高中数学人教A版（2019）选修2 4.3 等比数列2解答题章节综合练习题（答案+解析）

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4.3 等比数列2解答题
一、解答题
1．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2023高二下·河北期末）已知数列的前n项和为，数列满足，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）是否存在常数p、q，使得对一切正整数n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，说明理由．
3．（2023高二下·镇巴县期末）已知数列的前项和为（为常数）.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求证：.
4．（2023高二下·杨浦期末） 设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求公比的值；
（2）求的值.
5．（2023高二下·宝安期中）已知等比数列的前项和．
（1）求实数的值；
（2）若，求．
6．（2023高三上·深圳月考）已知数列是正项等比数列，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
7．（2023高三上·广州月考）已知数列满足
（1）判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
（2）若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
8．已知数列各项都不为0，前项和为，且，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为.
9．（2023高三上·阳江开学考）已知数列中，是其前项的和，，.
（1）求，的值，并证明是等比数列；
（2）证明：.
10．（2023高三上·开远月考）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前12项和．
11．（2023高三上·哈尔滨开学考）已知等比数列的各项均为正值，a3是4a1、2a2的等差中项，a5=32，记．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：．
12．（2023·月考）已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前n项和为，证明：.
13．（2023高二下·十堰期末）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
14．（2023高二下·揭阳期末）已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：
①；②为等比数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
（1）从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；
（2）求数列的前n项和．
15．（2023高二下·天河期末）已知正项数列的前项和为，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列，的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，，…，求数列的前项的和.
16．（2023高二下·中山期末）已知各项均为正数的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．
17．（2023高二下·安徽月考）设数列的前项和为，，点在直线上．
（1）求及；
（2）记，求数列的前20项和．
18．（2023高二下·杭州期末） 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和.
19．（2023高二下·花都期中）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（2023高二下·深圳期中）已知等比数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：．
21．（2023高二下·龙岗期中）已知数列满足，．
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22．（2023高三下·吉林）数列，满足，，．
（1）求证：是常数列；
（2）设，，求的最大项．
23．（2023高二下·杭州）已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式．
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，为公比的等比数列，求数列的前项和．
24．（2023高二下·上虞月考）已知数列的前项和为，且满足
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
25．设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求其前项和
26．（2023·黄埔）已知数列的前项和为，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：．
27．（2023高二下·保山期末）已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足：，记的前项和为，求.
28．已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求满足条件的最大的正整数.
29．（2023高二下·定远期末）已知数列满足，。数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
30．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由，得，
又，是以为首项，为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为．
（2）解：由知，，
则，
得，
得
，
故．
【解析】【分析】 (1)由条件化简得即 是等比数列，进而求数列的通项；
(2)由知，，结合错位相减和等比数列 前项和公式求 数列的前项和.
2．【答案】（1）证明：因为数列的前n项和为，
当时，，
所以，
当时，，满足，
所以数列的通项公式为，，
所以，，
所以是首项为7，公差为4的等差数列．
（2）解：因为，所以，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，
所以；
所以，
要使对一切正整数n都有成立．
即，即，
所以，
解得，所以则当，时，对一切正整数n都有成立．
【解析】【分析】(1)根据，求出通项公式，进而证明出数列为等差数列；
(2)先得到数列是以8为首项，为公比的等比数列，求出通项公式，结合对数运算列出方程组，求出，.
3．【答案】（1）解：当时，，得
又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即.
（2）解：当时，，则，
所以是首项为1，公差为4的等差数列，
所以，
所以，所以当时，，
当时，
当时，，
综上，.
【解析】【分析】（1）将 代入 整理得，利用等比数列性质求 的通项公式；
（2）将 代入 整理得，利用等差数列性质求数列 的前项和 ，进而求，再利用放缩法、累加法证明 .
4．【答案】（1）解：由题意可得，，所以公比.
（2）解：由题意可得，，则.
【解析】【分析】（1）根据等比数列性质利用，求公比；
（2）先求首项，再利用等比数列求和公式求 的值.
5．【答案】（1）解：当时，，
数列是等比数列，
，解得；
（2）解：，
则，
解得．
【解析】【分析】（1）利用 ，求出数列 的通项，由 求出 的值 ；
（2）将 代入前项和公式求．
6．【答案】（1）解：由等比数列的性质可得，
由题意可得，解得，
所以等比数列的公比为，所以.
（2）解：由（1）得.
所以，①
则，②
①②得，
因此；
【解析】【分析】（1）由等比数列的性质和待定系数法即可求出的通项公式；
（2）由（1）知，即可求得，然后利用错位相减法可求解.
7．【答案】（1）数列成等比数列.
根据得
，即数列成等比数列.
（2）由(1)得，，
由，得.
显然单调递增，且，
故.
当时，
综上，知.
当时，
当时，
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列的定义运算求解；
(2) 根据题意可得 ，构建函数，结合单调性可得，进而可得 ，利用放缩法结合裂项相消法分析证明.
8．【答案】（1）解：由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为0，所以数列是以为公比的等比数列.
令，则，解得，故.
由题知，所以
（2）解：由（1）得，
所以，
，
两式相减得，
所以.
【解析】【分析】 (1)利用求数列通项 ，利用累加法求数列通项；
(2) 由（1）得利用错位相减法求数列的前项和为 .
9．【答案】（1）解：由，得，
所以，，
由，得，
所以，.
证明如下：
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，，
即数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，，
，，
，
因为，所以，
于是，
其中，
于是，
所以.
即.
【解析】【分析】(1)根据题意直接求，的值，并结合等比数列的定义分析证明；
(2)由（1）知，，整理得，利用放缩证明.
10．【答案】（1）解：设数列的公差为d，数列的公比为，
由题意可得，，即，
所以，
因为，所以，
所以，．
（2）解：由（1）可得，
所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；
所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．
所以，
．
【解析】【分析】 (1) 根据等差、等比数列的列式求得 ， 进而可得结果；
(2)由（1）可得， 利用分组求解运算求解.
11．【答案】（1）解：解：设数列{an}的公比为q，则q>0，
由题意知，可得，解得，
所以.
（2）证明：因为
所以.
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等比数列的通项公式即可求出q，再利用等比数列的通项公式即可求解.
(2先利用裂项求和法求出，再用分析法即可证明.
12．【答案】（1）解：设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）可得，
故.
当时，取得最大值，当时，
，
故.
【解析】【分析】 (1)、 由，，成等差数列求出q，再求出，列出通项公式.
(2)、 根据裂项相消法求出，讨论取极值情况.
13．【答案】（1）解：方法一：设等比数列的首项为，公比为.
由，得，即，
解得，
故.
方法二：设等比数列的首项为，公比为.
由，得，
两式相减得，即，得.
由，得，解得.
故.
（2）解：因为，
所以，①
.②
由①-②得
，
故
【解析】【分析】(1)方法一：用和表示从而得到关于和q的方程组，解得，利用等比数列的通项公式即可求解.
方法二：利用递推关系求出，结合等比数列的定义求出，再令n=1求出，利用等比数列的通项公式即可求解.
（2）利用错位相减法即可求解.
14．【答案】（1）解：若将①②作为条件，③作为结论：
设数列的公比为，由，得，
因为数列的各项均为正数，所以，解得，
又，所以，
所以.
若将①③作为条件，②作为结论：
联立，解得，所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以当时，，所以为等比数列.
若将②③作为条件，①作为结论：
设数列的公比为，因为，所以，
则，
又数列的各项均为正数，所以，所以，
所以，即.
（2）解：由（1）得，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【解析】【分析】 (1) 根据等比数列的定义和性质分析证明；
(2)由（1）可得，利用错位相减法运算求解.
15．【答案】（1）解：因为，
所以令，得，即，
所以或，因为数列是正数数列，所以；
当时，由，
则，
两式相减，
即，
整理得，
因为，
所以，
所以，即
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以；
所以，
因为数列是公比为2的等比数列，
所以.
所以数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）解：由题意知，数列的前项由数列的前项，的前项组成，
数列的前项的和为，
数列的前项的和为，
所以数列的前项的和.
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用公式，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式，再由等比数列的性质求得数列的通项公式。
（2）利用分组求和的方法求解即可。
16．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，由题意得，
因为等比数列中，，所以，又，解得，
所以，即的通项公式为．
（2）解：由（1）知，
因为，，
所以的前50项是由的前5项与的前45项组成，
记的前50项的和为，则
．
所以的前50项的和为3181．
【解析】【分析】 (1) 根据题意列式可求得公比，进而可得结果；
(2) 由（1）可知，分析可得的前50项是由的前5项与的前45项组成，利用分组求和运算求解.
17．【答案】（1）由点在直线上，得.
当时，，即，
当时，由得，
两式相减得，即，而，
所以，又，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以
．
【解析】【分析】(1)由点在直线上， 得出an+1与Sn的关系，可求出 ；进而得出，可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即可得到 ；
(2)由分组求和，结合等差数列、等比数列的求和公式即可求出数列的前20项和．
18．【答案】（1）解：设差数列的公差为，则由，
可得，解得，因此.
（2）解：由，得，
又由是以为首项，2为公比的等比数列，得，因此，
所以，所以.
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的前n项和及通项公式基本量计算即可；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出{bn}的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可.
19．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为，
，，成等差数列，
，即，
，，
整理，得，
解得舍去，或，
又，
，
解得，
，．
（2）解：由(1)可得，
，
，
，
两式相减，
可得，
，
，
．
【解析】【分析】(1)根据，，成等差数列，求出公差，再求出.
(2) 由(1)可得，，两式相减，求出通项公式.
20．【答案】（1）解：因为，则当时，，
当时，由，可得，
所以，即，
因为是等比数列，所以该数列的公比为，
所以，所以，即，
所以数列的通项公式．
（2）证明：由得，
所以，
故．
【解析】【分析】(1) 根据已知条件求出公比3，再写出通项公式.
（2）根据对数函数的性质，再通过裂项相消求出即可.
21．【答案】（1）证明：由题意可得：，
，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
因此的通项公式为；
（2）解：由（1）知，
令，则，
所以，
综上．
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列的定义与通项公式运算求解；
(2) 利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
22．【答案】（1）证明：，，，，
，，因此，数列是常数列；
（2）解：由（1），即，且，整理得，
，，
，
当时，，，
，
，，数列单调递减，的最大项为．
【解析】【分析】（1） 通过证明得到是常数列 ；
（2）先求出 通项，利用数列单调性求的最大项。
23．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则由，
可得
解得因此
（2）解：由，得，
又由是以为首项，为公比的等比数列，
得，因此，，
所以．
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的前n项和及通项公式求出首项和公差，即可得出数列的通项公式；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解，即可得数列的前项和．
24．【答案】（1）解：由，
，
作差得，即，
所以，，
又由，即，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，则．
（2）解：由（1）得，
，
，
所以，
即，
所以．
【解析】【分析】(1)根据得，即，，即可得到是首项为，公比为的等比数列，即可得出 的通项公式；
(2)由（1）得，利用错位相减法求和，即可求出数列的前项和．
25．【答案】（1）解：因为，
所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
两式作差得：，
化简得：即，
所以，
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
（2）解：设，
则有，比较系数得，
所以
所以，
所以，
所以.
【解析】【分析】(1)由题意可得 ， ，两式相减化简得 ，再根据等比数列性质写出数列的通项公式；
(2)设 ，整理后比较系数求出的值得到 ，利用裂项相消法求其前项和.
26．【答案】（1）解：利用裂项相消法求得，即可得出结论.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
即，所以．
即，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以.
（2）解：，
故数列的前项和
，
因为，所以，
所以．
【解析】【分析】 (1)利用 得出，即，得出数列是首项为，公比为的等比数列，可得数列的通项公式；
(2)，利用裂项相消法求得，即可证得结论.
27．【答案】（1）解：①，
当时，②，
① ②得：，即，
，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
（2）解：，
，
所以的前项和
【解析】【分析】（1）利用公式和已知条件，求得an与an-1的关系式，进而求得通项公式an；
（2）由an求得bn，再运用分类求和的方法求得Tn。
28．【答案】（1）证明：由，得，
则，
又因为
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列
（2）解：由（1）得
因为，
所以
即
又因为为单调增函数，
所以满足的最大正整数为32即满足条件的
最大正整数
【解析】【分析】(1)先取倒数，然后通过构造法证明；
(2)结合(1)求数列 的通项，然后分组求和根据函数单调性求解.
29．【答案】（1）由并根据题意可知，
则，
当且时，
由累乘法得，
又，则，
当时，也符合上式，
综上可知，．
（2），因为，所以，即，
当且时，由累加法得，
设，则，
所以，
又，则，
当时，上述不等式也成立，
因此，当时，对恒成立．
【解析】【分析】（1）由得到利用累乘法求的通项公式；
（2）利用基本不等式进行放缩，再利用累加法和错位相减法证明 ．
30．【答案】（1）解：由题意得，故，，
即；
（2）解：由已知，得n为奇数时，；
当n为偶数时，
，
则
．
【解析】【分析】（1）给定两个条件都可以写成a1与q的关系，联立方程即可求出
（2）利用数列a的通项公式，表达出b的通项公式，求2n项和分成奇数项求和+偶数项求和，相当于两个数列求和
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