人教A版（2019）必修第一册 5.7 三角函数的应用 同步练习卷（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《5.7 三角函数的应用》2023年同步练习卷
一、选择题
1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）＝50+4sin（其中t∈R，0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（　　）
A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20]
2．已知某人的血压满足函数解析式f（t）＝24sin160πt+115，其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
3．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ（﹣π＜θ＜π）与时间t（s）满足函数关系式θ＝sin（2t+），则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是（　　）
A．， B．2， C．，π D．2，π
4．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动，已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由下列两式确定：，s2＝10cos2t．当t＝时，s1与s2的大小关系是（　　）
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t＝0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）
A． B．
C． D．
6．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt+ψ）（A＞0，ω＞0，0＜x＜）的图象如图所示，则当t＝时，电流强度是（　　）
A．﹣5安 B．5安 C．5安 D．10安
7．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sinωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（　　）
A．200 B．400 C．200π D．400π
8．调控房价关系民生，为了更好地调控房地产市场，政府要对房价进行统计与预测，某城市通过对今年1～5月份的房价统计发现：第x个月的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与月份x之间近似满足y＝500sin（ωx+φ）+3000（ω＞0），已知第3和第5两个月的平均单价如表所示，则预测该城市7月份房价的平均单价大约是（　　）
x 3 5 7
y 3500 3000 ？
A．3500 B．3000 C．2500 D．2000
二、多选题
（多选）9．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转t分钟，当t＝10时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（　　）
A．摩天轮离地面最近的距离为5米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则
C．存在t1，t2∈[0，15]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米
D．若在t1，t2时刻游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为20
三、填空题
10．函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的振幅是3，最小正周期是，初相是2，则它的解析式为 　 　．
11．电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt+φ）的图象如图所示，则秒时的电流强度为 　 　．
12．电流I（A）随时间t（s）变化的关系式是I＝5sin（100πt+），则当t＝时，电流为 　 　A．
13．如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度y（米）与时间x（秒）满足函数关系式y＝Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，），则A＝　 　，ω＝　 　．
14．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150（天）时达到最低油价，则ω的最小值＝　 　．
四、解答题
15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）＝f（x﹣2）+2．
（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x）、售价函数g（x）的解析式；
（2）问哪几个月能盈利？
16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻（t） 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/米（y） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）若用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜）来近似描述这个港口的水深和时间之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：本题即求函数F（t）＝50+4sin的增区间，
由，k∈z，解得 4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，
故函数F（t）＝50+4sin的增区间为[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z，
结合所给的选项，只有选项C中的区间是[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z的子区间，
故选：C．
2．【解答】解：∵人的血压满足函数解析式f（t）＝24sin160πt+115，
其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），
∴T＝＝，
∴＝80．
故选：C．
3．【解答】解：由题意，当t＝0时，θ＝sin（）＝；
由函数的解析式可知，函数的周期为，故单摆频率为
故选：A．
4．【解答】解：根据题意，当t＝时，S1＝5sin（2×+）＝5sin＝﹣5，
s2＝10cos＝﹣10cos＝﹣5，
则有S1＝S2，
故选：C．
5．【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω＝﹣＝﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ＝，sinφ＝．
解得φ＝，
故选：C．
6．【解答】解：由函数图象可知函数的最大值为10，最小值为﹣10，
又由A＞0，∴A＝10，
，
由 ，
∴I＝10sin（100πt+φ），
当 时，，
∴，
当 时，I＝5．
故选：B．
7．【解答】解：由y与t的函数关系为y＝sinωt，且T＝，
所以T＝，所以ω＝＝400π．
故选：D．
8．【解答】解：由题意可得：3500＝500sin（3ω+φ）+3000（ω＞0），3000＝500sin（5ω+φ）+3000（ω＞0），
化为：sin（3ω+φ）＝1（ω＞0），sin（5ω+φ）＝0，
可得：3ω+φ＝2k1，5ω+φ＝2k2π，k1，k2∈Z．
取ω＝（k2﹣k1）π﹣，取k2﹣k1＝1．
则ω＝，取φ＝．
∴y＝f（x）＝500sin（x+）+3000（ω＞0），
∴f（7）＝500sin（×7+）+3000＝2500．
故选：C．
二、多选题
9．【解答】解：由题意可得A正确；
又因为半个周期＝10，即T＝20＝，解得ω＝π，
旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，设h＝Acos（ωt）+b，
由题意可得|A|+b＝55，﹣|A|+b＝5，解得|A|＝25，b＝30，
而转动10分钟时，达到最高处，即55＝Acos（ 10）+30，可得A＝﹣25，
所以函数h＝﹣25cos（t）+30，所以B正确；
C中，由B可知，假设存在t1，t2∈[0，15]，又高度相等，可得对称轴t＝10，即＝10，
令0≤t≤π，可得0≤t≤10，
令π≤t≤2π，可得10≤t≤20，
则h在[0，10]单调递增，在[10，15]上单调递减，当t＝10时，hmax＝55，
当t＝0时，h＝5；当t＝15时，h＝﹣25cos（π）+30＝30＞20，
所以h＝20在t∈[0，15]只有一个解，与两个解矛盾，即假设不成立，所以C不正确；
D中，函数h的周期T＝20，由余弦函数的性质可得，令t＝kπ，则t＝10k，k∈N+，
即函数h关于t＝10k对称，若t1，t2时刻游客距离地面的高度相等，
当k＝1时＝10，即t1+t2的最小值为20，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题
10．【解答】解：∵函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的振幅是A＝3，
最小正周期是 ＝，∴ω＝5．．
∵初相是φ＝2，故它的解析式为y＝3sin（5x+2），
故答案为：y＝3sin（5x+2）．
11．【解答】解：根据函数I＝Asin（ωt+φ）的图象，可得A＝10，＝＝﹣，
∴ω＝100π，
再根据五点法作图可得100π +φ＝，求得φ＝，∴I＝10sin（100πt+），
令t＝，求得I＝10sinπ＝0，
故答案为：0．
12．【解答】解：在I＝5sin（100πt+）中，取t＝，
可得I＝5sin（100π×+）＝5sin（）＝5cos＝＝2.5．
故答案为：2.5．
13．【解答】解：∵水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，
A＝3，
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
∴T＝15＝，
∴ω＝，
故答案为：3，
14．【解答】解：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80＝Asin（ωπt+）+60，因为sin（ωπt+）≤1，所以A＝20，
当t＝150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+）＝﹣1，
此时150ωπ+＝2kπ﹣，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k＝1，150ωπ+＝2π﹣，
解得ω＝．
故答案为：．
四、解答题
15．【解答】解：（1）f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，由题意可得A＝2，
B＝6，ω＝，φ＝﹣，
所以f（x）＝2sin（x﹣）+6（1≤x≤12，x为正整数），
g（x）＝2sin（x﹣π）+8（1≤x≤12，x为正整数）．
（2）由g（x）＞f（x），得sinx＜．
2kπ+π＜x＜2kπ+π，k∈Z，
∴8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3＜x＜9，
∴x＝4，5，6，7，8；
k＝1时，11＜x＜17，∴x＝12．
∴x＝4，5，6，7，8，12．
即其中4，5，6，7，8，12月份能盈利．
16．【解答】解：（1）水深和时间之间的对应关系，周期T＝12．
∴ω＝，
可知A＝，
h＝．
∴f（t）＝sin（ωt+φ）+5．
当t＝3时f（3）＝7.5．
即sin（3×+φ）＝1．
∵|φ|＜，
∴φ＝0．
∴函数表达式为∴f（t）＝sint+5．（0＜t≤24）
（2）船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.25米，
∴y≥6.25，即sint+5≥6.25
可得sint．
∴+2kπ≥+2kπ，k∈Z．
解得：1≤t≤5或13≤t≤17．
故得该船1≤t≤5或13≤t≤17．能进入港口满足安全要求．