高中数学人教A版（2019）选修1 3.2 双曲线性质与应用2（填空、大题）章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修1 3.2 双曲线性质与应用2（填空、大题）章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 656.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 17:16:56 | ||
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文档简介
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3.2 双曲线性质与应用2（填空、大题）
一、填空题
1．（2023高二下·成都期末）已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为 ．
2．（2023高三上·梅河口开学考）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
3．（2023高三上·深圳月考）已知双曲线C：（a，）的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为 ．
4．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 .
5．（2023高二下·宝山期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
6．（2023高二下·青浦期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ．
7．（2023高二下·静安期末） 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 .
8．（2023·上海市模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 的渐近线与圆 在第一象限的交点为 ， 线段 与 交于点 为坐标原点. 若 ， 则 的离心率为 .
9．双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
10．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
二、解答题
11．（2022高二上·广东月考）已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设与直线平行的直线与双曲线交于，两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程．
12．（2022高二上·章丘期中）已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
13．（2022高二上·高邮期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3.
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求抛物线D的方程.
14．（2022高三上·江宁期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
15．（2022高二上·如东期中）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
16．（2022高二上·南县期中）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，且，离心率.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若，求的面积.
17．（2022高三上·南京月考）已知双曲线：的焦距为4，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
18．（2022高三上·浙江月考）已知点在双曲线上.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值.
19．（2022高三上·浙江月考）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
（1）证明为定值，并求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022高三上·河南月考）设为双曲线的左 右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21．（2022高三上·安徽月考）已知双曲线过点，且离心率为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
22．（2022高三上·湖北开学考）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
23．（2022高三上·湖北开学考）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
24．（2022高三上·湖南开学考）设是双曲线的左 右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
25．（2022高三上·邢台开学考）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
26．（2022高二下·汕尾期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
27．（2023高三上·广东月考）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
28．（2023高二上·北海期末）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；
（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
29．（2022高三上·浙江开学考）已知双曲线的离心率为，且点在上.
（1）求双曲线的方程：
（2）试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
30．（2022高三上·浙江开学考）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
（1）若点是的中点，求的值；
（2）求面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】0
【解析】【解答】由题意可知，双曲线的离心率，且，
，
，
，
渐近线为，
，
，
，
，
故m所有可能取的值之和为0.
【分析】首先根据双曲线中离心率得到a、c关系，再根据，得到a、b、c的值，求出渐近线方程，再将直线方程化简为一般式，由平行可知斜率相等，求出m所有值.
2．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：，可得，
所以 双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合通径和实轴长可得，进而结合离心率运算求解.
3．【答案】
【解析】【解答】解： 设|AB|=m， 则有|AF2|= 2|AB|=2m，根据双曲线的定义可得|AF1|=2m+2a，
由 得
又由，解得
把代入解得
故
故答案为： .
【分析】根据双曲线的定义，结合已知条件即可求出 C的离心率.
4．【答案】
5．【答案】①②④
【解析】【解答】对于 ① 如图，连接AF1，AF2，BF1，BF2，易得，AO=BO，所以四边形是平行四边形，故①正确；
对于②，设，有对称性有，因为轴，所以，，故②正确；
对于③，若，则，所以是直角三角形，，
又，所以，，所以四边形的面积为，③错误；
对于④，若为正三角形，则，，由得，所以，故④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用对称性结合平行四边形性质可判断 ①；设，则有，，利用斜率公式计算可判断②；由已知得到是直角三角形，结合椭圆定义可得到的面积，进一步的判断③；由已知得到，，结合椭圆定义可得到关于的方程，进一步得到离心率可判断 .
6．【答案】2
【解析】【解答】 双曲线 的渐近线为，其中一条与直线平行，.
故答案为：2
【分析】先求出双曲线渐近线，结合直线平行性质求解.
7．【答案】关于轴对称，，
【解析】【解答】 ，
得，
∵，
∴，
，
在曲线方程中，以代x，得
，与方程相同，所以曲线关于y轴对称，
在曲线方程中，以代y，得
，与方程不相同，所以曲线不关于x轴对称，
故答案为：关于y轴对称，，.
【分析】根据曲线方程求出，再求出，以代x，以代y，求出关于x轴对称.
8．【答案】
【解析】【解答】 解：双曲线 的渐近线为： ，焦点F2（c，0） ，
∵渐近线与圆在第一象限的交点为M，
∴联立 可得 ，
∵ ，
∴N是MF2的中点，
∴，
∵N在双曲线上，
∴，
故答案为： .
【分析】由可知 N是MF2的中点，求出N的坐标，代入双曲线的方程化简即可.
9．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，设，则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，
所以，所以，
又，，
所以，化简得，即，故
综上，双曲线的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先利用双曲线的定义以及余弦定理得到，再结合建立起的不等关系即可得到答案.
10．【答案】
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
11．【答案】（1）解：联立方程组，消去，得，
由题意，，即，
即双曲线，即，，
，，
即双曲线的离心率.
（2）解：由直线与直线平行，设直线的方程为：，，，
设直线与轴交点为，
联立方程组，消去，得，
，
，，
，
，解得，
直线的方程为或.
【解析】【分析】（1） 联立方程组，消去，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理即可求出b，进而求出a、c，即可求出双曲线C的离心率；
（2）由直线与直线平行，设直线的方程为：，，，设直线与轴交点为，联立方程组， 消去 ，得到关于y的一元二次方程，结合韦达定理即可表示出 的面积建立方程，即可求出n，进而求得直线m的方程.
12．【答案】（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，从而求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率不存在时，直线的方程以及渐近线方程得，从而求得的面积；
当直线的斜率存在时， 设直线方程，将直线方程代入双曲线方程， 联立方程组 ，求得，再根据点到直线的距离求，代入面积即可判断的面积为定值.
13．【答案】（1）解：设半焦距为，
由题意，双曲线C：的离心率为，
可得，解得，
所以双曲线C的渐近线方程为.
（2）解：不妨设M在x轴下方，N在x轴上方，
由抛物线D：，可得其准线方程为，
代入渐近线方程得，所以，
则，解得，
所以抛物线D的方程为.
【解析】【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程；
（2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程.
14．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，
因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，
双曲线的一条渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
所以，
②代入①得：，所以求双曲线的方程为.
（2）解：设，，，
联立方程，得：，
，
，
因为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以，
即，
当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；
当时，，所以不满足题意；
当时，，
所以，
综上所述：的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用点到直线的距离公式，即可求得，，可得双曲线的方程为；
（2）联立直线代入双曲线的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示出点坐标 ，代入双曲线的方程即可求得，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
15．【答案】（1）证明：由题意得 ，所以 ，
即 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
又 ， ，所以 ，
所以 的方程为 ；
（2）证明：由已知得 ： ， ： ，
联立直线方程与双曲线方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
联立直线方程与圆方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
若直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，
由三点共线得 ，
即 ，
所以直线 过定点 ．
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，所以 ，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；
（2）直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，三点共线得，从而可得直线 过定点 ．
16．【答案】（1）解：由题意 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）解：令 ， ，
则由双曲线定义可得 ①，
由三角形余弦定理得 ②，
有 ，
∴ 的面积 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的定义得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2）利用已知条件结合双曲线的定义和余弦定理得出mn的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
17．【答案】（1）解：由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2）解：，设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
【解析】【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出 ， 从而可求出双曲线方程；
（2） 设直线方程为，， 将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点，再利用表示出点，再表示出直线的方程，可求得直线也过定点， 从而可求得答案.
18．【答案】（1）解：将点代入方程，解得，
所以双曲线C的方程为，渐近线方程为
（2）解：联立，整理得，由题意，
得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得，
直线的方程为，令，得，即，同理可得，
，
，
所以的面积，即，
解得或，又且，所以k的值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的性质求解；
（2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由 的面积为列方程求解即可.
19．【答案】（1）证明：，得，
当时，如图1所示，
因为D，C都在圆A上
所以，即
又因为，所以，
所以，∴，
所以
当时，如图2所示，
同理可得，
因此，所以点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，
故，，即，，所以，
∴为定值2，且点E的轨迹方程为.
（2）解：由题知，直线l的斜率不为0，设l：，
联立消去x得，，
于是，
设，，则有，，
故，
所以线段的中点为，
从而线段的中垂线的方程为
令得，，∴
又
故，于是
即存在使得.
【解析】【分析】（1） ，得，分和进行讨论，即得 为定值2出， 判断点E的轨迹是双曲线，利用双曲线的定义求出轨迹方程；
（2）根据题意设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|MN|，以及MN的中点Q，写出直线PQ的方程，求出|BP|、|MN|，从而求出λ的值．
20．【答案】（1）解：由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）解：因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
【解析】【分析】(1)由已知可得 得到 ，结合隐含条件可得关于e的方程，求解出双曲线的离心率；
(2)由已知得双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立直线方程与双曲线方程化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系可得M与N的横纵坐标的和与积，求出P，Q的坐标，得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 可得以为直径的圆过定点，.
21．【答案】（1）解：由题意得：，故，故.
又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为
（2）证明：解法1：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，
化简得．
则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，
变形为，
整理得等号两边同除以，
得到．
设，则，
故，即以为直径的圆过坐标原点．
解法2：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，化简得
由及得，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
则，
，即以为直径的圆过坐标原点．
【解析】【分析】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可；
（2）解法1：先求得圆在点处的切线方程为，再代入双曲线方程化简可得，再设，根据韦达定理代入求得，证明即可；
解法2：同解法1，联立直线与双曲线的方程得，再结合韦达定理计算可得证明即可.
22．【答案】（1）解：由轴时，为等腰直角三角形，可得，
所以，即，故，结合，解得．
故双曲线C的离心率为2
（2）解：因为，所以双曲线C：，
由题知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立直线与双曲线的方程得，
化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线：，直线：，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，
即，
将①②③代入，可得，
即，解得或，
故以为直径的圆过定点，．
【解析】【分析】（1）根据题意得，即，化简即可；
（2）双曲线C：，设直线 ：，，，联立得，结合韦达定理， 设直线：，直线：，，设是以为直径的圆上的任意一点，则，再代入韦达定理化简求值即可.
23．【答案】（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）证明：（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
【解析】【分析】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线的标准方程为 ，代入点求解；
（2）（i）当直线斜率存在时，设， 与双曲线联立，根据，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.
24．【答案】（1）解：由得，且
所以
即解得
又，
故双曲线的渐近线方程为
（2）解：由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
【解析】【分析】(1)由 ，得P在以F1F2为直径的圆上，则 ，由△PF1F2的面积，勾股定理及双曲线的定义列式求得a，再由隐含条件求解b，则求出双曲线的渐近线方程；
(2) （i）当直线的斜率不存在时，，求出直线与直线的方程，联立直线与直线的方程求出点Q的坐标，（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为 由(1)求得双曲线方程为 ， 联立直线方程与双曲线方程，联立两直线方程，利用根与系数的关系求得Q点的横坐标为定值，即可得到直线与直线的交点在定直线上 .
25．【答案】（1）解：由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
（2）解：∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
【解析】【分析】（1）设，由题可得 ，， 根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线 方程为，则方程为，与联立可得 ，进而可得，然后根据斜率关系即得.
26．【答案】（1）解：由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得
所以
（2）证明：设，将代入
整理得：
则
由得
因为
所以，得，即
所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.
【解析】【分析】(1)由已知条件结合双曲线里a、b、c的关系，即可得出关于a、b、c的方程组，由此计算出a、b、c的取值，从而得出双曲线的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与双曲线的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理即可得出两根之积与两根之和的关于m的代数式，结合方程根的情况由斜率公式代入整理化简由此得出n与m的关系，结合题意由直线方程的性质即可得出结论。
27．【答案】（1）解：由题意得，，故，
又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点到渐近线的距离为，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）解：假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，
故存在．
【解析】【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程 ，利用点到直线的距离公式列出方程求得 ， 集合，求得的值，即可求解.
（2） 假设存在，设，，设直线，联立方程组，求得，，结合，列出方程化简得到，得到，即可求解.
28．【答案】（1）解：当 时 ，双曲线C：，
过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，
则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得， ，
则，则 ，
由
，
可得 ，所以 ，
所以．
（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，
则，
由 ， 得 ，
所以 ， ，
由点M在双曲线C上，可得 ，
化简得 ，
同理 ，
故是方程的两根，则为定值.
【解析】【分析】（1） 当 时得出双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线C联立，再利用判别式法和韦达定理得出 且，则 ，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，进而得出的值，从而得出的值。
（2） 由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，再利用赋值法得出点E的坐标，由 ， 结合向量共线定理得出 ， ， 由点M在双曲线C上结合代入法得出是方程的两根，再结合韦达定理证出为定值。
29．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，
又点 在双曲线的 图像上，
所以 ，即 ，解得 ，
所以双曲线 ；
（2）解：设 ，
由已知点 在以 为直径的圆 上，
又点 在 上，则有方程组
解得直线 的方程为 ，
设直线 与渐近线 的交点分别为 ，
由 解得 ，
由 解得 ，
所以 ，
又点 到直线 的距离为 ，
则三角形 的面积 ，
又因为 ，所以 ，
由已知 ，解得 ，即 ，
因为点 在双曲线右支上，解得 ，
即点 或 .
【解析】【分析】（1）根据题意即可列出关于方程组，即可解出答案；
（2）根据题意设，即可求出直线 的方程，则可求出点的坐标，即可表示出， 又点 到直线的距离为 ，则可表示出，即可求出点的坐标.
30．【答案】（1）解：设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）解：与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
【解析】【分析】(1) 设直线方程与双曲线方程联立 得到 ， 再联立渐近线方程，求得M，N两点坐标，即可求解；
（2） 与联立 得到 ，从而得到，，再由到直线的距离，得到 ， ，再令 得到 ，即可求解.
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3.2 双曲线性质与应用2（填空、大题）
一、填空题
1．（2023高二下·成都期末）已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为 ．
2．（2023高三上·梅河口开学考）设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
3．（2023高三上·深圳月考）已知双曲线C：（a，）的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为 ．
4．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 .
5．（2023高二下·宝山期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
6．（2023高二下·青浦期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ．
7．（2023高二下·静安期末） 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 .
8．（2023·上海市模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 的渐近线与圆 在第一象限的交点为 ， 线段 与 交于点 为坐标原点. 若 ， 则 的离心率为 .
9．双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
10．（2023高二下·揭阳期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
二、解答题
11．（2022高二上·广东月考）已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设与直线平行的直线与双曲线交于，两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程．
12．（2022高二上·章丘期中）已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
13．（2022高二上·高邮期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3.
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求抛物线D的方程.
14．（2022高三上·江宁期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．
15．（2022高二上·如东期中）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
16．（2022高二上·南县期中）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，且，离心率.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若，求的面积.
17．（2022高三上·南京月考）已知双曲线：的焦距为4，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.
18．（2022高三上·浙江月考）已知点在双曲线上.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值.
19．（2022高三上·浙江月考）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
（1）证明为定值，并求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022高三上·河南月考）设为双曲线的左 右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21．（2022高三上·安徽月考）已知双曲线过点，且离心率为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
22．（2022高三上·湖北开学考）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
23．（2022高三上·湖北开学考）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
24．（2022高三上·湖南开学考）设是双曲线的左 右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
25．（2022高三上·邢台开学考）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
26．（2022高二下·汕尾期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
27．（2023高三上·广东月考）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
28．（2023高二上·北海期末）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；
（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
29．（2022高三上·浙江开学考）已知双曲线的离心率为，且点在上.
（1）求双曲线的方程：
（2）试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
30．（2022高三上·浙江开学考）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
（1）若点是的中点，求的值；
（2）求面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】0
【解析】【解答】由题意可知，双曲线的离心率，且，
，
，
，
渐近线为，
，
，
，
，
故m所有可能取的值之和为0.
【分析】首先根据双曲线中离心率得到a、c关系，再根据，得到a、b、c的值，求出渐近线方程，再将直线方程化简为一般式，由平行可知斜率相等，求出m所有值.
2．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：，可得，
所以 双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合通径和实轴长可得，进而结合离心率运算求解.
3．【答案】
【解析】【解答】解： 设|AB|=m， 则有|AF2|= 2|AB|=2m，根据双曲线的定义可得|AF1|=2m+2a，
由 得
又由，解得
把代入解得
故
故答案为： .
【分析】根据双曲线的定义，结合已知条件即可求出 C的离心率.
4．【答案】
5．【答案】①②④
【解析】【解答】对于 ① 如图，连接AF1，AF2，BF1，BF2，易得，AO=BO，所以四边形是平行四边形，故①正确；
对于②，设，有对称性有，因为轴，所以，，故②正确；
对于③，若，则，所以是直角三角形，，
又，所以，，所以四边形的面积为，③错误；
对于④，若为正三角形，则，，由得，所以，故④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用对称性结合平行四边形性质可判断 ①；设，则有，，利用斜率公式计算可判断②；由已知得到是直角三角形，结合椭圆定义可得到的面积，进一步的判断③；由已知得到，，结合椭圆定义可得到关于的方程，进一步得到离心率可判断 .
6．【答案】2
【解析】【解答】 双曲线 的渐近线为，其中一条与直线平行，.
故答案为：2
【分析】先求出双曲线渐近线，结合直线平行性质求解.
7．【答案】关于轴对称，，
【解析】【解答】 ，
得，
∵，
∴，
，
在曲线方程中，以代x，得
，与方程相同，所以曲线关于y轴对称，
在曲线方程中，以代y，得
，与方程不相同，所以曲线不关于x轴对称，
故答案为：关于y轴对称，，.
【分析】根据曲线方程求出，再求出，以代x，以代y，求出关于x轴对称.
8．【答案】
【解析】【解答】 解：双曲线 的渐近线为： ，焦点F2（c，0） ，
∵渐近线与圆在第一象限的交点为M，
∴联立 可得 ，
∵ ，
∴N是MF2的中点，
∴，
∵N在双曲线上，
∴，
故答案为： .
【分析】由可知 N是MF2的中点，求出N的坐标，代入双曲线的方程化简即可.
9．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，设，则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，
所以，所以，
又，，
所以，化简得，即，故
综上，双曲线的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先利用双曲线的定义以及余弦定理得到，再结合建立起的不等关系即可得到答案.
10．【答案】
【解析】【解答】由双曲线的定义可得：，可得，
因为，可得，
又因为，由余弦定理可得，
即，整理得，
则，即，所以的离心率为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的定义可得，由向量运算可得，解析余弦定理可得，即可得结果.
11．【答案】（1）解：联立方程组，消去，得，
由题意，，即，
即双曲线，即，，
，，
即双曲线的离心率.
（2）解：由直线与直线平行，设直线的方程为：，，，
设直线与轴交点为，
联立方程组，消去，得，
，
，，
，
，解得，
直线的方程为或.
【解析】【分析】（1） 联立方程组，消去，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理即可求出b，进而求出a、c，即可求出双曲线C的离心率；
（2）由直线与直线平行，设直线的方程为：，，，设直线与轴交点为，联立方程组， 消去 ，得到关于y的一元二次方程，结合韦达定理即可表示出 的面积建立方程，即可求出n，进而求得直线m的方程.
12．【答案】（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式，双曲线的渐近线方程，及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，从而求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率不存在时，直线的方程以及渐近线方程得，从而求得的面积；
当直线的斜率存在时， 设直线方程，将直线方程代入双曲线方程， 联立方程组 ，求得，再根据点到直线的距离求，代入面积即可判断的面积为定值.
13．【答案】（1）解：设半焦距为，
由题意，双曲线C：的离心率为，
可得，解得，
所以双曲线C的渐近线方程为.
（2）解：不妨设M在x轴下方，N在x轴上方，
由抛物线D：，可得其准线方程为，
代入渐近线方程得，所以，
则，解得，
所以抛物线D的方程为.
【解析】【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程；
（2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程.
14．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，
因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，
双曲线的一条渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
所以，
②代入①得：，所以求双曲线的方程为.
（2）解：设，，，
联立方程，得：，
，
，
因为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以，
即，
当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；
当时，，所以不满足题意；
当时，，
所以，
综上所述：的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用点到直线的距离公式，即可求得，，可得双曲线的方程为；
（2）联立直线代入双曲线的方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示出点坐标 ，代入双曲线的方程即可求得，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
15．【答案】（1）证明：由题意得 ，所以 ，
即 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
又 ， ，所以 ，
所以 的方程为 ；
（2）证明：由已知得 ： ， ： ，
联立直线方程与双曲线方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
联立直线方程与圆方程 ，消去 整理得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
若直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，
由三点共线得 ，
即 ，
所以直线 过定点 ．
【解析】【分析】（1） 由题意得 ，所以 ，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；
（2）直线 所过定点，则由对称性得定点在 轴上，设定点 ，三点共线得，从而可得直线 过定点 ．
16．【答案】（1）解：由题意 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）解：令 ， ，
则由双曲线定义可得 ①，
由三角形余弦定理得 ②，
有 ，
∴ 的面积 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的定义得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2）利用已知条件结合双曲线的定义和余弦定理得出mn的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
17．【答案】（1）解：由题意得，得，
所以，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为，
（2）解：，设直线方程为，，
由，得
则，
所以，
所以的中点，
因为，
所以用代换，得，
当，即时，直线的方程为，过点，
当时，，
直线的方程为，
令，得，
所以直线也过定点，
所以
【解析】【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出 ， 从而可求出双曲线方程；
（2） 设直线方程为，， 将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点，再利用表示出点，再表示出直线的方程，可求得直线也过定点， 从而可求得答案.
18．【答案】（1）解：将点代入方程，解得，
所以双曲线C的方程为，渐近线方程为
（2）解：联立，整理得，由题意，
得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得，
直线的方程为，令，得，即，同理可得，
，
，
所以的面积，即，
解得或，又且，所以k的值为.
【解析】【分析】（1）由双曲线的性质求解；
（2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由 的面积为列方程求解即可.
19．【答案】（1）证明：，得，
当时，如图1所示，
因为D，C都在圆A上
所以，即
又因为，所以，
所以，∴，
所以
当时，如图2所示，
同理可得，
因此，所以点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，
故，，即，，所以，
∴为定值2，且点E的轨迹方程为.
（2）解：由题知，直线l的斜率不为0，设l：，
联立消去x得，，
于是，
设，，则有，，
故，
所以线段的中点为，
从而线段的中垂线的方程为
令得，，∴
又
故，于是
即存在使得.
【解析】【分析】（1） ，得，分和进行讨论，即得 为定值2出， 判断点E的轨迹是双曲线，利用双曲线的定义求出轨迹方程；
（2）根据题意设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|MN|，以及MN的中点Q，写出直线PQ的方程，求出|BP|、|MN|，从而求出λ的值．
20．【答案】（1）解：由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）解：因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
【解析】【分析】(1)由已知可得 得到 ，结合隐含条件可得关于e的方程，求解出双曲线的离心率；
(2)由已知得双曲线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立直线方程与双曲线方程化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系可得M与N的横纵坐标的和与积，求出P，Q的坐标，得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 可得以为直径的圆过定点，.
21．【答案】（1）解：由题意得：，故，故.
又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为
（2）证明：解法1：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，
化简得．
则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，
变形为，
整理得等号两边同除以，
得到．
设，则，
故，即以为直径的圆过坐标原点．
解法2：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，化简得
由及得，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
则，
，即以为直径的圆过坐标原点．
【解析】【分析】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可；
（2）解法1：先求得圆在点处的切线方程为，再代入双曲线方程化简可得，再设，根据韦达定理代入求得，证明即可；
解法2：同解法1，联立直线与双曲线的方程得，再结合韦达定理计算可得证明即可.
22．【答案】（1）解：由轴时，为等腰直角三角形，可得，
所以，即，故，结合，解得．
故双曲线C的离心率为2
（2）解：因为，所以双曲线C：，
由题知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立直线与双曲线的方程得，
化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线：，直线：，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，
即，
将①②③代入，可得，
即，解得或，
故以为直径的圆过定点，．
【解析】【分析】（1）根据题意得，即，化简即可；
（2）双曲线C：，设直线 ：，，，联立得，结合韦达定理， 设直线：，直线：，，设是以为直径的圆上的任意一点，则，再代入韦达定理化简求值即可.
23．【答案】（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）证明：（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
【解析】【分析】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线的标准方程为 ，代入点求解；
（2）（i）当直线斜率存在时，设， 与双曲线联立，根据，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.
24．【答案】（1）解：由得，且
所以
即解得
又，
故双曲线的渐近线方程为
（2）解：由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
【解析】【分析】(1)由 ，得P在以F1F2为直径的圆上，则 ，由△PF1F2的面积，勾股定理及双曲线的定义列式求得a，再由隐含条件求解b，则求出双曲线的渐近线方程；
(2) （i）当直线的斜率不存在时，，求出直线与直线的方程，联立直线与直线的方程求出点Q的坐标，（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为 由(1)求得双曲线方程为 ， 联立直线方程与双曲线方程，联立两直线方程，利用根与系数的关系求得Q点的横坐标为定值，即可得到直线与直线的交点在定直线上 .
25．【答案】（1）解：由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
（2）解：∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
【解析】【分析】（1）设，由题可得 ，， 根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线 方程为，则方程为，与联立可得 ，进而可得，然后根据斜率关系即得.
26．【答案】（1）解：由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得
所以
（2）证明：设，将代入
整理得：
则
由得
因为
所以，得，即
所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.
【解析】【分析】(1)由已知条件结合双曲线里a、b、c的关系，即可得出关于a、b、c的方程组，由此计算出a、b、c的取值，从而得出双曲线的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与双曲线的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理即可得出两根之积与两根之和的关于m的代数式，结合方程根的情况由斜率公式代入整理化简由此得出n与m的关系，结合题意由直线方程的性质即可得出结论。
27．【答案】（1）解：由题意得，，故，
又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点到渐近线的距离为，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）解：假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，
故存在．
【解析】【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程 ，利用点到直线的距离公式列出方程求得 ， 集合，求得的值，即可求解.
（2） 假设存在，设，，设直线，联立方程组，求得，，结合，列出方程化简得到，得到，即可求解.
28．【答案】（1）解：当 时 ，双曲线C：，
过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，
则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得， ，
则，则 ，
由
，
可得 ，所以 ，
所以．
（2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，
则，
由 ， 得 ，
所以 ， ，
由点M在双曲线C上，可得 ，
化简得 ，
同理 ，
故是方程的两根，则为定值.
【解析】【分析】（1） 当 时得出双曲线C：，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线C联立，再利用判别式法和韦达定理得出 且，则 ，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，进而得出的值，从而得出的值。
（2） 由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，再利用赋值法得出点E的坐标，由 ， 结合向量共线定理得出 ， ， 由点M在双曲线C上结合代入法得出是方程的两根，再结合韦达定理证出为定值。
29．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，
又点 在双曲线的 图像上，
所以 ，即 ，解得 ，
所以双曲线 ；
（2）解：设 ，
由已知点 在以 为直径的圆 上，
又点 在 上，则有方程组
解得直线 的方程为 ，
设直线 与渐近线 的交点分别为 ，
由 解得 ，
由 解得 ，
所以 ，
又点 到直线 的距离为 ，
则三角形 的面积 ，
又因为 ，所以 ，
由已知 ，解得 ，即 ，
因为点 在双曲线右支上，解得 ，
即点 或 .
【解析】【分析】（1）根据题意即可列出关于方程组，即可解出答案；
（2）根据题意设，即可求出直线 的方程，则可求出点的坐标，即可表示出， 又点 到直线的距离为 ，则可表示出，即可求出点的坐标.
30．【答案】（1）解：设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）解：与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
【解析】【分析】(1) 设直线方程与双曲线方程联立 得到 ， 再联立渐近线方程，求得M，N两点坐标，即可求解；
（2） 与联立 得到 ，从而得到，，再由到直线的距离，得到 ， ，再令 得到 ，即可求解.
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