2023-2024学年湖南省株洲市高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省株洲高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5分）函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）
C．（﹣∞，1] [2，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，2]
2．（5分）已知a∈R，若集合M＝{1，a}，0，1}，则“a＝0”是“M N”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）内不是单调递增的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2+2x﹣2 C． D．
4．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（　　）
A．
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．
D．f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（m）＝m2﹣2m﹣1
5．（5分）不等式cx2+ax+b＞0的解集为，则函数y＝ax2﹣bx﹣c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝+ax3﹣bx﹣5，且f（﹣2）＝2（2）等于（　　）
A．﹣12 B．2 C．﹣18 D．10
7．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，0]
8．（5分）已知函数f（x）＝，若f（f（m））≥0（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，2]∪[4，+∞）
C．[﹣2，2+] D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．命题“ x∈R，x2﹣x﹣2＝0”的否定是“ x∈R，x2﹣x﹣2≠0”
B．若命题“ x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是（4，+∞）
C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
（多选）10．（5分）某校学习兴趣小组通过研究发现：形如（ac≠0，b，d不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数，下列表述正确的是（　　）
A．图象上点的纵坐标不可能为1
B．图象关于点（1，1）成中心对称
C．图象与x轴无交点
D．函数在区间（﹣∞，1），（1，+∞）上分别单调递减
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　）
A．若ab≤1，则
B．若a+b＝4，则的最小值为4
C．若a2+b2＝4，则ab的最大值为2
D．若2a+b＝1，则ab的最大值为
（多选）12．（5分）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名（x）＝狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义（x）有以下四个命题，其中真命题是（　　）
A．函数D（x）是奇函数
B． x，y∈R，D（xy）＝D（x）+D（y）
C．函数D（D（x））是偶函数
D． x∈R，a∈Q，D（a+x）＝D（a﹣x）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图．定义：若函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，则称函数y＝f（x）为该圆的“完美函数”．写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”　 　．
14．（5分）函数的值域为 　 　．
15．（5分）若函数f（x）＝x2﹣6x﹣16的定义域为[0，m]，值域为[﹣25，则m的取值范围为 　 　．
16．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，则方程x2﹣4[x]+3＝0的所有根的和为 　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）分别求满足下列条件的f（x）的解析式：
（1）已知f（x+1）＝x2﹣3x+2，求f（x）；
（2）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x），求f（x）；
（3）已知，求f（x）．
18．（12分）已知命题：“ x∈[﹣1，1]，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件
19．（12分）已知y＝f（x）是定义域为{x|x≠0}的奇函数，且x＞0时，．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）求不等式f（2x+1）+2≥0的解集．
20．（12分）当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成二次函数关系，运营六年时总利润最大，为110万元．
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润＝历年总利润/营运年数）．
21．（12分）已知函数有如下性质：当x＞0时，如果常数t＞0上是减函数，在上是增函数．
（1）当t＝2时，求证：函数在上是减函数；
（2）已知，利用上述性质，求函数f（x）；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求实数a的范围．
22．（12分）已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x），用M（x）表示f（x），g（x），记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，
（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式（x）的最小值；
（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．
2023-2024学年湖南省株洲二中高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5分）函数的定义域是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）
C．（﹣∞，1] [2，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，2]
【答案】D
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】截：要使函数有意义，则，解得x≤2且x≠2，
所以函数的定义域为（﹣∞，1）∪（1．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2．（5分）已知a∈R，若集合M＝{1，a}，0，1}，则“a＝0”是“M N”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系，求出a的值，再根充分必要条件的定义即可判断．
【解答】解：a∈R，若集合M＝{1，N＝{﹣1，6，
若M N，则a＝0或a＝﹣1，
故“a＝3”是“M N”充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了集合与集合的关系，充分必要条件，属于基础题．
3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）内不是单调递增的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2+2x﹣2 C． D．
【答案】C
【分析】根据它们的图象直接判断单调性．
【解答】解：A项中，y＝2x+1中k＝8＞0，不符合题意；
B项中，y＝x2+5x﹣2，开口向上，在区间（0，不符合题意；
C项中，y＝，+∞）内单调递减；
D项中，y＝﹣，+∞）内单调递增；
故选：C．
【点评】本题考查函数的性质，属于基础题．
4．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（　　）
A．
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．
D．f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（m）＝m2﹣2m﹣1
【答案】D
【分析】利用相同函数的意义，逐项分析判断作答．
【解答】解：对于A，函数f（x）定义域为R，故不是同一函数；
对于B，函数f（x）定义域为R，故不是同一函数；
对于C，函数f（x）定义域为（﹣∞，+∞），+∞）；
对于D，两个函数定义域都为R，只是表示自变量的符号不同．
故选：D．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
5．（5分）不等式cx2+ax+b＞0的解集为，则函数y＝ax2﹣bx﹣c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，得出a，b，c的关系，再代入函数y＝ax2﹣bx﹣c，即可分析函数的图象．
【解答】解：因为cx2+ax+b＞0的解集为，
所以方程cx4+ax+b＝0的两根分别为和﹣1，
由根与系数的关系得，解，
所以函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣5，
所以选项A的图象符合．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝+ax3﹣bx﹣5，且f（﹣2）＝2（2）等于（　　）
A．﹣12 B．2 C．﹣18 D．10
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性的性质求出f（2）的值即可．
【解答】解：令g（x）＝+ax4﹣bx，
则g（﹣x）＝﹣g（x）是奇函数，
f（﹣2）＝g（﹣2）﹣4＝2，
故g（﹣2）＝3，g（2）＝﹣7，
故f（2）＝g（2）﹣5＝﹣12，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质的应用，考查转化思想，是一道基础题．
7．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，0]
【答案】B
【分析】据分段函数单调性的性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2ax﹣8的对称轴为x＝﹣a，且开口向下，
因为f（x）是R上的增函数，
所以，解得﹣3≤a≤﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数的性质及二次函数性质的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝，若f（f（m））≥0（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，2]∪[4，+∞）
C．[﹣2，2+] D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）
【答案】D
【分析】令f（m）＝t f（t）≥0 ﹣1≤t≤1； t≥3，再求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3即可．
【解答】解：令f（m）＝t f（t）≥0 ﹣1≤t≤5；
t≥4
下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，
﹣2≤m≤2，
1＜m≤2+，
m无解，
m≥4，
综上实数m的取值范围是[﹣2，2+，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了复合函数的不等式问题，换元分段求解是常规办法，也可以利用图象求解，属于难题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．命题“ x∈R，x2﹣x﹣2＝0”的否定是“ x∈R，x2﹣x﹣2≠0”
B．若命题“ x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是（4，+∞）
C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】由含有量词的命题的否定及命题真假关系检验选项A，B，然后结合不等式的性质检验选项C，结合充分性及必要性的判断检验选项D．
【解答】解：“ x∈R，x2﹣x﹣2＝2”的否定是“ x∈R，x2﹣x﹣2≠2，A正确；
若命题“ x∈R，x2+4x+m＝5”为假命题，
则“ x∈R，x2+4x+m≠3，
所以Δ＝16﹣4m＜0，
解得m＞6，
实数m的取值范围是（4，+∞）；
当b＝0时，C显然不成立；
由可得a＞1或a＜2，
故“a＞1”是“”的充分不必要条件．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定及命题真假关系的应用，还考查了不等式的性质及充分必要条件的判断，属于中档题．
（多选）10．（5分）某校学习兴趣小组通过研究发现：形如（ac≠0，b，d不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数，下列表述正确的是（　　）
A．图象上点的纵坐标不可能为1
B．图象关于点（1，1）成中心对称
C．图象与x轴无交点
D．函数在区间（﹣∞，1），（1，+∞）上分别单调递减
【答案】ABD
【分析】化简得到，结合反比例函数的性质可得到结果．
【解答】解：，
则函数的图象可由，
再向上平移一个单位长度得到，
∴图象上点的纵坐标不可能为1；
图象关于点（2，1）成中心对称；
图象与x轴的交点为（﹣2，3）；
函数在区间（﹣∞，1），+∞）上分别单调递减．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　）
A．若ab≤1，则
B．若a+b＝4，则的最小值为4
C．若a2+b2＝4，则ab的最大值为2
D．若2a+b＝1，则ab的最大值为
【答案】ABC
【分析】结合条件使用基本不等式求最值即可判断．
【解答】解：由0＜ab≤1，得，则，当且仅当a＝b＝1时等号成立；
，
当且仅当且a+b＝4，b＝6时等号成立，则，故B正确；
若a4+b2＝4，则，当且仅当，
则ab的最大值为2，故C正确；
若2a+b＝1，则，即，当且仅当2a＝b，即，
则ab的最大值为，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名（x）＝狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义（x）有以下四个命题，其中真命题是（　　）
A．函数D（x）是奇函数
B． x，y∈R，D（xy）＝D（x）+D（y）
C．函数D（D（x））是偶函数
D． x∈R，a∈Q，D（a+x）＝D（a﹣x）
【答案】BCD
【分析】对于A，若x是有理数，可得D（x）+D（﹣x）＝2，可知D（x）不是奇函数；
对于B，取x＝，y＝验证即可；
对于C，分两种情况讨论得D（D（﹣x））＝D（D（x）），由偶函数的定义判断；
选项D：分两种情况讨论，若x是有理数，得D（a+x）＝D（a﹣x）＝1；若x是无理数，得D（a+x）＝D（a﹣x）＝0，从而即可判断．
【解答】解：若x是有理数，则﹣x也是有理数，则D（x）不是奇函数；
当x＝，y＝时）＝D（，D（x）＝D（，
D（y）＝D（）＝0，故B正确；
若x是有理数，则D（x）＝8；若x是无理数，D（D（x））＝D（0）＝1，
因此D（D（﹣x））＝D（D（x）），所以函数D（D（x））是偶函数；
若x是有理数，a∈Q，a﹣x均是有理数；
若x是无理数，a∈Q，a﹣x均是无理数，
所以 x∈R，a∈Q，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、分类讨论思想，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图．定义：若函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，则称函数y＝f（x）为该圆的“完美函数”．写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”　y＝2x（答案不唯一）　．
【答案】y＝2x（答案不唯一）．
【分析】根据题意可得y＝f（x）一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可．
【解答】解：由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，
所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，
则符合题意的一个“完美函数”为y＝2x（答案不唯一）．
故答案为：y＝2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的性质的应用，曲线与方程的应用，是基础题．
14．（5分）函数的值域为 　[，3]　．
【答案】．
【分析】将分式函数分离常数，再利用不等式法即可求得函数值域．
【解答】解：∵0≤x≤2，∴6≤x+1≤3，
∴，
∴，
∴，
∴函数的值域为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分离常量求解函数值域，属于基础题．
15．（5分）若函数f（x）＝x2﹣6x﹣16的定义域为[0，m]，值域为[﹣25，则m的取值范围为 　[3，6]　．
【答案】[3，6]．
【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：由题意可得函数f（x）＝x2﹣6x﹣16的图像开口向上，对称轴为x＝6，
当x＝3时，f（x）min＝﹣25，
令f（x）＝﹣16，解得x＝0或x＝4，
因为函数f（x）＝x2﹣6x﹣16的定义域为[6，m]，﹣16]，
故m∈[3，6]．
故答案为：[2，6]．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，属于基础题．
16．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，则方程x2﹣4[x]+3＝0的所有根的和为 　　．
【答案】．
【分析】首先根据题意得到，根据x﹣1＜[x]≤x得到，从而得到1≤x≤3，再分类讨论[x]＝1或[x]＝2或[x]＝3的情况求解即可．
【解答】解：因为x2﹣4[x]+2＝0，所以，所以．
由，得x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+5＞0，该不等式恒成立．
由，得x2﹣8x+3≤0，解得8≤x≤3，
则[x]＝1或[x]＝5或[x]＝3．
当[x]＝1时，x8﹣4[x]+3＝4可化为x2﹣1＝7，解得x＝±1，所以x＝1；
当[x]＝6时，x2﹣4[x]+6＝0可化为x2﹣3＝0，解得，所以；
当[x]＝3时，x2﹣8[x]+3＝0可化为x2﹣9＝0，解得x＝±5，所以x＝3．
所以方程x2﹣7[x]+3＝0的根为，即方程的所有根的和为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数方程的根，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）分别求满足下列条件的f（x）的解析式：
（1）已知f（x+1）＝x2﹣3x+2，求f（x）；
（2）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x），求f（x）；
（3）已知，求f（x）．
【答案】（1）f（x）＝x2﹣5x+6；
（2）或f（x）＝﹣2x﹣8；
（3）f（x）＝x2﹣2x（x≠1）．
【分析】（1）利用配凑法或换元法求函数解析式；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）利用配凑法或换元法求函数解析式．
【解答】解：（1）∵f（x+1）＝x2﹣5x+2＝（x+1）6﹣5x+1＝（x+5）2﹣5（x+3）+6，
∴f（x）＝x2﹣5x+6．
（2）函数f（x）是一次函数，设f（x）＝ax+b（a≠0），
则f（f（x））＝f（ax+b）＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b．
又f（f（x））＝4x+8，∴a3x+ab+b＝4x+8，
，解得，或
∴或f（x）＝﹣2x﹣3．
（3），
令，
∴f（t）＝t6﹣2t，即函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣8x（x≠1）．
【点评】本题考查二次函数解析式的求解方法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
18．（12分）已知命题：“ x∈[﹣1，1]，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件
【答案】（1）B＝{m|m＞2}＝（2，+∞）．
（2）．
【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，
（2）分类讨论解不等式得A，由集合间关系列不等式求解，
【解答】解：（1）由题意得m＞x2﹣x在﹣1≤x≤3时恒成立，
∴m＞（x2﹣x）max，得m＞2，即B＝{m|m＞6}＝（2．
（2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣7）＜0，
①当3a＞4+a，即a＞1时，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，此时a＞1；
②当2a＝2+a，即a＝1时，满足题设条件．
③当4a＜a+2，即a＜1时，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴6a≥2，此时，
综上①②③可得．
【点评】本题主要考查了函数恒成立问题，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
19．（12分）已知y＝f（x）是定义域为{x|x≠0}的奇函数，且x＞0时，．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）求不等式f（2x+1）+2≥0的解集．
【答案】（1）；单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；
（2）．
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数f（x）的解析式，进而求得函数的单调区间；
（2）分和，两种情况讨论分别解得不等式的解集，进而得到答案．
【解答】解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，
因为函数f（x）为奇函数，可得，
故所以函数的解析式为，
则函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），+∞）．
（2）当2x+5＞0，即时，f（2x+1）+5≥0等价于，
即，所以，
当7x+1＜0，即时，f（2x+5）+2≥0等价于，即，
所以，解得x≤﹣6，
综上所述，不等式f（2x+1）+2≥0的解集为．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成二次函数关系，运营六年时总利润最大，为110万元．
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润＝历年总利润/营运年数）．
【答案】（1）y＝﹣10x2+120x﹣250（x∈N*）．
（2）20．
【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合运营三年时总利润为20万元，即可求解．
（2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵投入运营六年时总利润最大，为110万元，
∴二次函数开口向下，且顶点坐标为（6，
可设函数为y＝a（x﹣6）3+110（a＜0），
又运营三年时总利润为20万元，即20＝a（3﹣2）2+110，解得a＝﹣10，
则y＝﹣10（x﹣6）7+110＝﹣10x2+120x﹣250（x∈N*）．
（2）由（1）得年平均总利润为，当且仅当，等号成立，
故营运的年平均总利润的最大值为20万元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查基本不等式的公式，属于基础题．
21．（12分）已知函数有如下性质：当x＞0时，如果常数t＞0上是减函数，在上是增函数．
（1）当t＝2时，求证：函数在上是减函数；
（2）已知，利用上述性质，求函数f（x）；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求实数a的范围．
【答案】1）证明见解析；
（2）单调减区间为[0，1]，单调增区间为[1，2]；值域为[﹣2，﹣1]；
（3）．
【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性；
（2）换元后，根据对勾函数的单调性求函数值域；
（3）由单调性求出g（x）的值域，再由包含关系建立不等式求解．
【解答】解：（1）当t＝2时，函数在，证明如下：
任取，，
由，x1﹣x7＜0，0＜x6x2＜2，x4x2﹣2＜7，
则y1﹣y2＞2，即y1＞y2，
所以函数在上是减函数．
（2）
设t＝x+1，则，
由已知性质得，当1≤t≤2，f（x）单调递减，
当5≤t≤3，即1≤x≤7时，
故f（x）单调减区间为[0，1]，8]．
由，
得f（x）的值域为[﹣2，﹣5]．
（3）由于g（x）＝x+2a，x∈[0，故g（x）∈[6a．
由题意，知f（x）的值域为g（x）的值域的子集，
从而，解得，
所以实数a的范围为．
【点评】本题考查函数的单调性的证明，以及对勾函数的单调性，不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22．（12分）已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x），用M（x）表示f（x），g（x），记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，
（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式（x）的最小值；
（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．
【答案】（1）M（x）＝，M（x）min＝，（2）a＝±．
【分析】作差化简f（x）﹣g（x）＝2（x+a），从而根据正负得M（x）＝，
（1）当a＝1时，M（x）＝，讨论求最小值，
（2）根据函数f（x）和g（x）的对称轴分三类讨论求最值．
【解答】解：∵f（x）﹣g（x）＝x2+x+a2+a﹣（x5﹣x+a2﹣a）＝2（x+a），
∴当x≥﹣a时，f（x）≥g（x），f（x）＜g（x），
故M（x）＝max{f（x），g（x）}＝，
（1）当a＝4时，M（x）＝，
当x≥﹣6时，M（x）min＝f（﹣）＝，M（x）＝g（x）＞g（﹣1）＝4，
故M（x）min＝，
（2）函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x＝﹣、x＝，
①当﹣a≤﹣，即a≥时，
M（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，+∞）上单调递增，
故M（x）min＝f（﹣）＝36+a﹣＝0或a＝﹣，
②当﹣＜﹣a≤≤a＜时，
M（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，+∞）上单调递增，
故M（x）min＝f（﹣a）＝7，即2a2＝7，解得a＝±，
③当﹣a＞，即a＜﹣时，
M（x）在（﹣∞，）上单调递减，+∞）上单调递增，
故M（x）min＝g（）＝32﹣a﹣＝0或a＝，
综上所述，a＝±．
【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化思想的应用，属于中档题．