高中数学人教A版（2019）选修1 3.2 双曲线性质与应用1选择题章节综合练习题（答案+解析）

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3.2 双曲线性质与应用1选择题
一、选择题
1．（2023高三下·玉林模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2023高二下·简阳月考）若双曲线 的右焦点为F，以F为圆心， 为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率 （　　）
A． B． C． D．2
3．分别是双曲线的左 右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且在以为圆心 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
4．双曲线的两条渐近线的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·河北期末）已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（　　）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
6．（2023高二下·安康月考）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（　　）
A． B．24 C．32 D．
7．（2023高二下·保山期末）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
9．（2023高二下·镇巴县期末）设，是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
10．（2023高二下·成都期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·安宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2023·黄埔）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
13．（2022·柳州模拟）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的某一点，且，，则双曲线的实轴长为（　　）
A．4 B． C．8 D．
14．（2023高三下·玉林模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为（　　）
A．或 B．-2或2 C．-2 D．
15．（2023高二下·普宁月考）如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其离心率为，上顶点坐标为(，)，那么该双曲线的方程可以为（　　）
A． B． C． D．
16．（2023高二下·广西壮族自治区月考）如图，已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
17．（2023高二下·高台月考）已知双曲线的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
18．（2023·遂宁模拟）已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为，若为坐标原点)，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
19．（2023·内江模拟）已知双曲线上有不同的三点A、B、P，且A、B关于原点对称，直线PA、PB的斜率分别为、，且，则离心率的值为（　　）
A． B． C． D．
20．（2023·资阳模拟）已知双曲线的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是（　　）
A． B． C． D．5
21．（2023·攀枝花模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
22．（2023高三下·四川模拟）已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
23．（2023·广西模拟）已知双曲线，左焦点为，虚轴上端点为，直线与双曲线交于，两点，直线与直线的倾斜角互补，且点满足，双曲线的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
24．（2023·广东模拟）已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（　　）
A． B． C． D．
25．（2023·铜川模拟）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（　　）
A． B． C． D．
26．（2023·绵阳模拟）已知F为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（　　）
A． B．2 C． D．
27．（2023高二下·洛阳期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
28．（2023高二下·定远期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
29．已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
30．（2023·全国乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由已知条件可得双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为又因为 一条渐近线方程为 ，即y=2x，所以
故答案为：D
【分析】先确定焦点的位置，从而求出再利用离心率的定义即可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】 解：∵双曲线C的半焦距，
∴圆F过原点O，
依题意易知△OFB是正三角形，
∴∠BOF=60°，
∴，
∴ ，
故选：D.
【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为 ，得到△OFB是正三角形，∠BOF=60° ，则求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 与关于渐近线的对称，又为，中点，与渐近线平行， ，
，
，即，
，化简得
双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】由题可得与渐近线平行，所以，，进而化简得.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：，且焦点在x轴上，
所以其中一条渐近线的斜率，倾斜角为，
根据对称性可知 两条渐近线的夹角 为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意求渐近线的斜率和倾斜角，结合对称性分析求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由题知双曲线的实轴长，虚轴长、焦距， 离心率为；
，双曲线的实轴长，虚轴长、焦距，离心率为.
故答案为：D.
【分析】通过k的范围，结合双曲线定义求出实轴、虚轴、焦距判断选项.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由已知条件花瓶横截面圆的最小直径为8可得a=4，因为瓶高等于双曲线C的虚轴长2b，设M是花瓶口径上的一点，花瓶的上口直径为2r，则点M(r，b)把点M代入双曲线方程可得所以花瓶的瓶口直径为
如图：
故答案为：
【分析】先求出a=4，设出点M的坐标，把点M代入双曲线方程即可求出r.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意做简图：
FA=FB=a，焦点F到渐近线的距离：FH=b，
因为∠AFB=60°，所以，
所以离心率，
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长，再利用∠AFB=60°，得到的值，最后利用公式求解。
8．【答案】C
【解析】【解答】∵ x=c与曲线C的一个交点为P，
∴ PF2⊥x轴，则 ；
由双曲线的性质定义可得 ；
又∵|PF1|=3|PF2|，
∴ ；化简得a=b；
∴离心率 ；
故答案为：C。
【分析】由题意可得|PF2|的大小，再由双曲线的定义可得|PF1|的大小，再由题意可得a，b的关系，进而可得双曲线的离心率 。
9．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知在中，，，，又，解得，
在中，，，化简得，又，
，双曲线的离心率.
故答案为：B
【分析】画图分析，由结合，得到，所以求得，在中利用余弦定理求出的关系，进而求离心率.
10．【答案】D
【解析】【解答】设，则，即，
渐近线方程为，即，
则P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为：，，
因为，则，
可得，即，
又由，可得，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：D．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，求得点P到双曲线C的两条渐近线的距离，根据题意化简得到，结合，求得，即可求解.
11．【答案】A
【解析】【解答】由题意可知P为左顶点，，
因为过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，即∠MPF2=30°，
且，
所以∠F2MP=∠MPF2=30°，∠MF2P=120°，
又因为，所以，
由双曲线的性质可得，结合双曲线的方程可得a=2，
在△MF1F2中，由余弦定理可得，解得或c=-2（舍），
所以双曲线的离心率，
故选：A.
【分析】本题考查双曲线的性质以及求解离心率，由双曲线方程可知P为双曲线的左顶点，a=2，根据双曲线的性质可得、、的表达式，再结合a值以及余弦定理即可求离心率.
12．【答案】B
【解析】【解答】 由题意可得双曲线的一条渐近线是，由双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标F2(c， 0)，F1(-c， 0)，正六边形的一个顶点坐标为，， 由椭圆的定义|AF1|+|AF2|= 2a，得出，即
所以椭圆M的离心率为
故选：B
【分析】 利用已知条件求出椭圆的焦点坐标和正六边形的顶点坐标，再利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解出答案.
13．【答案】D
【解析】【解答】双曲线 中，，则离心率，
即，则b2 =c2-a2=，得，即，
设双曲线的渐近线为即，
由 得，
则渐近线，即渐近线的倾斜角∠MOF2 =30°，∠OF2M =60°，则OF2 = 2MF2，即c=2b
故三角形的面积为
即b2=16，故a2=3b2=48，即 ，故
即双曲线C2的实轴长为 .
故选： D.
【分析】根据条件先求出双曲线的离心率，然后利用a，b，c的关系求出渐近线的方程，结合三角形的面积公式进行求解即可得a的值，进而得出双曲线的实轴长 .
14．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，所以圆的标准方程为化为一般式方程为；
联立消去y整理得解得或（舍）即，把代入抛物线
可得即所以点或所以
故答案为：B
【分析】先根据已知条件求出圆F的方程，再与抛物线联立求出点M的坐标，即可求出的值.
15．【答案】B
【解析】【解答】设双曲线的标准方程为，由e=2，即，解得，由上顶点为（0，1）可得a=1，所以，所以双曲线的方程为.
故答案为：B
【分析】由上顶点坐标可得a值，利用离心率得到b值，从而得到双曲线方程.
16．【答案】A
【解析】【解答】设双曲线 的右焦点为F (c，0)，
由 得OM的方程为：，PC的方程为：
联立可得
由 得
由 得
由kMF=kNF，得即，即
故
故答案为：A.
【分析】 利用已知条件求解出P、M、N的坐标，然后由kMF=kNF列出方程，求解出a，c的关系，即可得双曲线的离心率 .
17．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，所以，即，即，所以.
故答案为：A.
【分析】根据过点作圆的两条切线互相垂直，可，利用双曲线中a，b，c的关系可知，最后根据双曲线的离心率公式即可求解.
18．【答案】D
【解析】【解答】作，垂足为，
因为，，所以，
又，所以点为中点，另外，所以，
所以，
由双曲线的定义有，所以，
所以，在中，，
又，所以，化简得.
故答案为：D
【分析】根据圆的几何性质，勾股定理，双曲线的几何性质，画出图形分析，通过双曲线的定义即可求解出答案.
19．【答案】B
【解析】【解答】设，，根据对称性，知，
所以.
因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，
所以，所以，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】设，，根据对称性，知，由斜率坐标公式求出，再利用点差法，化归转化，即可求解出，进而求出离心率的值.
20．【答案】B
【解析】【解答】如图，
设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，
则．
由双曲线的定义可得，则．
因为，所以，
则周长的最小值为，
整理得，即，
解得．
故答案为：B
【分析】设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，由三角形两边之和大于第三边得，再由双曲线的定义得，从而得到，所以△AMF周长的最小值可表示为，结合条件可求出关于a，c的方程，即可求解出双曲线C的离心率 .
21．【答案】C
【解析】【解答】连接，不妨设点在第三象限，则直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
记线段的中点为，则，且，
又因为为的中点，则为的中点，则，
因为，所以，，
由双曲线的定义可得，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：C.
【分析】 连接PF2 ，不妨设点Q在第三象限，求出|PM|、|F2M|、|PF2|，利用勾股定理可求得的值，再利用双曲线的离心率公式，即可求出双曲线的离心率.
22．【答案】D
【解析】【解答】由双曲线，得，
由，得，又，
设，则，即，
又在双曲线上，所以，
即，即，
整理，得，
令，，则，
因为函数对称轴为，在上单调递增，
所以时，，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】 由题意可得，由，得，设，根据相似可得
，代入双曲线方程，进而得到，再结合二次函数性质求解，即可得 的离心率最大值 .
23．【答案】A
【解析】【解答】设，，由，得点为中点，
有，，两点在双曲线上，，，
两式相减，得，即，
可变形为，即，
，直线与直线的倾斜角互补，则，
所以，得，两边平方，即，
等号两边同时除以，得，解得(负值舍去).
故答案为：A
【分析】 由F1(-c，0) ，虚轴上端点为B(0，b) ，可得， 根据点 满足 ，可得点M是线段PQ的中点，设，，分别代入双曲线方程可得，，相减化简整理即可得出答案.
24．【答案】C
【解析】【解答】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
由，得，
所以，
所以渐近线方程为，
所以两条渐近线的倾斜角分别为和，
因为，
所以，两条渐近线所夹的锐角为；
即双曲线的两条渐近线的夹角为.
故答案为：C.
【分析】利用双曲线的性质，求出，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.
25．【答案】A
【解析】【解答】不妨设，，
因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，
故，
故．
故答案为：A
【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.
26．【答案】C
【解析】【解答】由双曲线可得，
则双曲线的左焦点，渐近线为，
由题意可得：直线与渐近线平行，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
27．【答案】A
【解析】【解答】解：设内切圆与AP切于点N，与切于点M，
由切线的性质可知：，
又因为，则|，
可得，
即，
又因为，则，可得，
所以此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质以及双曲线的半实轴长定义可得，再由，求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
28．【答案】D
【解析】【解答】因为双曲线 的渐近线为，
若双曲线与双曲线有相同的渐近线，
则，可得，
设双曲线右焦点，可得，
则，整理，
由题意可知：直线的斜率，
所以，解得，可得，即，
又因为，则，可得圆心为，半径为2，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得渐近线为，可得，利用点差法可得，结合圆的性质求的最小值.
29．【答案】A
【解析】【解答】如图，
由，得，
设N（0，n），M(0，-2n)，
因为PQF2F1是矩形，所以Q和F2横坐标相等，都是c，
因为Q在双曲线上，
所以当x=c时，，
解得y=±，
所以P（-c，-），Q（c，-）；
因为PNA2三点共线，则斜率相等：kPN=kNA2，
整理得n=-；
因为PMA1三点共线，
所以得2n=，与n=-
联合得：，
整理得：c=3a，所以离心率e=c/a=3，
故答案为：A
【分析】根据OM和ON的方向相反且两倍关系，设M，N坐标，根据矩形图像定P，Q横坐标，由于P，Q在双曲线上，把横坐标带入双曲线方程求出纵坐标；MNPQA1A2各点坐标呈现之后，用两次三点共线斜率相等的关系，把n替换成abc之间的关系，通过整理把b消去，只剩下a和c的关系
30．【答案】D
【解析】【解答】设，，则中点，则，
在双曲线上则，两式相减得，，
.
A：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故A错误；
B：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线没有两个交点.故B错误；
C：，，，直线：，
由双曲线方程可得渐近线为，直线为渐近线
直线与双曲线没有两个交点.故C错误；
D：，，，直线：，
联立，
，直线与双曲线有两个交点.故D正确；
故选：D
【分析】设两点分别为，，由中点公式联想利用点差法得出两根和与差的关系，得出，再利用点斜式计算直线方程联立双曲线判断是否有两个交点。
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