几何类探索题--变中寻不变
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几何类探索题——变中寻不变
几何中创新发展的思维策略，是新的（或条件，或图形的）变化将各种思维方法灵活应用，产生新思路的思维策略，是将创新精神，创新思维，创新技法综合使用，促进发展的思维策略。
几何中，在图形的多样变换下，解决问题。为培养学生的创新思维的发展提供了广阔的空间。下面，我们就几何中与图形变换有关的问题，从创新思维方法和技法两个方面，对与图形变换有关的问题作初步的探索。
1.如图1，△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形，B，D，C三点在一直线上.
(1)试问BE与AC有何关系？并证明你的结论。
(2)当△CDE绕点D沿顺时针方向旋转如下图（图2）——（图9）时，BE与AC的关系分别怎样？
点拨（1）解决猜想并证明的问题，一般用综合法，从已知入手，将所给条件综合分析。本题中条件，△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形，可得，AD=BD，∠ADB=∠EDC，ED=DC，所以△BDE≌△ADC，又因为几何中，判断两个量的关系，要考虑位置关系和数量关系，所以猜想：BE=AC，BE⊥AC。
答：（1）BE=AC，BE⊥AC
证明：延长BE交AC于F，
∵△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形
在△BDE与中△ADC中:
∵AD=BD,∠ADB=∠EDC,ED=DC
∴△BDE≌△ADC
∴BE=AC，∠EAF=∠EBD，
∴∠EAF+∠AEF =∠EBD+∠BED=90°
∴∠AFE=90°即BE⊥AC
（2）（图2）——（图9）时，BE与AC的关系不变。
点拨：解这类题要特别注意图形的变化，从图形的变化中把握本质，找出某些固定不变的关系，即“变中寻不变”。猜想其规律，再运用几何知识加以证明。（其解题关键是“变中寻不变”。）本题图形位置虽然发生了几多变化，但本题本质上△BDE≌△ADC不变，（即变中的不变关系是△BDE≌△ADC，）其他位置时，同理（用“边角边”）可证得结论。图5，图9，可根据图直接求得。
2.已知:等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离为h1，h2，h3,△ABC的高为h，“若点P在一边BC上，（如图1）此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h”。请直接应用上述信息.解决下列问题:
当点P在△ABC内，（如图2），点P在△ABC外，（如图3），这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立h1，h2，h3 与 h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。
点拨：已知中“若点P在一边BC上，（如图1）此时h=0，可得结论：h1+h2+h3=h”的证明思路，连接AP，由S= S+S，即BC·AM=AB·PD+AC·PE，可得h1+h2+h3=h 。
（1）中，当点P在△ABC内时，点P的位置，及h1，h2，h3的大小发生变化，但是本题S的大小没有改变（即变中的不变关系是，S的大小不变），所以依然用S= S+S+S的关系即可证得结论。
（1） 当点P在△ABC内时，如图3，结论h1+h2+h3=h仍然成立。
证明：连接PA，PB，PC.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.
∵AM⊥BC,∴S=BC·AM.
∵PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC.
∴S=AB·PD ，S=AC·PE ，S=BC·PF.
S= S+S+S.
∴BC·AM=AB·PD+AC·PE+BC·PF.
∴AM=PD+PE+PF,∴h1+h2+h3=h.
（2） 当P点在△ABC外部时，h1+h2+h3=h 不成立，此时h1+h2+h3=h.
点拨：（2）当P点在△ABC外部时，S= S+S - S，
即BC·AM=AB·PD+AC·PE - BC·PF，
所以h1+h2-h3=h.
同类练习：
如图1，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，求证：BD平分EF，
想一想 上题中，若将△DEC的边EC沿AC方向移动到（图2）的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由。
思路点播：图2中△ABF≌△CDE 和△DEG≌△BFG不变，可证得结论。
证明：如图1
∵AE=CF
∴AF=CE
又∵DE⊥AC，BF⊥AC ，AB=CD
∴△ABF≌△CDE
∴ BF=DE
又 ∵∠AFB=∠DEC=90°，∠EGD=∠FGB
∴△DEG≌△BFG
∴ EG=FG
即BD平分EF
当△DEC的边EC沿AC方向移动到（图2）的位置时，见结论仍然成立。
A
D
C
B
E
图3
A
D
C
B
E
图2
A
D
C
B
E
图1
F
A
D
C
B
E
图4
A
C
B
E
图5
A
D
C
B
E
图6
D
A
D
C
B
E
图9
A
D
C
B
E
图8
A
D
C
B
E
图7
M
E
D
C
B
A
P
图1
图2
M
E
D
C
B
A
F
P
M
E
D
C
B
A
P
图1
M
D
C
B
A
P
F
P
E
图3
M
E
D
C
B
A
P
F
图4
M
E
D
C
B
A
P
F
图4
B
A
F
E
D
C
图1
G
G
B
A
F
E
D
C
图2
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几何中创新发展的思维策略，是新的（或条件，或图形的）变化将各种思维方法灵活应用，产生新思路的思维策略，是将创新精神，创新思维，创新技法综合使用，促进发展的思维策略。
几何中，在图形的多样变换下，解决问题。为培养学生的创新思维的发展提供了广阔的空间。下面，我们就几何中与图形变换有关的问题，从创新思维方法和技法两个方面，对与图形变换有关的问题作初步的探索。
1.如图1，△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形，B，D，C三点在一直线上.
(1)试问BE与AC有何关系？并证明你的结论。
(2)当△CDE绕点D沿顺时针方向旋转如下图（图2）——（图9）时，BE与AC的关系分别怎样？
点拨（1）解决猜想并证明的问题，一般用综合法，从已知入手，将所给条件综合分析。本题中条件，△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形，可得，AD=BD，∠ADB=∠EDC，ED=DC，所以△BDE≌△ADC，又因为几何中，判断两个量的关系，要考虑位置关系和数量关系，所以猜想：BE=AC，BE⊥AC。
答：（1）BE=AC，BE⊥AC
证明：延长BE交AC于F，
∵△ABD与△CDE中均为等腰直角三角形
在△BDE与中△ADC中:
∵AD=BD,∠ADB=∠EDC,ED=DC
∴△BDE≌△ADC
∴BE=AC，∠EAF=∠EBD，
∴∠EAF+∠AEF =∠EBD+∠BED=90°
∴∠AFE=90°即BE⊥AC
（2）（图2）——（图9）时，BE与AC的关系不变。
点拨：解这类题要特别注意图形的变化，从图形的变化中把握本质，找出某些固定不变的关系，即“变中寻不变”。猜想其规律，再运用几何知识加以证明。（其解题关键是“变中寻不变”。）本题图形位置虽然发生了几多变化，但本题本质上△BDE≌△ADC不变，（即变中的不变关系是△BDE≌△ADC，）其他位置时，同理（用“边角边”）可证得结论。图5，图9，可根据图直接求得。
2.已知:等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离为h1，h2，h3,△ABC的高为h，“若点P在一边BC上，（如图1）此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h”。请直接应用上述信息.解决下列问题:
当点P在△ABC内，（如图2），点P在△ABC外，（如图3），这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立h1，h2，h3 与 h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。
点拨：已知中“若点P在一边BC上，（如图1）此时h=0，可得结论：h1+h2+h3=h”的证明思路，连接AP，由S= S+S，即BC·AM=AB·PD+AC·PE，可得h1+h2+h3=h 。
（1）中，当点P在△ABC内时，点P的位置，及h1，h2，h3的大小发生变化，但是本题S的大小没有改变（即变中的不变关系是，S的大小不变），所以依然用S= S+S+S的关系即可证得结论。
（1） 当点P在△ABC内时，如图3，结论h1+h2+h3=h仍然成立。
证明：连接PA，PB，PC.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.
∵AM⊥BC,∴S=BC·AM.
∵PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC.
∴S=AB·PD ，S=AC·PE ，S=BC·PF.
S= S+S+S.
∴BC·AM=AB·PD+AC·PE+BC·PF.
∴AM=PD+PE+PF,∴h1+h2+h3=h.
（2） 当P点在△ABC外部时，h1+h2+h3=h 不成立，此时h1+h2+h3=h.
点拨：（2）当P点在△ABC外部时，S= S+S - S，
即BC·AM=AB·PD+AC·PE - BC·PF，
所以h1+h2-h3=h.
同类练习：
如图1，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，求证：BD平分EF，
想一想 上题中，若将△DEC的边EC沿AC方向移动到（图2）的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由。
思路点播：图2中△ABF≌△CDE 和△DEG≌△BFG不变，可证得结论。
证明：如图1
∵AE=CF
∴AF=CE
又∵DE⊥AC，BF⊥AC ，AB=CD
∴△ABF≌△CDE
∴ BF=DE
又 ∵∠AFB=∠DEC=90°，∠EGD=∠FGB
∴△DEG≌△BFG
∴ EG=FG
即BD平分EF
当△DEC的边EC沿AC方向移动到（图2）的位置时，见结论仍然成立。
A
D
C
B
E
图3
A
D
C
B
E
图2
A
D
C
B
E
图1
F
A
D
C
B
E
图4
A
C
B
E
图5
A
D
C
B
E
图6
D
A
D
C
B
E
图9
A
D
C
B
E
图8
A
D
C
B
E
图7
M
E
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C
B
A
P
图1
图2
M
E
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C
B
A
F
P
M
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D
C
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A
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图1
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C
B
A
P
F
P
E
图3
M
E
D
C
B
A
P
F
图4
M
E
D
C
B
A
P
F
图4
B
A
F
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D
C
图1
G
G
B
A
F
E
D
C
图2
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