高中数学人教A版（2019）选修1 3.2 双曲线定义与方程2（填空、大题）章节综合练习题（答案+解析）

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3.2 双曲线定义与方程2（填空、大题）
一、填空题
1．已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是　 　
2．（2023高二下·静安期末） 若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为　 　.
3．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为　 　．
4．（2023·北京卷）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为　 　．
5．（2023·宜宾模拟）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则的周长为　 　.
6．（2023·普陀模拟）设为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则　 　．
7．（2023·淮北模拟）已知双曲线C：过点，则其方程为　 　，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是　 　．
8．已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差为，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为　 　．
9．（2023高二上·怀柔期末）设双曲线的左右焦点分别是，，点在双曲线上，则　 　；若为直角，则点的纵坐标的是　 　.
10．（2023高二上·佛山期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为　 　.
二、解答题
11．（2023高三上·开远月考）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
12．（2023高二下·江门期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
13．已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.
14．（2023高二下·镇巴县期末）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
（1）求的方程；
（2）若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
15．（2023高二下·青浦期末）已知抛物线的焦点为，准线为．
（1）若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程；
（2）设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
（3）经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
16．（2023高二下·盐田月考）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
17．（2023高二下·安徽竞赛）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.
18．（2023·新高考Ⅱ卷）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明：点在定直线上.
19．（2023·浙江模拟） 已知双曲线的离心率为，且经过点．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．
20．（2023·浙江模拟）已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）.
（1）求双曲线的方程；
（2）设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可）
21．（2023·嵊州模拟）已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.
22．（2023·齐齐哈尔模拟）已知双曲线C：的离心率为，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动点M，N在双曲线C上，直线PM，PN与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线MN上，，证明：存在定点T，使得为定值．
23．（2023高二下·光明期中）设双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作直线的垂线（点，在直线的两侧），垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
24．（2023高二下·浙江期中）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程；
（3）若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
25．（2023·杭州模拟）已知双曲线：的离心率为，并且经过点．
（1）求双曲线的方程．
（2）若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．
26．（2023·嘉兴模拟）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
27．（2023·宁波模拟）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
28．（2023·梅州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．
29．（2023·滁州模拟）已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
30．（2023·邵阳模拟）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】
2．【答案】
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的焦距为，
故答案为：.
【分析】根据渐近线的方程求出c，即可求出焦距.
3．【答案】
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
4．【答案】
【解析】【解答】由题意知，，
解得，
又，
解得，
双曲线方程为。
故答案为：
【分析】由题意知，，又，进而写出双曲线方程。
5．【答案】18
【解析】【解答】因为，所以，所以，
则渐近线，不妨设，，，
则双曲线的方程，
设，，所以AB：，
联立，得，
所以，，
所以，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故答案为：18.
【分析】由题意，可得a、b、c的比值，设，，，设，，得AB：，与双曲线方程联立可得，，得，，求出m，进而得a的值，根据双曲线的定义可得 的周长 .
6．【答案】3
【解析】【解答】由的离心率为，
得，解得，
由点M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a的值，再利用点M在的右支上结合双曲线的定义和，进而得出的值。
7．【答案】；
【解析】【解答】①由双曲线C：过点，所以
所以方程为
②如图：
设的内切圆与分别切于，
所以，
所以，
又，所以，
又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，
设直线的倾斜角为.则，，
，
当时，，
当时，由题知，...
因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，
∴.且，，
综上所述，.
故①答案为：；
【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得 ， 的内切圆与x轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB的倾斜角为θ，可用θ表示 ，根据A， B两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得 的取值范围.
8．【答案】
【解析】【解答】由题意知，，．
又因为，
所以，
所以，
所以双曲线E的方程为．
故答案为：．
【分析】由双曲线的定义得，又因为，得 ，结合，所以，即可得解.
9．【答案】；
【解析】【解答】由可知，
故，，，
设，则，
因为为直角，
所以，
因为，
所以，
解得或
故答案为：；.
【分析】由双曲线的性质，结合平面向量的数量积的运算求解，可得答案.
10．【答案】
【解析】【解答】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，，
则的周长为
，
当且仅当共线时，取得最小值，且为，
由题意可得，即
解得，
则渐近线方程为
故答案为：.
【分析】由题意可得，设，由双曲线的定义和勾股定理得出，，再利用三角形的周长公式和三点共线求最值的方法，进而得出三角形的周长的最小值，且为，由题意可得，进而得出a的值，从而得出双曲线的标准方程，再结合双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线方程。
11．【答案】（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，
∴，，∵，
∴，，∴双曲线的方程为．
（2）解：设点，A，的坐标分别为，，，且，
∵，∴，
即，①
设直线的方程为，②
将②代入中整理，得，
∴，，代入①，
整理可得，得，联立②消得，
∴点落在某一定直线上．
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合离心率列式求解，进而可得结果；
(2)设点，A，的坐标分别为，，， 根据题意可得 ，结合韦达定理运算求解.
12．【答案】（1）解：双曲线的方程可化为，其焦距为，
设椭圆的焦点为，，解得：，
又椭圆的离心率，，，
椭圆的方程为
（2）解：由（1）知：，，，
由题意知：直线斜率不为，则可设，，，
由得：，则，
，；
，，
；
，
又，，
，即，
又，，
设，则，，解得：，
，即与的面积之比的取值范围为
【解析】【分析】(1)根据双曲线方程可得，再结合离心率列式求解，即可得结果；
(2)设，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式可得所求面积之比为，利用，根据题意求得的范围，进而可得结果.
13．【答案】（1）解：由双曲线性质可知，关于原点对称，
所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象
而和坐标的数中，，但，
所以点不在双曲线上，即在双曲线上.
解得
双曲线的方程为
（2）解：直线的方程为，设，
由消去得
所以.
由，可得，即
所以，
可化为
即
则
即
到的距离.
【解析】【分析】(1) 由双曲线性质可知，关于原点对称，一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象得点不在双曲线上，即 在双线上，进而代入求解；
(2)联立直线与双曲线方程消去，由 得 ，结合韦达定理得 ，再利用点到直线距离公式化简求解.
14．【答案】（1）解：若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为，
综上，的方程为或
（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.
若直线不过点，如图，
设，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
同理直线的方程分别为，
由直线过定点，可得，
由直线过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，
即，
又因为，所以.
令解得故直线恒过定点.
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.
综上，直线过定点.
【解析】【分析】 (1)利用抛物线定义分别设焦点在轴和焦点在轴上抛物线方程，代入点求的方程；
(2)设直线过定点得，设直线方程过焦点得，结合直线的方程整理得恒过定点，再证明直线过点时直线也过定点即可。
15．【答案】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的方程为双曲线，即，则，
由题意可知：，则，
故双曲线的方程；
（2）解：由（1）可知：，
过点P作直线的垂线，垂足为M，则，
∵，且，
∴，
故直线EP的倾斜角，斜率，
∴直线EP的方程为，即；
（3）解：设直线，
联立方程，消去y可得：，
则可得：，
∵直线，当时，，
∴，
同理可得：，
∵
，
，
则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，
故圆C的方程为，
整理得，
令，则，解得或，
故以线段MN为直径的圆C过定点.
【解析】【分析】(1)先求出焦点，结合求双曲线 ；
(2)画图分析得，所以直线EP的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程；
(3)设直线，进而求出点、 坐标，结合韦达定理求 圆 的圆心和半径，根据圆的方程分析判断是否过定点 .
16．【答案】（1）解：由题意知
解得双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组消去，得
则，
直线方程为，
令，则，
同理，
由，可得，
，
，
，
，
，
，即，
当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不合题意；
，此时直线方程为，恒过定点.
【解析】【分析】（1）利用焦距为，点在双曲线上及 ，代入求解 双曲线的方程 ；
（2） 联立直线的方程和双曲线的方程结合韦达定理得出由得到代入化简 ， 进而分析m的值判断直线是否过定点 。
17．【答案】（1）解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为，解得，
又由，可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）解：由双曲线，可得，
设点，则直线的方程为，即，
由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，
又由，可得，解得，即直线的方程为，
设，由点共线，可得，即，得，
即点，
则点到直线的距离为
.
即点到直线的距离为定值.
【解析】【分析】（1）设双曲线，易知，渐近线方程为，利用点到直线的距离公式可得，最后根据即可求得，从而得双曲线的标准方程；
（2）由（1）可知，设，则直线的方程为，由题意，设直线的方程为，易得点，再根据可得直线的方程为，设，由点共线，斜率相等解得，即，最后根据点到直线的距离公式即可证明点到直线的距离是定值.
18．【答案】（1）设双曲线方程为，
又左焦点，离心率，
可得，，
∴
双曲线方程为
（2）由（1）知，，
设，，
①若直线斜率为0，则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上.
②若直线MN斜率不为0，由直线过定点 ，
设：，
联立，整理得：，
其中，，，
直线的斜率，即此时直线的方程为
同理可得直线的方程为
联立方程可得
解得，
即点P在定直线上运动。
【解析】【分析】（1）利用双曲线性质直接求出与曲线方程；
（2）分类讨论斜率的两种情况，过x轴上定点的直线可设为，联立双曲线方程，再利用点斜式表达出，方程，联立求其交点，进而结合韦达定理化简整理求解。
19．【答案】（1）解：因为双曲线经过点，所以.
又因为，所以，，
所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为．
（2）解：设点，则，即.
因为为直线和直线的交点，
所以，所以点都在直线上，
所以所在的直线方程为，
将直线与渐近线方程联立得，解得，
即，同理得，
所以，
因为
，
所以，
所以为定值6.
【解析】【分析】本题主要考查双曲线的运用，
（1）考生要熟记双曲线C的标准方程及其渐近线方程公式，根据题意可以计算出， ，，即可求得 双曲线C的标准方程为，渐近线方程为；
（2）第二小题难度略有增加，此时就要根据题目进行曲线画图，将N点假设，再用N点表示出 所在的直线方程，直线与渐近线方程联立，算出点P、Q的坐标，再计算 即可.
20．【答案】（1）解：如图，
由题意知双曲线的渐近线方程为即，
所以，所以双曲线的方程.
（2）解：由(1)得，所以，所以，
设点，即，
由得，所以①
设直线，与双曲线方程联立得：，
因为方程有两个不同的实数根，所以
，
所以由①式代入变形得，
将韦达定理代入消去化简得，即直线恒过定点.
由此可得.
由于图像的对称性，不妨设，
则，
，
所以，
将韦达定理代入后得到，
解得或.
所以，直线方程为，或，
或，或（写出一条即可）
【解析】【分析】(1)由双曲线的方程求得渐近线方程，再结合题目给的已知条件即可求得，代入双曲线方程，即可得到结果.
(2)先由A，B，P的坐标得到KPA=-3KPB，把M，N代入得到，再结合双曲线方程得，设直线MN：与双曲线联立结合即可化简得到，将韦达定理代入得，则可知直线MN恒过定点（-4，0），把代入，结合韦达定理化简即可得到，解出m，代入直线MN方程即可.
21．【答案】（1）解：设，则直线的斜率是，直线的斜率是，
所以，化简整理得：，
所以动点的轨迹方程是.
（2）证明：设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，显然，
直线的方程为，即，直线的方程为，即，
又双曲线的渐近线方程为，显然直线与双曲线两支各交于一点，
直线与双曲线右支交于两点，
则有，且，于是，
由消去化简整理得：，设点，
则，解得，有，
由消去化简整理得：，设点，
则，解得，有，
，，
于是，设直线上任意一点，则，
显然，因此，即，
整理得，显然直线恒过定点，
所以直线经过定点.
【解析】【分析】 (1) 设，根据题意结合斜率公式运算求解；
(2) 设直线在轴上的截距为，可得直线的方程为，直线的方程为，联立方程求得P，Q的坐标，结合向量共线可得直线：，进而可得结果.
22．【答案】（1）解：由题意知：解得，
所以双曲线的方程为．
（2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，，
联立整理得，
则，，，．
直线PM，PN与轴相交的两点分别为，，
所以直线的方程为，
令，则，同理．
可得，所以，
，
所以，
所以，
所以，，
当时，，
此时直线MN方程为，恒过定点，不合题意，
所以，直线的方程为，恒过定点．
因为，设的中点为，所以，
所以为定值，所以存在使为定值．
【解析】【分析】(1)由双曲线过点 和离心率为 ，列方程即可求解出双曲线C的方程；
(2)联立直线与双曲线方程，根据直线PM，PN与y轴的两交点关于原点对称，结合韦达定理即可求解出 为定值．
23．【答案】（1）解：由题意：
（2）解：设，，则，．
设直线，
由得，当时，显然不合题意，
且双曲线渐近线方程为，
因为与右支交于两点，则，
解得，即或
，．
，，．
．
即．
【解析】【分析】(1)由已知得c，再根据渐近线方程可得a ，b的关系，求出双曲线的方程；
(2)直线与双曲线联立得到根与系数的关系，将S1 ， S2 ， S3分别表示出来，作比值可得m的关系，由此判断，可求出 的值 .
24．【答案】（1）解：设双曲线的焦距为，取一条渐近线为，又，
则由题意可得，
故双曲线的标准方程为；
（2）解：由题意可得直线的斜率不为0，设直线，
，.
联立，消去整理得，
当时，，
则，.
当与双曲线交于两支时，
，，，不合题意；
当与双曲线交于一支时，
，，
则，得，
故；
（3）解：直线的方程为，
令，得，则.
直线的方程为，令，得，则.
因为，所以，，
，
故，即，
故为定值.
【解析】【分析】（1） 设双曲线的焦距为，取一条渐近线为，再利用结合点到直线的距离公式、双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 由题意可得直线的斜率不为0，设直线，，，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出当时，和，，当与双曲线交于两支时，再利用三角形的面积公式得出，不合题意；当与双曲线交于一支时，再利用三角形的面积公式得出，进而得出m的值，从而得出直线 的方程。
（3） 利用直线的方程为，再利用赋值法得出点M的坐标，再结合直线的方程为和赋值法得出点N的坐标，再利用结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，故，即，从而得出为定值。
25．【答案】（1）解：依题意，离心率，，
解得，，
双曲线的方程为．
（2）证明：设，，则，，
直线为，代入双曲线方程得．
则且，
，
，
，
，
直线的方程为，
令，得，
，直线为，
令，得：，即，
设线段的中点坐标为，
则，，
过点的切线方程为：，
要证双曲线在点处的切线平分线段，
即证点处的切线经过线段的中点，
，
点处的切线过线段的中点，即点处的切线平分线段．
【解析】【分析】（1） 依题意结合双曲线的离心率公式和代入法以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b的值，从而得出双曲线的方程。
（2） 设，，再利用对称性得出，，再结合直线为结合直线与双曲线相交的位置关系，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用两点求斜率公式得出直线AP的斜率，再结合点斜式得出直线的方程为，令，得，从而得出点M的坐标，再利用直线为，令，得：，从而得出点N的坐标，再结合中点坐标公式得出线段的中点坐标，再利用过点的切线方程为：，要证双曲线在点处的切线平分线段，即证点处的切线经过线段的中点，进而证出
点处的切线过线段的中点，从而证出点处的切线平分线段。
26．【答案】（1）解：，又，
联立得，得或18.
当时，；当时，舍去.
所以双曲线的方程为：.
（2）解：设，直线与双曲线联立，得，所以①.
由直线和双曲线右支交于两点，结合直线斜率为正可得：，解得.
由平分，由角平分线定理，则，即.
两边平方得，，整理可得：.
将①代入可得，解得符合题意，所以.
【解析】【分析】 (1)根据双曲线上的点和焦点列方程组求解可得双曲线的方程；
(2)设出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理，角平分线定理列方程进行求解，可得直线的方程.
27．【答案】（1）解：设是双曲线上的任意一点，
则，
所以当时，的最小值为，所以，得，
所以双曲线E的方程为．
（2）解：由直线与圆相切得，
由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，
联立，消整理得，
则，，，所以，
所以，即，解得，
又，则，解得或，
所以，
所以，
又点到AB的距离，故，
设，，
联立方程组，消整理得，
则，，，所以，
所以，
又点O到MN的距离，故，
所以当时，有，
整理得，即，
又，则，即，解得，（舍去），
所以，则，所以直线方程为．
【解析】【分析】(1) 设是双曲线上的任意一点， 先求得 ， 再结合题意即可求得a2的值，进而即可求出双曲线E的方程；
(2)先根据直线与圆C相切得到 ，设，，再联立直线的方程和双曲线E的方程，求得 ，， 根据题意求得m的取值范围， 又点到AB的距离 ，从而求得S1，再联立直线的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得 ，， 又点O到MN的距离 ，从而求得S2，再结合 ，即可求得k的值，进而即可求得直线的方程.
28．【答案】（1）解：因为，则，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设点、、，
则，可得，
设，则，其中，
即，整理可得，
所以，，，
将代入可得，
将代入可得
，即，
所以，点恒在直线上.
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合双曲线的定义，以及双曲线的性质，即可求解出双曲线的方程；
(2)根据已知条件，结合M，N为双曲线的点，以及向量的坐标运算，即可证得结论.
29．【答案】（1）解：因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，
所以有；
（2）证明：由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，
，
则有，
设，则有，
显然的坐标为，
所以由
，
把代入上式，得
，或
当时，直线方程为，过定点，
当时，直线方程为，过定点，
不符合题意，
因此直线过定点.
【解析】【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可；
（2）设直线的方程设为， 与双曲线方程联立得，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.
30．【答案】（1）解：∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）解：依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，联立直线与双曲线方程整理得，根据弦长公式即可求解， 双曲线的方程为 ；
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
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