高中数学人教A版（2019）选修1 3.3 抛物线性质与应用2（填空、大题）章节综合练习题（答案+解析）

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3.3 抛物线性质与应用2（填空、大题）
一、填空题
1．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是　 　.
2．（2023·广州模拟）已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为　 　.
3．（2023·潮州模拟）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，点P在抛物线的准线上.若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为　 　.
4．（2023·大庆模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为　 　．
5．（2023·宜宾模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是　 　．
6．直线与抛物线相交于A，B两点，且A在第一象限，F是抛物线的焦点，则　 　．
7．（2023·天津市模拟）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则　 　.
8．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：x＝5，点A、B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|＝|AB|，则满足条件的所有|AB|的值为　 　．
9．已知抛物线，圆与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B两点在x轴的同一侧），若，，则弦长的取值范围为　 　．
10．（2023·闵行模拟）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是　 　．
二、解答题
11．（2023高二下·安康月考）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.
（1）求p和m；
（2）若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
12．已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
（1）求E的标准方程；
（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
13．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
14．（2023高二下·宝山期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
（1）过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
（2）求曲线上的点到直线的最短距离.
15．（2023高二下·黄浦期末） 在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
16．（2023高二下·达州期末）已知是抛物线上的点．当时，．
（1）求E的标准方程；
（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
17．（2023高三下·吉林）已知抛物线：与圆：相交于四个点．
（1）当时，求四边形面积；
（2）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
18．（2022高二上·南阳）已知抛物线的焦点为.
（1）求；
（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
19．（2022高二上·高邮期中）已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点.
（1）若弦AB的中点为，求弦AB的直线方程；
（2）设，若，求证：直线AB过定点.
20．（2022高二上·章丘期中）已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线l交抛物线C于M，N点，且MN的中点坐标为，求的面积．
21．（2022高二上·泰州期中）直线l经过抛物线焦点，且与抛物线相交于，两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.
（1）若直线l的斜率为2，求线段AB的长；
（2）求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
22．（2022高二上·沭阳期中）抛物线C：，抛物线C的准线方程为，焦点为F.
（1）求实数的值；
（2）直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，求证：A，B两点的纵坐标乘积为定值
23．（2022高二上·溧阳期中）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到其准线的距离为2，直线过点且与交于两点.
（1）求的值及直线的斜率的取值范围；
（2）若，求直线的方程.
24．（2022高二上·如东期中）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
25．已知抛物线，过且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点
（1）求的取值范围；
（2）若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．
26．（2023高二下·河北期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022高二上·东海期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线上两个动点，且满足．
（1）当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积；
（2）探究x轴上是否存在点P使得？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
28．（2022高二下·南京期末）已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．
（1）当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；
（2）已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值．
29．（2022·东阳模拟）如图，已知抛物线上有一动点，M为y轴上的动点，设，连接与交于点B，过B作的切线交的延长线于点H，连接交C于点E，连接交y轴于点G，分别记的面积为.
（1）若，求p；
（2）若，求证：是之间的一个定值（不必求出定值）.
30．（2022·义乌模拟）如图，已知点P在直线l：上，A，B为抛物线C：上任意两点，PA，PB均与抛物线C相切，直线AB与直线l交于点Q，过抛物线C的焦点F作AB的垂线交直线l于点K．
（1）若点A到F的距离比到直线l的距离小1，求抛物线C的方程；
（2）在（1）的条件下，当最小时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】4
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线 的焦点为，准线方程为，
则 点P到直线的距离 即为，
因为圆 的圆心为，半径为，
则
当且仅当当P，C，F三点共线时，等号成立，
所以 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 4.
故答案为：4.
【分析】根据抛物线的定义可知 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和为，根据圆的性质结合图象分析求解.
2．【答案】x+2y-3=0
【解析】【解答】设，
因为，即点为的中点，则，
又因为，两式相减得，
则，即直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故答案为：x+2y-3=0.
【分析】根据题意利用点差法可得直线的斜率，进而可求直线方程.
3．【答案】5
【解析】【解答】如图，连，，
由抛物线的定义可知，，又，，
所以，所以，，即，
所以就是点P到直线l的距离，
因为，，，
所以，所以，
所以，又，所以.
故点P到直线l的距离为.
故答案为：5
【分析】连，，根据抛物线的定义以及，证明，从而推出和，可得就是点P到直线l的距离，再根据，推出，结合，可得.
4．【答案】3
【解析】【解答】设，由题意，即，整理得，
因为圆可以看作把圆向左平移个单位得到的，
那么点平移后变为，点平移后变为，
所以根据阿氏圆的定义有，所以，
又由抛物线定义有，
所以，
当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号，
故的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】设，求得点P的轨迹方程为，由平移法可得M满足，结合抛物线性质可得答案 .
5．【答案】9
【解析】【解答】依题意，
因为抛物线的焦点为，所以，
①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，
设过的直线的直线方程为：，，
由抛物线定义得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②当不存在时，直线为，此时，
所以；
综上可知，的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立，得，求出韦达定理即可求解.
6．【答案】3
【解析】【解答】设，，联立直线和抛物线的方程得，解得，，
由于直线过抛物线的焦点F，且A在第一象限，
所以．
故答案为：3
【分析】设，，联立直线和抛物线的方程得，解得，，结合抛物线的性质即可求解.
7．【答案】p=2
【解析】【解答】有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..
【分析】求出双曲线的渐近线为，抛物线的准线方程为，联立求得，再由双曲线的离心率为2，的面积为， 列出方程，由此得出.
8．【答案】或
【解析】【解答】解：设，，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义知，又
， ，代入，化简得， 仅存在唯一的点使得， 则关于的方程只有一解，
当时，代入方程解得，，，
当时，，求得，代入方程解得，，，
综上或.
故答案为：或.
【分析】设，，由 ，结合抛物线定义和两点间距离公式得，关于的方程只有一解，进而分析求解.
9．【答案】
【解析】【解答】圆与轴相切，，又，得，抛物线方程为 ，圆，设直线的方程为，，，
由抛物线定义得，， ，，，又 ，，在直线上，，即，
联立，消去化简得，
则，，，，
，即，，由对勾函数的性质知函数， .
故答案为： .
【分析】由题意得，结合抛物线定义可得 ，，，所以，设直线的方程为，然后根据的取值范围求的取值范围即可.
10．【答案】
【解析】【解答】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.
故答案为：
【分析】利用圆：得出圆心坐标和半径长，设点和抛物线代入法得出，依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，即有，再利用两点距离公式得出t的取值范围，从而得出点P的横坐标的取值范围。
11．【答案】（1）解：设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得.
故抛物线C：.
因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以
（2）解：设，，，直线的斜率为，直线的斜率为.
易知，一定存在，则，.
由，得，即，化简得，即
因为D到抛物线C的准线的距离，所以，
则，即，.
，即，
解得或，则或.
故点D的坐标为或.
【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义可得，把点M的坐标带入抛物线方程即可求出m.
（2）由，得可得， D到抛物线C的准线的距离为可求出，进而求得，两个关系式联立可解得或，即可求出D点坐标.
12．【答案】（1）解：抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）解：由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，
设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
【解析】【分析】(1)由抛物线的性质及题意可得的值，进而可得p的值，得出抛物线的方程；
(2)设直线l1的方程，与抛物线的方程联立，由韦达定理可得两根之和，再弦长公式得|AC|的表达式，同理可得弦长|BD|的表达式，代入四边形的面积公式，再由均值不等式，可得面积的最小值.
13．【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
【解析】【分析】 (1)、 设直线的方程为，代入抛物线，设，，则，求出抛物线方程.
(2)、①设，，由，可得，则，求出斜率，解得，即可证明垂直.
②由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，求出，把面积表示出来，求出最小值.
14．【答案】（1）解：已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）解：不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
【解析】【分析】（1）先利用抛物线的定义得到曲线C的方程，再由直线方程和曲线方程联立，结合过焦点的弦长公式即可得到结果；
（2） 设抛物线上任意点，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，再利用二次函数的性质得到其最值.
15．【答案】（1）解：由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）解：根据题意可设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即.
【解析】【分析】（1）根据点P到F的距离为5 ，可列出关于p的等式，求出p的值即可求出抛物线方程；
（2）首先设直线的方程为，联立抛物线方程，得到方程，将数量积用m表示，即可求出m的值，即可求出直线的方程．
16．【答案】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，代入求p即可求解；
（2）恒过定点F(1，0)设立直线方程，联立方程组，结合韦达定理得到A、B横坐标的关系，再利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离求出BF.
17．【答案】（1）解：将代入，并化简得，解得或，代入抛物线方程可得
故；
（2）解：不妨设与的四个交点的坐标为．
则直线的方程分别为，，两方程相加可得，故，解得点的坐标为．
联立抛物线与圆的方程有，即，可得.
设，则，由（1）知由于四边形为等腰梯形，因而其面积
则将代入上式，并令，得．
求导数，令，解得：（舍去）．
当时，；当时，；当时，.
故当且仅当时，此时．
【解析】【分析】（1）将 代入求出 四点坐标利用梯形面积公式求 四边形面积 ；
（2）求出 四点坐标利用梯形面积公式写出四边形面积， 利用导数判断四边形面积最大时圆的半径的值 。
18．【答案】（1）解：为抛物线的焦点，，解得：.
（2）解：由（1）知：抛物线；
直线，
由得：，
设，，则，
，.
【解析】【分析】(1)由焦点的坐标直接可得p的值；
(2)由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值.
19．【答案】（1）解：由于在抛物线开口之内，且不在x轴上，
直线l的斜率存在，设为k，且设，
可得，
两式相减可得，
即，
则直线l的方程为，即，
经检验直线l存在，且方程为.
（2）证明：若直线l的斜率不存在，可得，
代入抛物线方程，可得，，
则，即，直线AB过：
若直线l的斜率存在，设为k，
当k=0时，直线l与抛物线的交点仅有一个，不满足题意；
故直线的方程设为，
代入抛物线的方程消去x可得
可得，即有，
可得b=-4k，直线l的方程为，则直线l恒过定点.
综上，直线AB恒过定点.
【解析】【分析】(1)利用点差法，结合已知中点坐标，即可求得结果；
(2)对直线的斜率分类讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，根据已知条件，找到参数之间的关系，即可证明直线恒过的定点.
20．【答案】（1）解：因为，所以，
故抛物线C的方程为
（2）解：易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，，
则，
两式相减得，整理得．
因为MN的中点为，所以，
所以直线l的方程为，即．
联立方程组，得，
则．
因为直线l与y轴的交点为，
所以的面积为．
【解析】【分析】（1） 因为，所以，故抛物线C的方程为 ；
（2）设 ，，， 结合 MN的中点为，所以，所以直线l的方程为， 联立方程组得，结合三角形面积公式即可求解.
21．【答案】（1）解：∵抛物线的焦点，准线方程为，
∴直线的方程为，联立方程，得，
则，，
（2）解：设直线的方程为：，
令，可得，
设直线的方程为：，联立方程，得，
∴，
∴，
∴，
∴直线平行于轴，
即直线平行于抛物线的对称轴.
【解析】【分析】(1)根据题意得到直线 AB 的方程与抛物线方程联立依据抛物线的定义和韦达定理即可求出弦长
(2) 设直线的方程为：，令，可得，设直线的方程为：， 联立抛物线的方程，根据韦达定理求出，证明即可.
22．【答案】（1）解：由题意，抛物线C的准线方程为，即，解得.
（2）解：
直线l与抛物线有两个交点，故斜率存在，焦点
不妨设直线，抛物线方程：，
不妨设，
联立，可得，，
由韦达定理，故，
即A，B两点的纵坐标乘积为定值.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合准线方程得出p的值。
（2）利用直线l与抛物线有两个交点，故直线斜率存在，从而得出焦点坐标，不妨设直线，抛物线方程：，不妨设，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，再利用代入法得出的值，从而证出A，B两点的纵坐标乘积为定值。
23．【答案】（1）解：因为抛物线：的焦点到其准线的距离为2，
所以，解得.
所以抛物线方程为，
因为直线过点且与交于两点，
所以，设直线的斜率为，方程为，
所以，联立得，故方程有两个不等的实数解.
，解得且
所以，直线的斜率的取值范围为
（2）解：设，，
由（1）知，
又由焦半径公式得，
所以，，即，解得或.
所以，直线的方程为或.
【解析】【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得， 设直线的斜率为，方程为，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；
（2）设 ，，进而结合韦达定理与焦半径公式得，再解方程即可得答案.
24．【答案】（1）解：由抛物线C： 过点P（1，1），得 .
所以抛物线C的方程为 .
抛物线C的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 .
（2）证明：由题意，设直线l的方程为 （ ），l与抛物线C的交点为 ， .
由 ，得 .
则 ， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为 ，点A的坐标为 .
直线ON的方程为 ，点B的坐标为 .
因为
，
所以 .
A为线段BM的中点.
【解析】【分析】（1）根据抛物线过点 P（1，1），得 ，所以抛物线C的方程为 ，并得到焦点坐标和准线方程；
（2） 由题意，设直线l的方程为 （ ），l与抛物线C的交点为 ， ，根据韦达定理得到 ， ，根据中点的定义即可证明.
25．【答案】（1）解：设直线与抛物线两交点的坐标分别为
直线的方程为，将代入抛物线方程，得，
（2）解：设的垂直平分线交于点Q，令其坐标为则
，
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，
所以
即△NAB面积的最大值为．
【解析】【分析】 (1)设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线|与抛物线两个不同的交点坐标为A, B,进而根据判别是对大于0，及的和的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为()， 则由中点坐标公式求得的坐标，进而求得QM的长度.根据为等腰直角三角形，求得QN的长度，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值.
26．【答案】（1）解：设，则
因为点B在抛物线上，即，
化简得，所以曲线E的方程为
（2）解：假设存在点使为正三角形．
当MN垂直于y轴时，不符合题意；
当MN不垂直于y轴时，
设直线MN：，MN的中点为，
联立得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵为正三角形，∴，
即，
∴，
PK：，令，
∴
所以存在点使为正三角形．
【解析】【分析】 (1) 设，则代入抛物线化简即可得曲线的方程；
(2)假设存在点使为正三角形，设直线MN：，联立抛物线方程，根据等边三角形得求出，进而求得存在点使为正三角形．
27．【答案】（1）解：因AB垂直x轴，由抛物线对称性知，点A，B关于x轴对称，不妨令点A在第一象限，
而，则直线方程为：，由得点，从而得，，
所以的面积为.
（2）解：设直线方程为：，由得，直线方程为：，
由得点，同理可得点，
假定在x轴上存在点P使得，设点，
则直线斜率，直线斜率，
由得，则有，即，
整理得，显然当时，对任意不为0的实数k，恒成立，
即当时，恒成立，恒成立，
所以在x轴上存在点P使得成立，点.
【解析】【分析】（1） 由抛物线对称性得到点A，B关于x轴对称，不妨令点A在第一象限，得到方程为：，联立方程组，求得点，结合面积公式，即可求解；
（2） 设直线方程为：，直线方程为：，两两方程组求得，和，设点，求得直线斜率，直线斜率，结合，根据，转化为恒成立，即可求解.
28．【答案】（1）解：当的坐标为时，则，所以，
所以抛物线的方程为：，
由题意可得直线的方程为：，即，
代入抛物线的方程可得解得（舍）或6，
所以，的坐标为
（2）解：法一：设直线的方程：，
即，
设直线与轴的交点为，，，
由
可得，，，
因为为线段的中点，所以
令，，即，所以
则的面积
，
把代入上式，，
当时，，所以的面积的最大值为2．
法二：
可得，，，
因为为线段的中点，所以，
设点到直线的距离为，则，
把代入上式，，
所以，当时，的面积的最大值为2
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法求出p的值，进而得出抛物线的标准方程，再利用两点求斜率公式和点斜式求出直线AM的方程，再联立直线与抛物线方程求出交点B的坐标。
（2） 法一：设直线的方程：，即，设直线与轴的交点为，，，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，，再利用为线段的中点结合中点坐标公式和赋值法得出点Q的坐标，再结合两点距离公式得出PQ的长，再利用三角形的面积公式和赋值法以及二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形的面积的最大值。
法二：利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，，再利用点为线段的中点结合中点坐标公式和点到直线的距离公式以及弦长公式，进而得出AB的长，再利用三角形的面积公式和赋值法以及二次函数的图象求最值的方法，进而得出三角形的面积的最大值。
29．【答案】（1）解：由题意，抛物线，上有一动点，且，
因为且，
根据抛物线的定义，可得，解得
（2）解：设，
因为，则，
直线与抛物线联立得，可得，
由，得，
直线与方程，可得，可得，
直线与抛物线联立得：，可得，
由，得
因为M，E，H三点共线，可得，
即，即，
即，令，化简可得，
令，可得，
当时，，所以在单调递增，
又因为，，所以，所以
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可得，求解即可；
（2） 设， 易得，直线AB与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，再由直线AO、BH方程联立可得，直线BE方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得，由 M，E，H三点共线 ，可得，令结合的单调性即可求解。
30．【答案】（1）解：因为点A到F的距离比到直线l：的距离小1，
所以等于点A到直线的距离，
∴为抛物线的准线．且，
∴C：
（2）解：抛物线C：的焦点，
设，设P点抛物线C：的切线方程为：，
消去x得：，
∴即，
，，
直线PA：，直线PB：，
则，，，，
由A，B分别在直线PA：、直线PB：上，
得：，，
即，，
则直线AB方程为：，
得直线AB方程过定点，
则直线KF方程为：，
则，，
，
当且仅当时，时取等号，
，
得，
，
∴
【解析】【分析】（1）由题意可得 等于点A到直线的距离， 即可求解；
（2） 设，设P点抛物线C：的切线方程为：， 联立抛物线方程结合韦达定理可得： 直线PA：，直线PB：，及，，，，进而可得AB方程为： ，即可说明 直线AB方程过定点，再结合直线KF方程为：，得到，，，再与抛物线方程联立由弦长公式得到即可求解。
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