高中数学人教A版（2019）选修2 4.4 数学归纳法章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修2 4.4 数学归纳法章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 333.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 20:35:31 | ||
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文档简介
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4.4 数学归纳法*
一、选择题
1．（2022高二下·郑州期末）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023高二下·海南期末）在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
3．（2022高二下·北海期末）用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022高二下·辽宁期中）用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明等式 ，在验证n=1成立时，左边需计算的项是（ ）
A．1 B．1+a
C．1＋a+a2 D．1＋a＋a2＋a3
6．用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 ，左边应取的项是（ ）
A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
7．用数学归纳法证明：首项是 ，公差是 的等差数列的前 项和公式是 时，假设当 时，公式成立，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．用数学归纳法证明. ，在验证 时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023高二上·孝义期末）用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·张掖月考）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了一项
C．增加了，又减少了
D．增加了，又减少了
11．（2022高二下·鄠邑期末）用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（ ）
A．-1 B． C． D．
12．（2022高二下·钦州期末）用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
13．（2022高二下·郑州期中）用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022高二下·抚州期中）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
15．（2022·绍兴模拟）已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）
A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项
16．（2022高二下·眉山期末）用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1 B．k C． D．
17．（2022高二下·河池）用数学归纳法证明，则当时，等式左边应该在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
18．设 ，则Sk+1=（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
19．（2022高二下·奉贤期中）用数学归纳法证明“ ”，在验证 成立时，等号左边的式子是 .
20．（2022高二下·虹口期末）用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共 项．
21．（2022·浙江模拟）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列，则 ．
22．（2022·江西模拟）下列命题中，真命题的序号是 .
①已知函数满足，则函数：
②从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；
③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；
④的二项展开式中，共有3个有理项.
23．用数学归纳法证明： ，假设 时，不等式成立，则当 时，应推证的目标不等式是 .
24．用数学归纳法证明 时，由 的假设到证明 时，等式左边应添加的式子是 .
三、解答题
25．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
26．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
27．（2022高二下·虹口期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
（1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
28．（2022·温州模拟）数列满足，.
（1）证明：；
（2）若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
29．（2022高二下·遂宁期末）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
30．（2023高三上·昌平期末）已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立；
即左边大于右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为，
故答案为：B．
【分析】由数学归纳法的定义，整理化简不等式由此即可得证出结论。
2．【答案】A
【解析】【解答】根据题意，a1=3，a2=3-=，a3=3-=，且0＜an＜3，则有a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，当n=k+1时，则有，所以ak+1＞ak+2，数列{an}为递减数列.
故答案为：A．
【分析】根据题意判断a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，推导得出ak+1＞ak+2，即可证明数列{an}为递减数列.
3．【答案】B
【解析】【解答】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为，
故答案为：B.
【分析】根据题意对n分情况讨论，结合等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果，由数学归纳的定义即可得出答案。
4．【答案】D
【解析】【解答】当时，即证明
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明步骤得出第一步需要验证的不等式。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：当n=1时，等式左边为1+a+a2，
故答案为：C
【分析】根据数学归纳法代入n=1直接求解即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】当n-1时，n＋3=4，故左边应为1＋2＋3＋4。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，从而得出第一步验证 ，左边应取的项。
7．【答案】C
【解析】【解答】假设当n=k时，公式成立，只需把公式中的 换成 即可，即 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，从而得出。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：根据数学归纳法易知，当n=1时，等式左边=1+a.
故答案为：B
【分析】根据数学归纳法直接求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】当时，左边.
当时，左边.
所以要增乘的是.
故答案为：D
【分析】分别求出当时和当时，左边的代数式，即可得到正确答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】由题意，当时，左边；
当时，左边，
所以由递推到时，不等式左边增加了，又减少了.
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别写出和时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】由题意，当时，
左边
故答案为：C
【分析】 根据等式左侧最后一项在n = 1时为-5，结合选项得答案.
12．【答案】B
【解析】【解答】因为，当时，左边=.
故答案为：B
【分析】先通过解原不等式知，要使原不等式成立，，从而根据数学归纳法证明即可.
13．【答案】B
【解析】【解答】时左边比时左边增加了，减少了，所以证明=，
故答案为：B.
【分析】 写出n = k的不等式以及n = k + 1时的不等式，即可判断出答案.
14．【答案】D
【解析】【解答】由题意知当时，左边为，
当时，左边为，
增加的部分为，共项．
故答案为：D
【分析】根据题意，由递推到时，由时为与时不等式的左边比较，即可求解出答案.
15．【答案】D
【解析】【解答】数列各项均为正，
，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾），
所以数列中，时，，是最小项．
又，，所以，，
记，则，两边求导得，即，
时，，是减函数，
所以时，是递减数列，因此有上界，时，，
即，
设，，时，，是增函数，
经过计算，得，而，所以时满足的满足，即，
从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项．
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法得数列第2项开始都大于1，这样a1是最小项，利用不等式放缩得出，令，利用导数证明其在x≥3时是减函数，得数列有上界，时，，再设，由零点存在定理说明，从而确定这6项中的最大值是数列的最大项．
16．【答案】D
【解析】【解答】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而得出左边需要添加的项数。
17．【答案】D
【解析】【解答】当n=k时，等式左端，
当n=k+1时，等式左端，增加了项．
故答案为：D．
【分析】根据数学归纳法，当n=k时，以及当n=k+1时，等式的变化情况，找出增加的项，可得答案.
18．【答案】C
【解析】【解答】由题意将k替换为 ，据此可得
故答案为：C
【分析】由题意将k替换为 ，再结合已知条件 ， 从而找出 与Sk+1的关系，进而求出Sk+1与Sk的关系式。
19．【答案】
【解析】【解答】解：当n=1时，左边= .
故答案为：
【分析】由数学归纳法，代入求解即可.
20．【答案】
【解析】【解答】时，不等式为，时，不等式为，
右边增加，项数有．
故答案为：．
【分析】写出和时的式子，比较可得．
21．【答案】92；336
【解析】【解答】记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
【分析】记第个图形的点数为，由图形，归纳推理可得，再根据累加得可得，进而求出．由于可得，根据等差数列的前n项和即可求出的结果.
22．【答案】②③
【解析】【解答】对于①，令 ，故，
即，故①不是真命题；
对于②，从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，球上数字共有 种可能，其中两个球上数字奇偶性相同的可能为 种，故所求概率为 ，故②正确，是真命题；
对于③，用数学归纳法证明“”，
当时，不等式左边为，
当时，不等式左边式子应为，
故应添加的项是 ，故③是真命题；
对于④，二项式展开式的通项公式为：
，
当 时， 为有理项，共有四项，故④错误；
故答案为：②③
【分析】 利用换元法求得函数f (x )的解析式，要注意定义域，由此判断①；根据古典概型的计算公式求得摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率，判断②；写出n=k和n=k+1时不等式左边的式子，比较可判断③；利用二项式展开式的通项公式，根据x的指数是否为整数可判断出有理项，判断④.
23．【答案】
【解析】【解答】当 时，目标不等式为 。
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明不等式的方法，从而得出当 时，应推证的目标不等式。
24．【答案】
【解析】【解答】当 时，左边
当 时，左边 ，
所以等式左边添加的式子为
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明步骤，从而得出由 的假设到证明 时，等式左边应添加的式子 。
25．【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
26．【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
27．【答案】（1）解：令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
（2）解：当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
【解析】【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ，的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明．
28．【答案】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，
数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
【解析】【分析】 (1)首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果；
(2)根据(1) 运用放缩法，将bn进行放缩，进而表示出Sn，再运用不等式的性质证得结论成立.
29．【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
30．【答案】（1）解：若，则，，，
，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.
故.
（2）解：设，
若，则，因互质，故为3的倍数；
若，则即，因互质，
故为3的倍数，
依次类推，有均为3的倍数.
当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.
当时，若，则，故为3的倍数；
若，则，故为3的倍数，
设当时，是3的倍数即为3的倍数，
若，则，故为3的倍数；
若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，
故当时，是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得是3的倍数成立，
综上，的所有元素都是3的倍数.
（3）解：当，则，，，，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为1；
当时，的元素个数不超过为5，
综上，的元素个数的最大值为5.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和元素与集合的关系，进而结合函数的周期性得出集合M的所有的元素。
（2）利用已知条件结合类比推理的方法和分类讨论的方法，再结合数学归纳法证出集合的所有元素都是3的倍数。
（3）利用已知条件结合列举法得出集合M的元素个数，再结合比较法得出集合M的元素个数的最大值。
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4.4 数学归纳法*
一、选择题
1．（2022高二下·郑州期末）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023高二下·海南期末）在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
3．（2022高二下·北海期末）用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022高二下·辽宁期中）用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明等式 ，在验证n=1成立时，左边需计算的项是（ ）
A．1 B．1+a
C．1＋a+a2 D．1＋a＋a2＋a3
6．用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 ，左边应取的项是（ ）
A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
7．用数学归纳法证明：首项是 ，公差是 的等差数列的前 项和公式是 时，假设当 时，公式成立，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．用数学归纳法证明. ，在验证 时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023高二上·孝义期末）用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·张掖月考）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了一项
C．增加了，又减少了
D．增加了，又减少了
11．（2022高二下·鄠邑期末）用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（ ）
A．-1 B． C． D．
12．（2022高二下·钦州期末）用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
13．（2022高二下·郑州期中）用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022高二下·抚州期中）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
15．（2022·绍兴模拟）已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）
A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项
16．（2022高二下·眉山期末）用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ）
A．1 B．k C． D．
17．（2022高二下·河池）用数学归纳法证明，则当时，等式左边应该在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
18．设 ，则Sk+1=（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
19．（2022高二下·奉贤期中）用数学归纳法证明“ ”，在验证 成立时，等号左边的式子是 .
20．（2022高二下·虹口期末）用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共 项．
21．（2022·浙江模拟）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列，则 ．
22．（2022·江西模拟）下列命题中，真命题的序号是 .
①已知函数满足，则函数：
②从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；
③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；
④的二项展开式中，共有3个有理项.
23．用数学归纳法证明： ，假设 时，不等式成立，则当 时，应推证的目标不等式是 .
24．用数学归纳法证明 时，由 的假设到证明 时，等式左边应添加的式子是 .
三、解答题
25．（2022高二下·百色期末）已知数列的前项和为，其中且.
（1）试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法加以证明.
26．（2022高二下·河池期末）已知数列，为数列的前n项和.
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
27．（2022高二下·虹口期末）在数列，中，，且当（为正整数）时，，．
（1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
28．（2022·温州模拟）数列满足，.
（1）证明：；
（2）若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
29．（2022高二下·遂宁期末）设数列满足，.
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
30．（2023高三上·昌平期末）已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立；
即左边大于右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为，
故答案为：B．
【分析】由数学归纳法的定义，整理化简不等式由此即可得证出结论。
2．【答案】A
【解析】【解答】根据题意，a1=3，a2=3-=，a3=3-=，且0＜an＜3，则有a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，当n=k+1时，则有，所以ak+1＞ak+2，数列{an}为递减数列.
故答案为：A．
【分析】根据题意判断a1＞a2＞a3，假设n=k≥3，ak＞ak+1成立，推导得出ak+1＞ak+2，即可证明数列{an}为递减数列.
3．【答案】B
【解析】【解答】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为，
故答案为：B.
【分析】根据题意对n分情况讨论，结合等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果，由数学归纳的定义即可得出答案。
4．【答案】D
【解析】【解答】当时，即证明
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明步骤得出第一步需要验证的不等式。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：当n=1时，等式左边为1+a+a2，
故答案为：C
【分析】根据数学归纳法代入n=1直接求解即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】当n-1时，n＋3=4，故左边应为1＋2＋3＋4。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，从而得出第一步验证 ，左边应取的项。
7．【答案】C
【解析】【解答】假设当n=k时，公式成立，只需把公式中的 换成 即可，即 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，从而得出。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：根据数学归纳法易知，当n=1时，等式左边=1+a.
故答案为：B
【分析】根据数学归纳法直接求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】当时，左边.
当时，左边.
所以要增乘的是.
故答案为：D
【分析】分别求出当时和当时，左边的代数式，即可得到正确答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】由题意，当时，左边；
当时，左边，
所以由递推到时，不等式左边增加了，又减少了.
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别写出和时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】由题意，当时，
左边
故答案为：C
【分析】 根据等式左侧最后一项在n = 1时为-5，结合选项得答案.
12．【答案】B
【解析】【解答】因为，当时，左边=.
故答案为：B
【分析】先通过解原不等式知，要使原不等式成立，，从而根据数学归纳法证明即可.
13．【答案】B
【解析】【解答】时左边比时左边增加了，减少了，所以证明=，
故答案为：B.
【分析】 写出n = k的不等式以及n = k + 1时的不等式，即可判断出答案.
14．【答案】D
【解析】【解答】由题意知当时，左边为，
当时，左边为，
增加的部分为，共项．
故答案为：D
【分析】根据题意，由递推到时，由时为与时不等式的左边比较，即可求解出答案.
15．【答案】D
【解析】【解答】数列各项均为正，
，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾），
所以数列中，时，，是最小项．
又，，所以，，
记，则，两边求导得，即，
时，，是减函数，
所以时，是递减数列，因此有上界，时，，
即，
设，，时，，是增函数，
经过计算，得，而，所以时满足的满足，即，
从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项．
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法得数列第2项开始都大于1，这样a1是最小项，利用不等式放缩得出，令，利用导数证明其在x≥3时是减函数，得数列有上界，时，，再设，由零点存在定理说明，从而确定这6项中的最大值是数列的最大项．
16．【答案】D
【解析】【解答】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而得出左边需要添加的项数。
17．【答案】D
【解析】【解答】当n=k时，等式左端，
当n=k+1时，等式左端，增加了项．
故答案为：D．
【分析】根据数学归纳法，当n=k时，以及当n=k+1时，等式的变化情况，找出增加的项，可得答案.
18．【答案】C
【解析】【解答】由题意将k替换为 ，据此可得
故答案为：C
【分析】由题意将k替换为 ，再结合已知条件 ， 从而找出 与Sk+1的关系，进而求出Sk+1与Sk的关系式。
19．【答案】
【解析】【解答】解：当n=1时，左边= .
故答案为：
【分析】由数学归纳法，代入求解即可.
20．【答案】
【解析】【解答】时，不等式为，时，不等式为，
右边增加，项数有．
故答案为：．
【分析】写出和时的式子，比较可得．
21．【答案】92；336
【解析】【解答】记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
【分析】记第个图形的点数为，由图形，归纳推理可得，再根据累加得可得，进而求出．由于可得，根据等差数列的前n项和即可求出的结果.
22．【答案】②③
【解析】【解答】对于①，令 ，故，
即，故①不是真命题；
对于②，从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，球上数字共有 种可能，其中两个球上数字奇偶性相同的可能为 种，故所求概率为 ，故②正确，是真命题；
对于③，用数学归纳法证明“”，
当时，不等式左边为，
当时，不等式左边式子应为，
故应添加的项是 ，故③是真命题；
对于④，二项式展开式的通项公式为：
，
当 时， 为有理项，共有四项，故④错误；
故答案为：②③
【分析】 利用换元法求得函数f (x )的解析式，要注意定义域，由此判断①；根据古典概型的计算公式求得摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率，判断②；写出n=k和n=k+1时不等式左边的式子，比较可判断③；利用二项式展开式的通项公式，根据x的指数是否为整数可判断出有理项，判断④.
23．【答案】
【解析】【解答】当 时，目标不等式为 。
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明不等式的方法，从而得出当 时，应推证的目标不等式。
24．【答案】
【解析】【解答】当 时，左边
当 时，左边 ，
所以等式左边添加的式子为
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明步骤，从而得出由 的假设到证明 时，等式左边应添加的式子 。
25．【答案】（1）解：因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）证明：①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，结合数学归纳法即可猜想出数列的通项公式。
(2)利用数学归纳法的步骤整理化简，由此即可得出结论。
26．【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
所以，，，.
（2）证明：猜想：.
证明：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时，等式成立，
即.
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
.
【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和与数列项之间的关系，由此计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合数学归纳法，结合等比数列的前n项和公式，整理化简即可得出答案。
27．【答案】（1）解：令，则
令，则
令，则
猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）
（2）解：当时，成立
假定当时，成立
当时，则
即成立
∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）．
【解析】【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ，的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明．
28．【答案】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，
数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
【解析】【分析】 (1)首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果；
(2)根据(1) 运用放缩法，将bn进行放缩，进而表示出Sn，再运用不等式的性质证得结论成立.
29．【答案】（1）解：由，，可得：
，，
由，，，可猜想：
（2）证明：①当时，成立；
②假设当时，猜想成立，即.
则当时，
即当时，猜想成立.
由①②可知，对于任意的，都有成立.
综上所述，猜想得证.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和代入法，进而得出数列的第二项的值、第三项的值和第四项的值，再利用归纳推理的方法，进而猜想出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合数学归纳法的证明步骤，进而证明出（1）中的猜想。
30．【答案】（1）解：若，则，，，
，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.
故.
（2）解：设，
若，则，因互质，故为3的倍数；
若，则即，因互质，
故为3的倍数，
依次类推，有均为3的倍数.
当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.
当时，若，则，故为3的倍数；
若，则，故为3的倍数，
设当时，是3的倍数即为3的倍数，
若，则，故为3的倍数；
若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，
故当时，是3的倍数也成立，
由数学归纳法可得是3的倍数成立，
综上，的所有元素都是3的倍数.
（3）解：当，则，，，，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为4；
当，则，故的元素个数为5；
当，则，故的元素个数为1；
当时，的元素个数不超过为5，
综上，的元素个数的最大值为5.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和元素与集合的关系，进而结合函数的周期性得出集合M的所有的元素。
（2）利用已知条件结合类比推理的方法和分类讨论的方法，再结合数学归纳法证出集合的所有元素都是3的倍数。
（3）利用已知条件结合列举法得出集合M的元素个数，再结合比较法得出集合M的元素个数的最大值。
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