高中数学人教A版（2019）选修2 5.1 导数的概念及意义2解答题章节综合练习题（答案+解析）

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3.2 导数的概念及意义2解答题
一、解答题
1．已知函数，且．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
2．（2023高三上·梅河口开学考）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.
3．（2023高二下·黑龙江期末）已知函数，其中a为常数．
（1）当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值.
4．（2023高二下·联合期末）已知函数．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）已知时，讨论函数的零点个数．
5．（2023高二下·清远期末）已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若有两个极值点，证明：.
6．（2023高二下·百色期末）已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求；
（2）求函数在区间上的最值.
7．（2023高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的一个极值点，求的单调递增区间；
（3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
8．（2023高二下·中山期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
9．（2023高二下·嘉定期末）已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）已知函数在区间上有零点，求的值；
（3）记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.
10．（2023高二下·深圳期中）已知函数注：是自然对数的底数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
11．（2022高三上·白山）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
12．（2023高二下·四平月考）已知函数（）．
（1）当时，过点作的切线，求该切线的方程；
（2）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围．
13．已知函数，．
（1）试求与的公切线方程.
（2）设，，若不等式对一切恒成立，求的最大值．
14．（2023高二下·浙江月考）已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）记函数，且的最小值为.
（i）求实数的值；
（ii）若存在实数满足，求的最小值.
15．（2023高二下·台州期中）已知函数在时取得极值，在点处的切线的斜率为.
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的单调区间和最值.
16．（2023高二下·成都期中）已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求a的值
（2）求函数的极值.
17．（2023高二下·合肥期中）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
（1）求的单调区间；
（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.
18．（2023·资阳模拟）已知函数（其中e为自然对数的底数），且曲线在处的切线方程为．
（1）求实数m，n的值；
（2）证明：对任意的，恒成立．
19．（2023·榆林模拟）已知函数．
（1）若直线与曲线相切，求m的值；
（2）证明：（参考数据：）．
20．（2023·红河模拟）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求a的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21．（2023高三上·江西期末）已知函数的图象在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值．（参考数据：）
22．（2023高三上·大兴期末）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求的值；
（2）判断函数单调性并说明理由；
（3）证明：对，都有成立.
23．（2022·大荔模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，求函数在区间的最小值.
24．（2023高三上·广东月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若在上恒成立，求整数的最小值.
25．（2022高三上·绍兴月考）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间，
（2）若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
26．（2022高三上·齐齐哈尔月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值．
27．（2022高三上·湖北月考）已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，试问曲线是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.
28．（2022高三上·河北月考）设为函数的导函数，已知，且的图像经过点．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的单调区间．
29．（2022高三上·邢台月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.
30．（2022高三上·岳阳月考）已知（为自然对数的底数），
（1）当时，若直线是与的公切线，求的方程；
（2）若对于任意的，都有，求实数的取数范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当时，，则，
所以，
又，
则切线方程为，化简得；
（2）解：由，可得在上恒成立，
令，则，
对于，，
故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上，，单调递减，在上，，单调递增，
故，即，
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
2．【答案】（1）若， 则 ，，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以 曲线在处的切线方程 ，即 .
（2）因为，等价于恒成立，
令，
若，则，不合题意，可知，
可知的定义域为，且，
令，解得，
由，可知，
令，解得或；令，得；
可知在内单调递增区间，在内单调递减，
当趋近于0时，趋近于0，则，解得，
所以实数m的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线斜率，再根据直线的点斜式方程运算求解；
（2）根据题意可得恒成立，令，取特值可得，利用导数判断其单调性和最值，结合参恒成立问题分析求解.
3．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得，
所以a的值是1.
（2）解：由（1）得，，由得或，
因，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值.
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义可得，进而可得结果；
(2) 利用导数判断在上的单调性，进而可得最值.
4．【答案】（1）解：当时，，则切线斜率，切点为，
所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为R，求导得，
①当时，在R上单调递增，而，
因此函数有一个零点；
②当时，令，得，当时，；
当时，，则在上单调递减，在上单调递增，
，令（表示中最小值）
当时，，函数在上单调递减，函数值集合为，
因此函数在上的取值集合为，
令，求导得，令，
则，即函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，即有，
当时，，
函数在上单调递增，函数值集合为，而，
因此函数在上的取值集合为，
设，
则，当时，在单调递增，
当时，在单调递减，，
即当时，，则有两个零点；
当时，，则有一个零点；
当时，，则没有零点．
所以当时，零点个数为0；当时，零点个数为1；当时，零点个数为2.
【解析】【分析】 (1)把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
(2)求出函数及其导数，利用导数分、两种情况，讨论g(x)的单调性，最值，结合零点存在性定理推理判断作答.
5．【答案】（1）解：因为，所以，，
则，
故f（x）的图象在处的切线方程为，即.
（2）证明：因为，
所以，
由有两个极值点，得方程有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根.
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，，当时，.
由有两个不相等的正实数根，可得，
即有两个不相等的正实数根.
由，得.
要证，只需证<，即证<.
不妨令，，则，<等价于t<，
即.
令，，则，
则，从而.
【解析】【分析】(1)求导，结合导数的几何意义运算求解；
(2)根据题意分析可得 方程有两个不相等的正实数根， 令， 利用导数可得 的单调性，进而可得 ， 整理可知 有两个不相等的正实数根，分析可得 等价于 ， 令，， 利用导数分析证明即可.
6．【答案】（1）解：函数的导函数为，
由题意得，解得，
∴.
（2）解：由（1）得，
当时，由，得或；
由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极大值，在处取极小值，
∴，，，，
∴函数在区间上的最小值为－2，最大值为1.
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 由（1）可得 ， ，利用导数判断单调性和最值.
7．【答案】（1）解：当时，，所以．
因为，所以．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）解：函数的定义域为，则，
因为是的一个极值点，所以．解得．
所以，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，是的极大值点．
此时的单调递增区间为．
（3）解：①当时，
因为，，
所以在区间上单调递增．
此时．
若，则，不合题意．
②当，即时，
令，解得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
此时．
若，则，符合题意．
综上，当时，在区间上的最大值为．
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求解切线方程即可；
（2）根据题意可得f'(2)=0，求解a，经检验后即可得出单调递增区间；
（3）求解函数导数后分类讨论导数的正负，求解函数单调区间，进而求解函数最大值，使其最大值=-2即可求解a的值.
8．【答案】（1）解：，，又，
所求切线方程为：.
（2）证明：设，则定义域为，，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即.
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义运算求解；
(2) 构建，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
9．【答案】（1）解：因为，所以，所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2）解：，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为0或3；
（3）解：函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，即，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减；
所以当时，，
所以．
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义运算求解；
(2) 利用导数可得的单调性与极值，结合零点存在性定理分析求解；
(3) 构建函数，利用导数结合韦达定理分析可得，构建函数，，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解.
10．【答案】（1）解：，
，
切线的斜率，又，
切线方程为．
（2）解：(ⅰ)，
当时，当时，，，
，
在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
当时，
，在上递增，
又，，
在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是．
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
时，，则，
又，
在上有唯一零点，
即在上有唯一零点．
由(ⅰ)知，．
，
则
，．
设，，
则，
，，
，
在为单调递增，又，，
又时，，
．
．
由前面讨论知，，在单调递增，
．
【解析】【分析】(1)求出导数，代入即可求出.
(2)、(ⅰ) 求出导数，，求出范围.
当，对a分类讨论，利用函数的单调性，根据函数在区间唯一性的极值点，即可求出a的取值范围.
(ⅱ)知，当时，，结合的单调性与函数零点存在定理可得：在上有唯一零点，化简整理，构造函数，再利用导数研究函数的单调性.
11．【答案】（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
【解析】【分析】 (1) 求导，可得在点处的切线的斜率为，进而可求切线方程；
(2) 切点为，则直线的斜率为，根据切线经过原点，列式求解.
12．【答案】（1）解：当时，，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，即，所以，
所以切线方程为，即；
（2）解：由，得，令，
则，
令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向，
作出函数的图象和直线，
如图示，在定义域内有且仅有两个零点，
即和有且只有两个交点，
由图象知，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）设切点为 ，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点（0，0） ，求出切点，即可得解；
（2）分离参数a ，构造函数 ，将问题转化为直线y=a与函数h(x)的图象仅有两个交点，求 的取值范围．
13．【答案】（1）解：因为的定义域为，设曲线在处的切线与曲线相切，
，则切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
联立可得，
，整理可得，
即，
令，其中，
则，
令可得，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，故方程只有唯一解，
此时，与的公切线方程为.
（2）解：设，则，
令，则，则函数在上为增函数，
因为当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
所以，存在唯一的，使得，即，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
即，即，
解得或.
（i）当时，，
又因为，所以，，可得；
（ii）当时，，与矛盾，舍去.
综上所述，，
又因为，，则，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题考查代数式最值的求解，本题在求解最值时，涉及到隐零点问题，即将最值点所满足的等式进行代换，从而将所求代数式加以简化求解.
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义可得 曲线在处的切线方程为 ，将切线方程与二次函数联立，利用判别式运算可得 ， 构建 ， 利用导数判断其单调性和最值，利用函数解方程；
(2)设 ，利用导数判断其单调性和最值，根据最值可得 或，分类讨论，可得，结合基本不等式运算求解.
14．【答案】（1），则，又，
所以切线方程为：，即.
（2）
（i），
令，即，则且，
所以有两异号实数根，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以有唯一零点.
所以当时，，当时，，
则在上递减，在上递增.
所以，且.
代入可得，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，故.
（ii），即，则
不妨令，设，则.
记，则，
令，即，则且，
所以有两异号实数根，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以有唯一零点.且.
所以当时，，当时，，
则在上递减，在上递增，所以.
其中，即，
又在上单调递减，且，得，
又因为在上单调递增，
所以（当时，有），所以的最小值为.
【解析】【分析】（1）考察导数的几何意义.利用导数求出切线斜率，代入点坐标可得切线方程.
（2）(i)考察运用导数求解最值，注意隐零点问题的分析思路和书写过程；先通过导函数零点的分析得到原函数h(x)的单调性，得到隐零点关系式，代入h(x)即可得解.
(ii)第二小问为双零点问题，通过构造x2与m的函数关系k(x)，结合导数对k(x)分析，得到，接合在上单调递减，且，得最后根据解出m的范围.
15．【答案】（1）解：对函数求导得：，
依题意，，解得：，
此时，，当时，，当时，，即在时取得极值，
所以的解析式是.
（2）解：由（1）知，，，，
当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
则，而，因此，
所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为，，.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，从而解方程组得出a，b的值，进而得出函数的解析式。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数在给定区间的最值，进而得出函数 在区间上的单调区间和最值。
16．【答案】（1）解：易得 ，
又函数在点处的切线与直线垂直，∴ ，得；
（2）解：由（1）得， ，
令 有或，可得
x 0 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
在 处取得极大值，在 处取得极小值；
综上，极大值，极小值 .
【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，利用导数的几何意义以及两直线垂直的斜率关系可得 a的值；
(2)结合(1)可得函数f (x)的解析式，求导判断导函数正负性从而可列出x，f(x)，f'(x)的关系表，即可得到函数f (x)的单调性和极值.
17．【答案】（1）解：，由已知得，
得，解得．
于是，
由，得或，由，得，
可知是函数的极大值点，符合题意，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）解：由（1）知，
因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
又，
所以的最大值为，解得.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数求极值点的方法和导数的几何意义得出a，b，c的值，从而得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性与单调区间。
(2)利用已知条件结合（1）和函数的单调性，进而得出函数在给定区间的函数的最大值，从而得出实数c的值。
18．【答案】（1）解：因为，所以．
则
解得，．
（2）证明：设
则．
设，则．
设，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，即在
上单调递减，在上单调递增．
因为，，，
所以存在，，使得．
故当时，；当时，．
所以在与上单调递增，在上单调递减．
因为，，所以存在唯一的，使得，
所以当时，当时，，
则在与上单调递减，在与上单调递增．
故是与中的较小值．
因为，，所以恒成立，
即对任意的．恒成立．
【解析】【分析】（1）由已知得 ，求解可得实数m，n的值；
（2）设，求导研究函数的单调性证得 恒成立， 即可证得对任意的．恒成立．
19．【答案】（1）解：由题意，，
由，得，
则，
解得；
（2）证明：因为，，
由，可得，在上递减，
由，可得，在上递增；
所以；
又等价于．
令，则．
当时，，在上递增；
当时，，在上递减．
所以．
令，则．
当时， ，在上递减，
当时，；在上递增，．
所以．
因为，所以，所以，
所以，从而得证，
故．
【解析】【分析】（1） 由题意，，由已知直线与曲线相切， 解方程可得；
（2）先证，由确定函数的单调性，求得极值和最值，可得证明； 令，则，利用导数确定函数的单调性、极值和最值，可得，即可证明结论.
20．【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为．
，因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即．解得：或，
由已知条件，故可求得实数
（2）解：，不等式，
即．设，，则恒成立．
，令，．
①若，则，在上单调递增，，不符合题意；
②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意；
③若，则，
（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，
此时，，不符合题意；
综上所述，m的取值范围为
【解析】【分析】(1)利用已知条件结导数的几何意义和两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值。
（2）利用 ，所以不等式，即，设，，则恒成立，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
21．【答案】（1）解：函数，求导得：，
因为函数的图象在处的切线方程为，则，解得，
当时，，则，解得，
所以，.
（2）解：由（1）知，，，令，，
在上单调递增，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
于是存在，使得，
当或时，，当时，，
即有函数在上单调递增，在上单调递减，而，，
显然函数在上的最小值为与中最小的，由得，
因此，函数图象对称轴，显然，以下比较到的距离大小：
若，则有，，，
若，则，
从而函数在上，
当时，有，即，显然，
综上，函数在上的最小值在区间内，对于任意恒成立，则有，
所以整数的最大值为3.
【解析】【分析】(1)根据给定条件，求出函数f (x)的导数，利用导数的几何意义求解出 ，的值；
(2)利用导数求出函数f (x)在区间[1， +∞)上的最小值取值范围，再结合恒成立的不等式，即可求解出整数的最大值．
22．【答案】（1）解：，
所以，
由，得，
所以.
（2）解：函数在单调递增.
因为，所以函数定义域为.
，
因为
所以.
因此函数在区间上单调递增.
（3）证明：当时，显然有，不等式成立；
当时，不妨设，
由于函数在区间上单调递增，
所以，
则
.
因为，所以，
所以，
所以.
综上，对任意的，成立.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合增函数的定义，进而判断出函数的单调性。
（3） 当时，显然有，不等式成立。当时，不妨设，再利用函数在区间上单调递增，所以，，再结合代入法和对数的运算法则得出，再结合和不等式的基本性质和对数函数的单调性，进而证出对任意的，成立。
23．【答案】（1）解：当 时， ，∴ ，
，∴ ，
故切线方程为： .
（2）解： ，
∴ ， ，
∴①当 时， ，∴ 仅有单调递增区间，其为： ，
②当 时， ，∴当 时， ；当 时， ，
∴ 的单调递增区间为： ，单调递减区间为： .
③当 时， ，∴当 时 ；当 时 .
∴ 的单调递增区间为： ，单调递减区间为： .
综上所述：当 时， 仅有单调递增区间，单调递增区间为： .
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为： .
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为： .
（3）解：当 时，由（2）中③知 在 上单调单调递减，在 上单调递增，
∴①当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
③当 ，即 时， 在 上单调递减，∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可得到切线方程；
（2）求导数，利用导数确定函数的单调性，对参数a的值分类讨论，即可得到函数的单调区间；
（3）根据函数的单调性求出函数的最值即可.
24．【答案】（1）解：因为当时，
所以，则
因为，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，即y=-x+1，
所以切线与坐标轴的交点坐标分别为
所以，所求三角形的面积为
（2）解：方法一.
由可得在上恒成立
令，则
令，
所以在上恒成立，
所以，在上为减函数
因为，
所以，存在，使得，即
所以，时，，，在上单调递增，
当时，，，在上单调递减，
所以，，
因为，
所以，，
因为，可知，，
所以，因此整数的最小值为1.
方法二
由可得，
当时，在恒成立，不满足题意；
所以，整数满足.
下面讨论当时，在恒成立，
当时，令，，
则在恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，
所以在恒成立，
所以，整数的最小值为1.
【解析】【分析】（1）求导数，结合导数的几何意义，写出切线方程，即可求出相应三角形的面积；
（2）将不等式恒成立问题进行转化，构造函数，求导数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，即可求出参数a的最小值。
25．【答案】（1）解：由题可得，
由题意得，
解得，
所以，
由得或，
由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）解：因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以m的取值范围为．
【解析】【分析】（1）求得 ， 根据题意列出方程组，求得 ， 再结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）根题意得到 ，求得，求得函数的单调性，结合题意和函数的极值，列出不等式组，即可求解.
26．【答案】（1）解：由得，又，所以函数在处的切线方程为：，即
（2）解：由，令解得
令解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，最小，且最小值为，，，
故最大值为
【解析】【分析】（1）在某点的切线方程，求导、代入横坐标、点斜式写切线方程；
（2）最值：求出区间内的极值和端点值，判断最大值和最小值.
27．【答案】（1）解：.
当时，在上单调递增.
当时，若；若.
则在上单调递减，在上单调递增.
当时，若；若.
则在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：设切点为，则
消去，得，
即，解得或.
当时，；当时，.
所以曲线存在过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为.
【解析】【分析】(1)求导得到 .再通过讨论 ， ，导数符合即可确定单调区间；
(2) 设切点为得到消去，得，求解即可。
28．【答案】（1）解：，则，得．
由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即．
（2）解：由已知得．
又由（1）知，所以．
故．
，
由，得，或；由，得．
故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为．
【解析】【分析】（1）求导数，得到，结合导数的几何意义，得到切线的斜率，利用点斜式，即可得到相应的切线方程；
（2）求导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出相应的单调区间。
29．【答案】（1）解：当时，，，
因为，所以，即，
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）解：由题意知，，
即，
整理得，
因为，所以，
所以，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
即，
所以，
即
所以的最大值为.
【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（2）求导数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最值即可。
30．【答案】（1）解：设与的切点
又
切线方程为：，即①
设与切点为
切线方程为：，即②
由题知，①，②都是的方程，则有 ，
消去得，即，解得或
当时切线方程为
当时切线方程为
综上，直线的方程为或.
（2）解：要使，即
令，
易知在单调递增，
因为趋近于时趋近于，趋近于时趋近于，
故必有，使，此时
则当时单调递减；
当时单调递增.
故
又，
所以
令，
因为
所以在单调递减
所以，要使，则
又在上单调递增
所以，，即实数的取数范围为.
【解析】【分析】（1）分别设 与与 的切点，求出切线方程，进而结合公切线建立方程，再解方程得切点坐标，再求解切线方程即可；
（2）由题知，进而令，求函数的最小值得，再结合单调性得，则，最后根据 在上单调递增即可得答案.
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