算法则，在此过程中，注意完善、规范学生已有的认知，点拨、引导,形成探索、归纳的理性过程
学习者分析 本节课是在学习了“单项式与多项式相乘”的基础上进行的，学生已经掌握了“单项式与多项式相乘”的运算法则，在这节课中让学生亲身参加探索发现，从而获取新知。
教学目标 1经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式的乘法法则. 2灵活运用多项式乘多项式的运算法则. 3经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，进一步发展观察、归纳、概括的能力，发展学生有条理的思考及语言表达能力.
教学重点 多项式与多项式的乘法法则的理解及应用
教学难点 多项式与多项式的乘法法则的应用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？ 2.进行单项式与多项式乘法运算时,要注意什么 学生活动1： 教师提出问题，学生根据所学知识回答活动意图说明：复习旧知为学习新知做好准备.环节二：新知探究教师活动2： 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽p米的长方形绿地，加长了b米，加宽了q米.你能用几种方法计算这块林区现在的面积. 从图形上看 数量关系 扩大后的面积＝扩大后的长×扩大后的宽 (a + b) ×(p + q) 问题：根据思路一可知 (a + b)(p + q)＝ap + aq + bp + bq，那么思路二的计算结果是否同样满足？ 计算： (a + b)(p + q) =？ 提示：你还记得单项式乘以多项式的方法吗？ 设x=(a+b), 则原式变为：x(p+q)=xp+xq， 再将x=(a+b)带入原式,得，x(p+q)=xp+xq=p(a+b)+q(a+b)=ap+bp+aq+bq, ∴ (a+b) (p+q)= ap+bp+aq+bq 归纳总结： 多项式乘多项式乘法法则 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______ 乘另一个多项式的_______，再把所得的积_____. 【注意事项】 1.多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。 2.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。学生活动2： 提出问题，学生组内交流,合作解决. 教师引导，得出结论 引导生归纳法则活动意图说明：通过归纳多项式乘多项式的法则，培养了学生归纳、概括解决问题的能力，让学生体会转化、类比和整体的数学思想。环节三：典例精析教师活动3： 例1.计算： (1) (3x+1)(x+2) (2) (x-8y)(x-y) (3) (x+y)(-xy+) 解：(1) (3x + 1)(x + 2) = 3x · (x + 2) + 1×(x + 2) = 3xx + 3x·2 +1·x +1×2 = 3 + 6x + x + 2 = 3 + 7x + 2. (2) 原式 = x · x - xy - 8xy + 8 = - 9xy + 8 (3) 原式 = x · - x · xy + x+ y· - y ·xy + y · = - y + x+ y - x+ =. 学生活动3： 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导。 活动意图说明：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程．同时让学生领会多项式乘法的运用方法以及需注意的问题．
板书设计 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算(a－2)(a＋3)的结果是( ) A．－6 B．＋a－6 C．＋6 D．－a＋6 2.下列计算正确的是( ) A． B．(a＋b)(a－2b)＝ C． D．5a－2a＝3 3．已知ab＝a＋b＋1，则(a－1)(b－1)＝________． 4.（2﹣3x﹣1）（x+b）的计算结果不含项，则b的值为_____． 5．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是___________ 选做题： 6．已知(x＋ay)(x＋by)＝－11xy＋6，求整式3(a＋b)－2ab的值． 【综合拓展类作业】 7．已知(＋mx＋n)(－3x＋4)的展开式中不含和项． (1)求m，n的值； (2)求(m＋n)(－mn＋)的值．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若(x＋2)(x－1)＝＋mx＋n，则m＋n的值为( ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 2.如图，有正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为 (a + 3b)，宽为(a + b) 大长方形，则需要 C 类卡片张数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 选做题： 3.先化简,再求值：(a-2b)( +2ab+4)-a(a-5b)(a+3b), 其中a=-1，b=1. 【综合拓展类作业】 4.如图，某小区有一块长为 (2a + 3b) ，宽为 (3a + 2b) 的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形的小路，小路的底边宽为 a ，将阴影部分进行绿化 . (1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ； (2) 若a = 3m，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ．
教学反思 多项式乘以多项式这节课，实际内容不多，也很简单，重要的是用法则来进行计算，但是在讲课时不能直接把法则投给学生，而是让学生自己通过小组内的探究，达到对知识的发生,发展，发现过程的全部理解，把课堂还给学生，体现学生的主体地位。
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