第27章圆导学案
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第28章圆导学案
全章引入：问题背景
章前分析：地位和功能：是平面几何的进一步深化，这部分内容可以把三角形，四边形，全等和相似，坐标系与函数综合起来；是考察思维能力的好题型；是中考必考点，但难度一般中等。
主要基础知识：一、圆的概念和性质 : 1、圆的有关概念，2、圆的对称性
二、过三点的圆: 1、不在同一条直线上的三点确定一个圆
2、三角形的外接圆和外心
三、圆心角和圆周角: 1、圆心角的概念和性质，2、圆周角及其性质
3、园内接多边形
四、垂径定理: 1、垂径定理，2、垂径定理的推论，
五、弧长和面积的计算: 1、弧长公式，2、 扇形面积公式，
3、圆锥侧面积和全面积，
本章重点:准确的理解圆的有关概念，熟练地利用圆的有关性质、弧长和扇形面积公式进行计算推理证明
多关注：灵活的利用圆的有关性质、公式进行操作，探求规律，解决问题。
学法建议：1、注意自己的思维过程：观察 思考 归纳 推理证明 总结规律 应用推广
2、做到温故而知新：要及时复习前面的平面几何知识和勾股定理，三角函数，代数知识，
不然寸步难行。
3、理解圆的有关概念时，要结合图形，实物，生活情境，理解透彻，用起来顺。
4、在探索圆的有关性质的过程中，自己主动对图形变换操作发现规律，然后再推理证明结
论的正确性 。
5、思考观察问题要全面，注意分类讨论。
6、对计算公式，一定要理解公式的演变过程和推导过程。
课题 ：圆的概念和性质（一）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]车轮为什么是圆的
【全节学习目标】
知识与技能：
1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；
2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵进行有关计算和证明。
过程与方法：
1．通过观察、思考、归纳和概括建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；
2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
情感态度价值观：
体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
【重点难点预测】重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；难点：通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
【课前预习案】一、
1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .
2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，
折叠后重合的对应点就是 。
3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，
这个点就是它的 ．
5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．
6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.
7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点关于原点的对称点为 .
二、
1. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．
2. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果________互为补角，__________________的补角相等.
3. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
4. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
5. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
6. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
7．线段的垂直平分线：
性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等；
判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。
8.角的平分线：
性质：角平分线上的点到角 相等；
判定：到角 的点在这个角的平分线上。
三、
1．三角形按角分为_____________三角形_，_____________三角形_，____________三角形_．
2．三角形按边分为_______________三角形,__________________. 三角形
3．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边
4．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
5．___________________________________叫三角形的中位线．
6．中位线的性质：____________________________________________．
7．三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。
8．角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离
，内心也是三角形内切圆的圆心。
9．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)
10. 等腰三角形的两底角__________；
11. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；
12. 有两个角相等的三角形是_________．
13. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
14. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
15. 直角三角形两锐角________．
16. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
17. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
18. 勾股定理：_________________________________________．
19. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
四、
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
5．证明三角形全等的思路：
找夹角
（1）已知两边 找直角
找
边为角的对边时，找
（2）已知一边一角 找夹角的另一边
边为角的邻边时， 找夹边的
找边的对角
找
（3）已知两角
找任意一边
五、
1．三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定方法
⑴若DE∥BC（A型和X型）则______________．
⑵射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
⑶两个角对应相等的两个三角形__________．
⑷两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
⑸三边对应成比例的两个三角形___________．
3．相似三角形的性质
⑴相似三角形的对应边_________，对应角________．
⑵相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
⑶相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，
面积比等于_________．
【学法指导】温故知新，观察，操作，思考，归纳，概括形成概念，记住概念，探索性质。
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，1、回答引题 （课件） A
2、你在纸上画一个圆 O r 然后填空：
在一个平面上到定点O的距离等于定长（OA的长）的所有点组成的图形叫做 ．
定点O叫做 , 定长线段OA叫做圆的 ，以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作 ．
3、定义圆的的有关概念
连结圆上任意两点A、 C的线段叫做 ，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做 ．
圆上任意两点间的部分叫做 ，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆
弧AB”或 ．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ．
劣弧与优弧：小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三点表示，如图中的 ）叫做优弧.
能够重合的两个圆叫做 ，能够重合的两条弧叫做 .
半径相等的两个圆是 .
二、合作探究：
1、下列说法错误的是：（ ）
A、半圆是弧 B、圆中最长的弦是直径 C、半径不是弦 D、两条半径组成一条直径
2、下列说法正确的有：①周长相等的圆是等圆；②弧长相等的两段弧一定是等弧；③等弧的弧长一
定相等；④同圆或等圆中，弧长相等的弧一定是等弧。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、探索圆的性质：
动手操作一：
1．在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？
2．将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？
归纳结论：
圆是 图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是 图形，圆心是它的对称中心。
细心观察：
1、圆有 条对称轴，这些对称轴相交于一点即 ，圆除了对称性外，还具有旋转 性。
辨别正误：
关于圆的对称轴的说法，正确的有（ ）
①圆的任意一条直径都是对称轴；②任意一条直线都是对称轴；③每一条直径所在的直线都是对称轴；④过圆心的任意
一条直线都是对称轴。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
动手操作二：
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙ O2及
相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙ O2
重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使弦AB和弦
CD重合.
观察思考：
1.在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
2.在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
归纳结论：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的 相等；相等的弦所对的 和劣弧分别相等.
结论应用：
以点O为圆心，可以作（ ） 个圆。A、只能1个 B、2个 C、3个 D、无数个
三、 交流展示：AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF
求证：AF=BE
证明：
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：名校课堂
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.2过三点的圆
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入] 现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片
还有用吗？怎样去配制呢？
【全节学习目标】1．学会过不在同一直线上的三个点画圆的方法；2．能说出三角形的外心及外接圆的概念。
3、经历探索过一点、两点、不在同一直线上的三个点作圆的过程，体会数学分类讨论思想问题的方法，体会类比思想。
4．体会“事物之间是相互联系和运动变化”的观点；
【重点难点预测】重点：1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，
“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆
难点：分析作圆的方法，实质是设法找圆心．
【课前预习案】1. 两点确定一条直线，两点之间 最短，即过两点有且只有一条直线。
2．线段的垂直平分线：
性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等；
判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。
3 坐标平面内的点与______________一一对应．
4. 根据点所在位置填表（图）
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
5、 轴上的点______坐标为0, 轴上的点______坐标为0.
6．各象限角平分线上的点的坐标特征
⑴第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标 。
⑵第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标 。
7. P(x,y)关于轴对称的点坐标为__________，关于轴对称的点坐标为________，
关于原点对称的点坐标为___________.
以上特征可归纳为：
⑴关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标 ；
⑵关于y轴对称的两点：横坐标 ，纵坐标相同；
⑶关于原点对称的两点：横、纵坐标均 。
8、已知△ABC，用尺规作出三边的垂直平分线。(不写作法，保留作图痕迹).
【学法指导】动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳。
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，操作1：过一个已知点A作圆？（学生动手去完成）
观察质疑：过点A所作圆的圆心在哪儿？半径多大？可以作几个这样的圆？
操作2：过已知两点A、B如何作圆？（学生动手去完成）
观察质疑：它们的圆心到A、B两点的距离怎样？圆心在哪里？过点A、B两点的圆有几个？
操作3： 过同一平面内三个点的情况会怎样呢
分两种情况研究：
（一）作一个圆，使它经过不在同一直线上三点A、B、C，
已知：不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C。
（学生口述作法，教师示范作图过程）
观察质疑：：这样一共可作几个圆？圆心在哪里？到A、B、C三点的距离怎样？
（二）过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？（不能作出）
发现结论：
定理：过不在一直线上的三点确定 圆。
“确定”的含义：过不在一直线上的三点能作圆，并且只能作一个圆（存在性唯一性）
结论应用： 由于任意一个三角形的三个顶点都 同一直线上，所以由定理 可知，经
过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．
定义有关概念：1、经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的 三角形．
2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．
发现三角形外心的性质
（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
操作4：回到初始问题的解决（让学生口述解决的办法）
在残片上任取三点A、B、C，连结AB、AC ②分别作AB、AC的 ，并交于一点O，O为圆心。
连结 ， 为半径，画圆即可。
二、合作探究：
1．判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）
（5）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．（ ）
2、证明三角形外接圆的圆心到这个三角形三个顶点的距离相等。
3、平面上有4个点，他们不在一直线上，但有3个点在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作圆的个数（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
三、 交流展示：名校课堂
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12 ，则其外接圆的半径为（ ）
A、15 B、7.5 C、6 D、3
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：和直角坐标系结合
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.3圆心角、圆周角（一）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入] 上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任
意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？
【全节学习目标】1．能说出圆心角、圆周角的概念；
2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。
3、通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，学会探索方法。
4、会识别圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形对角互补。
【重点难点预测】重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系
难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程
【学法指导】动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳。注意考虑问题要全面，不重不漏，分类讨论的数学思想方法
【课前预习案】
1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；
3. 有两个角相等的三角形是_________．
4、在同圆或等圆中， 弧所对的弦相等； 弦所对的优弧和劣弧分别相等。
5．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，重新审视引题。操作1（按要求）：
观察：这个角的顶点在 上．两边与圆 。
下定义：圆心角定义： 。
操作2 ：连结AB，
观察：是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦.
思考：研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系
探究方法：（同一圆中圆心角与弦、弧的关系）
1．操作：请己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的
弦AB，CD。
（1）大胆猜想，∠AOB=∠COD，其余，弦AB与CD大小关系如何？
结论：当 ∠AOB=∠COD时， ，弦AB CD。
证明：
（2）观察猜想：如果AB=CD（或 ），那么∠AOB等于∠COD吗？
证明：
2．操作：画两个相等的圆⊙O1与⊙O2，∠AO1B=∠CO2D，
观察猜想：那么AB与CD分别相等吗？，如果AB=CD（或），那么∠AO1B等于∠CO2D吗？
结论：
证明：
（二） 已知：如图，AB是⊙O的直径， ∠COD=35°，
求∠AOE的度数．
合作探究：操作1：作出圆心角∠AOB
（一） 操作2：将圆心角的顶点进行移动 ，边OA、OB要始终在圆周上（如图2）
认识新概念：当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫 。
观察辨别:是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？如图．
发现: 圆周角必须具备两个条件：（1）顶点在圆周上；
（2）两边都与圆 ，
定义新概念 圆周角定义： 。
判断： 下列命题是否正确？
（1）圆周角的顶点一定在圆上；（2）点在圆上的角是圆周角；
（3）圆周角的两边都和圆相交；（4）两边都和圆相交的角是圆周角．
（二） 观察：某艺术团到基层进行慰问演出，演出现场为一圆形广场，其中为一临时搭建的圆弧形舞台，在圆上的点P和
点Q处分别安放一台摄像机．你认为这两台摄像机相对于舞台的张角∠APB与∠AQB的大小具有什么关系？
判断结果：
操作验证：请用量角器量出这两个角的大小，验证你的判断．
操作：请画一个圆，在这个圆上任意截取一段弧 ，并画出所对的任3个圆周角，用量角器量出
这些角的大小关系．
归纳结论：同弧 相等．
证明：
拓展：以上是同圆中同弧所对的圆周角之间的数量关系，在等圆中呢？
（三）、观察猜想，寻找同弧上圆周角与圆心角之间的关系。
1．圆周角和圆心角是圆中不同的角，有着不同的性质.观察图2，∠ACB与∠AOB对着同一条弧，它们之间有关系吗？
观察特例：
判断：图（1）、图（2）中，圆心角∠AOB分别等于 。
观察猜想所对的圆周角∠ACB又分别等于多少度？
猜想结果：所对的圆周角∠ACB分别等于 ．
2．通过特例猜想的结论是：一条弧所对的圆周角 它所对
的 的一半．
证明此命题成立有同学们课下思考
三、 交流展示：名校课堂
如图猜想
在下列各图中∠а1= ，∠а2= ，
∠а3= ，∠а4= ．
猜想圆心角∠AOB所对的弧是圆周，那么∠AOB是多少度？
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=68，∠A=40，则∠D= 。
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.3圆心角、圆周角（二）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]上节课观察猜想，寻找同弧上圆周角与圆心角之间的关系，猜想结论是什么？
【全节学习目标】本节学习目标3、4、
【重点难点预测】重点：圆心角和圆周角的关系的证明
难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程
【课前预习案】 1、圆心角的定义： ．
2、圆心角的性质： ．
3、圆周角的定义： ．
4、你猜想同弧上圆周角与圆心角之间的关系结论是 ．
你考虑如何证明了吗？
5、多边形的内角和如何计算？多边形的外角和是多少？
【学法指导】 注意考虑问题要全面，不重不漏，分类讨论的数学思想方法
【学习过程】
自主学习：(一)读教材后，1、针对上节课猜想结论，画出符合题意的图形，
提示： 圆心角的顶点（圆心）在圆周角的“一边上”、“内部”、“外部”
2、这些图形是你所画出的吗？
3、 观察以上三个图形，三种情况中哪一种最特殊，
最容易证明呢？
4、按最容易的情况证明。
试着对图（2）情况进行证明
试着对图（3）情况进行证明
结论：
合作探究：1、操作:顺次连接⊙O上的四点A、B、C、D，
2、类比圆的内接三角形对四边形 ABCD下定义： 。
3、探求规律
①圆周角∠A与圆周角∠C的数量关系： 。理由是：
②一个四边形的外接圆有 个。
③一个圆有 个内接四边形
④圆周角∠B与圆周角∠D的数量关系： 。
结论： 。
交流展示：名校课堂
1、你理解右边的脑图吗？
2、圆内接四边形 ABCD中∠A :∠B :∠C =2:3:6,∠D的度数为（ ）
A、45 ° B、67.5 ° C、135 ° D、112.5°
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=45 °
则这个人工湖的直径是 。
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.4垂径定理
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]晴朗的早晨，一轮红日冉冉从东方的海平面升起，你大胆的猜想，太阳完全跳出海平面要多久？
【全节学习目标】1、通过折叠操作，观察归纳猜想出垂径定理和逆定理，通过推理论证，证明猜想
结论的正确性，2、会运用垂径定理或逆定理解决实际问题。
【重点难点预测】重点:推理论证垂径定理和逆定理,难点:熟练地运用垂径定理或逆定理解决实际问题。
【课前预习案】 1.勾股定理的内容： 。
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知a=2,b=3,则c= ,当c=13,a=5,则b= .
3、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下列表格给出的三个数a,b,c,a3,4,5 32+42=52
5,12,13 52+122=132
7,24,25 72+242=252
9,40,41 92+402=412
…… ……
17，b,c 172+b2=c2
…… ……
【学法指导】 折叠操作观察归纳找思路，推理论证正确性，
【学习过程】
一、自主学习：
读教材，操作1：在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直
径垂直的一条弦；
操作2：将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？
猜想结论：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分 所对的两条弧。
证明：
写出垂径定理：
再操作观察：
如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）与点E，AE=BE。
1．猜想CD与AB垂直吗？
2．猜想分别具有什么样的关系？
3、证明你猜想的结论
写出垂径定理推论：
二、合作探究：
1、 简单题
2、右图是一个半圆形桥洞截面示意图， 圆 心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且 CD = 24 m，
OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，
则经过多长时间才能将水排干？
三、 交流展示：名校课堂
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：名校课堂
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.5弧长和扇形面积的计算（一）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]你知道斗笠和打开的雨伞用多少材料吗？
【全节学习目标】1．会计算弧长及扇形的面积。
2．会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些知识解决相关问题。
3．知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系。
4．通过作图、识图、阅读图形探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律。
5．在探究弧长公式和扇形面积公式的过程中，体会“从特殊到一般”的数学思想方法。
【重点难点预测】 重点：1．计算弧长和扇形面积；2．利用弧长和扇形面积公式计算圆锥的侧面积和全面积。
难点：理解公式的推导过程
【课前预习案】 1、已知⊙O半径为R，⊙O的面积S= 。⊙O的周长C= 。
2、圆心角定义： 。
3、已知⊙O半径为R，有一圆心角为1°，则这个圆心角所对的弧长L= 。
类比：这个圆心角所对的面积S= 。
【学法指导】 观察操作，合理猜想，类比归纳，推理论证，数形结合。
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，1、补充完善扇形的定义：一条弧和 的端点的两条 所组成的图形叫做扇形。
2、观察右图指出哪部分是扇形，并说出它是由哪条弧和哪两条半径构成？
3、想象在同圆或等圆中，是否具有相同圆心角的扇形面积也相等呢？
结论：在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等。
（二）1、问题：已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的弧长
操作1：画示意图
操作2：计算整个圆周的弧长 。
计算: 1°圆心角所对的弧长 。
2°圆心角所对的弧长 。
.......................
n°圆心角所对的弧长 。
发现规律： n°圆心角所对的弧长是 圆心角所对的弧长的n倍；即n°圆心角所对弧长= 。
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
合作探究：1、类比求扇形的弧长推导扇形面积公式
问题：已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积（继续观察上图）
第一步：计算圆面积S= ；
第二步：计算圆心角为1°的扇形的面积= ；
第三步：计算圆心角为90°的扇形的面积= ；
第四步：计算圆心角为n°的扇形的面积= ；
第五步:归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S= （扇形面积公式）
2、在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 。
3、已知半径为3，弧长为π的弧所对的圆心角为 。
4、扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，
则贴纸部分的面积为 。 （233页）
交流展示：名校课堂
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：问题1、扇形面积计算公式，扇形弧长计算公式中n的意义？
问题2、探索扇形的面积公式与弧长公式联系:(232页)
问题3、在一个圆中，由弧和它所对的弦组成的图形叫做弓形。推导弓形面积计算公式：
方法：1、画示意图
2、考虑三角形面积公式和扇形面积计算公式
3、利用拼图法求出弓形面积计算公式：
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.5弧长和扇形面积的计算（二）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]生活中，我们会遇到许多圆锥形的物体，如图中的铅锤、粮堆、烟囱帽、漏斗等．今天我就来研究它的一些特性。
【全节学习目标】全节学习目标中 2．会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些知识解决相关问题。
3．知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系。
【重点难点预测】灵活应用圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系，计算，证明，找规律，解决实际问题。
【课前预习案】1、在小学我们已知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如右图。
把圆锥的顶点与底面圆周 连线叫做圆锥的母线。
从圆锥的顶点与底面 之间的线段叫做圆锥的高h．
2、 操作：把扇形的侧面展开
观察：侧面展开图是扇形吗？
扇形的半径长等于圆锥的一条 长。
扇形的弧长等于圆锥底面圆的 。
【学法指导】动手操作，合理猜想，认真计算
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，接着课前预习案推导圆锥侧面积和全面积
1、已知圆椎的底面半径为r，母线为L，侧面展开图中扇形圆心角为n°则圆锥侧面积s侧= 。
方法：1、用r和L表示扇形的弧长及扇形的面积 。
2、如何用r和L表示圆锥的侧面积 。
表示圆椎的全面积 。
（二）2、小敏量得一个圆锥的母线长为15cm，底面圆的半径是6cm，它的侧面积为 cm2全
面积为 cm2（结果保留π）
合作探究：对圆锥的进一步认识:1、圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，还可以看成由
一个直角三角形绕 所在直线旋转而成的图形，这条直线角圆锥的轴。
2、圆锥具有三个基本特征①圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面
②圆锥的母线长 ，③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是 。
3、沿圆锥一条母线将圆锥的侧面展开并展平，其侧面展开图是一个扇形，扇形的半径
等于 ，弧长等于 ，圆锥的侧面展开图的圆心角 ，那么这个圆
锥的坡度越小。
4、在圆锥的轴截面（截面为经过圆锥高的面)中,圆锥的高h，半径r，母线构
成 三边，其中母线维 边，高和底面半径为 边，
所以h2+r2=
三、 交流展示：名校课堂
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：如图在△ABC中∠B= 90°，∠A= 30°，AC=4cm，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C
的位置，且A、C、B′三点在通一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（ ）
A、 B、8cm C、 D、 （画图234）
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
第28章圆复习
【复习目标】1、明白准确的掌握各知识点一、圆的概念和性质 : 1、圆的有关概念，2、圆的对称性
二、过三点的圆: 1、不在同一条直线上的三点确定一个圆
2、三角形的外接圆和外心
三、圆心角和圆周角: 1、圆心角的概念和性质，2、圆周角及其性质
3、园内接多边形
四、垂径定理: 1、垂径定理，2、垂径定理的推论，
五、弧长和面积的计算: 1、弧长公式，2、 扇形面积公式，
3、圆锥侧面积和全面积，
【复习重点】利用垂径定理，圆周角定理进行计算、证明，利用弧长和扇形面积公式计算，难点：圆的性质综合运用，圆锥的
侧面积的计算。
【复习过程】
一、知识梳理
1. 知识脑图（在最后一页）
2. 知识要点1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦：
2．圆的有关性质：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
（2）垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．
3．三角形的内心和外心:
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：
4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
5、 圆周长公式：
6 、n°的圆心角所对的弧长公式：
7、. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．
8、. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是：
9、.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是：
方法梳理（举例说明）
例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ）
A．5米 B．8米 C．7米 D．5米
例题2.如图⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题1图 例题2图 例题3图 例题4图
例题3.如图⊙O弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例题4.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°
例题5． AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为 cm，则弦CD的长为（ ）
A． B、3cm． C．2cm D．9cm
题型梳理（举例说明、部分）
1、如图，正方形 ( http: / / www. / )网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长
2、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．
3、如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个
圆锥的高为（ ） A.3cm B.4 cm C.cm D.2 cm (画图)
二、典例解析
例题1：课本
解析：
解答：
解后反思：
方法归纳：
例题2：课本
解析：
解答：
解后反思：
方法归纳：
三、复习反思
【复习测评】名校课堂
学习测评1 ( 重在基础知识、基本技能的理解与掌握)
一、 选择题
1、
2、
二、填空题
1、
2、
三、解答题
1、
2、
学习测评2（重在基础知识、技能技能的熟练掌握与综合运用）
一、选择题
1、
2、
二、填空题
1、
2、
三、解答题
1、
2、
【课后练习】（薄弱环节和重点）
解答题1
解答题2
解答题3
【资源链接】(网、书)
A
B
C
120°
O
A
B
18
全章引入：问题背景
章前分析：地位和功能：是平面几何的进一步深化，这部分内容可以把三角形，四边形，全等和相似，坐标系与函数综合起来；是考察思维能力的好题型；是中考必考点，但难度一般中等。
主要基础知识：一、圆的概念和性质 : 1、圆的有关概念，2、圆的对称性
二、过三点的圆: 1、不在同一条直线上的三点确定一个圆
2、三角形的外接圆和外心
三、圆心角和圆周角: 1、圆心角的概念和性质，2、圆周角及其性质
3、园内接多边形
四、垂径定理: 1、垂径定理，2、垂径定理的推论，
五、弧长和面积的计算: 1、弧长公式，2、 扇形面积公式，
3、圆锥侧面积和全面积，
本章重点:准确的理解圆的有关概念，熟练地利用圆的有关性质、弧长和扇形面积公式进行计算推理证明
多关注：灵活的利用圆的有关性质、公式进行操作，探求规律，解决问题。
学法建议：1、注意自己的思维过程：观察 思考 归纳 推理证明 总结规律 应用推广
2、做到温故而知新：要及时复习前面的平面几何知识和勾股定理，三角函数，代数知识，
不然寸步难行。
3、理解圆的有关概念时，要结合图形，实物，生活情境，理解透彻，用起来顺。
4、在探索圆的有关性质的过程中，自己主动对图形变换操作发现规律，然后再推理证明结
论的正确性 。
5、思考观察问题要全面，注意分类讨论。
6、对计算公式，一定要理解公式的演变过程和推导过程。
课题 ：圆的概念和性质（一）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]车轮为什么是圆的
【全节学习目标】
知识与技能：
1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；
2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵进行有关计算和证明。
过程与方法：
1．通过观察、思考、归纳和概括建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；
2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
情感态度价值观：
体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
【重点难点预测】重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；难点：通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
【课前预习案】一、
1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .
2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，
折叠后重合的对应点就是 。
3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，
这个点就是它的 ．
5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．
6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.
7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点关于原点的对称点为 .
二、
1. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．
2. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果________互为补角，__________________的补角相等.
3. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
4. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
5. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
6. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
7．线段的垂直平分线：
性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等；
判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。
8.角的平分线：
性质：角平分线上的点到角 相等；
判定：到角 的点在这个角的平分线上。
三、
1．三角形按角分为_____________三角形_，_____________三角形_，____________三角形_．
2．三角形按边分为_______________三角形,__________________. 三角形
3．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边
4．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
5．___________________________________叫三角形的中位线．
6．中位线的性质：____________________________________________．
7．三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。
8．角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离
，内心也是三角形内切圆的圆心。
9．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)
10. 等腰三角形的两底角__________；
11. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；
12. 有两个角相等的三角形是_________．
13. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
14. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
15. 直角三角形两锐角________．
16. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
17. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
18. 勾股定理：_________________________________________．
19. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
四、
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
5．证明三角形全等的思路：
找夹角
（1）已知两边 找直角
找
边为角的对边时，找
（2）已知一边一角 找夹角的另一边
边为角的邻边时， 找夹边的
找边的对角
找
（3）已知两角
找任意一边
五、
1．三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定方法
⑴若DE∥BC（A型和X型）则______________．
⑵射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
⑶两个角对应相等的两个三角形__________．
⑷两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
⑸三边对应成比例的两个三角形___________．
3．相似三角形的性质
⑴相似三角形的对应边_________，对应角________．
⑵相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
⑶相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，
面积比等于_________．
【学法指导】温故知新，观察，操作，思考，归纳，概括形成概念，记住概念，探索性质。
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，1、回答引题 （课件） A
2、你在纸上画一个圆 O r 然后填空：
在一个平面上到定点O的距离等于定长（OA的长）的所有点组成的图形叫做 ．
定点O叫做 , 定长线段OA叫做圆的 ，以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作 ．
3、定义圆的的有关概念
连结圆上任意两点A、 C的线段叫做 ，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做 ．
圆上任意两点间的部分叫做 ，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆
弧AB”或 ．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ．
劣弧与优弧：小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三点表示，如图中的 ）叫做优弧.
能够重合的两个圆叫做 ，能够重合的两条弧叫做 .
半径相等的两个圆是 .
二、合作探究：
1、下列说法错误的是：（ ）
A、半圆是弧 B、圆中最长的弦是直径 C、半径不是弦 D、两条半径组成一条直径
2、下列说法正确的有：①周长相等的圆是等圆；②弧长相等的两段弧一定是等弧；③等弧的弧长一
定相等；④同圆或等圆中，弧长相等的弧一定是等弧。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、探索圆的性质：
动手操作一：
1．在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？
2．将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？
归纳结论：
圆是 图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是 图形，圆心是它的对称中心。
细心观察：
1、圆有 条对称轴，这些对称轴相交于一点即 ，圆除了对称性外，还具有旋转 性。
辨别正误：
关于圆的对称轴的说法，正确的有（ ）
①圆的任意一条直径都是对称轴；②任意一条直线都是对称轴；③每一条直径所在的直线都是对称轴；④过圆心的任意
一条直线都是对称轴。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
动手操作二：
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙ O2及
相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙ O2
重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使弦AB和弦
CD重合.
观察思考：
1.在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
2.在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
归纳结论：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的 相等；相等的弦所对的 和劣弧分别相等.
结论应用：
以点O为圆心，可以作（ ） 个圆。A、只能1个 B、2个 C、3个 D、无数个
三、 交流展示：AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF
求证：AF=BE
证明：
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：名校课堂
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.2过三点的圆
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入] 现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片
还有用吗？怎样去配制呢？
【全节学习目标】1．学会过不在同一直线上的三个点画圆的方法；2．能说出三角形的外心及外接圆的概念。
3、经历探索过一点、两点、不在同一直线上的三个点作圆的过程，体会数学分类讨论思想问题的方法，体会类比思想。
4．体会“事物之间是相互联系和运动变化”的观点；
【重点难点预测】重点：1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，
“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆
难点：分析作圆的方法，实质是设法找圆心．
【课前预习案】1. 两点确定一条直线，两点之间 最短，即过两点有且只有一条直线。
2．线段的垂直平分线：
性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等；
判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。
3 坐标平面内的点与______________一一对应．
4. 根据点所在位置填表（图）
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
5、 轴上的点______坐标为0, 轴上的点______坐标为0.
6．各象限角平分线上的点的坐标特征
⑴第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标 。
⑵第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标 。
7. P(x,y)关于轴对称的点坐标为__________，关于轴对称的点坐标为________，
关于原点对称的点坐标为___________.
以上特征可归纳为：
⑴关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标 ；
⑵关于y轴对称的两点：横坐标 ，纵坐标相同；
⑶关于原点对称的两点：横、纵坐标均 。
8、已知△ABC，用尺规作出三边的垂直平分线。(不写作法，保留作图痕迹).
【学法指导】动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳。
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，操作1：过一个已知点A作圆？（学生动手去完成）
观察质疑：过点A所作圆的圆心在哪儿？半径多大？可以作几个这样的圆？
操作2：过已知两点A、B如何作圆？（学生动手去完成）
观察质疑：它们的圆心到A、B两点的距离怎样？圆心在哪里？过点A、B两点的圆有几个？
操作3： 过同一平面内三个点的情况会怎样呢
分两种情况研究：
（一）作一个圆，使它经过不在同一直线上三点A、B、C，
已知：不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C。
（学生口述作法，教师示范作图过程）
观察质疑：：这样一共可作几个圆？圆心在哪里？到A、B、C三点的距离怎样？
（二）过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？（不能作出）
发现结论：
定理：过不在一直线上的三点确定 圆。
“确定”的含义：过不在一直线上的三点能作圆，并且只能作一个圆（存在性唯一性）
结论应用： 由于任意一个三角形的三个顶点都 同一直线上，所以由定理 可知，经
过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．
定义有关概念：1、经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的 三角形．
2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．
发现三角形外心的性质
（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
操作4：回到初始问题的解决（让学生口述解决的办法）
在残片上任取三点A、B、C，连结AB、AC ②分别作AB、AC的 ，并交于一点O，O为圆心。
连结 ， 为半径，画圆即可。
二、合作探究：
1．判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）
（5）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．（ ）
2、证明三角形外接圆的圆心到这个三角形三个顶点的距离相等。
3、平面上有4个点，他们不在一直线上，但有3个点在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作圆的个数（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
三、 交流展示：名校课堂
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12 ，则其外接圆的半径为（ ）
A、15 B、7.5 C、6 D、3
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：和直角坐标系结合
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.3圆心角、圆周角（一）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入] 上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任
意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？
【全节学习目标】1．能说出圆心角、圆周角的概念；
2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。
3、通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，学会探索方法。
4、会识别圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形对角互补。
【重点难点预测】重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系
难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程
【学法指导】动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳。注意考虑问题要全面，不重不漏，分类讨论的数学思想方法
【课前预习案】
1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；
3. 有两个角相等的三角形是_________．
4、在同圆或等圆中， 弧所对的弦相等； 弦所对的优弧和劣弧分别相等。
5．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，重新审视引题。操作1（按要求）：
观察：这个角的顶点在 上．两边与圆 。
下定义：圆心角定义： 。
操作2 ：连结AB，
观察：是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦.
思考：研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系
探究方法：（同一圆中圆心角与弦、弧的关系）
1．操作：请己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的
弦AB，CD。
（1）大胆猜想，∠AOB=∠COD，其余，弦AB与CD大小关系如何？
结论：当 ∠AOB=∠COD时， ，弦AB CD。
证明：
（2）观察猜想：如果AB=CD（或 ），那么∠AOB等于∠COD吗？
证明：
2．操作：画两个相等的圆⊙O1与⊙O2，∠AO1B=∠CO2D，
观察猜想：那么AB与CD分别相等吗？，如果AB=CD（或），那么∠AO1B等于∠CO2D吗？
结论：
证明：
（二） 已知：如图，AB是⊙O的直径， ∠COD=35°，
求∠AOE的度数．
合作探究：操作1：作出圆心角∠AOB
（一） 操作2：将圆心角的顶点进行移动 ，边OA、OB要始终在圆周上（如图2）
认识新概念：当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫 。
观察辨别:是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？如图．
发现: 圆周角必须具备两个条件：（1）顶点在圆周上；
（2）两边都与圆 ，
定义新概念 圆周角定义： 。
判断： 下列命题是否正确？
（1）圆周角的顶点一定在圆上；（2）点在圆上的角是圆周角；
（3）圆周角的两边都和圆相交；（4）两边都和圆相交的角是圆周角．
（二） 观察：某艺术团到基层进行慰问演出，演出现场为一圆形广场，其中为一临时搭建的圆弧形舞台，在圆上的点P和
点Q处分别安放一台摄像机．你认为这两台摄像机相对于舞台的张角∠APB与∠AQB的大小具有什么关系？
判断结果：
操作验证：请用量角器量出这两个角的大小，验证你的判断．
操作：请画一个圆，在这个圆上任意截取一段弧 ，并画出所对的任3个圆周角，用量角器量出
这些角的大小关系．
归纳结论：同弧 相等．
证明：
拓展：以上是同圆中同弧所对的圆周角之间的数量关系，在等圆中呢？
（三）、观察猜想，寻找同弧上圆周角与圆心角之间的关系。
1．圆周角和圆心角是圆中不同的角，有着不同的性质.观察图2，∠ACB与∠AOB对着同一条弧，它们之间有关系吗？
观察特例：
判断：图（1）、图（2）中，圆心角∠AOB分别等于 。
观察猜想所对的圆周角∠ACB又分别等于多少度？
猜想结果：所对的圆周角∠ACB分别等于 ．
2．通过特例猜想的结论是：一条弧所对的圆周角 它所对
的 的一半．
证明此命题成立有同学们课下思考
三、 交流展示：名校课堂
如图猜想
在下列各图中∠а1= ，∠а2= ，
∠а3= ，∠а4= ．
猜想圆心角∠AOB所对的弧是圆周，那么∠AOB是多少度？
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=68，∠A=40，则∠D= 。
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.3圆心角、圆周角（二）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]上节课观察猜想，寻找同弧上圆周角与圆心角之间的关系，猜想结论是什么？
【全节学习目标】本节学习目标3、4、
【重点难点预测】重点：圆心角和圆周角的关系的证明
难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程
【课前预习案】 1、圆心角的定义： ．
2、圆心角的性质： ．
3、圆周角的定义： ．
4、你猜想同弧上圆周角与圆心角之间的关系结论是 ．
你考虑如何证明了吗？
5、多边形的内角和如何计算？多边形的外角和是多少？
【学法指导】 注意考虑问题要全面，不重不漏，分类讨论的数学思想方法
【学习过程】
自主学习：(一)读教材后，1、针对上节课猜想结论，画出符合题意的图形，
提示： 圆心角的顶点（圆心）在圆周角的“一边上”、“内部”、“外部”
2、这些图形是你所画出的吗？
3、 观察以上三个图形，三种情况中哪一种最特殊，
最容易证明呢？
4、按最容易的情况证明。
试着对图（2）情况进行证明
试着对图（3）情况进行证明
结论：
合作探究：1、操作:顺次连接⊙O上的四点A、B、C、D，
2、类比圆的内接三角形对四边形 ABCD下定义： 。
3、探求规律
①圆周角∠A与圆周角∠C的数量关系： 。理由是：
②一个四边形的外接圆有 个。
③一个圆有 个内接四边形
④圆周角∠B与圆周角∠D的数量关系： 。
结论： 。
交流展示：名校课堂
1、你理解右边的脑图吗？
2、圆内接四边形 ABCD中∠A :∠B :∠C =2:3:6,∠D的度数为（ ）
A、45 ° B、67.5 ° C、135 ° D、112.5°
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=45 °
则这个人工湖的直径是 。
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.4垂径定理
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]晴朗的早晨，一轮红日冉冉从东方的海平面升起，你大胆的猜想，太阳完全跳出海平面要多久？
【全节学习目标】1、通过折叠操作，观察归纳猜想出垂径定理和逆定理，通过推理论证，证明猜想
结论的正确性，2、会运用垂径定理或逆定理解决实际问题。
【重点难点预测】重点:推理论证垂径定理和逆定理,难点:熟练地运用垂径定理或逆定理解决实际问题。
【课前预习案】 1.勾股定理的内容： 。
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知a=2,b=3,则c= ,当c=13,a=5,则b= .
3、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下列表格给出的三个数a,b,c,a
5,12,13 52+122=132
7,24,25 72+242=252
9,40,41 92+402=412
…… ……
17，b,c 172+b2=c2
…… ……
【学法指导】 折叠操作观察归纳找思路，推理论证正确性，
【学习过程】
一、自主学习：
读教材，操作1：在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直
径垂直的一条弦；
操作2：将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？
猜想结论：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分 所对的两条弧。
证明：
写出垂径定理：
再操作观察：
如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）与点E，AE=BE。
1．猜想CD与AB垂直吗？
2．猜想分别具有什么样的关系？
3、证明你猜想的结论
写出垂径定理推论：
二、合作探究：
1、 简单题
2、右图是一个半圆形桥洞截面示意图， 圆 心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且 CD = 24 m，
OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，
则经过多长时间才能将水排干？
三、 交流展示：名校课堂
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：名校课堂
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.5弧长和扇形面积的计算（一）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]你知道斗笠和打开的雨伞用多少材料吗？
【全节学习目标】1．会计算弧长及扇形的面积。
2．会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些知识解决相关问题。
3．知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系。
4．通过作图、识图、阅读图形探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律。
5．在探究弧长公式和扇形面积公式的过程中，体会“从特殊到一般”的数学思想方法。
【重点难点预测】 重点：1．计算弧长和扇形面积；2．利用弧长和扇形面积公式计算圆锥的侧面积和全面积。
难点：理解公式的推导过程
【课前预习案】 1、已知⊙O半径为R，⊙O的面积S= 。⊙O的周长C= 。
2、圆心角定义： 。
3、已知⊙O半径为R，有一圆心角为1°，则这个圆心角所对的弧长L= 。
类比：这个圆心角所对的面积S= 。
【学法指导】 观察操作，合理猜想，类比归纳，推理论证，数形结合。
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，1、补充完善扇形的定义：一条弧和 的端点的两条 所组成的图形叫做扇形。
2、观察右图指出哪部分是扇形，并说出它是由哪条弧和哪两条半径构成？
3、想象在同圆或等圆中，是否具有相同圆心角的扇形面积也相等呢？
结论：在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等。
（二）1、问题：已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的弧长
操作1：画示意图
操作2：计算整个圆周的弧长 。
计算: 1°圆心角所对的弧长 。
2°圆心角所对的弧长 。
.......................
n°圆心角所对的弧长 。
发现规律： n°圆心角所对的弧长是 圆心角所对的弧长的n倍；即n°圆心角所对弧长= 。
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
合作探究：1、类比求扇形的弧长推导扇形面积公式
问题：已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积（继续观察上图）
第一步：计算圆面积S= ；
第二步：计算圆心角为1°的扇形的面积= ；
第三步：计算圆心角为90°的扇形的面积= ；
第四步：计算圆心角为n°的扇形的面积= ；
第五步:归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S= （扇形面积公式）
2、在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 。
3、已知半径为3，弧长为π的弧所对的圆心角为 。
4、扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，
则贴纸部分的面积为 。 （233页）
交流展示：名校课堂
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：问题1、扇形面积计算公式，扇形弧长计算公式中n的意义？
问题2、探索扇形的面积公式与弧长公式联系:(232页)
问题3、在一个圆中，由弧和它所对的弦组成的图形叫做弓形。推导弓形面积计算公式：
方法：1、画示意图
2、考虑三角形面积公式和扇形面积计算公式
3、利用拼图法求出弓形面积计算公式：
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
课题 ：28.5弧长和扇形面积的计算（二）
上课教师：许国祥 授课时间： 班级：9（1、2） 课代表 姓名：马 、郑 小组：18
[引入]生活中，我们会遇到许多圆锥形的物体，如图中的铅锤、粮堆、烟囱帽、漏斗等．今天我就来研究它的一些特性。
【全节学习目标】全节学习目标中 2．会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些知识解决相关问题。
3．知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系。
【重点难点预测】灵活应用圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系，计算，证明，找规律，解决实际问题。
【课前预习案】1、在小学我们已知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如右图。
把圆锥的顶点与底面圆周 连线叫做圆锥的母线。
从圆锥的顶点与底面 之间的线段叫做圆锥的高h．
2、 操作：把扇形的侧面展开
观察：侧面展开图是扇形吗？
扇形的半径长等于圆锥的一条 长。
扇形的弧长等于圆锥底面圆的 。
【学法指导】动手操作，合理猜想，认真计算
【学习过程】
一、自主学习：
(一)读教材后，接着课前预习案推导圆锥侧面积和全面积
1、已知圆椎的底面半径为r，母线为L，侧面展开图中扇形圆心角为n°则圆锥侧面积s侧= 。
方法：1、用r和L表示扇形的弧长及扇形的面积 。
2、如何用r和L表示圆锥的侧面积 。
表示圆椎的全面积 。
（二）2、小敏量得一个圆锥的母线长为15cm，底面圆的半径是6cm，它的侧面积为 cm2全
面积为 cm2（结果保留π）
合作探究：对圆锥的进一步认识:1、圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，还可以看成由
一个直角三角形绕 所在直线旋转而成的图形，这条直线角圆锥的轴。
2、圆锥具有三个基本特征①圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面
②圆锥的母线长 ，③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是 。
3、沿圆锥一条母线将圆锥的侧面展开并展平，其侧面展开图是一个扇形，扇形的半径
等于 ，弧长等于 ，圆锥的侧面展开图的圆心角 ，那么这个圆
锥的坡度越小。
4、在圆锥的轴截面（截面为经过圆锥高的面)中,圆锥的高h，半径r，母线构
成 三边，其中母线维 边，高和底面半径为 边，
所以h2+r2=
三、 交流展示：名校课堂
四、达标测评
1、课本
2、名校课堂
五、点拨提升：如图在△ABC中∠B= 90°，∠A= 30°，AC=4cm，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C
的位置，且A、C、B′三点在通一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（ ）
A、 B、8cm C、 D、 （画图234）
解析：
解答：
归纳;
【自主反思】知识盘点： 心得感悟：
【拓展延伸、中考链接】名校课堂
第28章圆复习
【复习目标】1、明白准确的掌握各知识点一、圆的概念和性质 : 1、圆的有关概念，2、圆的对称性
二、过三点的圆: 1、不在同一条直线上的三点确定一个圆
2、三角形的外接圆和外心
三、圆心角和圆周角: 1、圆心角的概念和性质，2、圆周角及其性质
3、园内接多边形
四、垂径定理: 1、垂径定理，2、垂径定理的推论，
五、弧长和面积的计算: 1、弧长公式，2、 扇形面积公式，
3、圆锥侧面积和全面积，
【复习重点】利用垂径定理，圆周角定理进行计算、证明，利用弧长和扇形面积公式计算，难点：圆的性质综合运用，圆锥的
侧面积的计算。
【复习过程】
一、知识梳理
1. 知识脑图（在最后一页）
2. 知识要点1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦：
2．圆的有关性质：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
（2）垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．
3．三角形的内心和外心:
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：
4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
5、 圆周长公式：
6 、n°的圆心角所对的弧长公式：
7、. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．
8、. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是：
9、.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是：
方法梳理（举例说明）
例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ）
A．5米 B．8米 C．7米 D．5米
例题2.如图⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题1图 例题2图 例题3图 例题4图
例题3.如图⊙O弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例题4.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°
例题5． AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为 cm，则弦CD的长为（ ）
A． B、3cm． C．2cm D．9cm
题型梳理（举例说明、部分）
1、如图，正方形 ( http: / / www. / )网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长
2、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．
3、如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个
圆锥的高为（ ） A.3cm B.4 cm C.cm D.2 cm (画图)
二、典例解析
例题1：课本
解析：
解答：
解后反思：
方法归纳：
例题2：课本
解析：
解答：
解后反思：
方法归纳：
三、复习反思
【复习测评】名校课堂
学习测评1 ( 重在基础知识、基本技能的理解与掌握)
一、 选择题
1、
2、
二、填空题
1、
2、
三、解答题
1、
2、
学习测评2（重在基础知识、技能技能的熟练掌握与综合运用）
一、选择题
1、
2、
二、填空题
1、
2、
三、解答题
1、
2、
【课后练习】（薄弱环节和重点）
解答题1
解答题2
解答题3
【资源链接】(网、书)
A
B
C
120°
O
A
B
18