高中数学人教A版（2019）选修1 3.3 抛物线定义与方程2（填空、大题）章节综合练习题（答案+解析）

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3.3 抛物线定义与方程2（填空、大题）
一、填空题
1．（2023高二下·保山期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是　 　.
2．抛物线上的点到焦点的距离为　 　.
3．（2023·全国乙卷）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为　 　.
4．（2023·湛江模拟）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为　 　．
5．（2023·白山模拟）已知抛物线的焦点为F，过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线C的方程：　 　，此时该弦的中点到x轴的距离为　 　.
6．（2023·虹口模拟）抛物线上的点到其焦点的距离为　 　.
7．（2023·石景山模拟）抛物线：的焦点坐标为　 　，若抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为　 　.
8．（2023高二下·联合期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则　 　．
9．（2023高二下·广西壮族自治区月考）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则　 　．
10．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：x＝5，点A、B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|＝|AB|，则满足条件的所有|AB|的值为　 　．
二、解答题
11．（2023高三上·萨尔图模拟）已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
（1）求抛物线的方程和点的坐标；
（2）若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
12．（2023高二下·安康月考）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.
（1）求p和m；
（2）若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
13．分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
14．已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
（1）求E的标准方程；
（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
15．（2023高二下·宝山期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
（1）过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
（2）求曲线上的点到直线的最短距离.
16．（2023·绵阳模拟）过点的直线与抛物线交于点(在第一象限)，当直线的倾斜角为时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知，延长交抛物线于点，当面积最小时，求点的横坐标.
17．（2023·安康模拟）已知抛物线的焦点为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.
18．（2022高三上·武功）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上一点A到的距离是4，求A的坐标.
19．（2023高二下·达州期末）已知是抛物线上的点．当时，．
（1）求E的标准方程；
（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
20．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
21．已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点、与、不重合，求证：直线过定点．
22．（2023高二下·揭阳期末）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
（1）求的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
23．（2023高二下·定远期末）已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的标准方程
（2）求证：直线过定点
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为，设的面积为，且满足，求直线的斜率的取值范围．
24．（2023高二下·汕头期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为曲线上一点且.
（1）求曲线和曲线的标准方程；
（2）过的直线交曲线于H、G两点，若线段的中点为，且，求四边形OHNG面积的最大值
25．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.
26．（2023高三上·上海市开学考）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆C1与抛物线C2的一个交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M（B、M不同于A）．
（1）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
（2）若直线l过椭圆的右焦点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
27．已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点.
（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；
（2）求的值，使得抛物线的焦点在直线上.
28．（2022高三上·南通期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.
（1）若点，求的长；
（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.
①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.
29．已知抛物线，过且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点
（1）求的取值范围；
（2）若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．
30．（2023·上海市模拟）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．
如图所示，抛物线 ，其中 为一给定的实数.．
（1）写出抛物线 的焦点坐标及准线方程；
（2）若直线 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
（3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，
证明： ．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：根据已知条件可设方程为x2=-2py(p>0)，
将点（1，-4）代入方程得：1=8p，解得：p=，
所以抛物线的标准方程为：，
故答案为：
【分析】根据已知条件设出标准方程，代入点坐标求得参数p即可。
2．【答案】3
【解析】【解答】点代入抛物线求得，由抛物线定义知点到焦点的距离为.
故答案为：3
【分析】点代入抛物线求出，再抛物线定义知点到焦点的距离为.
3．【答案】
【解析】【解答】由题意得，求得，抛物线上点到准线距离.
故答案为：
【分析】直接代入点坐标求抛物线方程，利用，求抛物线上点到准线距离。
4．【答案】
【解析】【解答】依题意的开口朝上，可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为，所以，
所以的标准方程为．
故答案为： .
【分析】根据焦点到准线的距离为，求得，进而结合已知条件可求的标准方程为．
5．【答案】；（答案不唯一，只要，且所求距离为即可）
【解析】【解答】易知过焦点的弦中，通径最短，所以，解得.
设该弦所在的直线与C的交点分别为A，B，弦的中点为D，
则A，B，D到准线的距离分别为：，
则由梯形的中位线性质可知D到x轴的距离为.
不妨取，则抛物线C的方程为，
此时弦的中点到x轴的距离为.
故答案为：；（答案不唯一，只要，且所求距离为即可）
【分析】利用抛物线定义及焦点弦的性质写出一个结果即可.
6．【答案】5
【解析】【解答】抛物线的准线为，则，故，
到焦点的距离等于到准线的距离，为.
故答案为：5
【分析】确定抛物线的准线方程为，到焦点的距离等于到准线的距离，可得答案.
7．【答案】；3
【解析】【解答】抛物线：中，所以的焦点坐标为；
由抛物线的定义可得.
故答案为：；.
【分析】 根据抛物线标准方程可得焦点坐标；利用抛物线定义可得点M到抛物线焦点的距离.
8．【答案】2
【解析】【解答】设交点坐标为，过的直线为，
与抛物线联立可得，，故．
则，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．
故答案为：2.
【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.
9．【答案】9
【解析】【解答】解： 抛物线的焦点为F(3，0)，准线方程为：x=-3，
由 ，可得，即
故答案为：9.
【分析】 由抛物线的焦半径公式列式求解，可得答案.
10．【答案】或
【解析】【解答】解：设，，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义知，又
， ，代入，化简得， 仅存在唯一的点使得， 则关于的方程只有一解，
当时，代入方程解得，，，
当时，，求得，代入方程解得，，，
综上或.
故答案为：或.
【分析】设，，由 ，结合抛物线定义和两点间距离公式得，关于的方程只有一解，进而分析求解.
11．【答案】（1）解：设，则，解得：，
抛物线；.
（2）解：由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.
【解析】【分析】 (1)由点M的纵坐标求出横坐标，结合抛物线的定义可求出p的值，从而得到抛物线C的方程和点M的坐标；
(2)由题意可知，直线 的斜率不为0，设其方程为x=ty+ m，设 ，， 联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得 ，又MA⊥MB，得 即 ，再代入直线的方程，即可得到直线过定点坐标.
12．【答案】（1）解：设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得.
故抛物线C：.
因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以
（2）解：设，，，直线的斜率为，直线的斜率为.
易知，一定存在，则，.
由，得，即，化简得，即
因为D到抛物线C的准线的距离，所以，
则，即，.
，即，
解得或，则或.
故点D的坐标为或.
【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义可得，把点M的坐标带入抛物线方程即可求出m.
（2）由，得可得， D到抛物线C的准线的距离为可求出，进而求得，两个关系式联立可解得或，即可求出D点坐标.
13．【答案】（1）解：设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为
（2）解：当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或
【解析】【分析】（1）由已知条件确定a，c，再根据 求出b，再分焦点在x轴、焦点在y轴时两种情况求出椭圆标准方程；
（2）分焦点在x轴的负半轴时、焦点在y轴的负半轴时两种情况设出抛物线的标准方程，把点 代入进行求解，可得抛物线的标准方程.
14．【答案】（1）解：抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）解：由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，
设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
【解析】【分析】(1)由抛物线的性质及题意可得的值，进而可得p的值，得出抛物线的方程；
(2)设直线l1的方程，与抛物线的方程联立，由韦达定理可得两根之和，再弦长公式得|AC|的表达式，同理可得弦长|BD|的表达式，代入四边形的面积公式，再由均值不等式，可得面积的最小值.
15．【答案】（1）解：已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）解：不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
【解析】【分析】（1）先利用抛物线的定义得到曲线C的方程，再由直线方程和曲线方程联立，结合过焦点的弦长公式即可得到结果；
（2） 设抛物线上任意点，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，再利用二次函数的性质得到其最值.
16．【答案】（1）解：由题意直线l的斜率，所以l得方程为，
联立方程，解得，
所以，
由弦长公式得：，
，解得(负值舍去)，
抛物线方程为.
（2）解：
设，则，
联立直线与抛物线方程可得：，整理得：
由韦达定理：，则；
联立直线与抛物线方程可得：，整理得：，
由韦达定理：，则.
因为，
∴，
令，则
，
由得：，由得：，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，取得最小值，故点的横坐标为.
【解析】【分析】（1）根据条件设直线l得方程，与抛物线方程联立，运用弦长公式求解；
（2）设，分别联立直线与抛物线， 直线与抛物线方程 ，求出，，根据得到， 令 ，求导，利用导数确定函数的极值，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：由已知可得，解得，
∴拋物线的方程为；
（2）解：如图所示：
设，，，
若轴，由得，，或，，
此时不满足，∴不满足题意；
设直线的方程为，直线的方程为，
将代入抛物线方程得，，
∴， .
将代入抛物线方程得，∴①.
直线的斜率为，同理直线的斜率为.
∵，∴，
∴，即②.
由①②解得，将其代入①可得，
解得或，
当时，直线的方程为，，.
∵，满足，∴， .
∴，
∴.
同理可得，当时，直线的方程为，，，
∵，满足，∴， .
∴，
∴，
∴的面积为32.
【解析】【分析】(1)由题意可知p=2，从而即可得抛物线的方程；
(2)先分析AB⊥x轴时，不满足题意；再设直线的方程为，直线的方程为，分别代入抛物线方程，结合韦达定理可得直线AM的斜率、线BM的斜率，再由
AM⊥BM，可求得m的值及M点的纵坐标，再根据弦长公式及三角形的面积公式求解，即可得 的面积.
18．【答案】（1）解：根据题意，抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为，即，
则焦点到双曲线的渐近线的距离为，解得（负值舍去），
故抛物线的方程为.
（2）解：设，由抛物线的定义可知，即，解得，
将代入抛物线方程，得，
所以A的坐标为或．
【解析】【分析】（1）由题意求得抛物线焦点与双曲线的渐近线，再由点线距离公式求得p值，从而得到抛物线方程；
（2）由抛物线的定义可求得A点横坐标，再代入抛物线方程即可得解.
19．【答案】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，代入求p即可求解；
（2）恒过定点F(1，0)设立直线方程，联立方程组，结合韦达定理得到A、B横坐标的关系，再利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离求出BF.
20．【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
【解析】【分析】 (1)、 设直线的方程为，代入抛物线，设，，则，求出抛物线方程.
(2)、①设，，由，可得，则，求出斜率，解得，即可证明垂直.
②由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，求出，把面积表示出来，求出最小值.
21．【答案】（1）解：由题设，则，，
又，
故，整理得，
解得．
所以抛物线的标准方程为；
（2）证明：若直线不过点，如图，
设，，
由题意可知直线的斜率存在且不为，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
由直线过定点，可得，
同理直线的方程为，
过焦点，可得，
的方程，过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，即，
又因为，
所以，
令，解得，
故直线恒过定点，
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，
显然直线过点；
综上，直线过定点．
22．【答案】（1）解：由题意得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）解：直线恒过定点，定点坐标为，
由题意可知直线斜率不为0，设直线，
联立，得，
则，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线，与联立得，
则，又，则，解得，
所以直线，即，
同理直线，
又点在上，所以，
消去得，即，
所以，
又，所以，所以，解得，
所以直线，故直线恒过定点.
【解析】【分析】 (1) 根据抛物线的方程直接运算求解；
(2) 联立直线可得，结合相切关系可得，化简整理即可.
23．【答案】（1）由题意可知的准线方程为：，
即，所以．
抛物线的标准方程为．
（2）设，，，
由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立，化简得：，
根据根与系数的关系可得：，
即，
，直线方程为，
整理得：．
又因为，即．
将代入化简可得：，
故直线方程可化为．
故直线过定点．
由知与轴平行，直线的斜率一定存在，
，，
由知
所以，
又因为，
即，化简得或
又由，得：且，
即或
综上所述，
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合抛物线的准线方程运算求解；
(2) 直线方程可设为：，，，，整理得直线方程为，结合韦达定理运算求解； (ⅱ) 利用韦达定理整理得，结合二次函数运算求解.
24．【答案】（1）解：由题意得，，，解得，，，， 曲线方程为 ，曲线方程为 ；
（2）解：由题意直线 斜率不为0，，设直线 方程为，设，，联立得，则，， ， ，，又，，令，，则在单调递增，当时，，即时.
【解析】【分析】(1)由题意求出，再根据焦点和离心率求出 ，，进而求解曲线和曲线的标准方程；
(2)设直线 方程为，联立直线与椭圆的方程得韦达定理，由 得，所以，结合对勾函数性质求最值.
25．【答案】（1）设，由题意可得，化简得，
所以动点P的轨迹方程W为
（2）假设三点在W上，设且，因为ABCD为矩形，所以，
所以，
又，所以，
矩形ABCD周长
不妨设且
原式
令，，，，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。∴
∴原式，即矩形ABCD的周长大于
【解析】【分析】 (1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。
（2） 利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.
26．【答案】（1）解：已知椭圆的右焦点坐标为（1，0）
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得p＝2；
（2）解：不妨设直线的方程为x＝my+1，联立，消去x并整理得，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，
此时，
则，当且仅当m＝0时，
所以△AOB面积有最大值为，此时直线l的方程为x＝1；
（3）解：解：当直线l与x轴垂直时，可得点M与点A或点B重合，不符合题意；当直线l不与x轴垂直时，
不妨设直线l的方程为y＝kx+t，A（x3，y3），B（x4，y4），M（x0，y0），
联立，消去y并整理得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
此时Δ＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）＞0，解得t2＜1+2k2，
易知，所以，则点，
因为点M在抛物线C2上，则，
联立，解得，代入椭圆方程中得，
解得，又，
所以，当且仅当1＝2k2，即时，等号成立，故p的最大值为．
【解析】【分析】(1)先求出椭圆的右焦点坐标，进而值；
(2)设出直线的方程与椭圆方程联立，建立三角形面积的函数关系利用韦达定理化简求最大值，和直线方程；
(3)设出直线的方程与椭圆方程联立，由线段的中点在抛物线上和点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式结合基本不等式求解.
27．【答案】（1）解：当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为：
，从而点的坐标为或.因为点在抛物线上，所以，即.此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上.
（2）解：解法一：由（1）知直线的斜率存在，
故可设直线的方程为.
由消去得①
设的坐标分别为，
则是方程①的两根，.
由消去得.②
因为的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即.③
由于也是方程③的两根，所以.
从而.解得④
又过的焦点，
所以，
则.⑤
由④⑤式得，即.解得.
于是.因为的焦点在直线上，
所以，即或.
由上知：或.
解法二：设的坐标分别为.因为既过的右焦点，又过的焦点，所以.
即.①
由（1）知，于是直线的斜率，②
且直线的方程是，所以.③
又因为，所以.④
将①②③代入④得.⑤
因为，所以.
将②③代入⑥得.⑦
由⑤⑦得.即，
解得或（舍去）.将代入⑤得或.
由上知：或.
【解析】【分析】(1)当轴时，点关于轴对称，所以，求出直线的方程，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，进而判断抛物线的焦点是否在直线上；
(2)设直线的方程为，点，将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立利用韦达定理求得，再结合抛物线、椭圆的焦半径公式可求出的值，进而求的值.
28．【答案】（1）解：抛物线：的焦点，准线，
设，，
∵，即，所以，
∴抛物线C在A处的切线斜率，切线方程是，即.
同理可得：抛物线在B处的切线方程是.
联立方程，解得，即，
又∵，则，即，可得，
∴.
（2）证明：①→②：
∵，，
∴，，
因为，则，可得：，
由于，即，
所以，即，由（1）可得：，
故点P在抛物线C的准线上.
②→①：
，，
因为点P在抛物线C的准线上，则，即，
所以，则，
又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，
所以直线AB过抛物线C的焦点.
【解析】【分析】（1）根据抛物线方程，写出焦点坐标和准线方程，设出交点坐标，求出切线方程，根据韦达定理，根据定义求出AB的长度即可；
（2）写出点的坐标，表示相应的向量，结合两向量共线的坐标表示，即可证明直线过焦点.
29．【答案】（1）解：设直线与抛物线两交点的坐标分别为
直线的方程为，将代入抛物线方程，得，
（2）解：设的垂直平分线交于点Q，令其坐标为则
，
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，
所以
即△NAB面积的最大值为．
【解析】【分析】 (1)设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线|与抛物线两个不同的交点坐标为A, B,进而根据判别是对大于0，及的和的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为()， 则由中点坐标公式求得的坐标，进而求得QM的长度.根据为等腰直角三角形，求得QN的长度，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值.
30．【答案】（1）解：焦点为 ，准线为
（2）解：将 代入 ，
化简得 （*），
方程（*）的判别式 ，化简得 ，即 ．
（3）证明：设 ，
设抛物线 在 点处的切线方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
，
， ，
解得 ，故切线方程为 ，
， ，即 ，
同理可求得抛物线 上过点B，C的切线方程分别为：
， ，
由过 的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为：
， ， ，
注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，
得 ，命题得证．
【解析】【分析】（1）直接根据抛物线方程写出焦点及准线方程即可；
（2）联立方程，由即可得解；
（3）设，设抛物线在A点处的切线方程为 ，联立方程，根据求得斜率，进而可求得三条切线方程，从而可求得点D、E、F的横坐标，再根据结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，即可得证.
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