高中数学人教A版（2019）选修2 5.2 导数的四则运算2解答题综合章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修2 5.2 导数的四则运算2解答题综合章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 341.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 20:39:45 | ||
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文档简介
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5.2 导数的四则运算2解答题
一、解答题
1．（2023高二上·长春期末）已知，且
（1）求的值；
（2）求在处的切线方程．
2．（2022高二下·桂林期末）求下列函数的导数.
（1）y＝x12；
（2）；
（3）；
（4）y＝3x；
（5）y＝log5x.
3．（2022高二下·武功期中）求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
4．（2022高二下·湖北期中）求下列函数的导数：
（1）
（2）
5．（2022高二下·宁波期中）已知函数.
（1）求导函数；
（2）当时，求函数的图像在点处的切线方程.
6．设函数，
（1）求、的值；
（2）求在上的最值．
7．（2023高二下·定远期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当有最大值，且最大值小于时，求的取值范围．
8．（2022高三上·白山）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
9．（2023高二下·南阳期中）
（1）求函数的导函数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
10．（2023高二下·金华月考）求下列函数的导数：
（1）；
（2） ；
（3）．
11．（2023高二上·三明期末）已知函数.
（1）求的导数；
（2）求曲线在点处的切线方程.
12．（2022·张掖模拟）已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）求a的值；
（2）若的零点为，求的值.
13．（2022高三上·临汾期中）已知函数，其中是的导函数.
（1）求；
（2）求曲线过原点的切线方程.
14．（2022高二下·汉滨期末）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线.
（1）求的值；
（2）求公切线所在的直线方程；
（3）若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离.
15．（2022高二下·宝安期中）已知.
（1）当时，求；
（2）当，求的极值.
16．（2022高二下·湖北期中）
（1）求函数在处的导数；
（2）已知函数的导函数为，且，求．
17．（2022高二下·合肥期中）当时，函数（）有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．
18．（2022高二下·贺州月考）求下列函数的导数.
19．（2022高二下·肥东期中）已知函数.
（1）求的解析式；
（2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
20．（2022高二下·绍兴月考）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
21．（2023高三上·梅河口开学考）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.
22．（2023高二下·湖州期末）已知函数，，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数的最小值为，求函数的最小值.
（其中是自然对数的底数）
23．（2023高二下·宁波期末） 已知定义在R上的函数，其中a为实数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
（3）对于，若存在实数，满足，求的取值范围.（结果用a表示）
24．（2023高二下·盐田月考）已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
25．（2023高三下·玉林模拟）已知函数．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．
26．（2023·全国甲卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
27．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若函数在单调递增，求的取值范围.
28．（2023·诸暨模拟）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，证明：.
29．（2023·闵行模拟）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．
（1）当时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
30．（2022高三上·内蒙古月考）已知函数（且）．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在上的最大值大于，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：，则，解得：；
（2）解：由（1）知，，
故，，
所以在处的切线方程为，
即.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，进而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点的坐标，再利用点斜式得出函数在切点处的切线方程。
2．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
【解析】【分析】利用导数公式求导可得答案。
3．【答案】（1）解：．
（2）解：．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的求导方法，进而得出函数的导数。
（2）利用已知条件结合导数的加法的运算法则和复合函数的求导方法，进而得出函数的导数。
4．【答案】（1）解：
（2）解：.
【解析】【分析】（1）由导数的乘法运算求解即可；
（2）由导数的除法运算求解即可。
5．【答案】（1）解：由题意，函数，
可得.
（2）解：当时，可得，
由（1）得，所以，
所以函数的图像在点处的切线方程，即.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出切线方程，再转化为切线的斜截式方程。
6．【答案】（1）由题设知，取，则有，即；
也即，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
0 1 2
0
单增 极大值 单减
故，．
【解析】【分析】（1）对已知函数求导得到，通过赋值可得到，从而得到的表达式，进一步得到 的值 ；
（2）求导研究的单调性即可得到在上的最值．
7．【答案】（1）函数的定义域为，
当时，，则，则，，
所以，所求切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，．
若，则，在上单调递增，无最大值；
若，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，函数在取得最大值，
最大值为，
因此，，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，所以，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）代入 ，再求出，，利用点斜式写出在点处的切线方程；
（2）求导分和两种情况讨论在的最大值，进而求 的取值范围。
8．【答案】（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
【解析】【分析】 (1) 求导，可得在点处的切线的斜率为，进而可求切线方程；
(2) 切点为，则直线的斜率为，根据切线经过原点，列式求解.
9．【答案】（1）解：因为，
则；
（2）解：因为，则，所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
10．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
11．【答案】（1）解：因为，
所以
（2）解：由（1）得，，则所求切线的斜率为1，
故所求切线方程为.
【解析】【分析】（1） 根据导数的运算公式及运算法则，即可求得；
（2） 由（1）求得，得到求切线的斜率为1，进而求得切线方程.
12．【答案】（1）解：根据题意， ，则
若 ， 解得： ；
（2）解：根据题意，由（1）的结论， ，则 ，则 ，
若 的零点为 ，则 ，变形可得： ，
设 ，则 则有 ，
而函数 是 上的增函数，必有 ，即 ，
则有 .
【解析】【分析】（1）求导数，将x=1代入，结合，解方程，即可求出a的值；
（2）采用换元法，结合函数零点与方程实数根的关系，即可求出相应式子的值。
13．【答案】（1）解：因为，
所以，
令，得，
∴.
（2）解：由（1）可得，所以，
设切点，则，
所以切线方程为，
由题，
整理得，解得或.
当时，切线方程为；
当时，切线方程为.
综上，曲线过原点的切线方程为或.
【解析】【分析】 （1）求函数的导函数，令x=1即可求出 的值；
（2）利用导数研究曲线上某点的切线方程.
14．【答案】（1）解：根据题意可知，
将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，
又，，则，解得，，
（2）解：由（1）知，；当时，，故切线方程为，即．
由（1）知，，当时，，故切线方程为，
即．
综上所述，公切线所在的直线方程为．
（3）解：要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则，
解得，又因为点M在抛物线上，解得．
所以最短距离即d为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．
【解析】【分析】(1) 将分别代入两曲线方程得到，，再由两函数在x=1处的导数值相等，可得 ， 联立方程组即可求得a， b，c的值；
(2) 由（1）知， ，分别求出两曲线在点P处的切线方程即可得公切线所在的直线方程；
(3) 由（1）知，由题意可得抛物线在点M处的切线斜率应该与直线 的斜率相同，由此求得M的纵坐标，再由点到直线的距离公式求点M的坐标和最短距离.
15．【答案】（1）解：，
当a＝2时，
（2）解：时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴f(x)有极大值，有极小值
【解析】【分析】（1）求出 ，代入 和x=3即可求出 ；
（2） 代入 求出 ，再求，根据正负判断的单调性，进而求出 的极值；
16．【答案】（1）解：函数，求导得：函数，
所以；
（2）解：因，两边求导得：，
当时，，解得，
所以.
【解析】【分析】（1）由导数的四则运算求出导函数，赋值x=1，即可求解；
（2）由导数的四则运算求出导函数，赋值x=2，即可求解；
17．【答案】（1）解：，
由题意得：，解得：，
经验证，函数在处有极值，故解析式为：．
（2）解：令，由得：
令得，，
∴当时，，当时，，当时，，
因此，当时， 有极大值，
当时，有极小值，
关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，
所以
．
故实数的取值范围是
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导，并把数值代入到导函数的解析式，由此计算出a与b的取值，进而得出函数的解析式。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，构造函数并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由极值的定义以及方程根的情况即可得出关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
18．【答案】解：
解：法一：y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9.
法二：因为y=(2x2+3)(3x-2)
=6x3-4x2+9x-6，
所以y′=18x2-8x+9.
【解析】【分析】（1）利用导数的除法法则求解；
（2）法一：利用导数的乘法法则求解；法二：转化为多项式函数，再利用导数的加法和减法求解.
19．【答案】（1）解：；
（2）解：由（1）知，，
得切线方程为，
所围成的三角形的面积.
【解析】【分析】（1）利用常见函数的导数公式及简单复合函数的导数公式即得；
（2）利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得.
20．【答案】（1）解：，所以，解得．
（2）解：由，
得，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，从而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数在区间上的最大值和最小值。
21．【答案】（1）若， 则 ，，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以 曲线在处的切线方程 ，即 .
（2）因为，等价于恒成立，
令，
若，则，不合题意，可知，
可知的定义域为，且，
令，解得，
由，可知，
令，解得或；令，得；
可知在内单调递增区间，在内单调递减，
当趋近于0时，趋近于0，则，解得，
所以实数m的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线斜率，再根据直线的点斜式方程运算求解；
（2）根据题意可得恒成立，令，取特值可得，利用导数判断其单调性和最值，结合参恒成立问题分析求解.
22．【答案】（1）解：当时，，
由题意得，
所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，则．
故当时，，当时，，
因此所求函数在单调递减，在单调递增．
（2）解：由题意得，，则，
令，则，
所以在上为增函数，
又，
所以在上存在唯一零点，且，
，即．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，
因为，所以，所以．
由得，显然在单调递增．
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以的最小值为，
因为，所以，所以，
又，所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为0．
【解析】【分析】（1）当a=1时，先求出，利用求导法则求出导数，结合导数和函数单调性的关系即可求解.
（2）由题意得，，对h(x)导函数二次求导可得恒成立，结合零点存在定理可判断；利用导数研究的性质，结合零点存在定理可得的最小值为，结合函数的单调性即可求解.
23．【答案】（1）解：，
当时，，无解；
当时，，即，满足题设；
所以的解集为；
（2）解：令，则有，，
如果，则有，当时都能成立，不满足题意；
当时，，又，a的取值范围是；
（3）解：对于，令有2个不同的实数解，并且，
当时，，当时，，函数的大致图像如下：
当并且时，有，即，
令，则，并且， ，
令，则 ，
，显然是关于t的增函数，即， ，
是关于t的增函数，，并且，即；
当 时，，同理令，，，
，y是关于t的增函数，
；
所以的取值范围是；
综上，（1）的解集为，（2）a的取值范围是，（3）的取值范围是.
【解析】【分析】 (1)将代入解不等式即可；
(2)令，分和两种情况讨论，分析求解；
(3)用求根公式将转化为a和m，再根据m的取值范围讨论，利用导数判断原函数的单调性，结合单调性分析求解.
24．【答案】（1）解：由得，
因为有两个极值点，所以有两个解，令，
则有两个不同的正根，即
解得，所以
（2）解：由（1），根据书达定理得，
所以
所以
.
因为，所以，令，设，
则，
因为，所以，所以，所以在上单调递减，
，所以的最大值为.
【解析】【分析】（1）将问题转化为 ，有两个解；
（2）令构造函数进而求解。
25．【答案】（1）解：的定义域为
当a＝3时，，
，
当时，是减函数，
是增函数，
所以，f(x)的减区间为（－1，2），增区间为（2，＋∞）．
（2）解：当a＝1时，，
，即，
设，则只需在恒成立即可．
易知，
，
①当时，，此时g(x)在上单调通减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立．
综上，．
【解析】【分析】(1)当a=3时，求出函数的定义域，再求出导函数，利用导函数和单调性的关系即可求出单调区间.
(2)当a=1时，先把不等式化简成恒成立问题，再构造函数，对g(x)进行求导，利用导函数的性质对k分类讨论即可求解.
26．【答案】（1）当时，，
则，
在单调递减；
（2）令
则，
，又，
，解得.
检验当时，，有，
即在上单调递减，
，符合题意，
【解析】【分析】(1)对求导，利用导数判断单调性；
(2)构造，结合，将问题转化为并验证得出答案。
27．【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为.
（2）.
∴函数的定义域为 ，
又∵在单调递增，
在恒成立
又，
，
即在恒成立，
令，
则，
且要使在恒成立，
设且趋于0，则在单调递增，
，，又，则在单调递增
，解得.
检验当时，，
即此时在 单调递增，且，
∴
则在 单调递增，且，
即在恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是.
【解析】【分析】（1）先求，再求斜率，利用点斜式得出切线方程；
（2）将问题转化为在恒成立，整理重新构造函数逐步求导分析恒成立问题。
28．【答案】（1）解：当时，，其中，
所以，且，
因为函数和都是减函数，故也是减函数.
所以当时，单调递增，当时，，
单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：根据题意可知，，
设，则单调递减，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
（3）证明：法一：若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中.
当时，，故当时，，
当时，若，则，
若，则，故，
所以当时，成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
法二：
若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中，
.
成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
【解析】【分析】（1）当时，对求导，根据导数符号的正负即可确定单调区间；
（2）对求导，再对进行求导，根据导数符号的正负证明g(x)先增后减，g(x)有最大值，只需证明最大值小于0即可；
（3）由（2）可知，即可得到，可证明，对求导，可得在上单调递增，则，再证明即可得证.
29．【答案】（1）解：由题设，函数定义域为，且，
由，则；
（2）解：当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
（3）解：，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以
因为，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即 ，解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出实数a的值。
（2） 当时结合导数的运算法则和代入法得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，再解一元二次方程得出x的值，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，令，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，设曲线的另一条切线的斜率为，再利用分类讨论的方法和两直线垂直的判断方法、函数求极限的方法、零点存在性定理，均值不等式求最值的方法得出对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围。
30．【答案】（1）解：当时，的定义域为，
，
令，则，
由得，所以在上单调递减，
由得，所以在上单调递增，
又因为单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：由（1）知，，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上的值域为．
当时，在上的最大值为，
即，解得；
当时，在上的最大值为，
即，解得．
综上，a的取值范围为．
【解析】【分析】（1）通过对数的运算将f（x)变形，利用导数和复合函数的单调性分析函数单调性；
（2）利用对数函数的性质和函数的单调性，分析出f（x）在已知区间上的最值，并用含a的式子表示出来，再结合最大值大于-1，通过解对数不等式算出a的值。
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5.2 导数的四则运算2解答题
一、解答题
1．（2023高二上·长春期末）已知，且
（1）求的值；
（2）求在处的切线方程．
2．（2022高二下·桂林期末）求下列函数的导数.
（1）y＝x12；
（2）；
（3）；
（4）y＝3x；
（5）y＝log5x.
3．（2022高二下·武功期中）求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
4．（2022高二下·湖北期中）求下列函数的导数：
（1）
（2）
5．（2022高二下·宁波期中）已知函数.
（1）求导函数；
（2）当时，求函数的图像在点处的切线方程.
6．设函数，
（1）求、的值；
（2）求在上的最值．
7．（2023高二下·定远期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当有最大值，且最大值小于时，求的取值范围．
8．（2022高三上·白山）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
9．（2023高二下·南阳期中）
（1）求函数的导函数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
10．（2023高二下·金华月考）求下列函数的导数：
（1）；
（2） ；
（3）．
11．（2023高二上·三明期末）已知函数.
（1）求的导数；
（2）求曲线在点处的切线方程.
12．（2022·张掖模拟）已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）求a的值；
（2）若的零点为，求的值.
13．（2022高三上·临汾期中）已知函数，其中是的导函数.
（1）求；
（2）求曲线过原点的切线方程.
14．（2022高二下·汉滨期末）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线.
（1）求的值；
（2）求公切线所在的直线方程；
（3）若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离.
15．（2022高二下·宝安期中）已知.
（1）当时，求；
（2）当，求的极值.
16．（2022高二下·湖北期中）
（1）求函数在处的导数；
（2）已知函数的导函数为，且，求．
17．（2022高二下·合肥期中）当时，函数（）有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．
18．（2022高二下·贺州月考）求下列函数的导数.
19．（2022高二下·肥东期中）已知函数.
（1）求的解析式；
（2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
20．（2022高二下·绍兴月考）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
21．（2023高三上·梅河口开学考）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.
22．（2023高二下·湖州期末）已知函数，，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数的最小值为，求函数的最小值.
（其中是自然对数的底数）
23．（2023高二下·宁波期末） 已知定义在R上的函数，其中a为实数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
（3）对于，若存在实数，满足，求的取值范围.（结果用a表示）
24．（2023高二下·盐田月考）已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
25．（2023高三下·玉林模拟）已知函数．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．
26．（2023·全国甲卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
27．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若函数在单调递增，求的取值范围.
28．（2023·诸暨模拟）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，证明：.
29．（2023·闵行模拟）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．
（1）当时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
30．（2022高三上·内蒙古月考）已知函数（且）．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在上的最大值大于，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：，则，解得：；
（2）解：由（1）知，，
故，，
所以在处的切线方程为，
即.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，进而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点的坐标，再利用点斜式得出函数在切点处的切线方程。
2．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
【解析】【分析】利用导数公式求导可得答案。
3．【答案】（1）解：．
（2）解：．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的求导方法，进而得出函数的导数。
（2）利用已知条件结合导数的加法的运算法则和复合函数的求导方法，进而得出函数的导数。
4．【答案】（1）解：
（2）解：.
【解析】【分析】（1）由导数的乘法运算求解即可；
（2）由导数的除法运算求解即可。
5．【答案】（1）解：由题意，函数，
可得.
（2）解：当时，可得，
由（1）得，所以，
所以函数的图像在点处的切线方程，即.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出切线方程，再转化为切线的斜截式方程。
6．【答案】（1）由题设知，取，则有，即；
也即，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
0 1 2
0
单增 极大值 单减
故，．
【解析】【分析】（1）对已知函数求导得到，通过赋值可得到，从而得到的表达式，进一步得到 的值 ；
（2）求导研究的单调性即可得到在上的最值．
7．【答案】（1）函数的定义域为，
当时，，则，则，，
所以，所求切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，．
若，则，在上单调递增，无最大值；
若，则当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，函数在取得最大值，
最大值为，
因此，，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，所以，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）代入 ，再求出，，利用点斜式写出在点处的切线方程；
（2）求导分和两种情况讨论在的最大值，进而求 的取值范围。
8．【答案】（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
【解析】【分析】 (1) 求导，可得在点处的切线的斜率为，进而可求切线方程；
(2) 切点为，则直线的斜率为，根据切线经过原点，列式求解.
9．【答案】（1）解：因为，
则；
（2）解：因为，则，所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
10．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
11．【答案】（1）解：因为，
所以
（2）解：由（1）得，，则所求切线的斜率为1，
故所求切线方程为.
【解析】【分析】（1） 根据导数的运算公式及运算法则，即可求得；
（2） 由（1）求得，得到求切线的斜率为1，进而求得切线方程.
12．【答案】（1）解：根据题意， ，则
若 ， 解得： ；
（2）解：根据题意，由（1）的结论， ，则 ，则 ，
若 的零点为 ，则 ，变形可得： ，
设 ，则 则有 ，
而函数 是 上的增函数，必有 ，即 ，
则有 .
【解析】【分析】（1）求导数，将x=1代入，结合，解方程，即可求出a的值；
（2）采用换元法，结合函数零点与方程实数根的关系，即可求出相应式子的值。
13．【答案】（1）解：因为，
所以，
令，得，
∴.
（2）解：由（1）可得，所以，
设切点，则，
所以切线方程为，
由题，
整理得，解得或.
当时，切线方程为；
当时，切线方程为.
综上，曲线过原点的切线方程为或.
【解析】【分析】 （1）求函数的导函数，令x=1即可求出 的值；
（2）利用导数研究曲线上某点的切线方程.
14．【答案】（1）解：根据题意可知，
将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，
又，，则，解得，，
（2）解：由（1）知，；当时，，故切线方程为，即．
由（1）知，，当时，，故切线方程为，
即．
综上所述，公切线所在的直线方程为．
（3）解：要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则，
解得，又因为点M在抛物线上，解得．
所以最短距离即d为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．
【解析】【分析】(1) 将分别代入两曲线方程得到，，再由两函数在x=1处的导数值相等，可得 ， 联立方程组即可求得a， b，c的值；
(2) 由（1）知， ，分别求出两曲线在点P处的切线方程即可得公切线所在的直线方程；
(3) 由（1）知，由题意可得抛物线在点M处的切线斜率应该与直线 的斜率相同，由此求得M的纵坐标，再由点到直线的距离公式求点M的坐标和最短距离.
15．【答案】（1）解：，
当a＝2时，
（2）解：时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴f(x)有极大值，有极小值
【解析】【分析】（1）求出 ，代入 和x=3即可求出 ；
（2） 代入 求出 ，再求，根据正负判断的单调性，进而求出 的极值；
16．【答案】（1）解：函数，求导得：函数，
所以；
（2）解：因，两边求导得：，
当时，，解得，
所以.
【解析】【分析】（1）由导数的四则运算求出导函数，赋值x=1，即可求解；
（2）由导数的四则运算求出导函数，赋值x=2，即可求解；
17．【答案】（1）解：，
由题意得：，解得：，
经验证，函数在处有极值，故解析式为：．
（2）解：令，由得：
令得，，
∴当时，，当时，，当时，，
因此，当时， 有极大值，
当时，有极小值，
关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，
所以
．
故实数的取值范围是
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导，并把数值代入到导函数的解析式，由此计算出a与b的取值，进而得出函数的解析式。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，构造函数并对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由极值的定义以及方程根的情况即可得出关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
18．【答案】解：
解：法一：y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9.
法二：因为y=(2x2+3)(3x-2)
=6x3-4x2+9x-6，
所以y′=18x2-8x+9.
【解析】【分析】（1）利用导数的除法法则求解；
（2）法一：利用导数的乘法法则求解；法二：转化为多项式函数，再利用导数的加法和减法求解.
19．【答案】（1）解：；
（2）解：由（1）知，，
得切线方程为，
所围成的三角形的面积.
【解析】【分析】（1）利用常见函数的导数公式及简单复合函数的导数公式即得；
（2）利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得.
20．【答案】（1）解：，所以，解得．
（2）解：由，
得，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，，
所以在区间的最大值是，最小值是．
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，从而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数在区间上的最大值和最小值。
21．【答案】（1）若， 则 ，，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以 曲线在处的切线方程 ，即 .
（2）因为，等价于恒成立，
令，
若，则，不合题意，可知，
可知的定义域为，且，
令，解得，
由，可知，
令，解得或；令，得；
可知在内单调递增区间，在内单调递减，
当趋近于0时，趋近于0，则，解得，
所以实数m的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线斜率，再根据直线的点斜式方程运算求解；
（2）根据题意可得恒成立，令，取特值可得，利用导数判断其单调性和最值，结合参恒成立问题分析求解.
22．【答案】（1）解：当时，，
由题意得，
所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，则．
故当时，，当时，，
因此所求函数在单调递减，在单调递增．
（2）解：由题意得，，则，
令，则，
所以在上为增函数，
又，
所以在上存在唯一零点，且，
，即．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，
因为，所以，所以．
由得，显然在单调递增．
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以的最小值为，
因为，所以，所以，
又，所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为0．
【解析】【分析】（1）当a=1时，先求出，利用求导法则求出导数，结合导数和函数单调性的关系即可求解.
（2）由题意得，，对h(x)导函数二次求导可得恒成立，结合零点存在定理可判断；利用导数研究的性质，结合零点存在定理可得的最小值为，结合函数的单调性即可求解.
23．【答案】（1）解：，
当时，，无解；
当时，，即，满足题设；
所以的解集为；
（2）解：令，则有，，
如果，则有，当时都能成立，不满足题意；
当时，，又，a的取值范围是；
（3）解：对于，令有2个不同的实数解，并且，
当时，，当时，，函数的大致图像如下：
当并且时，有，即，
令，则，并且， ，
令，则 ，
，显然是关于t的增函数，即， ，
是关于t的增函数，，并且，即；
当 时，，同理令，，，
，y是关于t的增函数，
；
所以的取值范围是；
综上，（1）的解集为，（2）a的取值范围是，（3）的取值范围是.
【解析】【分析】 (1)将代入解不等式即可；
(2)令，分和两种情况讨论，分析求解；
(3)用求根公式将转化为a和m，再根据m的取值范围讨论，利用导数判断原函数的单调性，结合单调性分析求解.
24．【答案】（1）解：由得，
因为有两个极值点，所以有两个解，令，
则有两个不同的正根，即
解得，所以
（2）解：由（1），根据书达定理得，
所以
所以
.
因为，所以，令，设，
则，
因为，所以，所以，所以在上单调递减，
，所以的最大值为.
【解析】【分析】（1）将问题转化为 ，有两个解；
（2）令构造函数进而求解。
25．【答案】（1）解：的定义域为
当a＝3时，，
，
当时，是减函数，
是增函数，
所以，f(x)的减区间为（－1，2），增区间为（2，＋∞）．
（2）解：当a＝1时，，
，即，
设，则只需在恒成立即可．
易知，
，
①当时，，此时g(x)在上单调通减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立．
综上，．
【解析】【分析】(1)当a=3时，求出函数的定义域，再求出导函数，利用导函数和单调性的关系即可求出单调区间.
(2)当a=1时，先把不等式化简成恒成立问题，再构造函数，对g(x)进行求导，利用导函数的性质对k分类讨论即可求解.
26．【答案】（1）当时，，
则，
在单调递减；
（2）令
则，
，又，
，解得.
检验当时，，有，
即在上单调递减，
，符合题意，
【解析】【分析】(1)对求导，利用导数判断单调性；
(2)构造，结合，将问题转化为并验证得出答案。
27．【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为.
（2）.
∴函数的定义域为 ，
又∵在单调递增，
在恒成立
又，
，
即在恒成立，
令，
则，
且要使在恒成立，
设且趋于0，则在单调递增，
，，又，则在单调递增
，解得.
检验当时，，
即此时在 单调递增，且，
∴
则在 单调递增，且，
即在恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是.
【解析】【分析】（1）先求，再求斜率，利用点斜式得出切线方程；
（2）将问题转化为在恒成立，整理重新构造函数逐步求导分析恒成立问题。
28．【答案】（1）解：当时，，其中，
所以，且，
因为函数和都是减函数，故也是减函数.
所以当时，单调递增，当时，，
单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：根据题意可知，，
设，则单调递减，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
（3）证明：法一：若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中.
当时，，故当时，，
当时，若，则，
若，则，故，
所以当时，成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
法二：
若，则，
由（2）可知，，
所以，故，
此时，故，
所以，其中，
.
成立，故在单调递增，
所以.
设，则，
因为函数和都是减函数，故也是减函数，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
综上，当时，.
【解析】【分析】（1）当时，对求导，根据导数符号的正负即可确定单调区间；
（2）对求导，再对进行求导，根据导数符号的正负证明g(x)先增后减，g(x)有最大值，只需证明最大值小于0即可；
（3）由（2）可知，即可得到，可证明，对求导，可得在上单调递增，则，再证明即可得证.
29．【答案】（1）解：由题设，函数定义域为，且，
由，则；
（2）解：当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
（3）解：，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以
因为，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即 ，解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出实数a的值。
（2） 当时结合导数的运算法则和代入法得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，再解一元二次方程得出x的值，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，令，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，设曲线的另一条切线的斜率为，再利用分类讨论的方法和两直线垂直的判断方法、函数求极限的方法、零点存在性定理，均值不等式求最值的方法得出对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围。
30．【答案】（1）解：当时，的定义域为，
，
令，则，
由得，所以在上单调递减，
由得，所以在上单调递增，
又因为单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）解：由（1）知，，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上的值域为．
当时，在上的最大值为，
即，解得；
当时，在上的最大值为，
即，解得．
综上，a的取值范围为．
【解析】【分析】（1）通过对数的运算将f（x)变形，利用导数和复合函数的单调性分析函数单调性；
（2）利用对数函数的性质和函数的单调性，分析出f（x）在已知区间上的最值，并用含a的式子表示出来，再结合最大值大于-1，通过解对数不等式算出a的值。
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