9.2.2多边形的外角和
一．选择题（共8小题）
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A． 四边形 B．五边形 C．六边形 D． 八边形
2．五边形的内角和是（ ）
A． 180° B．360° C．540° D． 600°
3．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（ ）
A． 四边形 B．五边形 C．六边形 D． 七边形
4．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（ ）
A． 七边形 B．六边形 C．五边形 D． 四边形
5．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A． 5 B．6 C．7 D． 8
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
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A． 90°﹣α B．90°+α C． D． 360°﹣α
7．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A． 13 B．14 C．15 D． 16
8．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A． 10 B．9 C．8 D． 7
二．填空题（共6小题）
9．五边形的内角和为 _________ ．
10．若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正 _________ 边形．
11．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是 _________ ．
12．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 _________ ．
13．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为 _________ ．
14．内角和与外角和相等的多边形的边数为 _________ ．
三．解答题（共7小题）
15．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
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（1）如图1，∠A与∠B的等量关系是 ( http: / / www.21cnjy.com ) _________ ；如图2，∠A与∠B的等量关系是 _________ ；对于上面两种情况，请用文字语言叙述： _________ ．
（2）请选择图1或图2其中的一种进行证明．
16．一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．
17．在缙云广场上，有一种多边形地砖的内角和为540°，请你求出这种多边形地砖的边数．
18．在凸多边形中，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的内角和为360°，五边形的内角和为540°，六边形的内角和为720°，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的内角和为多少？简单扼要地写出你的思考过程．
19．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
20．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
21．一个正多边形的每一个内角都比其外角多100°，求该正多边形的边数．
9.2.2多边形的外角和
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A． 四边形 B．五边形 C．六边形 D． 八边形
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
解答： 解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2） 180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
点评： 本题考查多边形的内角和与外角和 ( http: / / www.21cnjy.com )、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2） 180°．
2．五边形的内角和是（ ）
A． 180° B．360° C．540° D． 600°
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
解答： 解：（5﹣2） 180°=540°．
故选：C．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．
3．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是（ ）
A． 四边形 B．五边形 C．六边形 D． 七边形
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解答： 解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°=720°，
解得：n=6．
则这个正多边形的边数是6．
故选：C．
点评： 考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
4．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（ ）
A． 七边形 B．六边形 C．五边形 D． 四边形
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 首先求得外角的度数，然后利用360除以外角的度数即可求解．
解答： 解：外角的度数是：180﹣108=72°，
则这个多边形的边数是：360÷72=5．
故选C．
点评： 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理
5．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A． 5 B．6 C．7 D． 8
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，列式求解即可．
解答： 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2） 180°=900°，
解得n=7．
故选：C．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 90°﹣α B．90°+α C． D． 360°﹣α
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．21世纪教育网
专题： 几何图形问题．
分析： 先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．
故选：C．
点评： 本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．
7．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A． 13 B．14 C．15 D． 16
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
解答： 解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选：C．
点评： 此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键．
8．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A． 10 B．9 C 8 D． 7
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，列式求解即可．
解答： 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2） 180°=900°，
解得n=7．
故选：D．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．五边形的内角和为 540° ．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
解答： 解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
10．若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正 八 边形．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 一个正多边形的每个内角都相等，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解答： 解：∵内角与外角互为邻补角，
∴正多边形的一个外角是180°﹣135°=45°，
∵多边形外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
则这个多边形是八边形．
故答案为：八．
点评： 根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
11．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是 18 ．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解答： 解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．
故答案为：18
点评： 根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
12．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 9 ．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 多边形的内角和比外角和的3倍多18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
解答： 解：根据题意，得
（n﹣2） 180°=3×360°+180°，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
点评： 考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
13．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为 12 ．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则：多边形边数=多边形外角和÷一个外角度数．
解答： 解：依题意，得
多边形的边数=360°÷30°=12，
故答案为：12．
点评： 题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即360°，而当多边形每一个外角相等时，可作除法求边数．
14．内角和与外角和相等的多边形的边数为 四 ．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
解答： 解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2） 180°=360°，
解得n=4．
故答案为：四．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
15．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）如图1，∠ A与∠B的等量关系是 ( http: / / www.21cnjy.com ) 相等 ；如图2，∠A与∠B的等量关系是 互补 ；对于上面两种情况，请用文字语言叙述： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补 ．
（2）请选择图1或图2其中的一种进行证明．
考点： 多边形内角与外角；垂线；直角三角形的性质．21世纪教育网
分析： 根据垂直的量相等的角都等于 ( http: / / www.21cnjy.com )90°，对顶角相等，所以∠A=∠B，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°．所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补．
解答： 解：（1）如图1，∠A与∠B的等 ( http: / / www.21cnjy.com )量关系是相等；如图2，∠A与∠B的等量关系是互补；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补．
故答案为：相等，互补，如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补；
（2）选图2．
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°．
∴∠A与∠B的等量关系是互补．
点评： 本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．
16．一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 设这个正多边形的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个外角的度数为x，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x=6x+12°，解得x=24°，再根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
解答： 解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，
根据题意得180°﹣x=6x+12°，解得x=24°，
所以这个正多边形边数==15，
所以这个正多边形的内角和=（15﹣2）×180°=2340°．
点评： 本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3，且n为整数）；多边形的外角和等于360度．
17．在缙云广场上，有一种多边形地砖的内角和为540°，请你求出这种多边形地砖的边数．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列式计算即可得解．
解答： 解：设这种多边形地砖的边数为n，
则（n﹣2）×180°=540°，
解得 n=5．
答：这种多边形地砖的边数为5．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
18．在凸多边形中，四边形的内 ( http: / / www.21cnjy.com )角和为360°，五边形的内角和为540°，六边形的内角和为720°，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的内角和为多少？简单扼要地写出你的思考过程．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 探究型．
分析： 根据四边形的内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和为360°，五边形的内角和为540°，六边形的内角和为720°．可以得到边数增加1，相应内角和增加180度．这样依次得到七边形的内角和，八边形的内角和，从而推得九边形的内角和．
解答： 解：七边形的内角和比六边形的内角和多180度，因而是900度；
八边形的内角和比七边形的内角和多180度，因而是1080度；
九边形的内角和比八边形的内角和多180度，因而是1260度．
点评： 正确找出多边形的边数的变化与内角和的变化之间的关系，是解决本题的关键．
19．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 本题可设∠A=x（度），则∠B=x+20，∠C=2x，利用四边形的内角和即可解决问题．
解答： 解：设∠A=x，则∠B=x+20°，∠C=2x．
四边形内角和定理得x+（x+20°）+2x+60°=360°，
解得x=70°．
∴∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°．
点评： 本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题．
20．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
解答： 解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得
x+x=180°，
x=180°，
x=108°．
360°÷（×108°）=5．
（5﹣2）×180°=540°．
答：这个多边形的边数为5，内角和是540°．
点评： 本题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．
21．一个正多边形的每一个内角都比其外角多100°，求该正多边形的边数．
考点： 多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 可根据正多边形的一个内角与外角互补可得外角的度数，进而让360除以一个外角的度数即为多边形的边数．
解答： 解：设正多边形的外角为x，则内角为180﹣x，
∴180﹣x﹣x=100，
解得x=40，
∴这个正多边形的边数为360÷40=9．
故该正多边形的边数是9．
点评： 考查有关正多边形的外角和内角的计算；得到正多边形的外角的度数是解决本题的突破点；注意应用正多边形的外角与内角互补这个隐含的知识点．9.1.2三角形的角平分线，中线和高线
一．选择题（共8小题）
1．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边 ( http: / / www.21cnjy.com )长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（ ）
A． △ABC三边中垂线的交点 B． △ABC三边上高线的交点
C． △ABC三内角平分线的交点 D． △ABC一条中位线的中点
3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ）
A． 12 B．10.5 C．10 D． 8.5
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A． 角平分线 B．中位线 C．高 D． 中线
5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为（ ）
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A． 2cm B．3cm C．6cm D． 12cm
6．下列说法正确的是（ ）
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．
A． ①②③ B．①② C．②③ D． ①③
7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 不能确定
8．下列说法错误的是（ ）
A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段
B． 任意三角形内角和都是180°
C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D． 直角三角形两锐角互余
二．填空题（共6小题）
9．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC= _________ ．
10．如图，在△ABC中，BE是边A ( http: / / www.21cnjy.com )C上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 _________ cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= _________ °．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 _________ cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有 _________ 个直角三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD= _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．在△ABC中，BD是AC边上的中线，已知AB=6cm，△ABD的周长与△CBD的周长的差1cm，求边BC的长．
16．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．如图，在△ABC中，∠ B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线
（1）求∠EAD的度数；
（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．
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如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
9.1.2三角形的角平分线，中线和高线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．小华在电话中问小明：“已知一个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．21世纪教育网
分析： 由三角形的三边为4，9，12，可 ( http: / / www.21cnjy.com )知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
解答： 解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
点评： 本题考查了三角形高的画法． ( http: / / www.21cnjy.com )当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
2.在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（ ）
A． △ABC三边中垂线的交点 B． △ABC三边上高线的交点
C． △ABC三内角平分线的交点 D． △ABC一条中位线的中点
考点： 三角形的角平分线、中线和高．21世纪教育网
分析： 根据已知，作出图形，已知△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC内一点P，PA=PB=PC，如图所示，作辅助线PM、PN、PK分别垂直三角形的三边AC、BC、AB，可证得点P是三角形的外心．问题可求．
解答： 解：如图所示，PA=PB=PC，作PM⊥AC于点M，
则∠PMA=∠PMC=90°，在两直角三角形中，
∵PM=PM，PA=PC，∴△APM≌△CPM，
∴AM=MC；
同理可证得：AK=BK，BN=CN，
∴点P是△ABC三边中垂线的交点．故选A．
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点评： 解答本题的关键是熟练掌握三角形的内心（三边垂直平分线的交点）和外心（三条角平分线的交点）；垂心是三条高的交点．
3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ）
A． 12 B．10.5 C．10 D． 8.5
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分析： 先由BD是△ABC的中线，得出AD=AC=1.5，再根据三角形周长的定义得出△ABD的周长=AB+BD+AD，将数值代入计算即可求解．
解答： 解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=AC=1.5，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=4+5+1.5=10.5．
故选B．
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点评： 本题考查了三角形的中线与周长，比较简单，根据中线的定义得出AD=AC=1.5是解题的关键．
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A． 角平分线 B．中位线 C．高 D． 中线
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分析： 三角形的角平分线与中线重合时才 ( http: / / www.21cnjy.com )能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等．
解答： 解：
（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
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三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（3）
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三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
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三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为 BD AE，△ACD面积为 CD AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选D．
点评： 考查中线，高，中位线，角平分线的定义，及中线，高，中位线在实际运算中的应用．
5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为（ ）
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A． 2cm B．3cm C．6cm D． 12cm
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分析： 根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．
解答： 解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC．
∴△ABD比△ACD的周长大6 cm，即AB与AC的差为6cm．
故选C．
点评： 三角形的中线即三角形的一个顶点与对边中点所连接的线段．
6．下列说法正确的是（ ）
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．
A． ①②③ B．①② C．②③ D． ①③
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分析： 根据三角形的三条中线 ( http: / / www.21cnjy.com )都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答．
解答： 解：①、②正确；
而对于三角形三条高：
锐角三角形的三条高在三角形的内部；
直角三角形有两条高在边上；
钝角三角形有两条高在外部，故③错误．
故选B．
点评： 考查了三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的位置．
三角形的三条中线都在三角形内部；
三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 不能确定
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分析： 根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
解答： 解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
点评： 此题主要考查了三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．
8．下列说法错误的是（ ）
A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段
B． 任意三角形内角和都是180°
C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D． 直角三角形两锐角互余
考点： 三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质．21世纪教育网
专题： 推理填空题．
分析： 根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
解答： 解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项正确；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，则AC= 5 ．
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分析： 根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ADC的周长差AB与AC的差，然后代入数据计算即可得解．
解答： 解：∵AD为BC边的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ADC的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD与△ADC的周长差为3，AB=8，
∴8﹣AC=3，
解得AC=5．
故答案为：5．
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点评： 本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 cm．
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分析： 根据三角形的中线定理：AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．
解答： 解：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，
∴AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=AC，
∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，
∴BC=（cm），
∴AB+BC+AC=（cm），即△ABC的周长是cm．
点评： 本题主要考查了三角形的中线定理．
11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= 30 °．
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分析： 要求∠BAD的度数，只要求得∠BAC的度数即可，可根据三角形的内角和，利用180°减去另外两个角的度数可得答案．
解答： 解：△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
=180°﹣50°﹣70°，
=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°．
故填30．
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点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；利用三角形的内角和求得∠BAC的度数是正确解答本题的关键．
12．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 2 cm．
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分析： 根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
解答： 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC=BC，
∴△ABD和△ADC的周长的差
=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）
=AB﹣AC
=5﹣3
=2（cm）．
故答案为：2．
点评： 本题考查三角形的中线的定义以及周长 ( http: / / www.21cnjy.com )的计算方法，难度适中．在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的周长即三角形的三边和，C=a+b+c．
13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有 3 个直角三角形．
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分析： 根据直角三角形的定义，解答出即可．
解答： 解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，
∴直角三角形有：△ACB，△ADC，△BDC．
故答案为：3．
点评： 本题主要考查了直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形．
14．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD= 4cm ．
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分析： 如图，由于AD为△ABC的高，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，那么D为BC中点，而△ABC的周长为20cm，由此可以求出AC+CD的值，而△ACD的周长为14cm，由此就可以求出AD的长度．
解答： 解：如图，∵AD为△ABC的高，AB=AC，
∴D为BC中点，
而△ABC的周长为20cm，
∴AC+CD=×20=10cm，
而△ACD的周长=AC+CD+AD=14cm，
∴AD=4cm．
故答案为：4cm．
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点评： 此题主要考查了等腰三角形的底边上中线的性质，也利用了三角形的周长公式，然后求出所求线段的长度．
三．解答题（共6小题）
15．在△ABC中，BD是AC边上的中线，已知AB=6cm，△ABD的周长与△CBD的周长的差1cm，求边BC的长．
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分析： 根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．
解答： 解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=1cm．
又∵AB=6cm，
∴BC=1cm．
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点评： 本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
16．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
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分析： 根据AD是△ABC的角平分线，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
解答： 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质以及高线的性质和三角形内角和定理，根据已知得出∠B的度数是解题关键．
17．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．
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分析： 先根据△ABD周长为 ( http: / / www.21cnjy.com )15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
解答： 解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD=15﹣6﹣5=4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC=21﹣6﹣8=7cm．
故AC长为7cm．
点评： 考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．
18．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线
（1）求∠EAD的度数；
（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．
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分析： （1）根据三角形的内角和 ( http: / / www.21cnjy.com )定理首先求得∠BAC，然后利用角平分线的定义求得∠BAE，再在直角△BAD中求得∠BAD的度数，根据∠EAD=∠EAB﹣∠BAD即可求得；
（2）根据三角形的内角和定理，以及角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义用∠B与∠C表示出∠EAB，在直角△ABD中，利用∠B表示出∠BAD，根据∠EAD=∠EAB﹣∠BAD即可求得．
解答： 解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，
又∵AE为角平分线，
∴∠EAB=∠BAC=50°，
在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，
∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；
（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）
∠BAD=90°﹣∠B，
则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．
点评： 本题考查了角平分线的定义，以及三及三角形的内角和定理，正确用∠B与∠C表示出∠EAB是关键．
19．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )
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分析： 由三角形的一个外角等于与它不相 ( http: / / www.21cnjy.com )邻的两个内角和知，∠BAC=∠ACD﹣∠B，∠AEC=∠B+∠BAE，而AD平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数．
解答： 解：∵∠B=26°，∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°．
点评： 本题利用了三角
形内角与外角的关系和角平分线的性质求解．
20．如图，△ABC中， AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
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分析： 根据直角三角形两锐角互余求 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
点评： 本题考查了三角形的角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．9.1.4三角形内角和定理
一．选择题（共8小题）
1．AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）
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A． 20° B．18° C．38° D． 40°
2．如图，在Rt△ACB中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
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A． 40° B 35° C 30° D． 25°
3．在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（ ）
A． 90° B．94° C．98° D． 108°
4．在不等边三角形中，最小的角可以是（ ）
A． 80° B．65° C．60° D． 59°
5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（ ）
A． 等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D． 钝角三角形
6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
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A． 90° B．100° C 130° D． 180°
7．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（ ）
A． 等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D． 钝角三角形
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
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A． ∠A=∠1+∠2 B．∠A=∠2﹣∠1 C．2∠A=∠1+∠2 D． 3∠A=2（∠1+∠2）
二．填空题（共6小题）
9．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________ 度．
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10．三角形的三个内角的比为1：3：5，那么这个三角形的最大内角的度数为 _________ ．
11．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= _________ ．
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12．如图，在△ABC中，∠A=α， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014= _________ ．
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13．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= _________ 度．
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14．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE _________ 度．
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三．解答题（共6小题）
15．在△ABC中，∠A=85°，∠C=70°，求∠B的度数．
16．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
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17．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ACD=30°，CD平分∠ACB．求∠B的度数．
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18．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35度．求∠BAD的度数．
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19．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
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20．在△ABC中，∠ABC的平分线BP和外角∠ACD的平分线CP相交于点P，若∠P=30°，求∠A的度数．
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9.1.4三角形内角和定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）
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A． 20° B．18° C．38° D． 40°
考点： 三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．21世纪教育网
分析： 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠BAE的度数，进而得出答案．
解答： 解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，
∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，
∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，
∴∠DAE=34°﹣14°=20°．
故选：A．
点评： 此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAE的度数是解题关键．
2．如图，在Rt△ACB中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
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A． 40° B．35° C．30° D． 25°
考点： 三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．21世纪教育网
分析： 先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答： 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选：A．
点评： 本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．
3．在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（ ）
A． 90° B．94° C．98° D． 108°
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 根据题意得出∠C的度数，进而利用三角形内角和定理得出答案．
解答： 解：如图所示：∵∠A=3∠C=54°，
∴∠C=18°，
∴∠B的度数是：180°﹣∠A﹣∠C=108°．
故选：D．
点评： 此题主要考查了三角形内角和定理，得出∠C度数是解题关键．
4．在不等边三角形中，最小的角可以是（ ）
A． 80° B．65° C．60° D． 59°
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的内角和定理进行判断．
解答： 解：在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．
故选D．
点评： 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（ ）
A． 等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D． 钝角三角形
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 根据在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
解答： 解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
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A． 90° B．100° C．130° D． 180°
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
解答： 解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，
∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，
∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，
∴∠1+∠2=150°﹣∠3，
∵∠3=50°，
∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．
故选：B．
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点评： 本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．
7．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（ ）
A． 等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D． 钝角三角形
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．
解答： 解：∵∠A=20°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选D．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
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A． ∠A=∠1+∠2 B．∠A=∠2﹣∠1 C．2∠A=∠1+∠2 D． 3∠A=2（∠1+∠2）
考点： 三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．21世纪教育网
分析： 可连接AA′，分别在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．
解答： 解：连接AA′．
则△A′ED即为折叠前的三角形，
由折叠的性质知：∠DAE=∠DA′E．
由三角形的外角性质知：
∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A；
则∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE，
即∠1+∠2=2∠A．
故选C．
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点评： 此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．
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考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 几何图形问题．
分析： 分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
解答： 解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，
∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，
∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，
∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，
即∠1+∠2=70°．
故答案为：70°．
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点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
10．三角形的三个内角的比为1：3：5，那么这个三角形的最大内角的度数为 100° ．
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 设三角形三个角的度数分别为x，3x，5x，根据三角形内角和定理得x+3x+5x=180°，解得x=20°，然后计算5x即可．
解答： 解：设三角形三个角的度数分别为x，3x，5x，
所以x+3x+5x=180°，解得x=20°，
所以5x=100°．
故答案为100°．
点评： 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．
11．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= 70° ．
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考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 在△AOB中，∠A=35°，∠AOB=75°，结合三角形内角和等于180°，可求∠B．再利用平行线性质，可求∠C．
解答： 解：∵∠A=35°，∠AOB=75°，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°﹣35°﹣75°=70°．
又∵AB∥CD，
∴∠C=∠B=70°．
点评： 本题利用了利用了三角形内角和定理、平行线性质．
三角形三个内角的和等于180°；两直线平行，内错角相等．
12．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014= ° ．
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考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2014=∠A=°．
解答： 解：解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
即∠ACD=∠A1+∠ABC，
∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1=∠A，
∠A2=∠A1=∠A，…，
以此类推可知∠A2014=∠A=°．
故答案为：°．
点评： 本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．
13．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 135 度．
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考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
解答： 解：∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=90°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°．
故答案为：135．
点评： 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
14．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 10 度．
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考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD代入数据计算即可得解．
解答： 解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣36°=54°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．
故答案为：10．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念并准确识图，判断出∠DAE=∠CAE﹣∠CAD是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．在△ABC中，∠A=85°，∠C=70°，求∠B的度数．
考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 由在△ABC中，∠A=85°，∠C=70°，根据三角形内角和等于180°，即可求得答案．
解答： 解：∵在△ABC中，∠A=85°，∠C=70°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=25°．
点评： 此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，注意掌握定理的应用是关键．
16．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
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考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
专题： 压轴题．
分析： 本题考查的是三角形内角和定理，求出∠ACB的度数后易求解．
解答： 解：∵∠A=70°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=×60°=30°．
点评： 此类题解答的关键为求出∠ACB后求解即可．
17．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ACD=30°，CD平分∠ACB．求∠B的度数．
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考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义．21世纪教育网
分析： 根据CD平分∠ACB，就可以得到∠ACB，根据三角形内角和定理就可以求出∠B．
解答： 解：∵CD平分∠ACB，∠ACD=30°，
∴∠ACB=2∠ACD=60°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB
=180°﹣70°﹣60°
=50°．
点评： 本题主要考查了角的平分线的定义，以及三角形的内角和定理．
18．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35度．求∠BAD的度数．
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考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义．21世纪教育网
分析： △ABC中，∠B=65°，∠C=35°根据三角形内角和定理得到∠BAC=80度，再根据角平分线的定义得到∠BAD的度数．
解答： 解：△ABC中，∠B=65°，∠C=35°，
根据三角形内角和定理得到∠BAC=80度．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°．
点评： 本题主要考查了三角形的内角和定理，以及角平分线的定义．
19．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
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考点： 三角形内角和定理．21世纪教育网
专题： 数形结合．
分析： 根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
解答： 解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC=90°﹣∠C=18°．
点评： 此题主要是三角形内角和定理的运用．
三角形的内角和是180°．
20．在△ABC中，∠ABC的平分线BP和外角∠ACD的平分线CP相交于点P，若∠P=30°，求∠A的度数．
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考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，然后整理得到∠A=2∠P．
解答： 解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵∠ABC的平分线BP和外角∠ACD的平分线CP相交于点P，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P+∠ABC=（∠A+∠ABC），
∴∠A=2∠P，
∵∠P=30°，
∴∠A=2×30°=60°．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．9.1.1三角形
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
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A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
2．已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A． 锐角三角形 B． 钝角三角形
C． 直角三角形 D． 锐角三角形或钝角三角形
3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
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A． 2对 B．3对 C．4对 D． 6对
4．若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，则这个三角形为（ ）
A． 等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D． 等腰直角三角形
5．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A． 一个直角三角形一定不是等腰三角形
B． 一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C． 一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D． 一个等边三角形一定不是钝角三角形
6．下列说法正确的有（ ）
（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
7．如图所示，图中共有三角形（ ）
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A． 6个 B．7个 C．8个 D． 9个
8．三角形是（ ）
A． 连接任意三点组成的图形
B． 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C． 由三条线段组成的图形
D． 以上说法均不对
二．填空题（共6小题）
9．有一个角是 _________ 的三角形叫做直角三角形．
10．如图所示，第1个图中有1个三角形，第 ( http: / / www.21cnjy.com )2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形 _________ 个．
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11．如图，图1中共有3个三角形，图2中共有6个三角形，图3中共有10个三角形，…，以此类推，则图6中共有 _________ 个三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )
12．可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和 _________ 三角形．
13．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为 _________ ．
14．△ABC的周长为24cm，a+b=2 ( http: / / www.21cnjy.com )c，a：b=1：2，则a= _________ ，b= _________ ，c= _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．已知△ABC的周长为38cm．最长边与最短边之差为7cm，最长边与最短边之和为27cm，求△ABC各边的长．
16．（探索题）依次用火柴棒拼三角形，如图所示．
（1）填写下表：
三角形个数 1 2 3 4 5
火柴棒的根数
（2）照这样的规律拼下去，拼n个这样的三角形需要火柴棒的根数是 _________ ．
17．已知，三角形三边的比是3：4：5，且最大边长与最小边长的差是4，求这个三角形的三条边的长．
18．△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
19．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？
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20．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．
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9.1.1三角形算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
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A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
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分析： 根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．
解答： 解：BC上有3条线段，所以有三个三角形．故选C．
点评： 三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．
2．已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A． 锐角三角形 B． 钝角三角形
C． 直角三角形 D． 锐角三角形或钝角三角形
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 利用三角形外角与内角的关系计算．
解答： 解：一个外角为50°，所以与它相邻的内角的度数为130°，所以三角形为钝角三角形．
故选：B．
点评： 本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类．
3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
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A． 2对 B．3对 C 4对 D． 6对
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专题： 压轴题；新定义．
分析： 以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
解答： 解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故选：B．
点评： 考查全面准确的识图能力．
4．若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，则这个三角形为（ ）
A． 等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D． 等腰直角三角形
考点： 三角形；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．21世纪教育网
分析： 本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”得出m、n、p的关系，再判断三角形的类型．
解答： 解：∵|m﹣n|+（n﹣p）2=0，
∴m﹣n=0，n﹣p=0，
∴m=n，n=p，
∴m=n=p，
∴三角形ABC为等边三角形．
故选B．
点评： 本题考查实数的综合 ( http: / / www.21cnjy.com )运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角形的性质，熟练掌握绝对值、非负数等考点的运算．
5．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A． 一个直角三角形一定不是等腰三角形
B． 一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C． 一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D． 一个等边三角形一定不是钝角三角形
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据三角形的分类方法进行分析判 ( http: / / www.21cnjy.com )断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
解答： 解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选D．
点评： 此题考查了三角形的分类方法，理解各类三角形的定义．
6．下列说法正确的有（ ）
（1）等边三角形是等腰三角形；（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
解答： 解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）根据三角形的三边关系知，三角形的两边之差小于第三边，错误；
（3）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
点评： 本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
7．如图所示，图中共有三角形（ ）
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A． 6个 B．7个 C．8个 D． 9个
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分析： 根据三角形的定义，让不在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一条直线上的三个点组合即可．找的时候要有顺序．共有△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE8个三角形．
解答： 解：图中三角形有：△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE，共8个三角形．故选C．
点评： 注意找的时候要有顺序，也可从小到大找．
8．三角形是（ ）
A． 连接任意三点组成的图形
B． 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C． 由三条线段组成的图形
D． 以上说法均不对
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分析： 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
解答： 解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选B．
点评： 此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住三角形的定义．
二．填空题（共6小题）
9．有一个角是 90° 的三角形叫做直角三角形．
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据直角三角形的定义即可作答．
解答： 解：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形．
故答案为90°．
点评： 本题考查了直角三角形的定义：有一个角是90°的三角形就是直角三角形．
10．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形 21 个．
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专题： 规律型．
分析： 根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．
所以当n=6时，原式=21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．
解答： 解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以当n=6时，原式=21，
故答案为：21．
点评： 注意正确发现规律，根据规律进行计算．
11．如图，图1中共有3个三角形，图2中共有6个三角形，图3中共有10个三角形，…，以此类推，则图6中共有 28 个三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 三角形．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 通过观察分析得到第n个图的三角形的个数为：个，据此求解：
解答： 解：由已知通过观察得：
图1有：=3个三角形，
图2有：=6个三角形，
图3有：=10个三角形，
…，
所以图6中共有：=28个三角形，
故答案为：28．
点评： 解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
12．可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和 直角 三角形．
考点： 三角形．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 根据三角形的分类进行解答．
解答： 解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
故答案为：直角．
点评： 本题考查了三角形按角的大小分类，是基础题，比较简单．
13．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为 16cm ．
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据比例设三角形的三边分别为2k、3k、4k，然后根据周长为36列出方程求解即可．
解答： 解：设三角形的三边分别为2k、3k、4k，
根据题意得，2k+3k+4k=36，
解得k=4，
所以，最大的边长为4×4=16cm．
故答案为：16cm．
点评： 本题考查了三角形，利用“设k法”表示出三边求解更简便．
14．△ABC的周长为24cm，a+b=2c，a：b=1：2，则a= ，b= ，c= 8 ．
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据三角形的周长公式知a+b+c=24，然后结合已知条件列出关于a、b、c的三元一次方程组，通过解方程组来求它们的值即可．
解答： 解：根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得．
故答案分别是：，，8．
点评： 本题考查了三角形的周长．解答此类题目，可以借助于方程（方程组）来解题．
三．解答题（共6小题）
15．已知△ABC的周长为38cm．最长边与最短边之差为7cm，最长边与最短边之和为27cm，求△ABC各边的长．
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 设最长边为x，最短边为y，则可得关于x、y的方程组，解出即可得出答案．
解答： 解：设最长边为x，最短边为y，
则，
解得：，
∴三角形的三边长为10cm，11cm，17cm．
点评： 本题考查了三角形的知识，解答本题的关键是根据题意得出关于最长边与最短边的方程组．
16．（探索题）依次用火柴棒拼三角形，如图所示．
（1）填写下表：
三角形个数 1 2 3 4 5
火柴棒的根数
（2）照这样的规律拼下去，拼n个这样的三角形需要火柴棒的根数是 2n+1 ．
考点： 三角形；规律型：图形的变化类．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 首先正确数出前三个图形中的火柴棒的根数：第一个是3；第二个是5，第三个是7，…依次多2，即第n个是3+2（n﹣1）=2n+1．
解答： 解：（1）3，5，7，9，11．
（2）2n+1．
点评： 按顺序统计数字，从中找规律．
17．已知，三角形三边的比是3：4：5，且最大边长与最小边长的差是4，求这个三角形的三条边的长．
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据三角形三边比表示出三角形的三边长，然后依据“最大边长与最小边长的差是4”求出未知数的值，进而求出三边的长．
解答： 解：设三角形的三边分别为3x、4x、5x，根据题意有：
5x﹣3x=4，
解得x=2，
3x=6，4x=8，5x=10．
答：三角形三边长分别为6；8；10．
点评： 解本题的关键是读清题意，正确运用题中给出的条件，然后列方程求解即可．
18．△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 首先利用一个未知数表示出各边长，进而得出等式求出各边长即可．
解答： 解：设BC=x，则AC=2x，AB=2x+2，
∵AB+BC+AC=22，
∴2x+2x+2+x=22，
解得；x=4，
∴AC=8cm，BC=4cm，AB=10cm．
点评： 此题主要考查了三角形周长公式，根据题意得出关于三角形周长的方程是解题关键．
19．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？
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考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 直线a上有几条线段就有几个三角形；由线段的计数方法计算即可得出答案．
解答： 解：∵直线a上有5个点，
∴直线a上的线段共有： =10（条），
即图中共有10个三角形．
点评： 本题考查了三角形，解答此题的关键是用分类的方法，将复杂的问题变简单．
20．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．
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考点： 三角形．21世纪教育网
分析： 根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案．
解答： 解：以BC为边的三角形有△ABC，△DBC，△EBC，△OBC；
以A为顶点的三角形有△ABE，△ADC，△ABC．
点评： 此题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．9.2.1多边形和多边形的对角线
一．选择题（共8小题）
1．如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（ ）
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A． S四边形ABDC=S四边形ECDF B． S四边形ABDC＜S四边形ECDF
C． S四边形ABDC=S四边形ECDF+1 D． S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A． 六边形 B．五边形 C．四边形 D． 三角形
3．下列图形中具有稳定性的有（ ）
A． 正方形 B．长方形 C．梯形 D． 直角三角形
4．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A． 6 B．5 C．8 D． 7
5．若从多边形的某一顶点出发只能画五条对角线，则它是（ ）
A． 六边形 B．七边形 C．八边形 D． 九边形
6．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（ ）
A． n B．（n﹣1） C．（n﹣2） D． （n﹣3）
7．下列图形中，多边形有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
8．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（ ）
A． 6 B． 7 C 8 D． 9
二．填空题（共7小题）
9．一个多边形的内角和为720°，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有 _________ 条．
10．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 _________ ．
11．过四边形一个顶点的对角线可以 ( http: / / www.21cnjy.com )把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成 _________ 个（用含n的代数式表示）三角形．
12．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 _________ ．
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13．一个凸多边形的内角中，最多有 _________ 个锐角．
14．如图所示，将多边形分割成三角形、图（ ( http: / / www.21cnjy.com )1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 _________ 个三角形．
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15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 _________ ．
三．解答题（共5小题）
16．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
17．从四边形的一个顶点出发可画 ( http: / / www.21cnjy.com )_________ 条对角线，从五边形的一个顶点出发可画 _________ 条对角线，从六边形的一个顶点出发可画 _________ 条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有 _________ 条对角线，从n边形的一个顶点出发有 _________ 条对角线，从而推导出n边形共有 _________ 条对角线．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成 _________ 个三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )
19．实践与探索！
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成 _________ 个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成 _________ 个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形 ( http: / / www.21cnjy.com )一边上点P与另外 _________ 个顶点连线可以把n边形分成 _________ 个三角形（用含n的代数式表示）．
④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．
9.2.1多边形和多边形的对角线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． S四边形ABDC=S四边形ECDF B． S四边形ABDC＜S四边形ECDF
C． S四边形ABDC=S四边形ECDF+1 D． S四边形ABDC=S四边形ECDF+2
考点： 多边形；平行线之间的距离；三角形的面积．21世纪教育网
分析： 根据矩形的面积公式=长×宽，平行四边形的面积公式=边长×高可得两阴影部分的面积，进而得到答案．
解答： 解：S四边形ABDC=CD AC=1×4=4，
S四边形ECDF=CD AC=1×4=4，
故选：A．
点评： 此题主要考查了矩形和平行四边形的面积计算，关键是掌握面积的计算公式．
2．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A． 六边形 B．五边形 C．四边形 D． 三角形
考点： 多边形．21世纪教育网
专题： 压轴题．
分析： 一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．
解答： 解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选：A．
点评： 剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
3．下列图形中具有稳定性的有（ ）
A． 正方形 B．长方形 C．梯形 D． 直角三角形
考点： 多边形；三角形的稳定性．21世纪教育网
分析： 只有三角形具有稳定性．
解答： 解：三角形具有稳定性．故选D．
点评： 在所有的图形里，只有三角形具有稳定性，也是三角形的特性，应牢牢掌握．
4．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A． 6 B．5 C．8 D． 7
考点： 多边形．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．
解答： 解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．
故选B．
点评： 本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．
5．若从多边形的某一顶点出发只能画五条对角线，则它是（ ）
A． 六边形 B．七边形 C．八边形 D． 九边形
考点： 多边形的对角线．21世纪教育网
分析： 可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．
解答： 解：设多边形有n条边，
则n﹣3=5，解得n=8．
即它是八边形．
故选C．
点评： 本题考查了多边形的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果一个多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
6．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（ ）
A． n B．（n﹣1） C．（n﹣2） D． （n﹣3）
考点： 多边形的对角线．21世纪教育网
分析： 可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，可分成（n﹣2）个三角形直接判断．
解答： 解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2）．
故选C．
点评： 多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
7．下列图形中，多边形有（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个
考点： 多边形．21世纪教育网
分析： 根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．
解答： 解：由多边形的概念可知第四个、第五个是多边形共2个．
故选：B．
点评： 本题考查了认识平面图形．注意，多边形是由3条或3条以上的线段首尾顺次连接而成的图形，故多边形中没有曲线．
8．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（ ）
A． 6 B．7 C．8 D． 9
考点： 多边形的对角线．21世纪教育网
分析： 可根据多边形的对角线与边的关系列方程求解．
解答： 解：设多边形有n条边，
则=9，
解得n1=6，n2=﹣3（舍去），
故多边形的边数为6．
故选：A．
点评： 这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．
二．填空题（共7小题）
9．一个多边形的内角和为720°，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有 3 条．
考点： 多边形的对角线；多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据n边形的内角和是（n﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )） 180°，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数．
解答： 解：根据题意，得
（n﹣2） 180=720，
解得：n=6．
那么过这个多边形的一个顶点可作3条对角线．
故答案为：3．
点评： 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数=边数﹣3．
10．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 10 ．
考点： 多边形的对角线．21世纪教育网
分析： 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
解答： 解：设多边形有n条边，
则n﹣2=8，解得n=10．
所以这个多边形的边数是10．
点评： 解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
11．过四边形一个顶点的对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成 （n﹣2） 个（用含n的代数式表示）三角形．
考点： 多边形的对角线．21世纪教育网
专题： 压轴题；规律型．
分析： 根据四边形被分成了4﹣2=2个三角形，五边形被分成了5﹣2=3个三角形，依此类推，n边形可以被分成（n﹣2）个三角形．
解答： 解：过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成（n﹣2）个三角形．
点评： 此题可以从具体数据中发现规律，也可以结合图形进行分析．
n边形过一个顶点有（n﹣3）条对角线，它们把n边形分割成了（n﹣2）个三角形．
12．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
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考点： 多边形．21世纪教育网
专题： 压轴题；规律型．
分析： 第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是 ( http: / / www.21cnjy.com )3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．
解答： 解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．
故答案为：n2+2n．
点评： 首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．
13．一个凸多边形的内角中，最多有 3 个锐角．
考点： 多边形．21世纪教育网
分析： 根据任意凸多边形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．
解答： 解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
点评： 注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．
14．如图所示，将多边形分割成三角形、 ( http: / / www.21cnjy.com )图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
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考点： 多边形．21世纪教育网
分析： （1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
解答： 解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
点评： 此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．
n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 5，6，7 ．
考点： 多边形．21世纪教育网
分析： 实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
解答： 解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
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点评： 此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
三．解答题（共5小题）
16．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
考点： 多边形．21世纪教育网
专题： 作图题．
分析： 若让它们的斜边重合，则可以拼出矩形或一组对角是直角的四边形；若让它们的直角边重合，则可以拼出两种不同的平行四边形．
解答： 解：四个．如图所示：
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点评： 能够让它们的边分别重合进行不同的拼图．考查了学生的实践能力．
17．从四边形的一个顶点出发可画 1 条对角线，从五边形的一个顶点出发可画 2 条对角线，从六边形的一个顶点出发可画 3 条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有 4 条对角线，从n边形的一个顶点出发有 （n﹣3） 条对角线，从而推导出n边形共有 条对角线．
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考点： 多边形的对角线．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（n≥3，且n为整数）可得答案．
解答： 解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，从而推导出n边形共有条对角线，
故答案为：1；2；3；4；（n﹣3）；．
点评： 此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式．
18．请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成 8 个三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 多边形的对角线；三角形．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 先按题意对给出的四边形，五边形，六边形，七边形画对角线，从而发现规律，按规律不难求得10边形可分成三角形的个数．
解答： 解：∵四边形可分割成4﹣2=2个三角形；
五边形可分割成5﹣2=3个三角形；
六边形可分割成6﹣2=4个三角形；
七边形可分割成7﹣2=5个三角形
∴10边形可分割成10﹣2=8个三角形．
点评： 此题主要考查学生对平面图形的认识及对规律型题的掌握情况．
19．实践与探索！
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成 3 个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成 4 个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外 n﹣2 个顶点连线可以把n边形分成 n﹣1 个三角形（用含n的代数式表示）．
④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．
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考点： 多边形的对角线；多边形内角与外角．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： ①②③在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形；
④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角转移到三角形中，利用（n﹣1）个三角形，内角和为（n﹣1）×180°，n边形的内角和还要再减去P所在的一个平角，所以n边形的内角和为（n﹣2）×180°．
解答： 解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1=3个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1=4个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成 （n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．
④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，
这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1） 180°，
以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，
所以n边形的内角和是（n﹣1） 180°﹣180°=（n﹣2） 180°．
故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．
点评： 本题考查了多边形的内角和定理的证明， ( http: / / www.21cnjy.com )解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形．
20．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．
考点： 多边形的对角线；多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 设多边形为n边形，根据从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，列出方程n﹣2=，解方程求出n的值，再关键n边形的内角和公式求解．
解答： 解：设多边形为n边形，由题意，得
n﹣2=，
整理得：n2﹣5n+4=0，
即（n﹣1）（n﹣4）=0，
解得：n1=4，n2=1（不合题意舍去），
所以内角和为（4﹣2）×180°=360°．
点评： 本题考查了多边形的对角线，n边形的内角和公式．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线将n边形分成（n﹣2）个三角形，n边形对角线的总条数为是解题的关键．9.1.3三角形三边关系
一．选择题（共8小题）
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
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A． 两点之间线段最短 B． 矩形的对称性
C． 矩形的四个角都是直角 D． 三角形的稳定性
2．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A． 1种 B．2种 C．3种 D． 4种
3．下列线段能构成三角形的是（ ）
A． 2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D． 2，3，6
4．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）
A． 5 B．10 C．11 D． 12
5．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A． 1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D． 1，2，4
6．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=8米，OB=6米，A、B间的距离不可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 12米 B．10米 C．15米 D． 8米
7．已知不等边三角形的两边长分别是2cm和9cm，如果第三边的长为整数，那么第三边的长为（ ）
A． 8cm B．10cm C．8cm或10cm D． 8cm或9cm
8．已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）
A． 6个 B．5个 C．4个 D． 3个
二．填空题（共6小题）
9．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 _________ （只需填一个整数）
10．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 _________ ．
11．三角形的三条边长分别是2，2x﹣3，6，则x的取值范围是 _________ ．
12．已知三角形的两边长为3，5，则第三边的长度可以是 _________ （写出一个即可）．
13．已知四条线段的长分别为2，3，4，5，用其中的三条线段构成的三角形的周长是 _________ ．
14．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足+（b﹣4）2=0，则第三边c的取值范围是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．若△ABC中两边长之比为2：3，三边都是整数且周长为18cm，求各边的长．
16．已知，a、b、c为△ABC的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|=0，且a为方程|a﹣4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
17．若三角形的两边长分别为7cm和1 ( http: / / www.21cnjy.com )0cm，则第三边的取值范围是多少？如果第三边的取值的取值是正整数，那么所取的边长有没有可能围成一个等腰三角形，此时的三角形腰长应为多少？
18．△ABC中，AB=5，BC=3，第三边AC的长可以取哪些整数值？
19．已知a，b，c是三角形ABC三边之长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．
20．如图，点P是△ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小．
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9.1.3三角形三边关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 两点之间线段最短 B． 矩形的对称性
C． 矩形的四个角都是直角 D． 三角形的稳定性
考点： 三角形的稳定性．21世纪教育网
分析： 用木条EF固定矩形门框ABCD，即是组成△AEF，故可用三角形的稳定性解释．
解答： 解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选D．
点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用． ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
2．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A． 1种 B．2种 C3种 D． 4种
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
解答： 解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选：C．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
3．下列线段能构成三角形的是（ ）
A． 2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D． 2，3，6
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可．
解答： 解：A、2+2=4，不能构成三角形，故A选项错误；
B、3、4、5，能构成三角形，故B选项正确；
C、1+2=3，不能构成三角形，故C选项错误；
D、2+3＜6，不能构成三角形，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
4．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）
A． 5 B．10 C．11 D． 12
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 常规题型．
分析： 根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．
则此三角形的第三边可能是：10．
故选：B．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．
5．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A． 1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D． 1，2，4
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
解答： 解：A、1+1=2，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2＞2，能组成三角形，故B选项正确；
C、1+2=3，不能组成三角形，故C选项错误；
D、1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
6．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=8米，OB=6米，A、B间的距离不可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 12米 B．10米 C．15米 D． 8米
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的三边关系定理得到2＜AB＜14，根据AB的范围判断即可．
解答： 解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
8﹣6＜AB＜8+6，
即：2＜AB＜14，
∴AB的值在2和14之间．
故选C．
点评： 本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．题型较好．
7．已知不等边三角形的两边长分别是2cm和9cm，如果第三边的长为整数，那么第三边的长为（ ）
A． 8cm B．10cm C．8cm或10cm D． 8cm或9cm
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 应用题．
分析： 根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再根据第三边为整数即可得出答案．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
7cm＜第三边＜11cm，
故第三边为8，9，10，
又∵三角形为不等边三角形，
∴第三边≠9．
故选C．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，难度适中．
8．已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）
A． 6个 B．5个 C．4个 D． 3个
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得：
第三边x的取值范围：5＜x＜11，
又∵第三边的长是偶数，
则第三边的长为6、8或10共三个．
故选D．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．还要注意偶数这一条件．
二．填空题（共6小题）
9．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 4 （只需填一个整数）
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 开放型．
分析： 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．
解答： 解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
故答案为：4．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
10．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．
考点： 三角形三边关系；等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
解答： 解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，
所以其另一边只能是6，
故其周长为6+6+3=15．
故答案为15．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．
11．三角形的三条边长分别是2，2x﹣3，6，则x的取值范围是 3.5＜x＜5.5 ．
考点： 三角形三边关系；解一元一次不等式组．21世纪教育网
分析： 根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
解答： 解：∵三角形的两边长分别为2和6，
∴第三边长x的取值范围是：6﹣2＜2x﹣3＜6+2，
即：3.5＜x＜5.5．
故答案为：3.5＜x＜5.5．
点评： 此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．
12．已知三角形的两边长为3，5，则第三边的长度可以是 在2＜x＜8之间的数都可 （写出一个即可）．
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
专题： 开放型．
分析： 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于5﹣3=2，而小于5+3=8，
故第三边的长度2＜x＜8．
故答案为：在2＜x＜8之间的数都可．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
13．已知四条线段的长分别为2，3，4，5，用其中的三条线段构成的三角形的周长是 9或11或12 ．
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
解答： 解：由这四条线段组成三角形的情况有：（2，3，4）、（2，4，5）、（3，4，5），
故周长为9或11或12．
故答案为：9或11或12．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
14．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足+（b﹣4）2=0，则第三边c的取值范围是 5＜c＜13 ．
考点： 三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．21世纪教育网
分析： 首先根据非负数的性质求得a，b的值，然后根据三角形的三边关系即可求得c的范围．
解答： 解：根据题意得：，
解得：，
则9﹣4＜c＜9+4，
即5＜c＜13．
故答案是：5＜c＜13．
点评： 考查了非负数的性质，三角形三边关系已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
三．解答题（共6小题）
15．若△ABC中两边长之比为2：3，三边都是整数且周长为18cm，求各边的长．
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 首先根据题意设两边长为2xcm，3x ( http: / / www.21cnjy.com )cm，第三边长为ycm，根据周长为18cm可得2x+3x+y=18，然后计算出正整数解，再根据三边关系确定答案．
解答： 解：设两边长为2xcm，3xcm，第三边长为ycm，
2x+3x+y=18，
5x+y=18，
①x=1，y=13，则三边长为2cm，3cm，13cm，∵2+3=5＜13，∴不能够成三角形；
②x=2，y=8，则三边长分别为4cm，6cm，8cm，∵4+6＞8，∴能够成三角形；
③x=3，y=3，则三边长分别为6cm，9cm，3cm，∵3+6=9，∴不能够成三角形；
因此各边的长分别为4cm，6cm，8cm．
点评： 此题主要考查了二元一次方程的应用，以及三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
16．已知，a、b、c为△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|=0，且a为方程|a﹣4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
考点： 三角形三边关系；绝对值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；等腰三角形的判定．21世纪教育网
分析： 利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
解答： 解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|=0，
∴b﹣2=0，c﹣3=0，
解得：b=2，c=3，
∵a为方程|a﹣4|=2的解，
∴a﹣4=±2，
解得：a=6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a=6不合题意舍去，
∴a=2，
∴△ABC的周长为：2+2+3=7，
∴△ABC是等腰三角形．
点评： 此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
17．若三角形的两边长分别为7cm ( http: / / www.21cnjy.com )和10cm，则第三边的取值范围是多少？如果第三边的取值的取值是正整数，那么所取的边长有没有可能围成一个等腰三角形，此时的三角形腰长应为多少？
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
解答： 解：∵此三角形的两边长分别为7cm和10cm，
∴第三边长的取值范围是：10﹣7=3＜第三边＜10+7=17．
∵第三边为整数，
∴第三边可以为：4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，
∴第三边长为7cm或10cm时，为等腰三角形，腰长为7cm或10cm．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，难度不大．
18．△ABC中，AB=5，BC=3，第三边AC的长可以取哪些整数值？
考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 根据三角形的第三边应大于两边之差，而小于两边之和进行分析求解．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
5﹣3＜AC＜5+3，
即2＜AC＜8，
故AC的长可以取3，4，5，6，7共五个整数值．
点评： 此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
19．已知a，b，c是三角形ABC三边之长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．
考点： 三角形三边关系；绝对值；整式的加减．21世纪教育网
分析： 根据三角形的三边关系以及绝对值的性质即可求解．
解答： 解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，c+b＞a，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，
∴原式=a+b﹣c+（b+c﹣a）﹣（a+c﹣b）﹣（c+b﹣a）
=a+b﹣c+b+c﹣a﹣a﹣c+b﹣c﹣b+a
=2b﹣2c．
点评： 本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的性质，判断a+b﹣c、a﹣b﹣c、b﹣a﹣c、c+b﹣a的符号是关键．
20．如图，点P是△ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小．
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考点： 三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 首先延长BP交AC于点E，进而利用三角形三边关系比较得出即可．
解答： 解：延长BP交AC于点E．
在△ABE中
AB+AE＞BE=BP+PE
在△PEC中
PE+EC＞PC
相加得：
AB+（AE+EC）+PE＞BP+PE+PC
AB+AC＞BP+CP．
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点评： 此题主要考查了三角形三边关系，作出正确的辅助线是解题关键．9.1.5三角形的外角和定理
一．选择题（共8小题）
1．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（ ）
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A． 20° B．30° C．70° D． 80°
2．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
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A． 85° B．80° C．75° D． 70°
3．如图，AB∥CD，BE交CD于点F，∠B=45°，∠E=21°则的∠D为（ ）
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A． 21° B．24° C．45° D． 66°
4．将一幅三角板如图放置，且两条直角边重叠，则∠1的度数是（ ）
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A． 30° B．45° C．70° D． 75°
5．如图所示是某零件的平面图，其中∠B=∠C=30°，∠A=40°，则∠ADC的度数为（ ）
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A． 70° B．80° C．90° D． 100°
6．如图是一失事飞机的残骸图形，若∠B=30°，∠BCD=70°，那么∠A的度数是（ ）
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A． 30° B．40° C．60° D． 70°
7．如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=70°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 80° B．90° C．100° D． 110°
8．将一副直角三角板，按如图叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
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A． 45° B．60° C．75° D． 90°
二．填空题（共6小题）
9．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是 _________ °．
10．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= _________ ．
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11．将一副三角板按如图摆放，图中∠α的度数是 _________ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，△ABC，∠A=70°，点D在BC的延长线上，若∠ACD=130°，则∠B= _________ °．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．将一副三角尺如图放置，则∠APD= _________ °．
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14．将一副直角三角板如图摆放，点C在E ( http: / / www.21cnjy.com )F上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= _________ ．
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三．解答题（共8小题）
15．如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．
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16（1）填空：（﹣2）×（﹣3）= _________
（2）填空：如图：在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，
点D在BC的延长线上，则∠ACD= _________ 度．
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17．一个零件的形状如图所示，按 ( http: / / www.21cnjy.com )规定∠A=90°，∠B、∠D分别是32°和21°，要测量这个零件是否合格，检验工人测量∠BCD的度数，如果∠BCD=150°，就判定这个零件不合格，你知道这是为什么吗？请说明原因．
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18．如图，在△ABC中，点P是△ABC内一点，试证明：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
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19．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．如图，你能判断出∠1和∠2的大小关系吗？若能，请写出判断依据．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．如图，在△ABC中点D是AC上一点，连接BD，点E是BD上一点，连接CE，求证：∠2+∠3=∠1﹣∠A．
( http: / / www.21cnjy.com )
22．在学完三角形的内、外角后，教师要求同学们根据所学的知道设计一个利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求解的问题．
如图：在△ABC中，∠1=∠2=∠3．
（1）试说明：∠BAC=∠DEF；
（2）若∠BAC=70°，∠DFE=50°，求∠ABC度数．
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9.1.5三角形的外角和定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 20° B．30° C．70° D． 80°
考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°．
故选：B．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 85° B．80° C．75° D． 70°
考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 利用角平分线的性质可得∠ABD=∠ABC=×70°=35°，再根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠ABD=50°+35°=85°．
解答： 解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=70°，
∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°，
∵∠A=50°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=50°+35°=85°，
故选：A．
点评： 此题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．如图，AB∥CD，BE交CD于点F，∠B=45°，∠E=21°则的∠D为（ ）
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A． 21° B．24° C 45° D． 66°
考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 要求∠D的度数，只需根据平行线的性质，求得∠B的同位角∠CFE的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠EFC=45°．
∴∠D=∠EFC﹣∠E=45°﹣21°=24°．
故选B．
点评： 本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4．将一幅三角板如图放置，且两条直角边重叠，则∠1的度数是（ ）
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A． 30° B．45° C 70° D． 75°
考点： 三角形的外角性质；直角三角形的性质．21世纪教育网
分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠2，根据对顶角相等求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，
∠3=∠2=45°，
所以，∠1=∠3+30°=45°+30°=75°．
故选D．
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点评： 本题考查了三角形的一个外角等于 ( http: / / www.21cnjy.com )与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
5．如图所示是某零件的平面图，其中∠B=∠C=30°，∠A=40°，则∠ADC的度数为（ ）
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A． 70° B．80° C．90° D． 100°
考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 延长AD交BC于E，根据三角形的外角与内角的关系可得∠DEC=70°，再得∠ADC的度数．
解答： 解：延长AD交BC于E，
∵∠B=30°，∠A=40°，
∴∠DEC=70°，
∵∠C=30°，
∴∠ADC=70°+30°=100°，
故选：D．
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点评： 此题主要考查了三角形外角与内角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．如图是一失事飞机的残骸图形，若∠B=30°，∠BCD=70°，那么∠A的度数是（ ）
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A． 30° B．40° C60° D． 70°
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分析： 根据三角形内角余外角的关系可得∠A=∠BCD﹣∠B，然后再代入数进行计算即可．
解答： 解：∵∠B=30°，∠BCD=70°，
∴∠A=70°﹣30°=40°，
故选：B．
点评： 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
7．如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=70°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）
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A． 80° B．90° C．100° D． 110°
考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据角平分线的定义求出∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠ACB=×60°=30°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+70°=100°．
故选C．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．
8．将一副直角三角板，按如图叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
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A． 45° B．60° C．75° D． 90°
考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∠α=45°+30°=75°．
故选C．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是 140 °．
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分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠A=60°，∠B=80°，
∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．
故答案为：140．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
10．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= 75° ．
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分析： 首先根据三角板度数可得：∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
解答： 解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故答案为：75°．
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点评： 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．将一副三角板按如图摆放，图中∠α的度数是 105° ．
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专题： 计算题．
分析： 由于一副三角板按如图 ( http: / / www.21cnjy.com )摆放，则∠1=60°，∠2=45°，∠2+∠3=90°，根据互余得到∠3=45°，然后根据三角形外角性质得∠α=∠1+∠3=105°．
解答： 解：根据题意得∠1=60°，∠2=45°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣45°=45°，
∴∠α=∠1+∠3=60°+45°=105°．
故答案为105°．
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点评： 本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
12．如图，△ABC，∠A=70°，点D在BC的延长线上，若∠ACD=130°，则∠B= 60 °．
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考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：由三角形的外角性质得，∠B=∠ACD﹣∠A=130°﹣70°=60°．
故答案为：60．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
13．将一副三角尺如图放置，则∠APD= 75° °．
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考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据角度的和差首先求得∠ACP的度数，然后根据∠APD是△ACP的外角，根据三角形的外角的性质求解．
解答： 解：∠ACP=∠ACB﹣∠DCB=90°﹣45°=45°，
则∠APD=∠A+∠ACP=30°+45°=75°．
故答案是：75°．
点评： 本题比较简单，考查的是三角形外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角的和．
14．将一副直角三角板如 ( http: / / www.21cnjy.com )图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= 25° ．
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考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 由∠A=∠EDF=90°，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC．∠E=30°，∠BCE=40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，∠E=30°，
∴∠F=90°﹣∠E=60°，
∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，
∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．
故答案为：25°．
点评： 本题考查三角形外角的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共8小题）
15．如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．
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考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．21世纪教育网
分析： 根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求解．
解答： 解：∵∠A=20°，∠E=35°，
∴∠EFB=∠A+∠E=55°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EFB=55°．
点评： 此题考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；两条直线平行，则同位角相等．
16．（1）填空：（﹣2）×（﹣3）= 6
（2）填空：如图：在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，
点D在BC的延长线上，则∠ACD= 130 度．
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考点： 三角形的外角性质；有理数的乘法．21世纪教育网
专题： 压轴题．
分析： （1）根据有理数的乘法法则进行计算：同号得正，异号得负，再把绝对值相乘．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
解答： 解：（1）原式=6；
（2）∠ACD=∠A+∠B=130°．
点评： 熟悉有理数的运算法则以及三角形的外角的性质．
17．一个零件的形状如图所示，按规定∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=90°，∠B、∠D分别是32°和21°，要测量这个零件是否合格，检验工人测量∠BCD的度数，如果∠BCD=150°，就判定这个零件不合格，你知道这是为什么吗？请说明原因．
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考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 连接AC并延长，然后根据三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定．
解答： 解：如图，连接AC并延长，
由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠A+∠B+∠D
=90°+32°+21°
=143°，
∵143°≠150°，
∴这个零件不合格．
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点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，点P是△ABC内一点，试证明：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
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考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 延长BP与AC相交于点D ( http: / / www.21cnjy.com )，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠A+∠ABP，∠BPC=∠1+∠ACP，从而得证．
解答： 证明：如图，延长BP与AC相交于点D，
在△ABD中，∠1=∠A+∠ABP，
在△CPD中，∠BPC=∠1+∠ACP，
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
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点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出三角形是解题的关键．
19．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
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考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 根据三角形外角性质得出∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，根据三角形内角和定理得出∠1+∠2+∠A=180°，相加即可得出答案．
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°，
∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
点评： 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．如图，你能判断出∠1和∠2的大小关系吗？若能，请写出判断依据．
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考点： 三角形的外角性质．21世纪教育网
分析： 根据三角形的外角性质得出∠2＞∠BAC，∠BAC＞∠1，即可得出答案．
解答： 解：能，
理由是：∵∠2＞∠BAC，∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的一个内角），
∴∠2＞∠1（不等式的基本性质）．
点评： 本题考查了对三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的一个内角．
21．如图，在△ABC中点D是AC上一点，连接BD，点E是BD上一点，连接CE，求证：∠2+∠3=∠1﹣∠A．
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专题： 证明题．
分析： 根据三角形外角的性质即可求解．
解答： 解：∵∠1=∠3+∠BDC，∠BDC=∠2+∠A，
∴∠1=∠3+∠2+∠A，
∴∠1﹣∠A=∠2+∠3．
点评： 本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的内角的和．
22．在学完三角形的内、外角后，教师要求同学们根据所学的知道设计一个利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求解的问题．
如图：在△ABC中，∠1=∠2=∠3．
（1）试说明：∠BAC=∠DEF；
（2）若∠BAC=70°，∠DFE=50°，求∠ABC度数．
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分析： （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3+∠CAE=∠DEF，再根据∠1=∠3整理即可得证；
（2）根据三角形的一个外角 ( http: / / www.21cnjy.com )等于与它不相邻的两个内角的和得出∠2+∠BCF=∠DFE，再根据∠2=∠3即可得∠ACB=∠DFE，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可．
解答： （1）证明：在△ACE中，∠DEF=∠3+∠CAE，
∵∠1=∠3，
∴∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC，
即∠BAC=∠DEF；
（2）解：在△BCF中，∠DFE=∠2+∠BCF，
∵∠2=∠3，
∴∠DFE=∠3+∠BCF，
即∠DFE=∠ACB，
∵∠BAC=70°，∠DFE=50°，
∴在△ABC中，∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60°．
点评： 本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键．
