高中数学人教A版（2019）选修1 3.3 抛物线性质与应用1 选择题章节综合练习题（答案+解析）

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3.3 抛物线性质与应用1 选择题
一、选择题
1．（2022·淄博模拟）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2023高二下·盐田月考）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）.观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2023高二下·浙江期中）过抛物线的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，与相交于点．分别以、为直径的圆、圆（为圆心）的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·郑州模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．（2022·佛山模拟）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2022·凉山模拟）已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
7．（2022·通州模拟）设是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，是坐标原点，若，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．（2022·硚口模拟）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（　　）
A． B．－ C．± D．－
9．（2022·陈仓二模）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点，若 ， 的面积为 ，则 p=（　　）
A．1 B． C． D．2
10．（2022·晋中模拟）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 为 ，若射线 与抛物线 相交于点 ，与准线相交于点 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·浙江期中）若抛物线的准线为，P是抛物线上任意一点，则P到准线的距离与P到直线的距离之和的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．3
12．（2022·淮南二模）抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
13．（2022·辽宁模拟）已知动点到点比到直线的距离大，动点的轨迹为曲线，点，是曲线上两点，若，则的最大值为（　　）
A．10 B．14 C．12 D．16
14．（2022·河南二模）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2022·新乡三模）已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
16．（2022·鞍山模拟）已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
17．（2022·南开一模）已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C． D．
18．（2022·太原二模）过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（　　）
A． B． C．或3 D．或2
19．（2022·马鞍山模拟）已知点A在抛物线E：上，以A为圆心的圆与y轴相切于点B，F为E的焦点，圆A交线段AF于点C，若，，则E的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
20．（2022·黄山模拟）已知抛物线的准线为：，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于、两点，过作的垂线，垂足分别为，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
21．（2022·辽宁模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
22．（2022·长安模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．12
23．（2022·贵州模拟）已知曲线C1：（）和C2：，点A（ 1，y1）和B（2，y2）都在C1上，平行于AB的直线l与C1，C2都相切，则C1的焦点为（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）
24．（2022高二下·泉州期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，延长交准线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
25．（2022高二下·辽宁月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，，则（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
26．（2022·连云模拟）直线：与抛物线：交于，两点，圆过两点，且与抛物线的准线相切，则圆的半径是（　　）
A．4 B．10 C．4或10 D．4或12
27．（2022·河南模拟）已知抛物线的准线与轴交于点，为的焦点，是上第一象限内的点，则取得最大值时，的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
28．（2022·昆明模拟）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与交于A，两点，且，设直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．2
29．（2022·海淀模拟）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（　　）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
30．（2022·广州模拟）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（　　）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有，解得，故，得，
故答案为：C
【分析】圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p.
2．【答案】A
【解析】【解答】如图所示建立坐标系：
设抛物线方程为，抛物线经过点A，代入求得，
顶点到焦点的距离为
故答案为：A
【分析】建立坐标系分析求解。
3．【答案】A
【解析】【解答】由题意知焦点
设 ，则 ， ，，
联立，，，
，圆半径，
圆化为一般式为，
同理可得圆，
联立得，即，
， ，公共弦为，
点到直线的距离.
故答案为：A
【分析】设出直线，与抛物线联立求出圆心和半径，写出圆、圆方程，进而得到公共弦方程，利用点到直线距离公式求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】由题意，，设，
若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
联立，即，，
又因为，，，
则，
当且仅当时取等号.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，则，此时.
综上，的最小值为9。
故答案为： B.
【分析】由抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用分类讨论的方法设出直线方程，再设两交点坐标为，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用抛物线的定义得出，，，再利用均值不等式求最值的方法和几何法求值域的方法，再结合比较法得出的最小值。
5．【答案】C
【解析】【解答】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，，解得：．
故答案为：C
【分析】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于..由抛物线定义求出和.在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出，即可解得．
6．【答案】A
【解析】【解答】∵抛物线的方程为，
∴，抛物线的准线方程为，
∵方程可化为，
∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则，
∴，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
∴，
过点作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，
∴，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：A.
【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.
7．【答案】B
【解析】【解答】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如下图所示：
因为，轴，则，
由抛物线的定义可得，所以，为等边三角形，则，
抛物线的准线方程为，设直线交轴于点，则，
易知，，则。
故答案为：B.
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，利用，轴，则，由抛物线的定义可得，所以，为等边三角形，则，再利用抛物线标准方程求出其准线方程，设直线交轴于点，则，易知，，进而得出F，M两点的距离。
8．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知点A的纵坐标为1．将y＝1代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率．
故答案为：B．
【分析】求出点A的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线AB经过焦点，即可求出斜率.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，
因为 ，
所以圆的半径为 ， ，
由抛物线定义知，点 到准线 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
解得 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出，，由点 到准线 的距离写出的面积，从而求出的值．
10．【答案】B
【解析】【解答】如图，作 垂直于准线，垂足为 .
因为 ，则 ， ， ，
又 ， ，则 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】先由抛物线定义得，进而求得，再结合坐标及斜率公式即可求解.
11．【答案】A
【解析】【解答】如下图所示，过点P作，垂足为点，过点作直线的垂线段PB，垂足为点B，
抛物线的准线为，焦点为，
点F到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当且仅当B、P、F三点共线时，等号成立，
因此，到准线的距离与到直线的距离之和的最小值是2.
故答案为：A.
【分析】 首先确定抛物线的准线方程，然后结合抛物线的定义等价转化即可求得最值.
12．【答案】B
【解析】【解答】根据抛物线的定义可知，，又，，
故是等边三角形，又的面积是，
故可得，
故.
故答案为：B.
【分析】由题意易得，进而得到是等边三角形，再结合的面积，即可求解。
13．【答案】C
【解析】【解答】设点，所以，点到的距离为，
所以，解得，即曲线：，
根据抛物线的定义得，，又，所以，
因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，
即，所以的最大值为12.
故答案为：C.
【分析】由题意可得曲线的方程：进而由抛物线定义即可得，结合即可求解。
14．【答案】C
【解析】【解答】解：
易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得， 显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等. 故三角形PAB的面积的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】，，联立抛物线方程，由韦达定理结合可得，过作轴交于点，可得为中点，记得到进而由，结合基本不等式即可求解。
15．【答案】C
【解析】【解答】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故答案为：C
【分析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，由图可得当垂直于抛物线的准线时，最小，结合图像即可求解。
16．【答案】B
【解析】【解答】根据题意，作图如下：
因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，
又到的距离，即，又为中点，则，
设点，则，解得；由可得，
则由等面积可知：，解得，则，
则，又点在渐近线上，即，即，
又，联立得，即，解得，
故.
故答案为：B.
【分析】设渐近线方程为，过F与渐近线垂直的直线方程求得点A的坐标，可得点B的坐标，利用点B在抛物线上，可得，求解可得e2的值.
17．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，设，因为，且，
所以，代入到抛物线中，得，
所以，将代入到双曲线中，得，即，
设双曲线的焦点，渐近线为，即，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，
故答案为：D.
【分析】】根据题意求出代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.
18．【答案】D
【解析】【解答】在抛物线中，由焦点弦的性质可得，
解得或，
所以或，
故答案为：D.
【分析】由焦点弦的性质可得，求解可得答案。
19．【答案】B
【解析】【解答】如图，设A（，），以A为圆心的圆与y轴相切，则，
由可知，由抛物线的定义可知，所以．过A作轴于点D，因为，所以，又，所以，所以，则△ABC为等边三角形，所以，则，所以E的准线方程为.
故答案为：B．
【分析】如图，设A（，），结合抛物线的定义可得，过A作轴于点D，可得，再结合，可判断△ABC为等边三角形，即可求解。
20．【答案】D
【解析】【解答】依题意，，即，抛物线方程为：，焦点，
如图，过点B作直线BM//l交AC于M，
由抛物线定义知：，显然四边形BMCD是矩形，
则，而，
则，于是得直线AB的斜率，
直线AB方程，由消去x得：，
解得，，于是得点A，B纵坐标分别为，，
则，从而得，而点O到直线l的距离为h=1，
所以的面积为.
故答案为：D
【分析】由题意即可得抛物线方程，如图，过点B作直线BM//l交AC于M，易判断四边形BMCD是矩形，进而得到直线AB的斜率，确定直线AB方程，联立抛物线方程即可得A，B两点纵坐标，及C，D两点坐标，进而可解决问题。
21．【答案】D
【解析】【解答】抛物线的焦点，设直线的方程为：
联立方程组，得
设，则有，即
由抛物线的定义可得
所以，当且仅当时等号成立
所以的最小值是
故答案为：D
【分析】根据题意设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，由韦达定理以及抛物线的定义，结合基本不等式即可求出的最小值。
22．【答案】A
【解析】【解答】不妨设抛物线的标准方程为，由已知可得，
故抛物线的标准方程为，该抛物线的准线为，焦点为，
不妨设点为第一象限内的点，则，可得，则，
故点，设点，则即为在方向上的投影长，
，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为4.
故答案为：A.
【分析】不妨设抛物线的标准方程为，由已知可得，可得出抛物线的标准方程，不妨设点为第一象限内的点，求出点的坐标，设点，利用平面向量数量积的几何意义可得出，结合平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质可求得结果.
23．【答案】B
【解析】【解答】对于曲线C1：（），当时，，当时，，
所以，
所以直线的斜率为，
设与直线平行的直线为，
由，得，
因为直线与相切，
所以，得，
因为直线与相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，化简得，
所以，得，
因为，所以，
所以曲线C1为，其焦点为，
故答案为：B
【分析】先由题意求出，则可得，由于直线平行于直线AB，所以设直线，再利用直线与相切，将直线方程代入方程中，由判别式为零可得，再由直线与相切，则圆心到直线的距离等于半径，列方程，结前面的式子可求出，从而可求出抛物线的焦点坐标
24．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知，，则，准线为直线，
过分别作垂直准线于，则有，
因为，所以，所以，所以，
所以，，所以，
因为，所以，
解得，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】过分别作垂直准线于，则有，由可求出，由，从而可求出答案.
25．【答案】C
【解析】【解答】如图，设与轴交于点，则由抛物线可知，又，
故，，
又由抛物线定义，故.
故答案为：C.
【分析】设与轴交于点，则由抛物线可知，，再根据抛物线的定义得三角形ABF为等边三角形，即可求解.
26．【答案】D
【解析】【解答】可设，由，联立消去x可得，，
则，即，则，可得AB的中点坐标为， 则， 且AB的垂直平分线方程为： ，即，则可设圆M的圆心为M(a， b)， 半径为r，所以，则圆M的方程为， 即，又圆心M(a， b)到直线l： 的距离，且满足，
则①， 又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以，
即②， ①②联立解得或.
故答案为：D
【分析】设，由直线方程，抛物线方程联立，借助韦达定理，即可得AB的中点坐标为，进而得到AB垂直平分线方程，再设M的圆心为M(a， b)， 半径为r，由圆心到直线l的距离列出方程即可求解。
27．【答案】A
【解析】【解答】由题意可知，，所以，则，，．
过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
要使取得最大值，
则取得最小值，需直线与相切．
由题意知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
由消去可得，，
所以，解得，
因为是上第一象限内的点，所以，
此时为，则 ，
故，所以，
故答案为：A.
【分析】首先由抛物线的方程求出焦点坐标再由抛物线的定义整理化简，即可得出要使取得最大值，则取得最小值，设出直线的方程再联立抛物线的方程消元后，结合已知条件由方程根的情况即可得出k的取值，从而得出x的取值，并代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
28．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线，，
设直线的方程为，，
联立，消得，
则，
故，
解得，
当时，则，解得或4，
故两交点坐标为，
点与交点所在直线得斜率为，
点与交点所在直线得斜率为，
当时，则，解得或1，
故两交点坐标为，
点与交点所在直线得斜率为，
点与交点所在直线得斜率为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设直线的方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式可得即可得，（1）当时，求得两交点坐标，即可求解；（2）当时，同样求得两交点坐标，即可求解。
29．【答案】A
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线上，由抛物线的定义可知，
点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；
所以，解得.
故数列是等差数列.
故答案为：A.
【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标以及准线的方程，再结合抛物线的定义整理化简，集合等差数列的定义就得出答案。
30．【答案】C
【解析】【解答】如图，过点B作BD垂直准线
于点D，则由抛物线定义可知：
，
设直线AB为
，
，
，
，不妨设
，则
，
所以
，解得：
，则
，解得：
，则
，
所以
，解得：
，则直线AB为
，
所以当
时，即
，解得：
，则
，
联立
与
得：
，则
，
所以
，其中
.
故答案为：C
【分析】根据题意由设而不求法设出点的坐标，再由抛物线的定义以及性质计算出点的坐标，结合斜率公式求出直线的方程，并联立直线与抛物线的方程消元后结合韦达定理计算出点的纵坐标，并把结果代入到三角形的面积公式，由此计算出答案。
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