江西师范大学附属中学2015届高三上学期期末考试数学（文）试题

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2014—2015学年江西省师范大学附属中学高三上学期期末考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21教育网
1．设集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数为虚数单位），则等于（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如下表：
甲 108 112 110 109 111
乙 109 111 108 108 109
则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是（ ）
A．同学甲，同学甲 B．同学甲，同学乙 C．同学乙，同学甲D．同学乙，同学乙
4．若命题：，命题：，则下列命题为真命题的
是（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量满足，则的夹角为( )
A. B. C. D.
6．对于实数和，定义运算，运算原理如右图所示，则 ( http: / / www.21cnjy.com )
式子的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7.已知是坐标原点，是平面内任一点，不等式组解集表示的平面区域为E，若，都有，则的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在中，三个内角所对的边为，
若，则（ ）
A． B． 4 C． D．
9．已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关于y轴对称；
②对于任意；③当时，.
若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，在直线斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球的球面上，
球的表面积是 ( )
A． B． C． D．
11．椭圆与直线 交于、两点，过原点与线段中点的直线
的斜率为，则值为（ ）
A. B. C. D.
12．定义域为的函数，满足，，则不等式的解
集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．
13．已知 ，且，则________．
14．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 ．
15．观察下列等式：，，，，……，
以上等式推测出一个一般性的结论：对于，____．
16．已知点和直线分别是函数相邻的一个对称中心和一条对称轴，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若当时，取最大值，则在上单调增区间为
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项为，求数列的前n项和.
18．（本小题满分12分）
近年来，我国很多城市都出现了严重的雾霾天 ( http: / / www.21cnjy.com )气．为了更好地保护环境，2012年国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定:居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2014年11月3日到 2015年1月31日这90天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下:21·cn·jy·com
组别 PM2.5浓度（微克/立方米） 频数（天）
第一组 （0,35] 24
第二组 (35,75] 48
第三组 (75,115] 12
第四组 >115 6
（Ⅰ）在这天中抽取天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天
（Ⅱ）在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随 机
抽取2天,求至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率.
19．（本小题满分12分）
圆锥如图1所示，图2是它的正（主）视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点.21cnjy.com
（Ⅰ）求该圆锥的侧面积S；
（II）求证：平面平面；
（III）若，在三棱锥A－PBC中，求点A到平面PBC的距离．
20．（本小题满分12分）
已知动圆过定点且与直线相切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线与轨迹C交于两点,若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程.
21. (本小题满分12分）
已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率．
(Ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)设，若对任意恒有，求实数的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线为参数）经过椭圆为参数）的左焦点
（1）求的值；
（2）设直线与椭圆交于、两点，求的最大值和最小值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数
(I )若=1，解不等式≤5；
(II )若函数有最小值，求实数的取值范围.
江西师大附中高三年级数学（文）期末答题卷
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B A C D D C A B B A
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 　　　　　　　　 14．　　　　　　　　
15．　　　　　　　　 16．　　　　　　　　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由已知得
又∵，，解得 ∴；
（Ⅱ）由得，，
∴当时，，
当时，符合上式，∴，（），
∴，
，
，
两式相减得 ，
∴．
18. 解：（Ⅰ）这天中抽取天,应采取分层抽样,
第一组抽取天；　　　第二组抽取天；
第三组抽取天；　　 第四组抽取天 ．
(Ⅱ)设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为.所以6天任取2天的情况有:
共15种
记“至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)”为事件A,其中符合条件的有: ，共种． 21世纪教育网版权所有
所以，所求事件A的概率．
19. 解：（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高，圆的直径为，故半径．∴圆锥的母线长，
∴圆锥的侧面积．
（Ⅱ）证明：连接，∵，为的中点，
∴．∵，，∴．又，
∴．又，平面平面
(Ⅲ)，又,利用等体积法可求出距离，
20. 解：（Ⅰ）
（Ⅱ）联立，消并化简整理得．
依题意应有，解得．
设，则，
设圆心，则应有．
因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，
又 ．
所以 ，
解得．
所以，所以圆心为．
故所求圆的方程为．
21. 解：（1）由题意，所以
当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，得．即实数的取值范围是．
（Ⅱ）由题可知,当时, ,不合题意.
当时,由,可得
设,则.
设，
(1)若,则，，，所以在内单调递增，又所以.所以符合条件
(2)若,则,,,所以存在,使得,对.则在内单调递减,又,所以当时,,不合要求.
综合(1)(2)可得
23.(1)将椭圆的参数方程化为普通方程，得
所以，则点的坐标为
是经过点的直线，故
（2）将的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理，得
设点在直线参数方程中对应的参数分别为
则
当，|取最大值3
当时，取最小值
24解: （Ⅰ）当时，不等式为
当时，不等式即，
当时，不等式即，
综上，不等式的解集为
（Ⅱ） ( http: / / www.21cnjy.com )
当时，单调递减，无最小值；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
处取得最小值
当时，单调递增，无最小值；
综上，
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