第十三章 轴对称 测试卷（含答案） 2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级上册数学《第十三章 轴对称》测试卷
测试时间：120分钟 满分：120分钟
选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
2．下列图标中轴对称图形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（　　）
A．140° B．135° C．120° D．100°
4．如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（　　）
A．60° B．105° C．75° D．15°
5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′＝∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（　　）
A．8 B．4 C．12 D．6
7．在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（　　）
A．50° B．90° C．40° D．80°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
9．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．点（2，a+4）和（b﹣2，5）关于y轴对称，则a+b＝　 　．
12．（2023春 衡山县期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD
上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是 　 　．
13．如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离是 　 　海里．
14．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝　 　cm．
15．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为　 　 ．
16．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以点A，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于F ，直线FD 交BC 于点E ，连接AE ，若AD＝2.5 ，△ABE 的周长为13，则△ABC 的周长为 　 ．
17．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 　 　．
18．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 　 　（直接填写序号）．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
（1）求证AD＝ED；
（2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．
20．（8分）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
求证：（1）DE＝2DM；
（2）M是BE的中点．
21．（8分）（2022春 锦江区校级期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
22．（8分）（2022秋 东阿县校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
25．（8分）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
26．（11分）（1）【感知】：如图1，点P是∠AOB角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，证明PC＝PD（不需要证明）．
（2）【探究】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，∠AED+∠B＝180°．
①证明：DB＝DE；
②请判断AB，AE，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展】如图3，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BAC＝80°，请直接写出∠CAP的度数．
八年级上册数学《第十三章 轴对称》测试卷
（参考答案 ）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．B． 2．B． 3．A． 4．C． 5．B．
6．C． 7．D． 8．B． 9．D． 10．A．
填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．1． 12．9． 13．50． 14．4．
15．4． 16．18． 17．3． 18．①②④⑤．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（7分）
【解答】证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE＝∠BAE
∵DE∥AB
∴∠DEA＝∠EAB
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE
（2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90°
∴∠C＝∠CED
∴DE＝CD且DE＝3
∴AD＝DE＝CD＝3
∴AC＝6
20．（8分）
【解答】证明：（1）∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E∠ACB＝30°，
∵DM⊥BC，
∴DE＝2DM；
（2）连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC∠ABC60°＝30°
由（1）知∠E＝30°
∴∠DBC＝∠E＝30°
∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
21．（8分）
【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，
∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝70°．
22．（8分）
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，
∴点A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．
（3）△ABC的面积为7×4．
23．（8分）
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
24．（8分）
【解答】解：（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，
24﹣2t＝2t，
解得t＝6；
当BQ＝2BP时，
t＝2（24﹣2t），
解得t．
所以，当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形．
25．（8分）
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴∠B＝45°，ADBC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAF＝45°，
∴∠B＝∠DAF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）解：△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：
连接AD，如图2所示：
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴∠ABD＝45°，ADBC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝45°，
∴∠EBD＝∠FAD，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DF＝DE，∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠BDE+∠FDB＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
26．（11分）
【解答】（2）①证明：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝FD，∠DFB＝∠C＝90°，
∵∠AED+∠B＝180°，且∠AED+∠DEC＝180°．
∴∠B＝∠DEC，
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（AAS），
∴DE＝DB；
②解：AB，AE，CE之间的数量关系为AB＝AE+2CE，理由如下：
由①知△DCE≌△DFB，
∴CE＝BF，
∵∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠ACD＝∠AFD＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AFD（AAS），
∴AF＝AC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AC+CE
∵AC＝AE+CE，
∴AB＝（AE+CE）+CE＝AE+2CE；
（3）解：过P作PH⊥BA交BA延长线于H，PG⊥AC于G，PK⊥CD于K，如图：
∵CP平分∠ACD，PG⊥AC，PK⊥CD，
∴PG＝PK，
∵BP平分∠ABC，PK⊥CD，PH⊥BA，
∴PK＝PH，
∴PG＝PH，
∴AP平分∠HAC，
∴∠CAP∠HAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠HAC＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠CAP＝50°．