北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题B卷（含解析）

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【北京区域名师命制】2023-2024学年北京市
九年级（上）数学期中摸底试卷B卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. B. C. D.
3.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.且 C.且 D.
4.一家机床厂2020年生产机床10000台，由于疫情原因，使得连续两年减产，到2022年生产机床8100台，若平均每年机床产量比前一年产量的减少率为，则下列求减少率的方程中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.将抛物线，先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得新抛物线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
6.抛物线的对称轴经过轴的负半轴，关于此抛物线下列说法正确的是（ ）
A.开口向下，与轴交于正半轴 B.开口向下，与轴交于负半轴
C.开口向上，与轴交于正半轴 D.开口向上，与轴交于负半轴
7.一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象如图所示：①；②当时，；③；④；⑤当时，随的增大而增大，同时随的增大而减小.以上说法中正确的序号是（ ）
A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①②④⑤
8.二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.方程的根是___________．
10.菱形中，较短的对角线与较长的对角线长度相差4，若此菱形的面积为6，则这两条对角线的长度之和是___________．
11.关于的一元二次方程可变形为，则的值是___________．
12.写出一个顶点在，且时随的增大而增大的抛物线关系式___________．
13.若使抛物线的图象与直线没有交点，则的取值范围是___________．
14.二次函数的图象经过，两点，且函数有最小值1，此二次函数的顶点坐标是___________．
15.若二次函数中，当时，随的增大而减小，则一次函数中，随的增大而___________（填“增大”或“减小”）
16.小明同学与小亮同学做一种猜数游戏，小明先说出了4个序号：1、2、3、4，小亮按照自己的规则分别说出了对应的数：11、20、29、38，然后两人对换，小亮先说出了4个序号：1、2、3、4，小明按照自己的规则说出了对应的数：5、10、17、26如果他们各自的对应规则不变，会在某个序号下两人说出的数字相同，这个序号是___________．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17.解方程：．
四、解答题（本大题共8小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（本小题5.0分）
中，是直角，两条直角边的长分别为和，若将两条直角边各延长相同的长度，延长后得到新的．
（1）求比增大的面积与直角边各延长出的长度之间的函数关系式；
（2）当直角边各延长时，面积增大了多少？
19.（本小题5.0分）
已知二次函数与的一些对应值如下表：
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，求出符合条件的点的坐标；
（3）当时，直接写出的取值范围．
20.（本小题5.0分）
如图所示，在矩形中，，，将矩形折叠，使得落在上，折痕为，使得也落在上，折痕为，求线段的长．
21.（本小题5.0分）
二次函数的图象经过，两点，将图象中，的部分称为函数的图象，将平行于轴的直线平行移动．
（1）求二次函数的图象与轴的交点坐标；
（2）求直线平移与函数的图象只有一个公共点时，的取值范围．
22.（本小题5.0分）
菱形的边长为8，一条对角线长为，若使一元二次方程的两个根都是整数，求整数的值．
23.（本小题6.0分）
矩形的长为8，宽为4，点从出发，以每秒的速度沿行驶，点从与点同时出发，以每秒的速度沿行驶.当点与点有一个点到达点时，行驶全部停止．
（1）当点行驶在边上时，求四边形的最大面积；
（2）当点行驶到边上时，求三角形的面积与的函数关系式.
24.（本小题8.0分）
一个抛物线形拱桥，桥底水平面宽度（跨度）是12米，拱桥最顶端到水平面的距离（拱高）是4米，如图，以水平直线为轴，以过桥的顶点且垂直于水平线的直线为轴，坐标原点为建立直角坐标系.一艘货船宽度为6.8米，装载集装箱后高出水面2米.一场大雨后，水面比下雨前上升了1米，此时这艘货船还可以安全通过拱桥吗？请通过计算进行说明．
25.（本小题8.0分）
抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于，两点（点在点左侧），点是对称轴上的一个动点，点的纵坐标为且．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）求，两点的坐标；
（3）当线段与线段的和最小时，求出点的坐标；
（4）求三角形的面积（用表示）．
参考答案
1.【答案】C
【解析】解：A：方程化简后消去了二次项，不是一元二次方程，所以选项A是错的；
B：当选项B中的取时，此方程不是一元二次方程，所以选项B是错的；
C：方程可化为一元二次方程的一般形式，所以选项C是正确选项；
D：因为有两个未知数，不是一元二次方程，所以选项D是错的，
故选C．
本题考查一元二次方程的定义．
2.【答案】A
【解析】解：是方程的一个根，
，解得，
解方程得，或．
故选A．
本题考查方程的根的定义及一元二次方程的解法．
3.【答案】B
【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得且，故选B．
本题考查一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式的情况，同时考查一元二次方程的定义及解不等式．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意可列方程，故选D．
本题考查一元二次方程应用中的平均增长率（降低率）问题．
5.【答案】B
【解析】解：根据抛物线平行移动的顶点坐标变化规律可得，移动后的抛物线的函数关系式为，
故选B．
本题考查抛物线的平移中，顶点坐标的变化规律．
6.【答案】A
【解析】解：由题意知抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
故选A．
本题考查二次函数的对称轴，开口方向以及与轴交点．
7.【答案】D
【解析】解：抛物线开口向上，，
一次函数随增大而增大，，，①对；
由图象可知当，二次函数图象在一次函数图象下方，，②对；
由图象可知抛物线对称轴在轴右侧，，，③是错的；
抛物线与轴有两个交点，，④对；
由图象可知当时，随的增大而增大，同时随的增大而减小，⑤对．
故选D．
本题考查一次函数与二次函数图象共存问题，根据函数图象，利用函数性质判断选项中代数式的正负以及函数之间的大小比较．
8.【答案】C
【解析】解：，，线段向下平移3个单位，则线段中，，，
二次函数，
当图像左支过点时，将坐标代入函数式，得，解得；
当图像右支过点时，将坐标代入函数式，得，解得，
当时，二次函数的图象与线段只有一个公共点，
故选C．
解析：本题考查线段的平移、二次函数图象与线段交点的问题，可借助于数形结合的方法画图分析，得出各临界点的取值，再结合抛物线开口大小与二次项系数的关系得出取值范围．
9.【答案】，
【解析】解：，
，，．
故答案为，．
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
10.【答案】8
【解析】解：设菱形较短对角线为，较长对角线为，
则，解得，（舍），
当时，，
两条对角线长度之和为．
故答案为8．
本题考查利用菱形对角线求面积，以及一元二次方程的解法．
11.【答案】
【解析】解：由方程可变形为，可知此方程有一个根是．
将代入原方程可得，解得，
此时一元二次方程为，即，
，．
故答案为．
本题考查解一元二次方程的因式分解法及方程解的概念．
12.【答案】（答案不唯一）
【解析】解：抛物线的顶点为，且时，随的增大而增大，
抛物线的开口向下，
所求函数的关系式可为：（答案不唯一）．
故答案为（答案不唯一）．
本题考查在给定条件下求函数关系式，由于条件宽松，所以满足条件的函数关系式不止一个，只要写出满足条件的一个函数关系式即可，这种开放性试题要能适应．
13.【答案】
【解析】解：抛物线顶点为，开口向下有最大值，抛物线图象与直线没有交点，
．
本题考查将二次函数与水平直线交点转换成二次函数最值问题．
14.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过，两点，
二次函数的对称轴为直线，
二次函数有最小值为，二次函数顶点坐标为．
本题考查二次函数的对称性及顶点坐标与对称轴、最值的关系．
15.【答案】减小
【解析】解：二次函数的对称轴为，
二次函数中，时，随的增大而减小，，
一次函数，随增大而减小．
故答案为：减小．
本题考查一次函数与二次函数的增减性．
16.【答案】7
【解析】解：由小明与小亮对应的数字可以得出如下规律：
当小明说的数为，小亮说的数为时，有，
由小亮与小明对应的数字可以得出如下规律：
小亮说的数为时，小明说的数为时，有，
所以当两人说出的数字相同时，有，解得（舍去）或，
当序号为7时，两人说出的数字相同．
故答案为7．
本题考查观察、比较、归纳的找规律问题，同时利用等量关系列方程解决问题，还考查了一元二次方程的解法．
17.【答案】解：，
，
，，
，．
【解析】本题考查解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：（1）由题意，，
所求函数关系式为．
（2）当时，．
答：当直角边各延长时，面积增大．
【解析】本题考查直角三角形背景下，由直角边变化引起的面积变化，列出有关函数关系式，并求某确定时刻的函数值．
19.【答案】解：（1）由已知表中的数据可分析出，
此二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为，
可设二次函数的表达式为，
选点代入，解得，
所求二次函数表达式为，即．
（2）由二次函数对称轴为直线，
距离对称轴距离为4的点的横坐标为或，
将代入抛物线中，得，
距离对称轴距离为的点为，．
（3）抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，有最小值为，当时，有最大值，
当时，．
【解析】本题考查由二次函数的对应数值求函数的表达式，同时考查二次函数的对称性、增减性与最值．
20.【答案】解：四边形为矩形，.
，，在中，，
是由沿折叠得到，
，，．
设，则，
在中，，
，解得：．
同理可设，则，，
在中，，
，解得：．
，，
在中，，
即．
【解析】本题考查在矩形背景下的折叠问题解题中除运用矩形性质、折叠的轴对称性之外，还运用代数方法结合勾股定理列方程，这是很重要的思想方法．
21.【答案】解：由题意可知，函数的图象如图所示．
（1）将与分别代入抛物线，
解得，，，即，
令，即，解得，，
图象与轴的交点坐标为，．
（2）由题意可知图象中：当时，；当时，；顶点坐标为．
当直线平移与函数图象只有一个交点时，或．
【解析】本题考查求函数图象与轴交点坐标的求法，数形结合的分析、解决平行移动的直线与函数图象交点的个数问题．
22.【答案】解：一元二次方程有两个实根，
则，解得．
边长为8的菱形，一条对角线为，
，解得，，
是整数且，或．
当时，原方程化为，解得，，两根均为整数；
当时，原方程化为，解得，，两根均不是整数．
．
【解析】本题考查菱形的性质及三角形三边的关系，一元二次方程根的判别式以及解不等式组，解方程等知识，综合解决整数根的问题．
23.【答案】解：（1）由题意可得，点的行程，点的行程，
点在之间时，，
随的增大而增大，当点运动到点时，面积最大，即当时，最大面积为．
（2）点在之间时，
【解析】本题考查在矩形背景下，根据点的运动方式分段的列出函数关系式表示四边形与三角形的面积，由函数增减性判断并求出函数的最大值．
24.【答案】解：由题意可知，抛物线顶点为，
抛物线函数关系式为，
将代入函数式中，得，
抛物线函数关系式为，
当时，求得
此时，可行船的宽度为，而船的宽度为，显然这货船不能安全通过拱桥．
【解析】本题考查建立数学模型解决实际问题，需经过分析将实际问题转化为数学问题，选择恰当的数学模型，通过解决二次函数的数学问题从而将实际问题加以解决．
25.【答案】解：（1）将，代入中，
解得，，，
抛物线的函数关系式为．
（2）令，解得，．
，．
（3）点是抛物线对称轴上一动点，
，，
当且仅当点在线段上时，
此时最小，
由，可求得直线：，
当时，，即点的坐标为．
（4）点，，，
由，可求得直线：，
当时，，
设与抛物线对称轴交点为，
当时，；
当时，．
【解析】本题考查待定系数法求二次函数关系式，抛物线与坐标轴的交点，以及在二次函数背景下利用将军饮马问题求线段和的最值，用字母表示三角形的面积，其中还涉及分类讨论.