(共24张PPT)
14.1.4.4 整式的除法
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解单项式除以单项式法则并能运用；
2.掌握多项式除以单项式法则；
3.会进行简单的乘除混合运算
新知导入
想一想：上面的式子该如何计算
问题：一颗人造地球卫星的速度约为3×107米/小时，一架喷气式飞机的速度约为2×106米/小时，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
解：大约是(3×107)÷(2×106) =
新知讲解
(1) 38 ÷33 = 35
(2) a15÷a7 = a8
(3) 2m+n÷2n = 2m
= 38-3
= a15-7
= 2(m + n) - n
观察
(a≠0)
试猜想：am ÷an= (m,n都是正整数,且m>n)
am ÷an=am-n
验证：因为am-n ·an=am-n+n=am,
所以am ÷an=am-n.
归纳总结
同底数幂的除法
am÷an = am - n (a≠0，m，n 都是正整数，并且 m ＞ n ).
同底数幂相除，底数_____，指数_____.
运算法则：
文字说明：
不变
相减
新知讲解
想一想：am÷am= (a≠0)
am÷am=1，根据同底数幂的除法则可得am÷am=a0.
规定
a0 =1(a ≠0)
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
典例精析
例1 计算：
(1) x8÷x2 ； (2) (ab)5÷(ab)2.
解：(1) x8÷x2 = x8-2 = x6.
(2) (ab)5÷(ab)2 = (ab)5-2 = (ab)3 = a3b3.
计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
新知讲解
计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2 = .
根据同底数幂的除法，你能猜想下列式子的计算方法吗？
猜想：
可以用系数和系数相除，同底数幂和同底数幂相除，
被除式：因式有系数 12，幂 a3、b2、x3；
除式：因式有系数 3，幂 a、b2、
归纳总结
单项式除以单项式的法则
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
新知讲解
如何计算（am+bm) ÷m
计算（am+bm) ÷m就是相当于求（ ） ·m=am+bm,因此不难想到 括里应填a+b.
又知am ÷m+bm ÷m=a+b.
即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m
归纳总结
多项式除以单项式，先把这个多项式的______ 除以这个单项式，再把所得的商_____.
多项式除以多项式的法则
相加
每一项
关键：多项式除以单项式 单项式除以单项式.
转化
典例精析
例2 计算：
(1) 28x4y2÷7x3y；
(2) -5a5b3c÷15a4b.
= 4xy.
(2) 原式 = (-5÷15)a5-4b3-1c
解：(1) 原式 = (28÷7)x4-3y2-1
= -ab2c.
(3)(12a3 - 6a2 + 3a)÷3a.
(3)(12a3 - 6a2 + 3a)÷3a
= (12a3÷3a) + [(-6a2)÷3a] + (3a÷3a)
= 4a2 - 2a + 1.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列计算正确的是( )
A. a6÷a2=a3 B. a5÷a5=a C. a3÷a=3 D. a5÷a2=a3
2.计算(-1)0+1的结果是( )
0 B. -1 C.1 D.2
3．下列说法正确的是 ( )
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
D
D
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.若8a3b2 ÷M=2ab2 ,则M=____.
5. (9×108)÷(-3×103)=____________.
6. (16x3-8x2+____ ) ÷ (-2x)=-8x2+4x-2
7.若2m=15，2n=5，则2m-n的值是_____.
8.若某长方形的面积为4a2-6ab+2a,它的长为2a，则它的宽是__________
4a2
-3×105
4x
3
2a-3b+1
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
9. 先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中 x＝1，y＝－3.
解：原式＝x2－xy＋xy－y2－2x2＋4y2
原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.
当 x＝1，y＝－3 时，
＝－x2＋3y2.
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.观察下列各式:
(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;
……
(1)你能得到一般情况下(xn-1)÷ (x-1)的结果吗 (n为不小于2的整数)
(2)根据这一结果计算: 1+2+22+23+···+262+263.
解: (1) (xn-1) ÷ (x- 1)=1+x+x2+x3+...+xn-2+xn-1
(2)原式=(264-1)÷(2-1)=264-1
课堂总结
整式的乘法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
单项式乘多项式
转
化
转
化
转
化
同底数幂的乘法
互逆
同底数幂的除法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
转
化
转
化
整式的除法
互逆
互逆
板书设计
整式的除法
同底数幂的除法法则：
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减
规定：a0=1(a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.计算：
(1)6a3÷2a2
(1) 6a3÷2a2
＝(6÷2)(a3÷a2)
=3a.
(2)24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2-1b3-1
=8ab2.
(3)-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
(2)24a2b3÷3ab
(3)-21a2b3c÷3ab
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.如果m(xayb)3÷(2x3y2)2= x3y2，求m，a，b的值．
解：∵m(xayb)3÷(2x3y2)2=mx3ay3b÷4x6y4=x3a 6y3b 4，
∴x3a 6y3b 4=x3y2．
解得m=，a=3，b=2.
∴=，3a 6=3，3b 4=2.
作业布置
【综合拓展类作业】
3.若3x=5，3y=4，9z=2，求32x+y-4z的值.
解：∵9z=2，∴（32）z=2,即32z=2.
又3x=5，3y=4，
∴32x+y-4z=32x 3y÷34z
=（3x）2 3y÷（32z）2
=52×4÷22
=25．
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《14.1.4.4整式的除法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是14.1.4的第四课时，“整式的除法”选自人教版八年级上册第14章第１节第4小节内容。本课的主要内容是根据除法的意义和除法是乘法的逆运算，逐步归纳出法则，并运用法则熟练、准确地进行计算。本节课是在学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的基础上进行的，它们构成一个有机整体，为后续的学习打下基础。
学习者分析 学生通过前面所学过的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的内容，已经初步培养起利用幂的意义思考问题的能力。而初中阶段的学生抽象思维日益占主导地位，正处于经验型向理论型过渡，思维的独立性批判性有了显著发展。
教学目标 1.理解单项式除以单项式法则并能运用； 2.掌握多项式除以单项式法则； 3.会进行简单的乘除混合运算
教学重点 整式除法法则的推导及其理解.
教学难点 探索法则的过程.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 问题：一颗人造地球卫星的速度约为3×107米/小时，一架喷气式飞机的速度约为2×106米/小时，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？ 解：大约是(3×107)÷(2×106) = 想一想：上面的式子该如何计算 学生活动1： 教师提出问题，学生根据所学知识回答活动意图说明：从实际问题引入同底数幂的除法运算，激发学生兴趣.环节二：新知探究教师活动2： 观察 (1) (2) (a≠0) (3) 试猜想：÷= (m,n都是正整数,且m>n) 验证：因为= 所以 归纳总结： 同底数幂的除法 运算法则： (a≠0，m，n 都是正整数，并且 m ＞ n ). 文字说明：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 想一想：= (a≠0) =1，根据同底数幂的除法则可得=. 规定: a0=1(a ≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1. 学生活动2： 提出问题，学生组内交流,合作解决. 教师引导，得出结论 引导生归纳法则活动意图说明：通过归纳同底数幂的除法的法则，培养了学生归纳、概括解决问题的能力，让学生体会转化、类比和整体的数学思想。环节三：典例精析教师活动3： 例1 计算： (1)； (2) 解：(1) (2) 学生活动3： 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导。 活动意图说明：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程．同时让学生领会同底数幂的除法法则的运用方法以及需注意的问题．环节四：新知讲解教师活动4： 根据同底数幂的除法，你能猜想下列式子的计算方法吗？ 计算：12 ÷ = . 被除式：因式有系数 12，幂、、； 除式：因式有系数 3，幂 a、、 猜想：可以用系数和系数相除，同底数幂和同底数幂相除， 归纳总结： 单项式除以单项式的法则 单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.学生活动4： 学生思考，回答问题 归纳总结法则活动意图说明：从学生已有的知识和经验出发，引导学生探索发现单项式除单项式的运算规律，遵循循序渐进的认知规律。环节五：教师活动5： 如何计算（am+bm) ÷m 计算（am+bm) ÷m就是相当于求（ ） ·m=am+bm,因此不难想到 括里应填a+b. 又知am ÷m+bm ÷m=a+b. 即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m 归纳总结： 多项式除以多项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 学生活动5： 学生交流，合作解决问题 共同归纳法则活动意图说明：学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会同底数幂的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系。活动六：典例精析教师活动： 例2、计算： (1)y； (2) (3) 解：(1) 原式 = (28÷7)= 4xy. (2) 原式 = (-5÷15)= -ac (3)(12 - 6+ 3a)÷3a= (12÷3a) + [(-6)÷3a] + (3a÷3a) = 4- 2a + 1.学生活动: 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导。 活动意图说明：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程．同时让学生领会单项式除单项式和多项式除单项式法则的运用方法以及需注意的问题．
板书设计 同底数幂的除法法则： am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n) 即 同底数幂相除，底数不变，指数相减 规定：a0=1(a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1. 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 2.计算(-1)0+1的结果是( ) 0 B. -1 C.1 D.2 3．下列说法正确的是 ( ) A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1 C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4 4.若8÷M=2a ,则M=____. 5. (9×)÷(-3×)=____________. 6. (16-8+____ ) ÷ (-2x)=-8+4x-2 7.若=15，=5，则的值是_____. 8.若某长方形的面积为4-6ab+2a,它的长为2a，则它的宽是__________ 选做题： 9. 先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4y－8x)÷2xy，其中 x＝1，y＝－3. 【综合拓展类作业】 10.观察下列各式: (-1)÷(x-1)=x+1; (-1)÷(x-1)=+x+1; (-1)÷(x-1)=++x+1; (-1)÷(x-1)=+++x+1; …… (1)你能得到一般情况下(-1)÷ (x-1)的结果吗 (n为不小于2的整数) (2)根据这一结果计算:.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算： (1) (2) (3) -21÷3ab 选做题： 2.如果，求m，a，b的值． 【综合拓展类作业】 3.若，，，求的值.
教学反思 本节课《整式的除法》，由于之前已学习过同底数幂的乘法，对公式的学习步骤、推导方式有了一定的了解和基础，因此本节课我大胆放手，让学生尝试去自学、合作学习，体会学习方法。过程虽然曲折，单收到了良好的效果。同时培养了学生合作交流的意识与能力。也增长了学生的数学思维能力，发现问题，解决问题的能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十四章
课标要求 1、了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)； 2、能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)和除法运算(仅限单项式除以单项式，多项式除以单项式且商为整式)； 3、能推导乘法公式：(a+b)(a-b)=，，了解每个公式几何背景，并能利用公式进行简单的计算和推理； 4、能理解因式分解的概念；了解从整式乘法得出因式分解的方法，并能用提公因式法、公式法进行因式分解。
内容分析 本章内容建立在已经学习了的有理数运算，列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要的意义.同时，这些知识也是学习物理、 化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.
学情分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理能力，他们在七年级上已经学习过整式的有关概念，对同类项进行过简单的辨析与学习，对合并同类项的学习以及应用具备一定的基础，只是解决问题的意识和能力还不够。因此，学生正处在“从数到式”的过渡阶段，这一阶段由具体到抽象，从特殊到一般，对学生的认知水平和思维能力是一个巨大的挑战，所以教学中要尽可能多的与前面相关内容衔接，结合实际问题展开教学，进一步发展学生的符号感。
单元目标 教学目标 1.理解幂的乘方，积的乘方的运算性质。 2.理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算 3.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算 4.完全平方公式的学习与探讨。 (二)教学重点、难点 教学重点：熟练掌握整式乘法的计算和因式分解的解题方法 教学难点:灵活的应用乘法公式进行运算或进行因式分解
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数14.1整式的乘法714.2乘法公式314.3因式分解3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1整式的乘法掌握正整数幕的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式|的法则，并运用它们进行计算. 能利用法则进行幂的运算，整式乘法运算任务1.掌握幂的运算法则 任务2.归纳整式乘法的运算法则 任务3.出示例题14.2乘法公式会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式)，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算推到乘法公式并能运用公式进行计算任务1：认识平方差公式 任务2.推导完全平方公式 任务3.出示例题13.3等腰三角形理解因式分解的意义，并感受因式分解与整式乘法是相反方向的运算，了解因式分解的方法和一般步骤，能熟练运用方法进行多项式的因式分解学生能选择适当的方式分解因式任务1.理解因式分解的定义 任务2.探究提公因式法分解因式的方法 任务3.探究运用平方差公式分解因式 任务4：探究运用完全平方公式进行因式分解
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