高中数学人教A版（2019）选修2 4.1 数列的概念章节综合练习题（答案+解析）

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4.1 数列的概念
一、选择题
1．（2023高二下·联合期末）数列的第11项是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·湖北期中）已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是（　　）
A．10 B．18 C．26 D．63
3．（2023高二下·南阳期中）数列的第5项为（　　）
A．0 B． C． D．
4．（2022高三上·凉州月考）记数列的前项和为，且，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·泰州期中）已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（　　）项．
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2022高二下·佛山期末）已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（　　）项．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022高二上·光明期末）已知数列满足，，则（　　）
A． B． C．1 D．2
8．（2023高三上·石家庄开学考）在数列中，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·广州模拟）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·宝安期末）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高二上·汕尾期末）数列、、、、的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023高二上·孝义期末）数列0，，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2023高二上·东城期末）设为数列的前项和，已知，，那么（　　）
A． B． C． D．
14．（2022高三上·河南开学考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（　　）
A．58 B．57 C．56 D．55
15．（2022·吉林模拟）已知数列的首项，若向量，向量，且满足，则数列的通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
16．（2022高二上·商洛期末）已知数列，则这个数列的第8项为（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高三上·浙江开学考）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
18．（2022高二下·西城期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（　　）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
19．（2023·闵行模拟）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（　　）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
20．（2023·北京卷）已知数列满足，则（　　）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
21．（2022高三上·湖北月考）数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为（　　）
A．-16 B．-17 C．-18 D．-19
22．（2022高三上·湖南月考）已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
23．（2023高二下·联合期末）已知数列满足，且，若（其中表示不超过的最大整数），则　 　；数列前2023项和　 　．
24．（2023高二下·宝山期末）已知数列的通项公式是，其前项的和为.设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是　 　.
25．（2023·上海市模拟）若项数为10的数列 ， 满足 ， 且 ， 则数列 中最大项的最大值为　 　.
26．（2023·资阳模拟）设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则的最小值是　 　
27．（2023·达州模拟）是数列前项和，，，给出以下四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确的是　 　（写出全部正确结论的番号）.
28．（2023高二下·平阳月考）已知数列{an}满足，设数列{cn}的前n项和为Sn，其中，则下列四个结论中，正确的序号有　 　．
①a1的值为2
②数列{an}的通项公式为
③数列{an}为递减数列
④
29．（2023·邵阳模拟）已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为　 　，　 　．
30．（2023·蚌埠模拟）若函数的定义域为，且，，则　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】设该数列的第n项为，
由已知，
变形可得，
所以数列的一个通项公式可以是，
可得．
故答案为：A.
【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第11项.
2．【答案】D
【解析】【解答】令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；A不符合题意；
令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；B不符合题意；
令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；C不符合题意；
令，可得或，
，是正整数，
即数列的第项为，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法以及一元二次方程求解方法，从而找出数列 中的项。
3．【答案】C
【解析】【解答】数列的第5项为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法，进而得出数列第五项的值。
4．【答案】A
【解析】【解答】因为，解得，
又因为，解得。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合 的关系式，进而得出数列第二项的值。
5．【答案】C
【解析】【解答】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，所以这个数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，
所以144是该数列的第12项．
故答案为：C．
【分析】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，即可得144所对应项数.
6．【答案】B
【解析】【解答】令，解得：（舍去）。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合代入法得出12对应的数列的项数。
7．【答案】C
【解析】【解答】因为，，
所以，得．
由，得.
故答案为：C
【分析】根据题意，得到，求得，再由，即可求得的值.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：根据递推公式 ，可得：a1=-2
， ， ，
所以数列 是以4为周期的周期数列，则a2016=a4=3
故答案为：3.
【分析】本题考查数列的周期性，根据递推公式依次求出a2，a3，a4，可找出出数列周期，再根据周期性质求解即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】因为，则有：
当时，，则，且，可得，故A错误；
当时，，整理得；
所以数列是以首项，公差的等差数列，
则，且，所以，故C错误；
当时，，
且上式对也成立，所以，
可知数列为递减数列，可得，故B正确；
因为，
所以
，
故D错误；
故选：B.
【分析】根据与的关系可得，，进而逐项分析判断.
10．【答案】C
【解析】【解答】令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合代入验证法，进而找出不可能的数列的通项公式。
11．【答案】D
【解析】【解答】对于A选项，若，则数列为：、、、、，A不满足；
对于B选项，若，则数列为：、、、、，B不满足；
对于C选项，若，则数列为：、、、、，C不满足；
对于D选项，若，则数列为：、、、、，D满足.
故答案为：D.
【分析】根据题意，依次分析选项中通项公式是否满足所给数列的前4项，即可得到答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】对于A，，，A不符合题意；
对于B， ，，，B不符合题意；
对于C，，，，C符合题意；
对于D，，，，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据数列的项逐项判断可得答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】由得：，。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合的关系式，从而得出数列的第三项的值。
14．【答案】A
【解析】【解答】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，
所以，，，即是以1为首项，35为公差的等差数列，
即，
由题意知且，得，
解得，，所以此数列的项数为58项。
故答案为：A.
【分析】利用能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，所以，，，再利用等差数列的定义判断出数列是以1为首项，35为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出，由题意知且，从而得出n的取值范围，再利用，从而求出此数列的项数。
15．【答案】D
【解析】【解答】由题意，
，即 ，
数列 是首项为1，公差d=1的等差数列， ；
故答案为：D.
【分析】由已知条件结合共线向量的坐标公式，整理化简由此得出数列的通项公式，进而判断出数列为等差数列由此得出答案。
16．【答案】B
【解析】【解答】由已知条件得
∵数列，，，，
∴，
则
故答案为：B.
【分析】依据前五项的规律写出数列的项项公式，由通项公式求出数列第8项即可.
17．【答案】B
【解析】【解答】当时，，
故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即
故答案为：B
【分析】由，借助数列单调性得到即可求解。
18．【答案】D
【解析】【解答】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：D
【分析】 由已知条件推导出对于恒成立，由此能求出实数的取值范围.
19．【答案】C
【解析】【解答】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，D为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合“M数列”的定义和等差数列以及等比数列的定义，再结合数列的单调性和的关系式以及数列求和公式，进而找出假命题的选项。
20．【答案】B
【解析】【解答】由 得 ，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，注意到，和时，单调递增，时，单调递减，和时，和时
A、 ， ，
当时，，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，即，
时，， 为递减数列，
由，
令，则，
由二次函数知在单调递减，
时，
在上单调递增，，
，即，
假设存在常数，使得恒成立 ，
取，其中，且
，，，，，，
上式相加得，
，与 恒成立矛盾，A错误；
B、 ，当时，，，，
假设当时，，
当时，，，
又当时，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，
时，， 为递增数列
取时，满足题意，B 正确；
C、 ， ，
当 时，，，，
猜想当时，，
当与时满足，
假设当时，，
当时，，，
综上：
，，
时，， 为递减数列，
假设 存在常数，使得恒成立 ，
记，取，其中，且
，，即
，故 不恒成立，C错误；
D、 ，，，
假设当时，，
当时，，，
综上：，
时，，， 为递增数列，
由，
令，则，
由二次函数知在单调递增，
时，
在上单调递增，，
，即，
假设 存在常数，使得恒成立
取，其中，且
，，，，，，
上式相加得，
，与 恒 成立矛盾，D错误。
故选：B
【分析】将 变形得到 构造函数，利用导数判断单调性进而得到数列的增减性，逐一分析选项。
21．【答案】D
【解析】【解答】由得，，
即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，
所以，
所以，
对称轴，所以当或8时，有最小值为-19。
故答案为：D.
【分析】由得，再利用等差数列的定义判断出数列是以为首项，1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出
，再利用累加法得出数列的通项公式，再结合二次函数的图象求最值的方法得出的最小值。
22．【答案】C
【解析】【解答】令，则可得，故，
将两边同除得，
为递减数列，
，
可得，
所以，所以，
根据等比数列求和公式得，
综上所述，。
故答案为：C
【分析】令结合已知条件可得的值，故，将两边同除得，再利用减函数的定义判断出数列为递减数列，进而得出，从而可得，再利用累乘法得出，根据等比数列求和公式放缩法得出，从而找出说法正确的选项。
23．【答案】；1685
【解析】【解答】由，得，两式相减得，
因为，所以，
则数列的周期为6，则数列的周期也为6，
由题意得，
则，
所以.
故答案为：，1685.
【分析】由，得到，两式相减得到，进而得到数列的周期为6，数列的周期也为6求解.
24．【答案】
【解析】【解答】因为 ，
所以，
，因为数列是严格增数列，所以对恒成立，
即对恒成立，所以，.
故答案为：.
【分析】先利用裂项相消法得到，从而得到的通项，再利用是严格增数列，即对恒成立即可得到答案.
25．【答案】8
【解析】【解答】解：因为，所以或，
不妨设 ，
即中相邻两项相差最大为2，但又要保证，则数列中的项有增有减，
假如bi中有x个2，增量最大为2x，则有9-x项是减少的，
则必有 ，所以 ，解得x=3或4，
取x=4， a1取最大值0，按最大连续增量8计算，有 a5=a1+8 ，即中有最大值为a5=8．
故答案为：8
【分析】根据数列的增减性计算即可.
26．【答案】
【解析】【解答】由题意可得．则．当时，，所以，
当时，满足上式，则；
因为 ，所以当时， ，
则，当时，，当 时，，则 是单调递增的，
故的最小值是；
故答案为： .
【分析】由已知结合数列的递推公式求出，再根据的单调性求解出的最小值.
27．【答案】①②③
【解析】【解答】对于①，因为，，
所以，，
所以，数列为常数列，则，
所以，，①对；
对于②，，
令，则，
所以，数列为等差数列，
因此，，②对；
对于③，设，其中，则，
当时，，单调递减，
，即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以，
，③对；
对于④，因为，而，
④错.
故答案为：①②③.
【分析】分析可知为常数列，求出数列的通项公式，可判断①；，利用等差数列的求和公式可判断②；证明出当时，，可得出，结合放缩法可判断③；取可判断④.
28．【答案】①③
【解析】【解答】依题意，
因为，
当时，，解得，
当时，有，
所以，
整理得：，时也符合，所以，
故①正确②错误；
因为，所以，
所以，
所以，所以数列{an}为递减数列，故③正确；
因为，
所以（1），
所以（2），
由（1）（2）得：，
所以，
所以，
所以，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】利用已知条件结合代入法得出数列的首项，再结合错位相减的方法得出数列的通项公式，再结合减函数的定义判断出数列的单调性，再利用错位相减的方法得出数列{}的前n项和 ，进而找出正确的序号。
29．【答案】；
【解析】【解答】因为，且，所以，
则当时，
．
又当时，符合上式，
故．
由①
②
得．
令，③
∴，④
得
∴．
故，
则，即．
故答案为：，.
【分析】由题得，利用累乘法得，通过错位相减法求得，进而得出答案.
30．【答案】
【解析】【解答】函数的定义域为，且，
取，有，解得，
又因为，结合，则：
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和赋值法得出的值，再利用结合，再结合求和的方法得出。
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