高中数学人教A版（2019）选修1 3.2 双曲线解答题综合章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修1 3.2 双曲线解答题综合章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 725.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 17:15:59 | ||
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文档简介
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3.2 双曲线解答题综合
一、解答题
1．（2022高三上·广东月考）已知过点，的双曲线的右顶点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点的直线交双曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
2．（2022高二上·宜春月考）已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点).
（1）求双曲线C1的标准方程；
（2）记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.
3．（2022高三上·河南月考）已知双曲线经过点，离心率是．
（1）求双曲线的方程；
（2）在双曲线上任取两点，满足，过做于，求证：存在定点，使是定值．
4．（2022高三上·武冈期中）已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点.
5．（2022高二上·章丘期中）已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
6．（2022高二上·高邮期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3.
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求抛物线D的方程.
7．（2022高二上·泰州期中）已知双曲线C过点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知，过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N，设直线AM、AN的斜率分别为、，求证：为定值.
8．（2022高二上·大同期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
9．（2022高二上·武汉期中）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
10．（2022高三上·江宁期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
11．（2022高二上·江西期中）已知双曲线的离心率为，双曲线的左 右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.
12．（2022高二上·德州期中）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
13．（2022高二上·浙江期中）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
14．（2023高三上·荔湾月考）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．
15．（2022高二上·如东期中）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
16．（2022高二上·南县期中）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，且，离心率.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若，求的面积.
17．（2022高三上·南京月考）已知双曲线：的焦距为4，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
18．（2022高三上·浙江月考）已知点在双曲线上.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值.
19．（2022高三上·如皋月考）已知双曲线为坐标原点，离心率，点在双曲线上
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于两点，求的值，并求出外接圆的方程
20．（2022高三上·忻州月考）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
21．（2022高三上·浙江月考）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
（1）证明为定值，并求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（2022高三上·孝感月考）已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
23．（2022高三上·河南月考）设为双曲线的左 右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
24．（2022高三上·安徽月考）已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
25．（2022高三上·浙江期中）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且.
（1）求双曲线方程；
（2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
26．（2022高二上·浙江期中）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．
27．（2022高二上·金华期中）在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
（1）求，的方程：
（2）设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
（3）过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.
28．（2022高二上·辽宁期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
（1）求双曲线的方程；
（2）过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
29．（2023高三上·广东月考）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
30．（2023高二上·北海期末）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；
（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由已知可得，解得 ，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：由（1）可得，，设，，
，直线的方程为.
由可得，即点是线段的中点.
假设直线的斜率不存在，此时直线的方程为，此时直线与双曲线相切，只有一个交点，不满足，所以直线斜率一定存在.
设斜率为，则直线的方程为，即.
因为点是线段的中点，且，设，
则有，所以，所以.
于是的方程为.
下面证明：直线过定点.
即证，即证，
即证.
又，代入左边可得，（*）
联立直线的方程与双曲线的方程，可得，
由已知应满足，解得且，
且，代入（*）式可得，
恒成立，
所以，直线过定点.
【解析】【分析】（1）将 ，代入双曲线方程，即可解出结果；
（2）由已知可得，点是线段 中点， 直线的方程为，当直线的斜率不存在时，根据条件可知不满足；当的斜率存在时，设点坐标，表示出 的方程为，证明该直线过点，即证明恒成立，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理表示出，代入整理，即可证明.
2．【答案】（1）解：设双曲线的方程为，
将(4，－)代入可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）解：由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)，
则，，
而点P在双曲线上，点，即.
故.
【解析】【分析】（1） 设双曲线的方程为， 将(4，－)代入双曲线的方程，可得的值，即可求出双曲线C1的标准方程；
（2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)， 求出 ，，进而求出直线PA，PB的斜率之积.
3．【答案】（1）解：由题知，
，
，
又因为，
解得，
.
（2）解：设直线，，
联立方程
所以
，
或，
当时，直线恒过定点，不符合题意，舍去；
所以，直线恒过定点，
因为在中，存在定点为线段的中点，
使得.
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质求出双曲线的方程；
（2）设直线，， 与双曲线联立结合韦达定理可得 ，由 得 ，求出 或，分类讨论可证得结论.
4．【答案】（1）解：由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线：，当时，，，
由得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得， ，即恒成立.
即，即经过点，
故直线过定点.
【解析】【分析】（1） 由已知得 ，由双曲线的定义得的轨迹为双曲线的右支，求出，，，所以双曲线的标准方程为；
（2）由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，利用直线斜率不存在时，直线经过点，再证明当直线的斜率存在时，直线过点即可.
5．【答案】（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，从而求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率不存在时，直线的方程以及渐近线方程得，从而求得的面积；
当直线的斜率存在时， 设直线方程，将直线方程代入双曲线方程， 联立方程组 ，求得，再根据点到直线的距离求，代入面积即可判断的面积为定值.
6．【答案】（1）解：设半焦距为，
由题意，双曲线C：的离心率为，
可得，解得，
所以双曲线C的渐近线方程为.
（2）解：不妨设M在x轴下方，N在x轴上方，
由抛物线D：，可得其准线方程为，
代入渐近线方程得，所以，
则，解得，
所以抛物线D的方程为.
【解析】【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程；
（2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程.
7．【答案】（1）解：设双曲线C的方程为，
将，代入上式得：，
解得，
双曲线C的方程为
（2）解：设，，
由题意易得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，代入整理得，
，
，，且，
则
，
故为定值.
【解析】【分析】(1)设双曲线C的方程为， 将， 代入求解即可；
(2)由题意易得直线l的斜率存在， 设，， 直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简，结合韦达定理即可求出结果.
8．【答案】（1）解：由题可知：
，
双曲线的方程是.
（2）解：存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，
直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，
因为点，设直线的方程为：
设，，，
联立方程组得：
所以，，
故，
设直线的方程为：
设，，，
同理可得，，
故
所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，
以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【解析】【分析】(1)由已知可得关于a， b，c的方程组，求得a与b的值，则可求出双曲线的方程；
(2)若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为(0， 0)，直线MN的方程为y=0；当直线AB和CD都有斜率时， 设直线的方程为： ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M、N的坐标，求出MN所在直线的斜率，得到MN的方程，说明MN过定点 ，结合 ，可得点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，由此可得存在定点，使得为定值 .
9．【答案】（1）解：因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为
（2）解：设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
【解析】【分析】(1)由已知条件设双曲线的标准方程为，根据焦距求出c的值，根据渐近线结合a，b，c的关系求出a，b，即可得 C的标准方程；
(2) 设，，把直线l的方程与双曲线方程联立，根据韦达定理，利用弦长公式求出|AB|.
10．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，
因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，
双曲线的一条渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
所以，
②代入①得：，所以求双曲线的方程为.
（2）解：设，，，
联立方程，得：，
，
，
因为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以，
即，
当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；
当时，，所以不满足题意；
当时，，
所以，
综上所述：的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用点到直线的距离公式，即可求得，，可得双曲线的方程为；
（2）联立直线代入双曲线的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示出点坐标 ，代入双曲线的方程即可求得，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
11．【答案】（1）解：由双曲线的定义可得，解得：.
因为双曲线的离心率为，所以，解得.
因为，所以.
故双曲线的标准方程为
（2）解：当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；
直线的斜率不为0，则设直线，
联立整理得，
则，
故.
因为以为直径的圆过原点，所以，所以
所以，即，
化简整理得，即，
则，
故.
【解析】【分析】（1） 由双曲线的定义结合已知条件得出a的值，再利用双曲线的离心率为结合双曲线的离心率公式得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2） 当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；当直线的斜率不为0，设直线，联立再利用韦达定理得出，再利用代入法得出，再以为直径的圆过原点，所以，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和韦达定理得出m的值，再利用韦达定理得出的值，再结合弦长公式得出A，B两点的距离。
12．【答案】（1）解：已知双曲线C：经过点，
则，
右顶点为，不妨取渐近线为，即，
则，
从而可解得，
所以双曲线C的方程为；
（2）解：设，
联立，消得，
则，
则，
，
，
因为，则，
即，
即，
即，
整理得，
所以.
【解析】【分析】（1）将点代入得 ， 根据点到直线的距离公式可得 ， 求得 ， 即可求解出双曲线C的方程；
（2） 设， 将直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求得 ， 再根据 可得 ，计算即可求出 和之间满足的关系式．
13．【答案】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离，
又因为双曲线：经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：设点，，
因为是弦的中点，
则．
由于，
则，
所以，
从而直线的方程为，
即．
联立，
得，
所以，
从而．
【解析】【分析】（1）由焦点到渐近线的距离为可得 ，把点代入 双曲线 可求出a，进而可得双曲线的方程；
（2）设点， ，利用作差法结合中点坐标公示求出直线的方程，与双曲线联立，利用韦达定理可得 ，再利用弦长公式可求出 AB的长度．
14．【答案】（1）解：双曲线的渐近线为，
又，，故其渐近线的倾斜角小于，而双曲线的两条渐近线的夹角为，
则渐近线的的倾斜角为，
则，即．
又，则．
所以双曲线的方程是
（2）解：当直线不与轴重合时，设直线的方程为，
代入，得，即．
设点，则．
设点，则
令，得，
此时．
当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．
对于点．
所以存在定点，使为定值
【解析】【分析】（1）由渐近线夹角得出渐近线倾斜角，从而得，再由求得 ，得双曲线方程；
（2） 当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设直线的方程为，代入双曲线方程，设 点，则． 再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时， 对于点，即得结论．
15．【答案】（1）证明：由题意得 ，所以 ，
即 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
又 ， ，所以 ，
所以 的方程为 ；
（2）证明：由已知得 ： ， ： ，
联立直线方程与双曲线方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
联立直线方程与圆方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
若直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，
由三点共线得 ，
即 ，
所以直线 过定点 ．
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，所以 ，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；
（2）直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，三点共线得，从而可得直线 过定点 ．
16．【答案】（1）解：由题意 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）解：令 ， ，
则由双曲线定义可得 ①，
由三角形余弦定理得 ②，
有 ，
∴ 的面积 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的定义得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2）利用已知条件结合双曲线的定义和余弦定理得出mn的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
17．【答案】（1）解：由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2）解：，设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
【解析】【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出 ， 从而可求出双曲线方程；
（2） 设直线方程为，， 将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点，再利用表示出点，再表示出直线的方程，可求得直线也过定点， 从而可求得答案.
18．【答案】（1）解：将点代入方程，解得，
所以双曲线C的方程为，渐近线方程为
（2）解：联立，整理得，由题意，
得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得，
直线的方程为，令，得，即，同理可得，
，
，
所以的面积，即，
解得或，又且，所以k的值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的性质求解；
（2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由 的面积为列方程求解即可.
19．【答案】（1）解：由题知，解得
所以双曲线的方程为：
（2）解：直线，设
联立，得
所以
所以外接圆圆心为
直径为，即半径
所以外接圆的方程为
【解析】【分析】(1)由已知可得关于a， b， c的方程组，解得a与b的值，则双曲线方程可求出双曲线的方程；
(2) 设，由题意知直线 直线，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算求 的值，可得OP⊥OQ，求得圆心坐标及半径，进一步可得 外接圆的方程 .
20．【答案】（1）解：根据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以，
因为双曲线的离心率是，
所以，，解得
所以，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，
直线.
联立整理得，
所以，.
故.
设直线的斜率为，同理可得.
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，所以，
则，即，
所以.
【解析】【分析】 (1) 由题知 ，进而解方程，即可求出双曲线的标准方程；
(2)由题设 设，直线，进而与双曲线联立方程结合韦达定理得 ， 设直线的斜率为，同理可得 ，进而根据 可得 ， 进而可证明出 .
21．【答案】（1）证明：，得，
当时，如图1所示，
因为D，C都在圆A上
所以，即
又因为，所以，
所以，∴，
所以
当时，如图2所示，
同理可得，
因此，所以点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，
故，，即，，所以，
∴为定值2，且点E的轨迹方程为.
（2）解：由题知，直线l的斜率不为0，设l：，
联立消去x得，，
于是，
设，，则有，，
故，
所以线段的中点为，
从而线段的中垂线的方程为
令得，，∴
又
故，于是
即存在使得.
【解析】【分析】（1） ，得，分和进行讨论，即得 为定值2出， 判断点E的轨迹是双曲线，利用双曲线的定义求出轨迹方程；
（2）根据题意设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|MN|，以及MN的中点Q，写出直线PQ的方程，求出|BP|、|MN|，从而求出λ的值．
22．【答案】（1）解：设，则，，，.
因为，所以，
故的方程为.
（2）解：由题可知直线的斜率一定存在，且不为0，
不妨设直线的方程为，，.
联立方程组，消去整理得，
则，整理得.
，，
则线段的垂直平分线的方程为，
令，得，则，
.
则.
故是定值，该定值为.
【解析】【分析】（1）设，利用列方程，化简求得曲线方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得线段的垂直平分线的方程，进而求得点的坐标，结合弦长公式求得为定值.
23．【答案】（1）解：由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）解：因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
【解析】【分析】(1)由已知可得 得到 ，结合隐含条件可得关于e的方程，求解出双曲线的离心率；
(2)由已知得双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立直线方程与双曲线方程化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系可得M与N的横纵坐标的和与积，求出P，Q的坐标，得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 可得以为直径的圆过定点，.
24．【答案】（1）解：因为，
所以，解得，
设双曲线的半焦距为，因为离心率为，
所以，解得，
则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，则，，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立方程消去并整理得
显然，即
所以，，
联立方程消去并整理得，
显然，即，
，
即当时，直线的方程为，
将上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直线过定点.
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合双曲线的定义得出a的值，再结合双曲线的离心率公式得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的的关系式得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2） 设，再利用已知条件和两点求斜率公式，则，，再利用斜截式得出直线的方程和直线的方程，再联立两直线方程和判别式法以及代入法和直线的点斜式方程证出直线过定点，并求出定点坐标。
25．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，
由已知得，
双曲线上一点到渐近线距离之积，
即，又，，
所以双曲线方程为.
（2）解：（i）设直线方程，则，设点、，
联列方程组，可得，
由题意可得且恒成立，
又，，
直线的方程为，令，有，
即，同理，
直角三角形中，设直线交轴于点，
因为，则，
所以，，所以，，
则
，
即，
当时，因为，可得；
（ii）由（i）知：，从而，
令，则，
则
，则，
当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为.
【解析】【分析】（1） 利用双曲线得出渐近线方程，由已知得出a的值，再利用点到直线的距离公式得出双曲线上一点到渐近线距离之积，再结合已知条件得出的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） （i）设直线方程，则，设点、，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出且恒成立，再利用韦达定理得出，，再利用点斜式得出直线的方程，令，得出点M的纵坐标，进而得出点M的坐标，同理得出点N的坐标，在直角三角形中，设直线交轴于点，再结合，则，再利用正切函数的定义得出，进而结合韦达定理得出，即，当时结合，进而得出n的值。
（ii）由（i）知：，从而，令，则，，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围，进而得出的最小值。
26．【答案】（1）解：由双曲线，可得其渐近线为，
∴双曲线：的渐近线为，
∴，即，
∴双曲线：，
由，可得，
解得，
∴直线被双曲线所截得的弦长为，
解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：当直线的斜率不为0时，可设，
由，可得，
设，则，，
∴，
，
设以为直径的圆上任意一点，则，
∴以为直径的圆的方程为，
令，可得，
∴，
∴，
由，可得，即以为直径的圆恒过定点，
当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，
综上，以为直径的圆恒过轴上的定点，此定点坐标为.
【解析】【分析】 (1)由双曲线可得其渐近线方程，同理可得双曲线：的渐近线，进而得出a，b的关系式，所以双曲线：，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点横坐标，再利用弦长公式得出直线被双曲线所截得的弦长和已知条件，进而得出a的值，从而得出双曲线C的标准方程。
（2）当直线的斜率不为0时，可设，设，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，，再利用代入法和直线的方程得出，，设以为直径的圆上任意一点，则，所以以为直径的圆的方程为，令，可得，由，可得，从而得出以为直径的圆恒过定点，当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，进而得出以为直径的圆恒过轴上的定点，从而得出此定点坐标。
27．【答案】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上，
设双曲线方程为，
因为的一条渐近线为
所以，，解得，
所以双曲线方程为
又因为椭圆的短轴长为2，
所以椭圆焦点在轴上，
设椭圆方程为，
所以，，.即椭圆方程为.
（2）解：根据题意，联立方程得
又因为，所以，，
所以，变形为，解得.
所以，方程组只有一解
所以，直线与椭圆只有一个公共点.
（3）解：设，
由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点.
所以，直线是过点的椭圆的切线方程.
所以，直线方程为，点在直线上，故
直线方程为，点在直线上，故
所以，直线的方程为，即.
由得
由得
所以
又点到直线的距离
又
所以，所围三角形面积为定值.
【解析】【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可；
（2）联立方程，结合解方程判断即可；
（3）设 ， ，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解， 又点到直线的距离 ，进而计算面积即可.
28．【答案】（1）解：依题意， ，当l垂直于x轴时， ，
即 ，即 ，
解得 ， ，因此 ；
（2）解：设 ，联立双曲线方程 ，
得： ，
当 时， ，
，
当 时，设 ，
因为直线 与双曲线右支相交，
因此 ，即 ，同理可得 ，
依题意 ，
同理可得， ，
而 ，
代入 ， ，
，
分离参数得， ，
因为 ，
当 时，由 ，
，
所以 ，
综上可知， 的取值范围为 .
【解析】【分析】（1） 依题意结合双曲线的离心率公式得出 ，当l垂直于x轴时结合两点距离公式得出 ，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出 ，进而得出a，c的值，从而得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2） 设 ，联立双曲线方程得出： ，当 时， 得出点的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值 ，当 时，设 ，再结合直线 与双曲线右支相交，进而得出 ，从而得出实数m的取值范围 ，同理可得 ，再结合数量积的运算法则和代入法以及 ，再利用均值不等式求最值的方法和 ，进而得出 的取值范围，再结合构造法得出 的取值范围。
29．【答案】（1）解：由题意得，，故，
又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点到渐近线的距离为，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）解：假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，
故存在．
【解析】【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程 ，利用点到直线的距离公式列出方程求得 ， 集合，求得的值，即可求解.
（2） 假设存在，设，，设直线，联立方程组，求得，，结合，列出方程化简得到，得到，即可求解.
30．【答案】（1）解：当 时 ，双曲线C：，
过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，
则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得， ，
则，则 ，
由
，
可得 ，所以 ，
所以．
（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，
则，
由 ， 得 ，
所以 ， ，
由点M在双曲线C上，可得 ，
化简得 ，
同理 ，
故是方程的两根，则为定值.
【解析】【分析】（1） 当 时得出双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线C联立，再利用判别式法和韦达定理得出 且，则 ，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，进而得出的值，从而得出的值。
（2） 由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，再利用赋值法得出点E的坐标，由 ， 结合向量共线定理得出 ， ， 由点M在双曲线C上结合代入法得出是方程的两根，再结合韦达定理证出为定值。
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3.2 双曲线解答题综合
一、解答题
1．（2022高三上·广东月考）已知过点，的双曲线的右顶点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点的直线交双曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
2．（2022高二上·宜春月考）已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点).
（1）求双曲线C1的标准方程；
（2）记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.
3．（2022高三上·河南月考）已知双曲线经过点，离心率是．
（1）求双曲线的方程；
（2）在双曲线上任取两点，满足，过做于，求证：存在定点，使是定值．
4．（2022高三上·武冈期中）已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点.
5．（2022高二上·章丘期中）已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
6．（2022高二上·高邮期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3.
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求抛物线D的方程.
7．（2022高二上·泰州期中）已知双曲线C过点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知，过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N，设直线AM、AN的斜率分别为、，求证：为定值.
8．（2022高二上·大同期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
9．（2022高二上·武汉期中）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
10．（2022高三上·江宁期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
11．（2022高二上·江西期中）已知双曲线的离心率为，双曲线的左 右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.
12．（2022高二上·德州期中）已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
13．（2022高二上·浙江期中）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
14．（2023高三上·荔湾月考）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．
15．（2022高二上·如东期中）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
16．（2022高二上·南县期中）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，且，离心率.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若，求的面积.
17．（2022高三上·南京月考）已知双曲线：的焦距为4，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
18．（2022高三上·浙江月考）已知点在双曲线上.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值.
19．（2022高三上·如皋月考）已知双曲线为坐标原点，离心率，点在双曲线上
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于两点，求的值，并求出外接圆的方程
20．（2022高三上·忻州月考）已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.
21．（2022高三上·浙江月考）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
（1）证明为定值，并求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（2022高三上·孝感月考）已知两点，，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
23．（2022高三上·河南月考）设为双曲线的左 右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
24．（2022高三上·安徽月考）已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
25．（2022高三上·浙江期中）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且.
（1）求双曲线方程；
（2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
26．（2022高二上·浙江期中）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．
27．（2022高二上·金华期中）在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
（1）求，的方程：
（2）设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
（3）过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.
28．（2022高二上·辽宁期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
（1）求双曲线的方程；
（2）过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
29．（2023高三上·广东月考）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
30．（2023高二上·北海期末）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；
（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由已知可得，解得 ，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：由（1）可得，，设，，
，直线的方程为.
由可得，即点是线段的中点.
假设直线的斜率不存在，此时直线的方程为，此时直线与双曲线相切，只有一个交点，不满足，所以直线斜率一定存在.
设斜率为，则直线的方程为，即.
因为点是线段的中点，且，设，
则有，所以，所以.
于是的方程为.
下面证明：直线过定点.
即证，即证，
即证.
又，代入左边可得，（*）
联立直线的方程与双曲线的方程，可得，
由已知应满足，解得且，
且，代入（*）式可得，
恒成立，
所以，直线过定点.
【解析】【分析】（1）将 ，代入双曲线方程，即可解出结果；
（2）由已知可得，点是线段 中点， 直线的方程为，当直线的斜率不存在时，根据条件可知不满足；当的斜率存在时，设点坐标，表示出 的方程为，证明该直线过点，即证明恒成立，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理表示出，代入整理，即可证明.
2．【答案】（1）解：设双曲线的方程为，
将(4，－)代入可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）解：由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)，
则，，
而点P在双曲线上，点，即.
故.
【解析】【分析】（1） 设双曲线的方程为， 将(4，－)代入双曲线的方程，可得的值，即可求出双曲线C1的标准方程；
（2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)， 求出 ，，进而求出直线PA，PB的斜率之积.
3．【答案】（1）解：由题知，
，
，
又因为，
解得，
.
（2）解：设直线，，
联立方程
所以
，
或，
当时，直线恒过定点，不符合题意，舍去；
所以，直线恒过定点，
因为在中，存在定点为线段的中点，
使得.
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质求出双曲线的方程；
（2）设直线，， 与双曲线联立结合韦达定理可得 ，由 得 ，求出 或，分类讨论可证得结论.
4．【答案】（1）解：由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线：，当时，，，
由得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得， ，即恒成立.
即，即经过点，
故直线过定点.
【解析】【分析】（1） 由已知得 ，由双曲线的定义得的轨迹为双曲线的右支，求出，，，所以双曲线的标准方程为；
（2）由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，利用直线斜率不存在时，直线经过点，再证明当直线的斜率存在时，直线过点即可.
5．【答案】（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，从而求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率不存在时，直线的方程以及渐近线方程得，从而求得的面积；
当直线的斜率存在时， 设直线方程，将直线方程代入双曲线方程， 联立方程组 ，求得，再根据点到直线的距离求，代入面积即可判断的面积为定值.
6．【答案】（1）解：设半焦距为，
由题意，双曲线C：的离心率为，
可得，解得，
所以双曲线C的渐近线方程为.
（2）解：不妨设M在x轴下方，N在x轴上方，
由抛物线D：，可得其准线方程为，
代入渐近线方程得，所以，
则，解得，
所以抛物线D的方程为.
【解析】【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程；
（2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程.
7．【答案】（1）解：设双曲线C的方程为，
将，代入上式得：，
解得，
双曲线C的方程为
（2）解：设，，
由题意易得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，代入整理得，
，
，，且，
则
，
故为定值.
【解析】【分析】(1)设双曲线C的方程为， 将， 代入求解即可；
(2)由题意易得直线l的斜率存在， 设，， 直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简，结合韦达定理即可求出结果.
8．【答案】（1）解：由题可知：
，
双曲线的方程是.
（2）解：存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，
直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，
因为点，设直线的方程为：
设，，，
联立方程组得：
所以，，
故，
设直线的方程为：
设，，，
同理可得，，
故
所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，
以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【解析】【分析】(1)由已知可得关于a， b，c的方程组，求得a与b的值，则可求出双曲线的方程；
(2)若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为(0， 0)，直线MN的方程为y=0；当直线AB和CD都有斜率时， 设直线的方程为： ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M、N的坐标，求出MN所在直线的斜率，得到MN的方程，说明MN过定点 ，结合 ，可得点的运动轨迹是以点为圆心，以直径的圆，由此可得存在定点，使得为定值 .
9．【答案】（1）解：因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为
（2）解：设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
【解析】【分析】(1)由已知条件设双曲线的标准方程为，根据焦距求出c的值，根据渐近线结合a，b，c的关系求出a，b，即可得 C的标准方程；
(2) 设，，把直线l的方程与双曲线方程联立，根据韦达定理，利用弦长公式求出|AB|.
10．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，
因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，
双曲线的一条渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
所以，
②代入①得：，所以求双曲线的方程为.
（2）解：设，，，
联立方程，得：，
，
，
因为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以，
即，
当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；
当时，，所以不满足题意；
当时，，
所以，
综上所述：的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用点到直线的距离公式，即可求得，，可得双曲线的方程为；
（2）联立直线代入双曲线的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示出点坐标 ，代入双曲线的方程即可求得，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
11．【答案】（1）解：由双曲线的定义可得，解得：.
因为双曲线的离心率为，所以，解得.
因为，所以.
故双曲线的标准方程为
（2）解：当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；
直线的斜率不为0，则设直线，
联立整理得，
则，
故.
因为以为直径的圆过原点，所以，所以
所以，即，
化简整理得，即，
则，
故.
【解析】【分析】（1） 由双曲线的定义结合已知条件得出a的值，再利用双曲线的离心率为结合双曲线的离心率公式得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2） 当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；当直线的斜率不为0，设直线，联立再利用韦达定理得出，再利用代入法得出，再以为直径的圆过原点，所以，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和韦达定理得出m的值，再利用韦达定理得出的值，再结合弦长公式得出A，B两点的距离。
12．【答案】（1）解：已知双曲线C：经过点，
则，
右顶点为，不妨取渐近线为，即，
则，
从而可解得，
所以双曲线C的方程为；
（2）解：设，
联立，消得，
则，
则，
，
，
因为，则，
即，
即，
即，
整理得，
所以.
【解析】【分析】（1）将点代入得 ， 根据点到直线的距离公式可得 ， 求得 ， 即可求解出双曲线C的方程；
（2） 设， 将直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求得 ， 再根据 可得 ，计算即可求出 和之间满足的关系式．
13．【答案】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离，
又因为双曲线：经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：设点，，
因为是弦的中点，
则．
由于，
则，
所以，
从而直线的方程为，
即．
联立，
得，
所以，
从而．
【解析】【分析】（1）由焦点到渐近线的距离为可得 ，把点代入 双曲线 可求出a，进而可得双曲线的方程；
（2）设点， ，利用作差法结合中点坐标公示求出直线的方程，与双曲线联立，利用韦达定理可得 ，再利用弦长公式可求出 AB的长度．
14．【答案】（1）解：双曲线的渐近线为，
又，，故其渐近线的倾斜角小于，而双曲线的两条渐近线的夹角为，
则渐近线的的倾斜角为，
则，即．
又，则．
所以双曲线的方程是
（2）解：当直线不与轴重合时，设直线的方程为，
代入，得，即．
设点，则．
设点，则
令，得，
此时．
当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．
对于点．
所以存在定点，使为定值
【解析】【分析】（1）由渐近线夹角得出渐近线倾斜角，从而得，再由求得 ，得双曲线方程；
（2） 当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设直线的方程为，代入双曲线方程，设 点，则． 再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时， 对于点，即得结论．
15．【答案】（1）证明：由题意得 ，所以 ，
即 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
又 ， ，所以 ，
所以 的方程为 ；
（2）证明：由已知得 ： ， ： ，
联立直线方程与双曲线方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
联立直线方程与圆方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
若直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，
由三点共线得 ，
即 ，
所以直线 过定点 ．
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，所以 ，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；
（2）直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，三点共线得，从而可得直线 过定点 ．
16．【答案】（1）解：由题意 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）解：令 ， ，
则由双曲线定义可得 ①，
由三角形余弦定理得 ②，
有 ，
∴ 的面积 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的定义得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2）利用已知条件结合双曲线的定义和余弦定理得出mn的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
17．【答案】（1）解：由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2）解：，设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
【解析】【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出 ， 从而可求出双曲线方程；
（2） 设直线方程为，， 将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点，再利用表示出点，再表示出直线的方程，可求得直线也过定点， 从而可求得答案.
18．【答案】（1）解：将点代入方程，解得，
所以双曲线C的方程为，渐近线方程为
（2）解：联立，整理得，由题意，
得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得，
直线的方程为，令，得，即，同理可得，
，
，
所以的面积，即，
解得或，又且，所以k的值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的性质求解；
（2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由 的面积为列方程求解即可.
19．【答案】（1）解：由题知，解得
所以双曲线的方程为：
（2）解：直线，设
联立，得
所以
所以外接圆圆心为
直径为，即半径
所以外接圆的方程为
【解析】【分析】(1)由已知可得关于a， b， c的方程组，解得a与b的值，则双曲线方程可求出双曲线的方程；
(2) 设，由题意知直线 直线，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算求 的值，可得OP⊥OQ，求得圆心坐标及半径，进一步可得 外接圆的方程 .
20．【答案】（1）解：根据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以，
因为双曲线的离心率是，
所以，，解得
所以，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，
直线.
联立整理得，
所以，.
故.
设直线的斜率为，同理可得.
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，所以，
则，即，
所以.
【解析】【分析】 (1) 由题知 ，进而解方程，即可求出双曲线的标准方程；
(2)由题设 设，直线，进而与双曲线联立方程结合韦达定理得 ， 设直线的斜率为，同理可得 ，进而根据 可得 ， 进而可证明出 .
21．【答案】（1）证明：，得，
当时，如图1所示，
因为D，C都在圆A上
所以，即
又因为，所以，
所以，∴，
所以
当时，如图2所示，
同理可得，
因此，所以点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，
故，，即，，所以，
∴为定值2，且点E的轨迹方程为.
（2）解：由题知，直线l的斜率不为0，设l：，
联立消去x得，，
于是，
设，，则有，，
故，
所以线段的中点为，
从而线段的中垂线的方程为
令得，，∴
又
故，于是
即存在使得.
【解析】【分析】（1） ，得，分和进行讨论，即得 为定值2出， 判断点E的轨迹是双曲线，利用双曲线的定义求出轨迹方程；
（2）根据题意设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|MN|，以及MN的中点Q，写出直线PQ的方程，求出|BP|、|MN|，从而求出λ的值．
22．【答案】（1）解：设，则，，，.
因为，所以，
故的方程为.
（2）解：由题可知直线的斜率一定存在，且不为0，
不妨设直线的方程为，，.
联立方程组，消去整理得，
则，整理得.
，，
则线段的垂直平分线的方程为，
令，得，则，
.
则.
故是定值，该定值为.
【解析】【分析】（1）设，利用列方程，化简求得曲线方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得线段的垂直平分线的方程，进而求得点的坐标，结合弦长公式求得为定值.
23．【答案】（1）解：由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）解：因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
【解析】【分析】(1)由已知可得 得到 ，结合隐含条件可得关于e的方程，求解出双曲线的离心率；
(2)由已知得双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立直线方程与双曲线方程化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系可得M与N的横纵坐标的和与积，求出P，Q的坐标，得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 可得以为直径的圆过定点，.
24．【答案】（1）解：因为，
所以，解得，
设双曲线的半焦距为，因为离心率为，
所以，解得，
则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，则，，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立方程消去并整理得
显然，即
所以，，
联立方程消去并整理得，
显然，即，
，
即当时，直线的方程为，
将上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直线过定点.
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合双曲线的定义得出a的值，再结合双曲线的离心率公式得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的的关系式得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2） 设，再利用已知条件和两点求斜率公式，则，，再利用斜截式得出直线的方程和直线的方程，再联立两直线方程和判别式法以及代入法和直线的点斜式方程证出直线过定点，并求出定点坐标。
25．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，
由已知得，
双曲线上一点到渐近线距离之积，
即，又，，
所以双曲线方程为.
（2）解：（i）设直线方程，则，设点、，
联列方程组，可得，
由题意可得且恒成立，
又，，
直线的方程为，令，有，
即，同理，
直角三角形中，设直线交轴于点，
因为，则，
所以，，所以，，
则
，
即，
当时，因为，可得；
（ii）由（i）知：，从而，
令，则，
则
，则，
当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为.
【解析】【分析】（1） 利用双曲线得出渐近线方程，由已知得出a的值，再利用点到直线的距离公式得出双曲线上一点到渐近线距离之积，再结合已知条件得出的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） （i）设直线方程，则，设点、，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出且恒成立，再利用韦达定理得出，，再利用点斜式得出直线的方程，令，得出点M的纵坐标，进而得出点M的坐标，同理得出点N的坐标，在直角三角形中，设直线交轴于点，再结合，则，再利用正切函数的定义得出，进而结合韦达定理得出，即，当时结合，进而得出n的值。
（ii）由（i）知：，从而，令，则，，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围，进而得出的最小值。
26．【答案】（1）解：由双曲线，可得其渐近线为，
∴双曲线：的渐近线为，
∴，即，
∴双曲线：，
由，可得，
解得，
∴直线被双曲线所截得的弦长为，
解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：当直线的斜率不为0时，可设，
由，可得，
设，则，，
∴，
，
设以为直径的圆上任意一点，则，
∴以为直径的圆的方程为，
令，可得，
∴，
∴，
由，可得，即以为直径的圆恒过定点，
当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，
综上，以为直径的圆恒过轴上的定点，此定点坐标为.
【解析】【分析】 (1)由双曲线可得其渐近线方程，同理可得双曲线：的渐近线，进而得出a，b的关系式，所以双曲线：，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点横坐标，再利用弦长公式得出直线被双曲线所截得的弦长和已知条件，进而得出a的值，从而得出双曲线C的标准方程。
（2）当直线的斜率不为0时，可设，设，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，，再利用代入法和直线的方程得出，，设以为直径的圆上任意一点，则，所以以为直径的圆的方程为，令，可得，由，可得，从而得出以为直径的圆恒过定点，当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，进而得出以为直径的圆恒过轴上的定点，从而得出此定点坐标。
27．【答案】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上，
设双曲线方程为，
因为的一条渐近线为
所以，，解得，
所以双曲线方程为
又因为椭圆的短轴长为2，
所以椭圆焦点在轴上，
设椭圆方程为，
所以，，.即椭圆方程为.
（2）解：根据题意，联立方程得
又因为，所以，，
所以，变形为，解得.
所以，方程组只有一解
所以，直线与椭圆只有一个公共点.
（3）解：设，
由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点.
所以，直线是过点的椭圆的切线方程.
所以，直线方程为，点在直线上，故
直线方程为，点在直线上，故
所以，直线的方程为，即.
由得
由得
所以
又点到直线的距离
又
所以，所围三角形面积为定值.
【解析】【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可；
（2）联立方程，结合解方程判断即可；
（3）设 ， ，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解， 又点到直线的距离 ，进而计算面积即可.
28．【答案】（1）解：依题意， ，当l垂直于x轴时， ，
即 ，即 ，
解得 ， ，因此 ；
（2）解：设 ，联立双曲线方程 ，
得： ，
当 时， ，
，
当 时，设 ，
因为直线 与双曲线右支相交，
因此 ，即 ，同理可得 ，
依题意 ，
同理可得， ，
而 ，
代入 ， ，
，
分离参数得， ，
因为 ，
当 时，由 ，
，
所以 ，
综上可知， 的取值范围为 .
【解析】【分析】（1） 依题意结合双曲线的离心率公式得出 ，当l垂直于x轴时结合两点距离公式得出 ，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出 ，进而得出a，c的值，从而得出b的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2） 设 ，联立双曲线方程得出： ，当 时， 得出点的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值 ，当 时，设 ，再结合直线 与双曲线右支相交，进而得出 ，从而得出实数m的取值范围 ，同理可得 ，再结合数量积的运算法则和代入法以及 ，再利用均值不等式求最值的方法和 ，进而得出 的取值范围，再结合构造法得出 的取值范围。
29．【答案】（1）解：由题意得，，故，
又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点到渐近线的距离为，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）解：假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，
故存在．
【解析】【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程 ，利用点到直线的距离公式列出方程求得 ， 集合，求得的值，即可求解.
（2） 假设存在，设，，设直线，联立方程组，求得，，结合，列出方程化简得到，得到，即可求解.
30．【答案】（1）解：当 时 ，双曲线C：，
过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，
则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得， ，
则，则 ，
由
，
可得 ，所以 ，
所以．
（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，
则，
由 ， 得 ，
所以 ， ，
由点M在双曲线C上，可得 ，
化简得 ，
同理 ，
故是方程的两根，则为定值.
【解析】【分析】（1） 当 时得出双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线C联立，再利用判别式法和韦达定理得出 且，则 ，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，进而得出的值，从而得出的值。
（2） 由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，再利用赋值法得出点E的坐标，由 ， 结合向量共线定理得出 ， ， 由点M在双曲线C上结合代入法得出是方程的两根，再结合韦达定理证出为定值。
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