高中数学人教A版（2019）选修2 4.2 等差数列1选择题章节综合练习题（答案+解析）

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4.2 等差数列1选择题
一、选择题
1．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列是等差数列，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·天河期末）已知数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·黄浦期末）已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的斜率是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知等差数列的前项和为，，，则（　　）
A．65 B．75 C．80 D．85
5．（2023高二下·湖口期中）等差数列中，若，则n的值为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．（2023·上海市模拟） 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男， 日增等里， 首日行走一百里， 九日共行一千二百六十里， 问日增几何 "， 该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为 （　　）
A．110 B．120 C．130 D．140
7．（2023高二下·浙江期中） “”是“数列为等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2023高二下·安徽期中）在项数为m的等差数列中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为950，则m＝（　　）
A．16 B．17 C．19 D．21
9．（2023高二下·揭阳期末）已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（　　）
A．6 B．7 C． D．
10．已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（　　）
A． B． C． D．
11．设公差不为零的等差数列的前项和为，，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·江门期末）设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．（2023高二下·宝安期中）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（　　）
A．4043 B．4044 C．4045 D．4046
14．（2023高二下·上虞月考）数列，满足，，，则数列的前项和为（　　）
A． B．
C． D．
15．（2022·柳州模拟）在等差数列中，若，则公差（　　）
A．1 B． C． D．或
16．（2023高二下·普宁月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将1到2024这2024个数中被3除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（　　）
A．2130 B．2734 C．2820 D．3019
17．（2023·房山模拟）已知等差数列的前项和为，则等于（　　）
A．27 B．24 C．21 D．18
18．（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（　　）
A．25 B．22 C．20 D．15
19．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（　　）
A．－1 B． C．0 D．
20．（2023·新高考Ⅰ卷）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
21．（2023·广州模拟）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2023高二下·浙江期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（　　）
A． B． C．71 D．
23．（2023高二下·玉林期中）设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（　　）
A．39 B．52 C．45 D．72
24．（2023·宜宾模拟）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
25．（2023·遂宁模拟）已知数列的前项和为，且，，则（　　）
A．210 B．110 C．50 D．55
26．（2023高二上·定州期末）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（　　）
A．21寸 B．20.5寸 C．20寸 D．19.5寸
27．（2023高三下·湘豫开学考）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和（　　）
A． B． C． D．
28．（2023高二上·商丘期末）已知数列满足，，则（　　）
A． B． C．12 D．21
29．（2023高三上·肥东期末）已知数列的前n项和为，，，则（　　）
A．414 B．406 C．403 D．393
30．（2023高二上·江岸期末）已知函数的定义域为R，且满足，对任意实数都有，若，则中的最大项为（　　）
A． B． C．和 D．和
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 数列是等差数列 ，且a3+a5+a7=15，所以由等差数列性质有，解得a5=5
又因为，解得公差d=2；所以a10=a5+5d=5+10=15
故答案为：15.
【分析】根据题目条件a3+a5+a7=15，先求出a5，再根据，求出公差d，最后再求解a10.
2．【答案】A
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
故选：A.
【分析】运用递推公式求解数列的项。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，
，
∴解得，，
，
，
故过点和的直线的斜率是．
故选：B．
【分析】 首先根据，求出、和，再结合直线斜率公式，即可求出斜率．
4．【答案】D
【解析】【解答】设 等差数列 的公差为，
由题意可得，解得，
所以.
故答案为：D.
【分析】设 等差数列 的公差为，根据题意列式求，再结合等差数列的求和公式运算求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】由等差数列下标和性质得到：a1 +a9= 2a5，a1+an=a5+an-4，
又因为S9=9a5=18，得到a5=2
结合Sn==240，
故n(2+30)=480，解出n=15
故选：B.
【分析】 依次使用三个条件，由等差数列下标和性质得到a5，后运用Sn=求出n.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意设此人第一天走a1里，第二天走a2里， 第n天走an里，{an}是等差数列，首项是a1=100 ，
因为 ，所以a5=140 ．
故选：D．
【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案．
7．【答案】B
【解析】【解答】充分性：无法说明数列为等差数列，充分性不成立；
必要性：若数列为等差数列，由等差中项性质知成立。
故答案为：B
【分析】利用等差数列性质分别判断充分性和必要性。
8．【答案】C
【解析】【解答】由题意知，
由等差数列性质可得，
所以，
所以，
又，
所以．
故答案为：C．
【分析】由等差数列性质可得，，可求出，再根据等差数列的求和公式可求出答案.
9．【答案】A
【解析】【解答】因为，解得，
可得数列的公差为，则 ，
即，且，解得.
故答案为：6.
【分析】根据题意结合等差数列的性质可求，进而可得结果.
10．【答案】A
11．【答案】D
【解析】【解答】解：为等差数列，，，
，即化简得，
故答案为：D.
【分析】利用等差中项得，，再根据等差数列通项和 得，进而求解.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：显然，因为，可得，
所以数列是公比为的等比数列，
又因为，则，解得，
所以，
所以
，
若取得最小值，则为奇数，且取最小值，
结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，
所以当取得最小值时，.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合等比数列可得，进而结合指数运算以及等差数列求和可得，分析可得若取得最小值，则为奇数，且取最小值，结合二次函数运算求解即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】由题意知新的等差数列的公差，首项，数列通项公式为，.
故答案为：C
【分析】先新的等差数列的公差，再利用等差数列通项公式求解 。
14．【答案】B
【解析】【解答】 由数列，满足，（常数），
得数列是首项为2，公差为2的等差数列，数列为首项为2，公比为2的等比数列，整理得an=2n，bn=2.2n-1=2”.
则
故
故选： B.
【分析】首先求出数列 ， 的通项公式，进而求出 的通项公式，再根据等比数列的求和公式可求出答案.
15．【答案】D
【解析】【解答】 设公差为d，由 得(a1+d)(a1+3d)=0，整理得，
即(3d+1)(d+1)=0，解得d=-1或.
故选： D.
【分析】直接利用等差数列的通项公式列出方程，求解可得答案.
16．【答案】B
【解析】【解答】 能被3除余1，且被5除余1的数为能被15除余1的数，按从小到大的顺序排成以1为首项，公差为15的等差数列，则，
则
故答案为：B
【分析】由已知条件可得数列是以1为首项，公差为15的等差数列，由等差数列的通项公式和前n项和公式计算可得答案.
17．【答案】A
【解析】【解答】 等差数列的公差为 ，则，又，解得
.
故答案为：A
【分析】先利用等差数列通项求出公差，再利用求和公式求出 .
18．【答案】C
【解析】【解答】为等差数列，
有，，
，
，
故选：C
【分析】利用等差中项公式逐步分析，由需求转化成求。
19．【答案】B
【解析】【解答】设等差数列的首项为，由其公差为，
易得，，....，
即得，，，......，
由集合只含有两个元素，即 ，
由上述可知不妨，且，
故，
∴，即，解得，
∴，，
故.
【分析】根据题意结合余弦函数周期性分析得出，，即可计算ab的值.
20．【答案】C
【解析】【解答】甲：设数列首项为，公差为，则，
所以，
由等差数列通项公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：设数列是首项为，公差为则，
∴，
由等差数列前n项和公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即乙是甲的充分条件；
∴甲是乙的充要条件。
故选：C
【分析】 根据题意表达数列，结合等差数列通项公式与前n项和公式即得答案。
21．【答案】B
【解析】【解答】因为，则有：
当时，，则，且，可得，故A错误；
当时，，整理得；
所以数列是以首项，公差的等差数列，
则，且，所以，故C错误；
当时，，
且上式对也成立，所以，
可知数列为递减数列，可得，故B正确；
因为，
所以
，
故D错误；
故选：B.
【分析】根据与的关系可得，，进而逐项分析判断.
22．【答案】C
【解析】【解答】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，
则，
∴ ，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时取最小值为．
故答案为：C.
【分析】 根据题意知{an}是首项为8，公差为15的等差数列，从而得出，进而得出，然后根据函数的单调性即可求出 的最小值 .
23．【答案】A
【解析】【解答】由题可得，，所以，即．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合韦达定理和等差数列的性质以及等差数列前n项和公式，从而得出等差数列前13项的和。
24．【答案】B
【解析】【解答】当时，数列恒为负，
当时，数列恒为正，
所以当时最小.
故答案为：B.
【分析】分与讨论数列的正负，即可求解出答案.
25．【答案】A
【解析】【解答】因为，所以当时，，两式相减得，
由，可得，进而，
所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，
又，而，所以，
故答案为：A
【分析】 由，得当时，两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可求出答案.
26．【答案】A
【解析】【解答】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，
所以日影长可构成等差数列，
因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5，
所以，则，得，
所以大雪、寒露的日影长之和为（寸），
故答案为：A
【分析】利用从冬至到夏至的日影长等量减少，再结合等差数列的定义判断出日影长可构成等差数列， 再利用冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5，所以，则，再结合等差数列的性质得出的值，再利用等差数列的性质得出大雪、寒露的日影长之和。
27．【答案】D
【解析】【解答】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以.
所以.
所以.
所以.
故，
所以数列的前项和.
故答案为：D
【分析】由题结合的等差数列的定义可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合，从而得出数列的通项公式，字节和裂项相消的方法得出数列的前n项和。
28．【答案】A
【解析】【解答】正项数列满足，，所以，
可得，所以是等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故答案为：A．
【分析】根据题意，化简得到，得到是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.
29．【答案】B
【解析】【解答】由，两式相减得，即.
再由，两式相减得，由，得，
故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，
故.
故答案为：B
【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案.
30．【答案】D
【解析】【解答】方法一：由题意，
可得，
令，而，得，
即，即
即数列是首项为，公差为10的等差数列，
所以，则，
则，
当时，；当 时，；当时，，
所以中最大项为和，
故答案为：D.
方法二：
由，
得，
设，
则，故可设，由，
得，所以，则，
所以，因为，
所以当时，，；
当时，，；当时，，，
所以中的最大项为和，故答案为：D.
【分析】由条件变形为，采用赋值法可得推出数列是首项为，公差为10的等差数列，求得判断其单调性即可求得答案.
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