高中数学人教A版（2019）选修2 第四章 数列综合卷章节综合练习题（答案+解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选修2 第四章 数列综合卷章节综合练习题（答案+解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 352.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-02 20:42:27 | ||
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文档简介
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第四章 数列综合卷
一、选择题
1．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·联合期末）数列的第11项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·湖北期中）已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是（ ）
A．10 B．18 C．26 D．63
4．（2023高二下·南阳期中）数列的第5项为（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列是等差数列，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·江岸期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·红桥期末）已知是等差数列，，，则公差为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·张家口期末）已知等差数列的首项，而，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．
9．（2023高二上·电白期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
10．（2023高二下·洛阳期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2023高二上·红桥期末）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·河北期末）在等比数列中，若，，则公比的值等于（ ）
A． B． C．2 D．4
13．（2023高二上·长春期末）等比数列中，，公比，若，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
14．（2023高三上·石家庄开学考）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023高二下·浙江期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A． B． C．71 D．
16．已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．设公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知为递减等比数列，，，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2023高二上·河北期末）等比数列1，，，，…的前项和为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022高三上·陕西月考）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍（ ）
A．4天 B．5天 C．6天 D．7天
21．（2022高三上·抚顺月考）已知数列满足，若a4+a5=3，则（ ）
A． B．1 C．6 D．12
22．（2023·闵行模拟）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
二、填空题
23．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ．
24．（2023高二下·十堰期末）设等比数列的前项和为，若，则 .
25．（2023高二下·洛阳期末）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
26．（2023高二下·十堰期末）法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.他将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为3，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方作一个正三角形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的线段做相同的操作，得到图3中的图形.依此类推，则第个图形中新出现的等边三角形的边长为 ；第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 .
三、解答题
27．（2023·惠州模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
28．（2023·广东模拟）已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足求数列的前2n项的和．
29．（2023·广东模拟）已知是递增的等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2），数列满足，求的前项和．
30．（2023·佛山模拟）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
【解析】【解答】设该数列的第n项为，
由已知，
变形可得，
所以数列的一个通项公式可以是，
可得．
故答案为：A.
【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第11项.
3．【答案】D
【解析】【解答】令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；A不符合题意；
令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；B不符合题意；
令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；C不符合题意；
令，可得或，
，是正整数，
即数列的第项为，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法以及一元二次方程求解方法，从而找出数列 中的项。
4．【答案】C
【解析】【解答】数列的第5项为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法，进而得出数列第五项的值。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 数列是等差数列 ，且a3+a5+a7=15，所以由等差数列性质有，解得a5=5
又因为，解得公差d=2；所以a10=a5+5d=5+10=15
故答案为：15.
【分析】根据题目条件a3+a5+a7=15，先求出a5，再根据，求出公差d，最后再求解a10.
6．【答案】B
【解析】【解答】由等差数列性质知：，解得：，
.
故答案为：B.
【分析】 利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式，即可求解出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】，.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合等差数列的定义，即可求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】等差数列的首项，，则.
故答案为：A
【分析】由，代入即可化简求值.
9．【答案】C
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：C
【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的性质，可求出答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设从上至下层的灯数是，
由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，
因为，解得，
所以塔的顶层的灯数是.
故答案为：A.
【分析】设从上至下层的灯数是，由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】由等比数列求和公式得：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，直接利用等比数列的前n项和公式，即可求解出答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】在等比数列中，
因为，，
所以，
故答案为：C.
【分析】由等比数列通项公式求解即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】因为数列 等比，所以由 得 ，即 ，解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出n的值。
14．【答案】D
【解析】【解答】解：根据递推公式 ，可得：a1=-2
， ， ，
所以数列 是以4为周期的周期数列，则a2016=a4=3
故答案为：3.
【分析】本题考查数列的周期性，根据递推公式依次求出a2，a3，a4，可找出出数列周期，再根据周期性质求解即可。
15．【答案】C
【解析】【解答】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，
则，
∴ ，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时取最小值为．
故答案为：C.
【分析】 根据题意知{an}是首项为8，公差为15的等差数列，从而得出，进而得出，然后根据函数的单调性即可求出 的最小值 .
16．【答案】A
17．【答案】D
【解析】【解答】解：为等差数列，，，
，即化简得，
故答案为：D.
【分析】利用等差中项得，，再根据等差数列通项和 得，进而求解.
18．【答案】A
【解析】【解答】解：由得a2=1(-1不满足题意），又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】先根据等比中项的性质求出a2，再由已知解出公比和首项，最后代入等比数列求和公式即可得解。
19．【答案】D
【解析】【解答】设该数列为，数列的公比为，由已知，，所以，
所以数列的前项和，
故答案为：D.
【分析】由条件求出等比数列的公比，利用等比数列求和公式求其前项和.
20．【答案】A
【解析】【解答】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，
∴蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，
则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，又∵．
即，解得。
故答案为：.
【分析】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，再利用等比数列的定义，从而判断出蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出其前项和，由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，再利用等比数列的定义，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出其前项和，再结合，进而得出n的值。
21．【答案】D
【解析】【解答】由可知数列是公比为的等比数列，
所以，
解得：.
故答案为：D
【分析】由可知数列是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得，可求出答案.
22．【答案】C
【解析】【解答】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，D为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合“M数列”的定义和等差数列以及等比数列的定义，再结合数列的单调性和的关系式以及数列求和公式，进而找出假命题的选项。
23．【答案】12
【解析】【解答】解：由题可知
因为 有 ，即，所以 数列 为等差数列。
又因为 ，是方程的两个实根 ，所以，根据等差数列得性质有
因此a4=4，所以 则
故答案为：12.
【分析】本题考查等差数列得定义与证明，先根据通项公式 证明为等差数列，再根据结合题目条件与等差数列性质求解即可。
24．【答案】156
【解析】【解答】解：设，则，可得，
因为为等比数列，则仍成等比数列.
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：156.
【分析】利用等比数列前n项和的性质计算即可.
25．【答案】15
【解析】【解答】解：因为，则，即，
可知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
所以，
令，即，
又因为单调递增，且.
所以n的最大值为15.
故答案为：15.
【分析】根据等差数列定义得出可知数列是首项为，公差为的等差数列，根据差数列通项公式及求和公式可得，运算求解即可.
26．【答案】；
【解析】【解答】解：空1：依题意设第n个图形中新出现的等边三角形的边长为，
由题意可得，
归纳可得当时，；
空2：设第n个图形中新增加的等边三角形的个数为，
由题意可得，归纳可得当时，，
设第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，
则，
可得，其中；
当时，显然成立；
所以第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为.
故答案为：；.
【分析】空1：依题意设第n个图形中新出现的等边三角形的边长为，即可归纳出；空2：设第n个图形中新增加的等边三角形的个数为，归纳得到，设第n个图形中的所有线段长的和为，可得，再利用累加法计算可得.
27．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为；
（2）解：由（1）得，所以，所以，
，
所以
【解析】【分析】（1 )利用 的关系式和分类讨论的方法，再由等比数列的定义判断出数列是首项为1，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式和检验法得出数列的通项公式。
（2） 利用数列的通项公式和 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
28．【答案】（1）解：因为，，成等比数列，所以，
即，
解得或．
因为，所以，
所以．
（2）解：由（1）得
所以，
所以
，
，
所以数列的前2n项的和．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列定义，等差数列通项公式，列方程求，由此可得数列的通项公式；
（2）结合（1）的结论，得 ，进一步利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求出数列的和．
29．【答案】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，，
因为数列为等比数列，则，即，
因为，解得，.
又因为，，所以，等比数列的公比为，
因此，.
（2）解：由，①
可得，所以，，
当时，，②
①②得，所以，，
不满足，所以，.
当时，，
当时，，
也满足，
综上所述，对任意的，.
【解析】【分析】（1） 由题意，根据等差数列的通项公式结合等比中项，求出公差，结合等差数列与等比数列的通项公式得出数列的通项公式和数列.
（2） 分类当n=1时带入即得c1值；当时， 由，① 得，② 利用数列递推可得的通项公式，结合检验即得答案。
30．【答案】（1）解：设的公比为，则，又，
当时，，当时，，
两式相减可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比数列的通项公式为；
（2）解：由，，可得，
所以，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以.
即.
【解析】【分析】(1)在 中，分别代入n=1和n=2 ，可求出数列{an}的公比q ，进而知a1 ，再由等比数列的通项公式，求解出数列的通项公式；
(2)采用作差法，证明 推出 ，从而得 ，再结合等比数列的前n项和公式与分组求和法，求解出数列的前项和．
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第四章 数列综合卷
一、选择题
1．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·联合期末）数列的第11项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·湖北期中）已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是（ ）
A．10 B．18 C．26 D．63
4．（2023高二下·南阳期中）数列的第5项为（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列是等差数列，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·江岸期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·红桥期末）已知是等差数列，，，则公差为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·张家口期末）已知等差数列的首项，而，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．
9．（2023高二上·电白期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
10．（2023高二下·洛阳期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2023高二上·红桥期末）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·河北期末）在等比数列中，若，，则公比的值等于（ ）
A． B． C．2 D．4
13．（2023高二上·长春期末）等比数列中，，公比，若，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
14．（2023高三上·石家庄开学考）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023高二下·浙江期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A． B． C．71 D．
16．已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．设公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知为递减等比数列，，，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2023高二上·河北期末）等比数列1，，，，…的前项和为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022高三上·陕西月考）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的2倍（ ）
A．4天 B．5天 C．6天 D．7天
21．（2022高三上·抚顺月考）已知数列满足，若a4+a5=3，则（ ）
A． B．1 C．6 D．12
22．（2023·闵行模拟）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
二、填空题
23．（2023高三上·石家庄开学考）已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ．
24．（2023高二下·十堰期末）设等比数列的前项和为，若，则 .
25．（2023高二下·洛阳期末）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
26．（2023高二下·十堰期末）法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.他将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为3，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方作一个正三角形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的线段做相同的操作，得到图3中的图形.依此类推，则第个图形中新出现的等边三角形的边长为 ；第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 .
三、解答题
27．（2023·惠州模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
28．（2023·广东模拟）已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足求数列的前2n项的和．
29．（2023·广东模拟）已知是递增的等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2），数列满足，求的前项和．
30．（2023·佛山模拟）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
【解析】【解答】设该数列的第n项为，
由已知，
变形可得，
所以数列的一个通项公式可以是，
可得．
故答案为：A.
【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第11项.
3．【答案】D
【解析】【解答】令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；A不符合题意；
令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；B不符合题意；
令，可得，
，不是正整数，
所以不是的项；C不符合题意；
令，可得或，
，是正整数，
即数列的第项为，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法以及一元二次方程求解方法，从而找出数列 中的项。
4．【答案】C
【解析】【解答】数列的第5项为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法，进而得出数列第五项的值。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 数列是等差数列 ，且a3+a5+a7=15，所以由等差数列性质有，解得a5=5
又因为，解得公差d=2；所以a10=a5+5d=5+10=15
故答案为：15.
【分析】根据题目条件a3+a5+a7=15，先求出a5，再根据，求出公差d，最后再求解a10.
6．【答案】B
【解析】【解答】由等差数列性质知：，解得：，
.
故答案为：B.
【分析】 利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式，即可求解出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】，.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合等差数列的定义，即可求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】等差数列的首项，，则.
故答案为：A
【分析】由，代入即可化简求值.
9．【答案】C
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：C
【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的性质，可求出答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设从上至下层的灯数是，
由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，
因为，解得，
所以塔的顶层的灯数是.
故答案为：A.
【分析】设从上至下层的灯数是，由题意可知：数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】由等比数列求和公式得：.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，直接利用等比数列的前n项和公式，即可求解出答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】在等比数列中，
因为，，
所以，
故答案为：C.
【分析】由等比数列通项公式求解即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】因为数列 等比，所以由 得 ，即 ，解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出n的值。
14．【答案】D
【解析】【解答】解：根据递推公式 ，可得：a1=-2
， ， ，
所以数列 是以4为周期的周期数列，则a2016=a4=3
故答案为：3.
【分析】本题考查数列的周期性，根据递推公式依次求出a2，a3，a4，可找出出数列周期，再根据周期性质求解即可。
15．【答案】C
【解析】【解答】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，
则，
∴ ，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时取最小值为．
故答案为：C.
【分析】 根据题意知{an}是首项为8，公差为15的等差数列，从而得出，进而得出，然后根据函数的单调性即可求出 的最小值 .
16．【答案】A
17．【答案】D
【解析】【解答】解：为等差数列，，，
，即化简得，
故答案为：D.
【分析】利用等差中项得，，再根据等差数列通项和 得，进而求解.
18．【答案】A
【解析】【解答】解：由得a2=1(-1不满足题意），又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】先根据等比中项的性质求出a2，再由已知解出公比和首项，最后代入等比数列求和公式即可得解。
19．【答案】D
【解析】【解答】设该数列为，数列的公比为，由已知，，所以，
所以数列的前项和，
故答案为：D.
【分析】由条件求出等比数列的公比，利用等比数列求和公式求其前项和.
20．【答案】A
【解析】【解答】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，
∴蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，
则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和为，又∵．
即，解得。
故答案为：.
【分析】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，再利用等比数列的定义，从而判断出蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出其前项和，由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，再利用等比数列的定义，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出其前项和，再结合，进而得出n的值。
21．【答案】D
【解析】【解答】由可知数列是公比为的等比数列，
所以，
解得：.
故答案为：D
【分析】由可知数列是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得，可求出答案.
22．【答案】C
【解析】【解答】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，D为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合“M数列”的定义和等差数列以及等比数列的定义，再结合数列的单调性和的关系式以及数列求和公式，进而找出假命题的选项。
23．【答案】12
【解析】【解答】解：由题可知
因为 有 ，即，所以 数列 为等差数列。
又因为 ，是方程的两个实根 ，所以，根据等差数列得性质有
因此a4=4，所以 则
故答案为：12.
【分析】本题考查等差数列得定义与证明，先根据通项公式 证明为等差数列，再根据结合题目条件与等差数列性质求解即可。
24．【答案】156
【解析】【解答】解：设，则，可得，
因为为等比数列，则仍成等比数列.
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：156.
【分析】利用等比数列前n项和的性质计算即可.
25．【答案】15
【解析】【解答】解：因为，则，即，
可知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
所以，
令，即，
又因为单调递增，且.
所以n的最大值为15.
故答案为：15.
【分析】根据等差数列定义得出可知数列是首项为，公差为的等差数列，根据差数列通项公式及求和公式可得，运算求解即可.
26．【答案】；
【解析】【解答】解：空1：依题意设第n个图形中新出现的等边三角形的边长为，
由题意可得，
归纳可得当时，；
空2：设第n个图形中新增加的等边三角形的个数为，
由题意可得，归纳可得当时，，
设第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，
则，
可得，其中；
当时，显然成立；
所以第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为.
故答案为：；.
【分析】空1：依题意设第n个图形中新出现的等边三角形的边长为，即可归纳出；空2：设第n个图形中新增加的等边三角形的个数为，归纳得到，设第n个图形中的所有线段长的和为，可得，再利用累加法计算可得.
27．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为；
（2）解：由（1）得，所以，所以，
，
所以
【解析】【分析】（1 )利用 的关系式和分类讨论的方法，再由等比数列的定义判断出数列是首项为1，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式和检验法得出数列的通项公式。
（2） 利用数列的通项公式和 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
28．【答案】（1）解：因为，，成等比数列，所以，
即，
解得或．
因为，所以，
所以．
（2）解：由（1）得
所以，
所以
，
，
所以数列的前2n项的和．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列定义，等差数列通项公式，列方程求，由此可得数列的通项公式；
（2）结合（1）的结论，得 ，进一步利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求出数列的和．
29．【答案】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，，
因为数列为等比数列，则，即，
因为，解得，.
又因为，，所以，等比数列的公比为，
因此，.
（2）解：由，①
可得，所以，，
当时，，②
①②得，所以，，
不满足，所以，.
当时，，
当时，，
也满足，
综上所述，对任意的，.
【解析】【分析】（1） 由题意，根据等差数列的通项公式结合等比中项，求出公差，结合等差数列与等比数列的通项公式得出数列的通项公式和数列.
（2） 分类当n=1时带入即得c1值；当时， 由，① 得，② 利用数列递推可得的通项公式，结合检验即得答案。
30．【答案】（1）解：设的公比为，则，又，
当时，，当时，，
两式相减可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比数列的通项公式为；
（2）解：由，，可得，
所以，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以.
即.
【解析】【分析】(1)在 中，分别代入n=1和n=2 ，可求出数列{an}的公比q ，进而知a1 ，再由等比数列的通项公式，求解出数列的通项公式；
(2)采用作差法，证明 推出 ，从而得 ，再结合等比数列的前n项和公式与分组求和法，求解出数列的前项和．
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