2023-2024学年广东省惠州实验中学高一（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣1，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）命题“ x≤2，x2+2x﹣8＞0”的否定是（　　）
A． x≤2，x2+2x﹣8≤0 B． x＞2，x2+2x﹣8＞0
C． x≤2，x2+2x﹣8＞0 D． x＞2，x2+2x﹣8＞0
3．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|﹣3＜x+1≤4}，B＝{x|1﹣x＞0}（　　）
A．{x|﹣4＜x≤3} B．{x|﹣4＜x＜1} C．{x|1＜x≤3} D．{x|x≤﹣4}
4．（5分）集合A，B的关系如图所示，则“x∈B”是“x∈A”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（1，+∞）
6．（5分）不等式﹣x2+3x+10＞0的解集为（　　）
A．{x|﹣2＜x＜5} B．{x|x＜﹣2或x＞5}
C．{x|﹣5＜x＜2} D．{x|x＜﹣5或x＞2}
7．（5分）已知命题p： x∈R，x2+2x﹣a＞0．若p为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1
8．（5分）下列不等式一定成立的是（　　）
A．
B．（其中x＞﹣3）
C．
D．（其中x＞2）
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
（多选）9．（5分）已知a，b，c为实数，且a＞b＞0（　　）
A． B． C．a2＞ab D．ac2＞bc2
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ x∈R，x2＞﹣1”的否定是“ x∈R，x2＜﹣1”
B．命题“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”
C． a∈R， x∈R，使得ax＞2
D．若集合A是全集U的子集，则命题“x UA”与“x∈A”同时成立
（多选）11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．c＞0
D．cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}
（多选）12．（5分）设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b），那么（　　）
A．a+b有最小值 B．a+b有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合，则集合A中的元素个数为 　 　．
14．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，写出一个满足A∪B＝{﹣1，0，1，2　 　．
15．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．若（A∪B） A　 　．
16．（5分）已知x＞1，求x+的最小值是　 　．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+2b
18．（12分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|x≤3或x＞5}．
（1）若a＝4，求A∩B；
（2）若A B，求a的取值范围．
19．（12分）已知关于x的不等式2ax2﹣8x﹣3a2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜b}．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足时
20．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若命题p： x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围；
（2）若命题q： x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围．
21．（12分）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC
（Ⅰ）若，求x的取值范围；
（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，
（1）当a＝2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立
2023-2024学年广东省惠州实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣1，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【答案】A
【分析】由集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，6，B＝{﹣1，1，
则A∩B＝{﹣4，1}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（5分）命题“ x≤2，x2+2x﹣8＞0”的否定是（　　）
A． x≤2，x2+2x﹣8≤0 B． x＞2，x2+2x﹣8＞0
C． x≤2，x2+2x﹣8＞0 D． x＞2，x2+2x﹣8＞0
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果．
【解答】解：命题“ x≤2，x2+7x﹣8＞0”的否定是： x≤8，x2+2x﹣7≤0．
故选：A．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|﹣3＜x+1≤4}，B＝{x|1﹣x＞0}（　　）
A．{x|﹣4＜x≤3} B．{x|﹣4＜x＜1} C．{x|1＜x≤3} D．{x|x≤﹣4}
【答案】D
【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答．
【解答】解：依题意，A＝{x|﹣4＜x≤3}，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是 RA∩B，而 RA＝{x|x≤﹣8或x＞3}，
所以 RA∩B＝{x|x≤﹣4}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的运算，属于基础题．
4．（5分）集合A，B的关系如图所示，则“x∈B”是“x∈A”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由韦恩图可知：A B，从而得出“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．
【解答】解：由韦恩图可知：A B，
∴由“x∈A”可得到“x∈B”，但是由“x∈B”得不到“x∈A”，
∴“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题．
5．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（1，+∞）
【答案】D
【分析】求解一元二次不等式化简A，再由并集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜8}，B＝{x|2x﹣3＞4}＝{x|x＞}，
∴A∪B＝{x|8＜x＜3}∪{x|x＞}＝（1，
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
6．（5分）不等式﹣x2+3x+10＞0的解集为（　　）
A．{x|﹣2＜x＜5} B．{x|x＜﹣2或x＞5}
C．{x|﹣5＜x＜2} D．{x|x＜﹣5或x＞2}
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，求解即可．
【解答】解：不等式﹣x2+3x+10＞8，可化为x2﹣3x﹣10＜3，
即（x+2）（x﹣5）＜8，解得﹣2＜x＜5，
所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
7．（5分）已知命题p： x∈R，x2+2x﹣a＞0．若p为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1
【答案】C
【分析】求得命题为真时参数a的取值范围，再求其补集即可．
【解答】解：若命题p为真，则Δ＝4+4a＜4，
则当命题p为假命题时，a≥﹣1，
故a的取值范围是a≥﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
8．（5分）下列不等式一定成立的是（　　）
A．
B．（其中x＞﹣3）
C．
D．（其中x＞2）
【答案】B
【分析】对于A，分x＞0、x＜0利用基本不等式求解即可；对于B，由题意可知x+3＞0，利用基本不等式求解即可；对于C，D由对勾函数的性质求解即可．
【解答】解：对于A，当x＞0时，，等号成立；
当x＜0时，，当x＝﹣2时；
所以或，故错误；
对于B，因为x＞﹣3，
所以，当，即x＝﹣2时，故正确；
对于C，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在[3，
所以，
所以，故错误；
对于D，因为x＞2，
令m＝x﹣1，m＞6，在（1，
所以，
即，故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
（多选）9．（5分）已知a，b，c为实数，且a＞b＞0（　　）
A． B． C．a2＞ab D．ac2＞bc2
【答案】AC
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：对于选项A：﹣＝，∵a＞b＞7，b﹣a＜0，
∴﹣＝＜0，即＜；
对于B：令a＝5，b＝1，显然错误；
对于C：由a＞b＞6，a＞02＞ab，故C正确；
对于D：c＝6时，显然错误；
故选：AC．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是基础题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ x∈R，x2＞﹣1”的否定是“ x∈R，x2＜﹣1”
B．命题“ x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x2＞9”
C． a∈R， x∈R，使得ax＞2
D．若集合A是全集U的子集，则命题“x UA”与“x∈A”同时成立
【答案】BD
【分析】对于AB，结合命题否定的定义，即可求解；
对于C，结合特殊值法，即可求解；
对于D，结合补集的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，命题“ x∈R，x2＞﹣1”的否定是“ x∈R，x4≤﹣1”，故A错误；
对于B，命题“ x∈（﹣3，x5≤9”的否定是“ x∈（﹣3，+∞），x8＞9”，故B正确；
对于C，当a＝0时，使得ax＞2；
对于D，若集合A是全集U的子集，
由补集的定义可知，命题“x UA”与“x∈A”同时成立，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．c＞0
D．cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}
【答案】ABC
【分析】由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＜0，再利用韦达定理，得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，从而判断选项A和C；由1 {x|x＜﹣1或x＞3}，可判断选项B；将b＝﹣2a，c＝﹣3a代入不等式cx2﹣bx+a＜0，解之，可判断选项D．
【解答】解：由题意知，﹣1和3是方程ax5+bx+c＝0的两根，且a＜0，
∴﹣8+3＝，（﹣1）×3＝，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵a＜3，∴b＞0，即选项A和C正确；
∵1 {x|x＜﹣6或x＞3}，
∴a+b+c＞0，即选项B正确；
不等式cx4﹣bx+a＜0可化为a（3x+2）（x﹣1）＞0，
∵a＜3，∴＜x＜5．
故选：ABC．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b），那么（　　）
A．a+b有最小值 B．a+b有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
【答案】AD
【分析】直接利用基本不等式分别求出a+b和ab的范围，再对照四个选项进行判断即可得解．
【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴，
∴，
∴（a+b）2﹣8（a+b）≥4，∴[（a+b）﹣2]4≥8，
解得，即，当且仅当，
∴a+b有最小值，故A正确．
∵a＞1，b＞1，∴，
∴，解得，
∴，当且仅当，
∴ab有最小值，故C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合，则集合A中的元素个数为 　5　．
【答案】5．
【分析】求出分式不等式的解集，利用列举法写出集合A中的元素即可求解．
【解答】解：由可知，解得2＜x≤7，
则A＝{7，4，5，2，7}．
故答案为：5．
【点评】本题考查集合中元素个数的应用，考查不等式解法，属于基础题．
14．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，写出一个满足A∪B＝{﹣1，0，1，2　{﹣1，3}（答案不唯一）　．
【答案】{﹣1，3}（答案不唯一）．
【分析】写出满足{﹣1，3} B {﹣1，0，1，2，3}的集合即可．
【解答】解：根据题意，只要是满足{﹣1，0，3，2，3}的集合即可，
所以B＝{﹣7，3}．
故答案为：{﹣1，8}（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
15．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+3}．若（A∪B） A　（﹣∞，0]　．
【答案】（﹣∞，0]，
【分析】根据集合间的关系可解．
【解答】解：根据题意，因为集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，
则B A，
当B＝ 时，4m+3＜m+1，符合题意，
当B≠ 时，，得﹣2≤m≤2，
综上，m的取值范围为（﹣∞，
故答案为：（﹣∞，0]，
【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题．
16．（5分）已知x＞1，求x+的最小值是　5　．
【答案】5．
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值．
【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞2，
所以＝5，等号成立．
故答案为：5
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+2b
【答案】（1）﹣6＜a+2b＜﹣3；（2）5＜a﹣b＜7．
【分析】利用不等式的基本性质求解．
【解答】解∵﹣4＜b＜﹣3，∴﹣5＜2b＜﹣6，
又∵4＜a＜3，∴﹣6＜a+7b＜﹣3，
∵﹣4＜b＜﹣6，∴3＜﹣b＜4；
又∵3＜a＜3，∴5＜a﹣b＜4．
【点评】本题主要考查不等式范围的计算，利用不等式的性质是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质以及应用．
18．（12分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|x≤3或x＞5}．
（1）若a＝4，求A∩B；
（2）若A B，求a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|5＜x≤7}；（2）{a|a≤2或a＞4}
【分析】（1）代入a，根据交集定义直接运算即可；
（2）分A＝ 和A≠ 两种情况讨论可求出．
【解答】解：（1）当a＝4时，易得A＝{x|5≤x≤3}，
∵B＝{x|x≤3或x＞5}，
∴A∩B＝{x|5＜x≤7}．
（2）若2a﹣3＜a+1，即a＜2时，满足A B，
若8a﹣1≥a+1，即a≥2时，
要使A B，只需或，
解得a＝2或a＞3，
综上所述a的取值范围为{a|a≤2或a＞4}．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
19．（12分）已知关于x的不等式2ax2﹣8x﹣3a2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜b}．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x＞0，y＞0，且满足时
【答案】（1）a＝2，b＝3．
（2）24．
【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、b的值．
（2）根据题意，利用基本不等式，即可求出3x+2y的最小值．
【解答】解：（1）因为不等式2ax2﹣6x﹣3a2＜7的解集为{x|﹣1＜x＜b}，
所以a＞0，且﹣82﹣8x﹣3a2＝0的两个根，
由根与系数的关系知，，
解得a＝2或（不合题意，b＝3．
（2）当x＞5，y＞0时，
所以，
当且仅当，即x＝4，等号成立，
所以3x+8y的最小值为24．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
20．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若命题p： x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围；
（2）若命题q： x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围．
【答案】（1）{m|m≤3}；
（2）{m|2≤m≤4}．
【分析】（1）若命题p： x∈B，x∈A是真命题，则B A，然后分B＝ 和B≠ 两种情况，结合集合包含关系求出m的取值范围；
（2）若命题q： x∈B，x∈A是真命题，则A∩B≠ ，再结合交集的运算求解．
【解答】解：集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+6≤x≤2m﹣1}，
（1）若命题p： x∈B，x∈A是真命题，
当B＝ 时，m+4＞2m﹣1，
当B≠ 时，，解得2≤m≤5
故m的取值范围为{m|m≤3}；
（2）若命题q： x∈B，x∈A是真命题，
所以，解得2≤m≤4
故m的取值范围为{m|6≤m≤4}．
【点评】本题以复合命题真假为载体，主要考查了集合的包含关系及交集运算，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
21．（12分）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC
（Ⅰ）若，求x的取值范围；
（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
【答案】（Ⅰ）（）．
（Ⅱ）时，cm2．
【分析】（Ⅰ）由折叠性质可知△ADP≌△CEP，进而可得AP＝PC＝（x﹣a），再利用勾股定理得到（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）2，化简整理求出a，根据AB＞AD求出x的范围即可；
（Ⅱ），利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．
【解答】解：（Ⅰ）由矩形周长为40cm，可知AD＝（20﹣x）cm，则PC＝（x﹣a）cm，
∵△ADP≌△CEP，∴AP＝PC＝（x﹣a）cm．
在Rt△ADP中，AD2+DP2＝AP3，即（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）7，
得，
由题意，，即x5﹣60x+600＜0，
解得，
由AB＞AD得，10＜x＜20，∴，
即x的取值范围是（）．
（Ⅱ），10＜x＜20．
化简得．
∵x＞0，∴，
当且仅当，即时，，cm3．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，利用基本不等式求最值，是中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，
（1）当a＝2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把a＝2代入可构造不等式x2﹣3x+2＞0，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集．
（2）根据函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a的解析式，可将f（x）＜0化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，分类讨论可得不等式的解集．
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，即在区间（1，+∞）上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，则f（x）＝x2﹣8x+2，由f（x）＞03﹣3x+2＞4，
令x2﹣3x+7＝0，解得x＝1
∴原不等式的解集为（﹣∞，5）∪（2
（2）由f（x）＜0得（x﹣a）（x﹣6）＜0，
令（x﹣a）（x﹣1）＝5，得x1＝a，x2＝2，…5 分，
当a＞1时，原不等式的解集为（4；…6 分，
当a＝1时，原不等式的解集为 ，
当a＜2时，原不等式的解集为（a．…（8分）．
（2）由f（x）+2x≥4即x2﹣ax+x+a≥0在（2，+∞）上恒成立，
得..…7 分，
令t＝x﹣1（t＞0），
则，…13 分
∴．
故实数a的取值范围是…14 分
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键。