高中数学人教A版（2019）选修2 5.3 导数的应用1选择题章节综合练习题（答案+解析）

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5.3 导数的应用1选择题
一、选择题
1．已知函数在其定义域上的导函数为，当时，“”是“单调递增”的（　　）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
2．（2023高二下·百色期末）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·成都期中）若定义在上的函数的导数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
C．函数在处取极大值，无极小值
D．函数在处取极大值，无极小值
4．（2023高二下·湖北期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（　　）
A．和 B． C． D．
5．（2023高三上·深圳月考）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．在处得到极大值 B．在处得到极大值
C．在处得到极小值 D．在处得到极小值
6．（2023高三上·开远月考）若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·清远期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·定远期末）已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ln x+ax2-3x在(，3)上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A．[，+∞) B．(0，] C．[，+∞) D．(0，]
10．（2023高二下·安康月考）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高二下·百色期末）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023高二下·宝安期中）函数的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·上虞月考）已知函数则（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023高二下·四平月考）已知函数为偶函数，则的导函数的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
15．（2023高二下·高台月考）下列函数中，不存在极值点的是（　　）
A． B． C． D．
16．（2023高二下·成都期中）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．或
17．（2023·内江模拟）已知函数和有相同的极大值，则（　　）
A．2 B．0 C．-3 D．-1
18．（2023·广西模拟）已知函数，且，在区间上有最小值，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
19．（2023·南宁模拟）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（　　）
A．-1 B． C．b D．4
20．（2023高二下·洛阳期中）已知函数在时有极大值，则的极大值为（　　）
A．0 B．32 C．0或32 D．0或-32
21．（2023高二下·安宁期末）若在上有解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．（2022高三上·江西月考）已知函数，，且的最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
23．已知曲线在点处的切线方程为，则（　　）
A． B．
C． D．
24．（2023高二下·酒泉期末）若函数的图象在点处的切线与直线平行，则（　　）
A． B． C．-3 D．3
25．（2023高二下·天河期末）已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
26．（2023高二下·鄠邑期末）如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（　　）
A．函数在上的图象越来越陡
B．1不是函数的极值点
C．在处切线的斜率小于零
D．在区间上单调递增
27．（2023高三上·阳江开学考）已知函数，，，恒成立，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
28．（2023高二下·宁波期中）函数，下列说法不正确的是（　　）
A．当时，无极值点
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意，在上不存在极值点
D．存在，在上有且只有一个零点
29．（2023高二下·清远期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
30．（2023·江西模拟）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：一定能够得到单调递增，反过来单调递增不一定有，
比如在R上单调递增，但是.所以是单调递增的充分不必要条件.
故答案为：D.
【分析】利用导数与单调性的关系可得答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】当时， 单调递减，则，
当时，先减后增，再减，则 先负后正，再负，
可得ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系分析判断.
3．【答案】A
【解析】【解答】对于AB，由图象可知：当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，A符合题意，B不符合题意；
对于CD，由单调性可知：在处取得极小值，无极大值，CD不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据导函数的图象可得导函数的符号，从而得原函数的单调性，再逐项进行判断，可得答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】根据图像，在和上，单调递增；
在上，单调递减，故的极大值点为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导函数的图象和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值点。
5．【答案】C
【解析】【解答】解： 对函数 求导可得f'(x)= 2xlnx+x，
令2xlnx +x=0，可得
当时，f'(x)<0，则函数 是减函数；当时，f'(x)>0，则函数是增函数，
故在 取极小值，
极小值为
故答案为：C.
【分析】 先求出函数的导数，结合导函数的符号，求解出函数的极值，即可得答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，
由题意可得：在 上 恒成立，
整理得，
且在上单调递增，
可得在上单调递增，则，
所以，即，所以 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】根据题意分析可得在 上 恒成立，利用参变分离结合恒成立问题运算求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】因为 ，
由题意可得：在上恒成立 ，
整理得，令，
可知在上恒成立，
则，解得，
所以 a的取值范围为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意可得在上恒成立 ，利用参变分离结合换元，可得在上恒成立，结合恒成立问题运算求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】由题意知，，，
对任意，，当时恒成立，
令，则只需证明在单调递减，
，令，解得 。
故答案为：D
【分析】先利用模长计算公式求 ，再构造函数转化为单调性问题。
9．【答案】C
【解析】【解答】因为的定义域为，且，
由题意可知：在内恒成立，
整理得，
可得当时，取到最大值，
则，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可得在内恒成立，利用参变分离结合二次函数运算求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：A 因为恒成立，故A选项不正确.
B 当x>0时，令则恒成立，所以g(x)在上单调递增，
即在上单调递增，又
由零点存在定理可得在上存在零点即所以f(x)在（0，）上单调递减，上
单调递增，f(x)在处取得最小值即
所以即f(x)的极小值大于3，故B选项正确，CD选项不正确.
故答案为：B
【分析】先根据f(x)大于零恒成立可排除A选项，当x>0时，对f(x)二次求导可判断f(x)在（0，）上单调递减，上单调递增，结合二次函数求最值可求出f(x)的极小值大于3，即可求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】令，
因为，可知是定义在R上的奇函数，
又因为，
且 当时，有恒成立， 则，
则在上单调递增，所以在上单调递增，
对于A：因为，即 ，故A错误；
对于B：因为，即 ，故B错误；
对于C：因为，即 ，故C正确；
对于D：因为，即 ，故D错误；
故答案为：C.
【分析】构建，可知是定义在R上的奇函数，根据导数可知则的单调性，结合单调性逐项分析判断.
12．【答案】A
【解析】【解答】，，当时，，单调递增。
故答案为：A
【分析】求导分析得出函数的单调递增区间。
13．【答案】D
【解析】【解答】由函数得x>0，故函数的定义域为，
，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故
即时，
故在上单调递减，则
当时，；当时，，
故 对任意恒成立.
故选：D
【分析】 对f(x)求导，令，然后判断的单调性，求出的最大值，然后得出f(x)在(0， +∞)上是减函数，并求出f(1)=0，从而得到 对任意恒成立，即可得答案.
14．【答案】A
【解析】【解答】函数 为偶函数 ，则f(-x)=f(x) ，
即： ，
据此可得：a-1=0 ，a=1
函数的解析式为： ，其导函数 ，
二阶导函数 ， f'(x)在递减，在递增，
所以函数 f'(x)的极大值为： ，
观察所给的函数图象，只有A选项符合题意.
故选：A
【分析】首先利用偶函数的性质求得实数a的值，然后求解f'(x)的解析式，二次求导研究导函数的极值，利用极值点即可求得最终结果.
15．【答案】D
【解析】【解答】A、函数的定义域为，导函数为，由，可知函数在区间上单调递增，由，可知在区间上单调递减，所以函数有两个极值点，故A不符合题意；
B、函数，根据指数的图像和性质可知，当时，指数函数单调递增，即函数单调递增，当时，指数函数单调递减，即函数单调递减，综上可知，函数在处存在极小值，故B不符合题意；
C、函数的定义域为，，当时，，当时，，所以函数存在极值点，故C不符合题意；
D、函数的定义域为，，所以函数在上为减函数，没有极值点，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别求函数的定义域、导函数，利用导数分析各个函数的单调性，从而判断函数是否存在极值点，即可判断.
16．【答案】A
【解析】【解答】解：有两个不同的极值点，
在有两个不相同的实数解，
即在有两个不相同的实数解，
，.
故答案为：A.
【分析】由原函数有两个不同极值点转换成导函数有两个不相同的实数解，求导只需判断导数分子部分在有两个不相同的实数解，结合二次函数图象分析求解可得实数a的取值范围.
17．【答案】B
【解析】【解答】，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
又，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，
故，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】 利用导数法求得f (x)和g (x)的极大值，然后根据f (x)与g (x)有相同的极大值建立方程，求解可得的值.
18．【答案】A
【解析】【解答】由函数，可得
则，解得，
所以
所以当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以在处取得极小值，即为上的最小值，，
因为函数在上有最小值，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：A．
【分析】求导得，由 得a，分析f'(x)的符号，f (x)的单调性，再结合在区间上有最小值，即可求出实数的取值范围.
19．【答案】D
【解析】【解答】，，，
所以，解得：，，
所以，得，时，，，，
所以是函数的极小值点，.
故答案为：D
【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，，再求函数的极小值.
20．【答案】B
【解析】【解答】 ， ，即 在 和 处取得极值，由题意： 时为极大值， ， ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
在 处取得极大值， ，的极大值 ；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点，从而得出实数c的值，进而得出函数的解析式，再结合导数求极值的方法得出函数f(x)的极大值。
21．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，
令f(x)=ex+x，则，
因为y=ex，y=x在R上都是增函数，所以(x)在R上是增函数，
所以在[1，e]上有解，即，
令，则，所以当1≤x≤e时，g'(x)≥0，g(x)在[1，e)上单调递增，
所以a≥g(1)=0.
故选：B
【分析】由变形为，令f(x)=ex+x，从而利用(x)的单调性可得在[1，e]上有解，参变分离后可得，令，求导后利用单调性即可求解.
22．【答案】A
【解析】【解答】由题意可知，，即，且，∴，，
即.
∴，（当时也成立），
令，，，，则，
∵，且
∴由，可得，即，
又在上单调递增，
∴，∴.
故答案为：A．
【分析】由题意可知，令，，，，则，利用基本不等式可求出，进而求出 的取值范围 .
23．【答案】C
【解析】【解答】解： 曲线 的导数为，令，则，，解得 .
故答案为：C.
【分析】求导得，导函数经过点，切线方程经过点 代入求解 .
24．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
所以f(1)=2，，
所以f'(1)=3=k切，
函数的图象在点处的切线方程为：3x-y-1=0，
由切线和直线x+ay+1=0平行，可得：，
所以，
故选A.
【分析】先求切线方程，再利用直线平行求得参数a.
25．【答案】C
【解析】【解答】设，
根据已知可得：恒成立，即恒成立，
令，则在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，即实数a的取值范围是：[1，+∞），
故选：C.
【分析】把问题等价转化为在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数得到在上恒成立，即可求出a的取值范围。
26．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由导函数的图象可知，在 上单调递增，原函数 在的图象越来越陡，A确
B、左、右侧函数值均为正，不是函数的极值点，B正确；
C、当时，函数值大于0， 在处切线的斜率大于零，C错误；
D、当时，函数值大于0，在上单调递增 ，D正确.
故答案为：C.
【分析】根据导函数的图象与原函数之间的关系，逐一判断选项.
27．【答案】A
【解析】【解答】解：令，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，
①当时，，则，
所以，
所以存在，使得；
②当时，，则，
所以存在，使得；
③当时，令，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以存在，使得，即.
由上可知，对任意的，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以
，则，
所以，
令，其中，
所以，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，即的最大值为.
故答案为：A.
【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由题意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为的最大值.
28．【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递增，无极值点，A符合题意；
当时，，，
所以
当时，因为，
所以，
所以函数在上单调递增，
当时，设，
则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以存在，满足，
所以当时，，，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递减，
当时，，，函数在单调递增，
所以函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增，
所以当时函数取极大值，当时函数取极小值，
所以函数存在唯一极小值点；B符合题意；
因为，，
所以，
令，
可得，
令，可得，
令，可得，
所以函数上单调递减，其中，
在区间和上单调递增，其中，
且，，其中，
所以函数在上单调递减，
，，
当时，，，
故存在，使得，
当时，，当时，，
所以当时，存在，使得，
当时，，当时，，
所以为函数的极大值点，C不符合题意；
当时，
当时， ，
函数在上单调递增，又，
所以函数在上不存在零点，
当时，，
函数在上不存在零点，
当时，，为增函数，
所以函数在上为增函数，
又，，
存在，满足，即，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以当，，又，
所以，
当时，，此时
所以存在在上有且只有一个零点，D符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点，再结合零点存在性定理得出函数在给定区间零点的个数，从而找出说法不正确的选项。
29．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：，
设切点坐标为，则切线的斜率，
所以切线方程为，整理得，
则，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以 的最小值为 .
故答案为：.
【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，构建，利用导数判断原函数的单调性和最值，进而可得的最小值.
30．【答案】D
【解析】【解答】解：设f(x)=eax，g(x)=2x+b，
若eax≥2x+b，对任意x∈R恒成立，则f(x)≥g(x)，对任意x∈R恒成立，
①当a<0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
显然，由图可知，eax≥2x+b对任意x∈R不恒成立；
②当a=0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
显然，由图可知，eax≥2x+b对任意x∈R不恒成立；
③当a>0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
由图可知，临界条件是直线g(x)=2x+b与曲线f(x)=eax的图象相切时，
由f(x)=eax，求导f'(x)=aeax，
设f'(x0)=aeax0=2，解得eax0=，且f(x0)=eax0，
∴当f(x)=eax的切线斜率为2时，切点坐标为（x0，eax0），
故eax0=2x0+b=，所以
即，
令，
求导得，
令h'(a)=0，得lna=ln2-，解得，
当，h'(a)>0，函数h(a)单调递增，
当，h'(a)<0，函数h(a)单调递减，
所以当，函数h(a)取到最大值，且，
故 的最大值为 .
故选：D
【分析】讨论a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.
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