高中数学人教A版（2019）选修2 4.3 等比数列1选择题章节综合练习题（答案+解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.3 等比数列1选择题
一、选择题
1．（2023高二下·湖口期中）在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（　　）
A．28 B．20 C．18 D．12
2．（2023高二下·合肥期中）已知等比数列{}，且，则的值为（　　）
A．3 B． C．± D．
3．（2023高二下·江门期末）设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2023高一下·宁波期末）已知等比数列的前项积为，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·杭州期末） “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·宝安期中）在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（　　）
A．1 B．3 C． D．
7．等比数列为递减数列，若，则（　　）
A． B． C． D．6
8．（2023·房山模拟）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023·平湖模拟）数列的前项和为，则数列的前项和为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知为递减等比数列，，，，则（　　）
A． B． C． D．
11．符号表示不超过实数的最大整数，如.已知数列满足，.若为数列的前项和，则（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
12．（2023高三上·开远月考）已知正项等比数列的前n项和为，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
13．已知各项均为正数的等比数列的公比为2，若存在两项使得，则（　　）
A．3 B．4 C．8 D．16
14．（2023高二下·上虞月考）数列，满足，，，则数列的前项和为（　　）
A． B．
C． D．
15．（2023高二下·盐田月考）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（　　）
A． B． C． D．
16．（2023·全国甲卷）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（　　）
A．7 B．9 C．15 D．30
17．（2023·天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（　　）
A．3 B．18 C．54 D．152
18．（2023·新高考Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若则（　　）
A．120 B．85 C．-85 D．120
19．（2023高二下·浙江期中）已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（　　）
A．1 B． C．-1 D．
20．（2023高二下·安徽期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（　　）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
21．（2023高三下·四川模拟）已知等比数列的前n项和为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
22．（2023·铜川模拟）等比数列满足，设数列的前项和为，则=（　　）
A．-11 B．-8 C．5 D．11
23．（2023高二下·南阳期中）设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则数列的前2023项的积为（　　）
A． B． C． D．
24．（2023·奉贤模拟）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：
①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；
②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有（　　）个
A．0 B．1 C．2 D．3
25．（2023·日照模拟）已知数列的前项和为，且满足，，设，若存在正整数，使得，，成等差数列，则（　　）
A． B． C． D．
26．（2023·梅州模拟）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（　　）
A． B． C．. D．
27．（2023·闵行模拟）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（　　）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
28．（2023高二下·定远期末）在归国包机上，孟晚舟写下月是故乡明，心安是归途，其中写道“过去的天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的天，山重水复，不知归途在何处”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列中，其前项和可能为的数列是（　　）
A． B．
C． D．
29．（2023高二下·达州期末）设是正项数列的前n项和，，则（　　）
A．如果，那么 B．
C．如果，那么 D．
30．（2023高三下·浙江月考）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（　　）个刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】根据题意得12a7= a8+a9，12=q+q2，解得q=3或q = -4(舍)
=1+q3=28.
故选择：A
【分析】由等比数列的通项公式求出q=3，再由等比数列的前n项和公式代入化简求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】设公比为，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式得出公比的值，再结合等比数列的通项公式得出等比数列第三项的值。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：显然，因为，可得，
所以数列是公比为的等比数列，
又因为，则，解得，
所以，
所以
，
若取得最小值，则为奇数，且取最小值，
结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，
所以当取得最小值时，.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合等比数列可得，进而结合指数运算以及等差数列求和可得，分析可得若取得最小值，则为奇数，且取最小值，结合二次函数运算求解即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】设等比数列的首项为，公比为，则，，
AB、，，即， ，
有，，，，AB错误；
CD、，，，C错误，D正确.
故答案为：D
【分析】设的首项为，公比为，求出，利用 分析求出，的范围，进而分析选项.
5．【答案】B
【解析】【解答】由题知：十三个单音构成首项为，公比为的等比数列，第四个单音的频率为
.
故答案为：B
【分析】根据等比数列性质知十三个单音构成首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式第四个单音的频率.
6．【答案】D
【解析】【解答】数列 为等比数列，，与的等比中项是.
故答案为：D
【分析】先求出，再利用等比中项定义求 与的等比中项。
7．【答案】A
【解析】【解答】等比数列为减数数列，则，或，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴为方程的两个根，
又∵ ，
∴，
∴
∴
故选：A.
【分析】本题主要考察等比数列的性质，因为等比数列为减数数列，结合题意，可得出a3=3，a5=2，从而得出q2，进行求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】充分性： ，，，有，，，是首项，公比的等比数列；
必要性：若 为等比数列 ，设公比为，则，，只有时，才有，必要性不成立.
故答案为：A
【分析】利用等比数列定义分别判断充分性和必要性.
9．【答案】D
【解析】【解答】依题意，设数列的前项和为，即，
当时，，
当时，由得，
两式相减得，
也符合上式，所以，
，所以数列是等比数列，首项为2，公比为3.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和为.
故答案为：D
【分析】依题意，设数列的前项和为，即，再利用数列前n项和与数列的通项公式的关系式，再结合检验法得出数列的通项公式，再结合等比数列的定义判断出数列是等比数列，首项为2，公比为3，所以数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出数列的前项和。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：由得a2=1(-1不满足题意），又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】先根据等比中项的性质求出a2，再由已知解出公比和首项，最后代入等比数列求和公式即可得解。
11．【答案】B
【解析】【解答】解：由 得，令，则，数列是首项为公比为的等比数列，，
，，，，全部相加化简得，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：B.
【分析】由推得等比数列，进而数列的通项，求得，利用裂项相消法求出，结合题中定义可求的值.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因为为正项等比数列，则为等比数列，
可得，即，
又因为 S8-2S4=5， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 a9+a10+a11+a12的最小值为 20
故答案为：C.
【分析】根据题意结合等比数列的和项性质可得，再结合S8-2S4=5利用基本不等式运算求解.
13．【答案】C
【解析】【解答】由题意设数列首项为，， ，又，，，即，.
故答案为：C
【分析】由题意设，代入求解即可.
14．【答案】B
【解析】【解答】 由数列，满足，（常数），
得数列是首项为2，公差为2的等差数列，数列为首项为2，公比为2的等比数列，整理得an=2n，bn=2.2n-1=2”.
则
故
故选： B.
【分析】首先求出数列 ， 的通项公式，进而求出 的通项公式，再根据等比数列的求和公式可求出答案.
15．【答案】B
【解析】【解答】设其中，
成等差数列，，即，，又解得，
。
故答案为：B
【分析】设出等比数列通项，再通过 成等差数列列出等式进而求解。
16．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，设数列 的公比为q(q>1)，
∴，同理，
由 ，
∴，整理得，解得，
∴.
故选：C.
【分析】根据题意设出公比，利用等比数列前n项和公式将已知条件转化成关于q的方程从而解出q，即可算出 .
17．【答案】C
【解析】【解答】 ∵......①，
∴......②
由①－②得，，即，
∴公比为3，
当n=1时，，解得，
，
故选：C.
【分析】由递推公式与关系得出数列公比为，再由递推公式当n=1时，求出首项即得 的值 .
18．【答案】C
【解析】【解答】 数列为等比数列，
显然当时不符合题意，
，
，，
，，
解得，
代入得，
故选：C
【分析】直接利用等比通项公式，代入条件解出公比，为避免分类讨论跳过求a1，得到值关系即得答案。
19．【答案】D
【解析】【解答】当公比时，，不满足题意，当时，，，
所以，解得，
故答案为：D
【分析】 根据等比数列前n项和公式，可求得S10，S5表达式，结合题干条件，即可求得q的值.
20．【答案】B
【解析】【解答】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由已知．
所以前秒热气球上升的总高度，
因为，
所以数列为单调递增数列，
又，，
所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70高度，
故答案为：B．
【分析】 设表示热气球在第n分钟内上升的高度，分析可知数列{an}为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列{an}的前n项和，利用数列的单调性可得出S3<7021．【答案】D
【解析】【解答】设等比数列的首项为，公比为q，
则
即
解之得，则，
故答案为：D
【分析】 先列方程组求得等比数列的首项和公比的值，进而求得其通项公式和前n项和公式，可得答案.
22．【答案】A
【解析】【解答】设等比数列的公比为 由可得，又，，
所以，所以，因为，
故数列也为等比数列，公比为
所以等比数列的公比为
因此，
所以，
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式化简条件求，判断数列为等比数列，然后利用等比数列的前项和公式计算.
23．【答案】D
【解析】【解答】因为，
所以，曲线在点处的切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
所以，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，
所以，数列的前项的积为，
所以，数列的前2023项的积为.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在点处的切线方程，进而得出曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，从而结合数列的通项公式得出数列的前项的积，再由代入法得出数列的前2023项的积。
24．【答案】D
【解析】【解答】对于①，，
若，则，所以①正确；
对于②，设等差数列的公差为，
则，所以，
即为公差为的等差数列，
若为和谐数列，即，则，
所以关于的二次函数，开口向上，
所以在上一定存在最小值，所以②正确；
对于③，取，
则，
，
下面证明，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，
即证，
即证，
即证，
当，上式左边为负数，显然成立，
当，时，即证，即证，（*）
设，
所以，即（*）式成立，所以③正确.
故答案为：D
【分析】先得出的等价条件，然后再进行判断，对于③可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.
25．【答案】B
【解析】【解答】数列满足，，
当时，，解得：；
当时，，
因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，，
若存在正整数，使得，，成等差数列，
则，所以①
因为数列是单调递减数列，
当时，由，解得：，舍去；
当时，则，；
当时，，，所以，①式不成立，
所以，则有，解得：，
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推公式得出，然后根据等差数列的性质进项求解即可得出结果.
26．【答案】B
【解析】【解答】解：设，由题意得，第项为，
则时，，
因为，，
所以，
解得，
故答案为：B
【分析】设，根据题意得到，由，，得到，进而求得的值.
27．【答案】C
【解析】【解答】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，D为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合“M数列”的定义和等差数列以及等比数列的定义，再结合数列的单调性和的关系式以及数列求和公式，进而找出假命题的选项。
28．【答案】D
【解析】【解答】对A：因为 ，可知数列为等差数列，则，
显然是5的倍数，所以1028不是其前项和，故A错误；
对B：因为，
则，
所以1028不是其前项和，故B错误；
对C：当为偶数时，则
，
当为奇数时，则，
令，解得(舍去)；
综上所述：其前项和不可能为，故C错误；
对D：因为，
令，解得，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合公式法、裂项相消法以及分组（并项）求和方法逐项分析判断.
29．【答案】D
【解析】【解答】A、
B、取特殊值验证
不成立
C、
D、D、因为数列都是正数
所以
故选：D.
【分析】利用数列的性质，求出数列大致范围，再结合取特殊值法进行排除.
30．【答案】B
【解析】【解答】若有一根的尺子，量出长度为到且为整数的物体，
则当尺子有4个刻度时满足条件
设为长度，为刻度，为刻度对应的数量，则有且，其中，
当时，
下证，当尺子有3个刻度时不能量出的物体长度
设且，其中，
所以当中有1个0，x的取值至多有3个
当中有2个0时，或，x的取值至多有2个
当中没有0时，x的取值有1个
所以x取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出的物体长度．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和数列的求解方法，再结合数列求和的方法得出现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有4个刻度。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)