海淀区 2023—2024 学年第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C
（6）D （7）C （8）C （9）B （10）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
4
（ 11 ） ( 1,0) (0, ) （12）
3
3 π
（13） 1 1（答案不唯一） （14） π
2 8
（15）①③
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q .
因为 a2 3， a1 a3 10，
所以 2a1 q 3， a1 a1 q 10．
1
q 3, q ,
所以 或 3
a1 1,
a1 9.
因为 an 均为整数，
q 3,
所以
a1 1.
所以 a n 1n 3 (n 1, 2, 3, )．
3n 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， Sn (n 1, 2, 3, )．
2
3k 1 1 3k 1 1 3k 1
所以 2Sk 1 3Sk 2 3 ，
2 2 2
3k 2 1 3k 1 1 1 3k 1
Sk 2 2Sk 1 2 ．
2 2 2
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 7 页）
1 3k 1
所以 2Sk 1 3Sk Sk 2 2Sk 1 .
2
1 3k 1
所以3Sk ， 2Sk 1， Sk 2 是以 为公差的等差数列．
2
（17）（共 14 分）
π
解：选择条件①： f ( ) 1 .
3
（Ⅰ）因为 f (x) 2cos x cos(x )，
π π π
所以 2cos cos( ) 1，即 cos( ) 1 .
3 3 3
π
所以 2kπ (k Z) .
3
π
因为 | | ，所以 ．
2 3
π
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： f (x) 2cos x cos(x )
3
1 3
2cos x( cos x sin x)
2 2
1 3
2cos2 x sin 2x
2 2
1 3 1
cos2x sin 2x
2 2 2
π 1
cos(2x ) .
3 2
π 4π π π
因为 x [ , 0]，所以 ≤ 2x ≤ ．
2 3 3 3
π π π
所以当 2x π，即 x 时， cos(2x ) 取得最小值 1 .
3 3 3
π 1
所以 f (x) 在区间[ , 0]上的最小值是 ；
2 2
π π π 1
当 2x ，即 x 0 时， cos(2x ) 取得最大值 ．
3 3 3 2
π
所以 f (x) 在区间[ , 0]上的最大值是1．
2
高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 7 页）
2π
选择条件③： x R ， f (x) f ( ) .
3
（Ⅰ）由题意得： f (x) 2cos x cos(x )
2cos x(cos x cos sin x sin )
2cos2 x cos sin 2x sin
cos2x cos sin2x sin cos
cos(2x ) cos .
2π
因为 x R ， f (x) f ( )，
3
2π 4π
所以 f (x)的最小值为 f ( )，即 cos( ) 1 .
3 3
4π π
所以 (2k 1)π 2kπ (k Z) .
3 3
π
因为 | | ，所以 ．
2 3
（Ⅱ）同选择条件①的（Ⅱ）.
（18）（共 12 分）
解：（Ⅰ）由题意令 4 x2 0得 x 2 ．所以 A( 2,0)，B(2,0) .
因为点P(t,0)在线段 AB 上（不与端点重合），
所以 2 t 2 .
因为△APQ为等腰直角三角形，
所以 | PQ | | AP | .
由题意可知点Q在 x 轴上方，
所以Q(t,t 2)．
因为点Q在曲线C 上，
所以 t 2 4 t2 .
所以 t1 2（舍）， t 1，即Q(1,3) . 2
1 1 9
所以△APQ的面积为 | AP || PQ | 3 3 ．
2 2 2
高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 7 页）
（Ⅱ）由题意可知Q(t,4 t2 ) ， 2 t 2 .
1 1
所以 S(t) (t 2)(4 t2 ) ( t3 2t2 4t 8)．
2 2
1
所以 S '(t) ( 3t2 4t 4) .
2
令 3t2
2
4t 4 0，得 t1 2， t ． 2
3
S(t) 与 S '(t)在区间 ( 2, 2)上的情况如下：
2 2 2
t ( 2, ) ( , 2)
3 3 3
S '(t) 0
S(t) ↗ 极大值 ↘
2 128
因为S( ) ，
3 27
2 128
所以当 t 时， S(t) 取得最大值 ．
3 27
（19）（共 13 分）
解：（Ⅰ）连接 AB .因为 ADB 135 ， BDC 120 ，
所以 ADC 105 ．
因为 ACD 45 ，
所以 CAD 30 .
CD AD
在△ACD 中， ．
sin CAD sin ACD
所以 AD 2CD ．
因为 BCD 30 ，
所以 DBC 30 ．
所以 BD CD .
在△ABD 中， AB2 AD2 BD2 2AD BDcos135
5CD2 .
因为CD 50，
高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 7 页）
所以 AB 5CD 50 5 ，即 A， B 两点之间的距离为50 5 m .
（Ⅱ）CD与 AB 不垂直．理由如下：
E B
延长CD交 AB 于点 E . A
AB AD
在△ABD 中， . D
sin ADB sin ABD
5 1
所以 sin ABD .
5 2
因为0 ABD 90 ， C
所以 ABD 30 .
所以 BEC 180 CBE BCD 90 .
所以直线CD与直线 AB 不垂直．
（20）（共 14 分）
1 2
解：（Ⅰ）因为 f (1) ， f (4) ，
4 19
a 1 1
,
所以 b 1 4
a 0,
解得
a 2 2 b 3. ,
b 16 19
x
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) ．
x2 3
1
(x2 3) x 2x
所以 2 xf '(x)
(x2 3)2
3(1 x2 )
.
2 x (x2 3)2
令 f '(x) 0，得 x 1．
当 x (0,1) 时， f '(x) 0；当 x (1, ) 时， f '(x) 0 .
所以 f (x) 的单调递增区间是 (0,1)；单调递减区间是 (1, ) .
1
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当 x 1时， f (x) 取得最大值 .
4
1 1 1 1
①当m 时，存在直线 y 是曲线 y f (x) 在点 (1, ) 处的切线，且 f (x)
4 4 4 4
高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 7 页）
对 x [0, )恒成立，符合题意．
1
②当m 时，设直线 y kx m为曲线 y f (x) 的切线，切点为 ( x0 , y0 ) ，则
4
x0 0,
1
y0 .
4
y m
所以 k 0 0 ．
x0
m
取 x1 ，则 x1 0 .
k
x
因为 1f (x1) 0 ， kx1 m 0 ，
x21 3
所以 kx1 m f (x1) ，即存在 x1 (0, )， kx1 m f (x1) ，不符合题意.
1
综上可知，m 的最大值是 ．
4
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ） A1 9 , A2 35．
2 2 1
（Ⅱ）由题意知 S nn ( ) .
3 3 2
1
①若 j 为奇数，则 S j 1 S
j
j a j 1 ( ) 0 .
2
所以 j ．
②若 j 为偶数，则当 k j 1, j 2, 时，
2 1
S S [( ) j
1 2 1 1
k j ( )
k ] [( ) j ( )k ] 0 .
3 2 2 3 2 2
所以 j ．
所以 {x | x 2m,m 1, 2, } .
（Ⅲ）（1）若 为有限集，设其最大元素为 m （若 为空集，取 m 0 ），则当
j m 1,m 2, 时，存在 k j 满足 Sk S j 0 .
令 i1 m 1 ， in 1 min{k N*| k in , Sk Si 0} （ n 1,2, ）， 则n
高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 7 页）
An Si Si 0 . 所以 sgn(An ) 1（ n 1,2, ）； n 1 n
（2）若 为无限集，设 { j1, j2 , }，其中 j1 j2 ，记Bn S j S ，n 1 jn
则 Bn 0 （ n 1,2, ）.
①若数列{Bn}中只有有限项为正数，记m max{n N*| Bn 0}（若{Bn}中没
有正数项，取m 0），则 Bm n 0（ n 1,2, ）．
令 in jm n （ n 1,2, ），则 An Si Si Bm n 0（ n 1,2, ）. n 1 n
所以 sgn(An ) 0 （ n 1,2, ）；
②若数列 {Bn} 中有无穷项为正数，将这些项依次记为 Bt ,Bt , ，其中1 2
t1 t2 ，则 Bt S j S j 0（ n 1,2, ）. n tn 1 t n
令 in jt （ n 1,2, ），则 An S j S j Bt +Bt +1+ +Bt 1=Bt 0 . n tn+1 t n n n n+1 n
所以 sgn(An ) 1（ n 1,2, ）.
综上所述，对任意的无穷数列 an 都存在数列 in ，使得{sgn(An )}为常数列.
高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 7 页）海淀区2023一2024学年第一学期期中练习小3共苦，
11大2(1
高三数学
2023.11
的{，。天
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分)
(1,小本（下1
t八1联
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
:ok【)
(1)已知集合A={x|x<2},B={1,2},则AUB=
(A)(-0,2)
(B)(-0,21i,-米（用)
(c){1}
(D){1,2}
:1=八茶
(2)若复数z满足z·i=
1+1,则2
:份只1酒.0阴金15性：@州
(A)-1-i
(B)-1+i1
(c)1-i
(D)1+i)八≤1，贸V:4
(3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是
程年茶的的保4：
(A)y=Inx
(B)y=x
孩终)
(C)y=|tanxl
(D)y=2
(4)已知向量a,b满足a=(2,1),a-b=(-1,2),则ab=
(1上51
园(A)-51从.（0以图点上11
(B)0
(c)5
(D)7
(5)设等差数列{an}的前n项和为Sa,且S,=l5,则a2·a4的最大值为
(号
(B)3
(c)9
(D)36
高三年级（数学）第1页（共6页）
3
(6)a=l0g46,b=l0g23,c
，则
2'0
1理特北）食特
(A)a>b>c
(B)c>b>a
(C)b>a>c
(D)b>c>ad层每，小己空·，
(7)“sin日+tan0>0”是“0为第一或第三象限角”的
+)似八废(；
（A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
C,,9点上，(D)既不充分也不必要条件平分(《【
(8)在△ABC中，sinB=sin2A,c=2a,则
A（A)∠B为直角
(B)∠B为钝角
3x08回i)
(C)∠C为直角
(D)∠C为钝角
论，自问
(9)古典吉他的示意图如图所示.A。,B分别是上弦枕、下弦枕，
1f
4(i=1,2,…,19)是第i品丝.记a,为4与A的距离，L
上弦枕(Ao)
为4与4的距离，且满足4，=X-包，i=1,2,,19,其
M
中X为弦长(4与B的距离)，M为大于1的常数，并规定
显面小81映，城商止(3资
L=0.则
《A)数列4,2，…，，是等差数列，且公差为-号
下弦枕()
月>王，04
(B)数列4，，，a4是等比数列，且公比为M-」
M
0代前，，100=0
(C)数列4,4，，4是等比数列，且公比为2M-」
M
(D)数列4，L2,…,4是等差数列，且公差为M-)X2
M2
(10)在等腰直角三角形ABC中，AB=2,M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径
作AC,点P在线段BC上，点Q在AC上，则|A亚+MO1的取值范围是
(A)[0,V1o]
(B)[0,2+V2]
(c)[2-2,1o]
(D)[2-V2,2+√2]
高三年级（数学)第2页（共6页)
