专题09 幂函数（含解析）-【压轴攻略】2023-2024年高一数学上学期期中期末常考压轴题专练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

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【压轴攻略】2023-2024年高一数学上学期期中期末常考压轴题专练
专题09 幂函数
一、单选题
1．给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
2．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知x，，满足，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题：
① 函数 必过定点；
② 函数可能过点；
③ 若 ，则函数为偶函数；
④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
9．已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
11．若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则（ ）
A． B．或 C． D．或
12．已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ）
A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断
13．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
14．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．已知幂函数的图象为曲线，有下列四个性质：
①为偶函数；
②曲线不过原点；
③曲线C在第一象限呈上升趋势；
④当时，.
写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数 .
18．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有 （多选、错选、漏选均不得分）．
三、解答题
19．已知幂函数的图象经过点.
(1)求实数的值，并用定义法证明在区间内是减函数.
(2)函数是定义在R上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.
20．已知幂函数是其定义域上的增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
21．设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
22．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数.
(1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）；
(2)判断函数是否为函数，并说明理由；
(3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
23．已知幂函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出实数m的值．
24．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
25．已知幂函数，满足.
(1)求函数的解析式.
(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
26．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
27．已知幂函数在区间上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围.
28．已知幂函数在上为增函数，，.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)对于任意，都存在，使得，，若，求实数的值；
(3)若对于一切成成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
2．B
【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可．
【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，
则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．
当时，显然不成立，
所以，当时，则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B．
3．D
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
4．B
【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解．
【详解】解：令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
5．A
【分析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质，对四个命题分别进行判断，从而得到答案.
【详解】命题①，因为 ，为个不同的幂函数，
且幂函数都经过点，
所以可得函数的图像一定过点，所以正确;
命题②，幂函数，若定义域中可取负数时，则幂函数图像一定过或者
，为个不同的幂函数，
若这个不同的幂函数都过，则函数的图像过，
若这个不同的幂函数有一个不过，则这个幂函数必过，则函数的图像过，
所以的图像不可能过，所以错误；
命题③若，若这个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，所以错误.
命题④因为任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、，
则当这个数中出现时，
，此时为常数函数，不是增函数，所以错误.
故选A.
【点睛】本题考查幂函数的图像特点，幂函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
6．C
【分析】根据偶函数的性质，结合已知等式可以判断出函数的周期，再结合函数的单调性进行判断即可.
【详解】由得，，
而函数是偶函数，所以有，
所以，
所以的周期为4，
则，
．
当时，，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，又，
所以，
即，
故选：C
【点睛】关键点睛：根据已知等式，结合偶函数的性质判断出函数的周期是解题的关键.
7．C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，
对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，
对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，又，
所以，故C正确，
对于D选项，在上是递增函数，
又，所以，所以，故D错误.
故选：C.
8．D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
9．C
【分析】由题知，在上为增函数且为奇函数，进而将问题转化为在上恒成立，再求最值即可得答案.
【详解】解：由题意，，
因为，所以为奇函数，
由幂函数的性质得在上单调递增，
所以，在上的增函数，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，只需，即
所以实数a的取值范围是.
故选：C
10．C
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
11．D
【分析】由题意知是偶函数，在上单调递减,可得为正偶数，再根据的范围可得答案.
【详解】由题意知是偶函数，因为在上单调递减,
所以为正偶数，
又，
∴，解得或．
故选：D．
12．C
【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，单调递增，故，得到答案.
【详解】函数是幂函数，则，解得或.
当时，，在上为减函数，排除；
当时，，在上为增函数，满足；
，函数为奇函数，故在上单调递增.
，故，，故.
故选：.
【点睛】本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
13．B
【分析】根据幂函数的性质，结合取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.
【详解】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；
对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；
对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，
故选：B
14．D
【详解】试题分析：由已知，得或．当时，，当时，．又在单调递增，∴．∴在上的值域为，在上的值域为，∴，∴，即．故选D.
考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域.
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.
15．D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
16．C
【解析】根据新定义，得到的表达式，判断函数在定义域的单调性，可得结果.
【详解】当时，
；
当时，
；
所以，
易知，在单调递增，
在单调递增，
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
所以
得，解得.
故选：C
【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数以及判断单调性，难点在于满足的不等式，属中档题.
17．
【分析】根据幂函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④，可取，证明即可.
【详解】解：设幂函数的解析式为，
若曲线不过原点，则，
此时函数在，故②不成立，
则当时，，故③不成立，
所以幂函数不能满足②性质，
不妨取，
函数为偶函数，曲线C在第一象限呈上升趋势，当时，，
所以幂函数满足性质①③④.
故答案为：.（答案不唯一）
18．②④
【分析】根据待定系数法求出幂函数，由幂函数的性质，即可判断各项的真假．
【详解】设，因为函数的图象过点，所以，解得，
根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．
故答案为②④．
【点睛】本题主要考查幂函数的求法和幂函数的性质的判断与应用．
19．(1)，证明见解析；
(2)
【分析】（1）将点的坐标代入即可求得的值，再利用单调性的定义证明即可；
（2）函数在内是减函数，结合函数单调性及奇偶性，解不等式即可得解.
【详解】（1）由幂函数的图象经过点
，解得
证明：任取，且
，，
，即
所以在区间内是减函数.
（2）当时，，在区间内是减函数，
所以在区间内是减函数，在区间内是增函数，
又，所以等价于
函数是定义在R上的偶函数，则，解得：或
所以实数的取值范围是
20．(1)
(2)存在
(3)
【分析】（1）因为是幂函数，所以；
（2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题；
（3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，
解得或
当时，，在为减函数，当时，，
在为增函数，所以.
（2），令，因为，所以，
则令，，对称轴为．
①当，即时，函数在为增函数，
，解得．
②当，即时，，
解得，不符合题意，舍去．
当，即时，函数在为减函数，，
解得．不符合题意，舍去．
综上所述：存在使得的最小值为.
（3），则在定义域范围内为减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
②-①得：，
所以，
即③．
将③代入②得：．
令，因为，，所以．
所以，在区间单调递减，
所以
故存在实数，使函数在上的值域为，
实数的取值范围且为．
21．(1)；
(2)-1；
(3)
【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；
（2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值；
（3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．
【详解】（1）（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
（2），，，
令，则，，则，，，
当，即时，的最小值为（1），
所以，解得；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍；
当，即时，的最小值为（2），
所以，解得（舍．
综上，的值为．
（3），，则在，上单调递减，
因为是“佳”函数，
所以，
令，，
则，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，代入，
得，
因为，所以，得，
令，，，
所以，该函数在，上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.
22．(1)
(2)不是，理由见解析
(3)存在，
【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值.
（2）结合函数的定义以及反证法进行判断.
（3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案.
【详解】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上，
若函数为函数，
所以，即，
解得.
（2）函数不是P函数，理由如下：
在上递增，
因为m，n为整数，由题意可知，即，
令，即，解得，
假设函数为P函数，
则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n，
所以函数不是P函数；
（3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上，
因为关于x的不等式的解集恰为
所以，即
将①代入③得，，
又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意，
综上所述，存在实数使得函数为P函数.
【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式.
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的概念可求得，进而可求得的解析式；
（2）结合（1）中结论，利用换元法得到，，从而将问题转化为是否存在实数使得，利用二次函数轴动区间定分类讨论求得，进而可算出并验证实数是否满足题意.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或（舍去）
所以.
（2）假设存在实数使得的最小值为，即，
由（1）得，
令，则因为，所以，则，即，此时，
所以可化为，此时，即，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，故，
所以由得，即，不满足题意，舍去；
当，即时，易知，
由得或（舍去），故；
当，即时，在上单调递减，故，
由得，不满足题意，舍去；
综上：存在使得的最小值为，故.
24．(1)
(2)存在使得的最小值为0
(3)存在，
【分析】（1）由题意可得，从而可求出，再由可知幂函数为增函数，从而可确定出函数解析式，
（2）由（1）可得，令，则，，然后分，和三种情况求函数的最小值，
（3），由题意可得，令，，则得，求得， ，从而可求出范围
【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或．
当时，在上单调递减，
故不符合题意．
当时，在上单调递增，
故，符合题意．∴．
（2），令．∵，∴，
∴，．
当时，时，函数有最小值，∴，．
②当时，时，函数有最小值．∴，（舍）．
③当时，时，函数有最小值，
∴，（舍）．
∴综上．
（3），易知在定义域上单调递减，
∴，即，
令，，
则，，
∴，∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
∵，∴，∴，
∴ ．
∴．
【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数的解析式的求法，考查二次函数的性质的应用，考查函数值域的求法，考查数学分类思想，第（3）问解题的关键是由题意得，换元令，，进一步转化为求解得，从而可得，再利用二次函数的性质可求得结果，属于较难题
25．(1)
(2)存在使得的最小值为0
(3)存在，
【分析】（1）根据幂函数的定义结合即可得解；
（2）由函数，即，令，记，分，，三种情况讨论即可得出答案；
（3）由函数在定义域内为单调递减函数，若存在实数，（），使函数在上的值域为，则，消元可得，令，求出的范围，即可得解.
【详解】（1）解：∵是幂函数，∴得，解得：或，
当时，，不满足，
当时，，满足，
∴故得，函数的解析式为；
（2）解：由函数，即，
令，∵，∴，
记，其对称轴在，
①当，即时，则，解得：；
②当时，即，则，解得：，不满足，舍去；
③当时，即时，则，解得：，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为0；
（3）解：由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，（），使函数在上的值域为，则，
②-①可得：
，
∴③，
将③代入②得，，令，
∵，，即，
，，即，∴，
得：.故得实数的取值范围.
【点睛】本体考查了幂函数的定义，及二次函数的最值问题，以及函数的值域，考查了换元思想及分类讨论思想，难度较大.
26．（1）；（2）.
【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求解析式
(2)由(1)知，再由在上恒成立，即的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a的范围
【详解】（1）由为幂函数知，得或
为偶函数
∴当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去
所以
（2），令在上的最小值为
①当，即时，，所以
又，所以a不存在；
②当，即时，
所以.又，所以
③当，即时，
所以.又
所以.
综上可知，a的取值范围为
【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数的思想，属于较难的题
27．（1），；（2）
【解析】（1）利用幂函数的定义及函数的单调性列出关于t的方程，求解即可.
（2）分别求出的值域A，的值域B，由题设将问题转化为，利用集合的包含关系求出k的取值范围.
【详解】为幂函数，且在区间上单调递减，
，即，解得或（舍去）
所以幂函数的解析式为
，且，所以函数的定义域为
（2）由（1）知在区间上单调递减，所以当，，即，令；
，由指数函数性质知，单调递增，所以当，，即，令；
因为对任意的时，总存在使得，则
结合数轴可知，解得，即k的取值范围
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
28．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数定义求解；
（2）求出与的最大值，由它们相等可得；
（3）不等式分离参数转化为求新函数的最值．
【详解】（1）由幂函数的定义可知：即，
解得：，或，
∵在上为增函数，
∴，解得，
综上：，
∴；
（2），
据题意知，当时，，，
∵在区间上单调递增，
∴，即，
又∵，
∴函数的对称轴为，
∴函数在区间上单调递减，
∴，即，
由，得，
∴；
（3）当时，等价于
即，
∵，∴，
令，，下面求的最大值：
∵，∴，
∴的最大值为-5，
故的取值范围是.
【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出新函数的最值，从而得参数范围．
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