4.3.2对数的运算 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.3 对数
4.3.2 对数的运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.运用对数的概念、指数幂运算性质，类比推理对数运算性质． 1.数学类比、数学建模素养.
2.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值. 2.数学运算素养
3.了解对数的换底公式及其变形的应用. 3.数学运算素养.
温故知新
1.对数的定义
一般地, 如果ax=N(a>0, 且a≠1), 那么数x叫做以a为底N的对数(lo, 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
x = logaN ,
注意：0和负数没有对数;
2.两种特殊的对数
①以10为底的对数叫常用对数, 并把log10N记作lgN.
②以无理数e为底的对数叫自然对数并把logeN记作lnN.
3.对数与指数之间的关系
ax =N logaN = x
4.对数的基本性质
①;
②.
5.对数恒等式：
.
新知导入
6. 实数指数幂的运算性质
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
①
②
③
新知探究
探究1 运算性质1

设M=am , N=an,
因为aman=am+n, 所以MN=am+n.
根据指数与对数间的关系可得
logaM=m, logaN=n, loga(MN)=m+n.
则 loga(MN)=logaM + logaN.
积的对数等于对数和
新知探究
探究2 运算性质2
由 对数另一性质
请同学们仿照上述过程，
商的对数等于对数差
新知探究
探究3 运算性质3

∵
∴, .
则 .
设M=am ,
∴.
乘方的对数等于对数倍数
新知归纳
　对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
⑵；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
乘方的对数等于对数倍数
商的对数等于对数差
积的对数等于对数和
判断下列各式正确与否：
(1) log5[(-2)×(-3)] = log5(-2) + log5(-3);
⑵积、商的对数可以化为对数的和、差；
(3) log2 = log5(-6).
新知探究
对数的运算性质的推广：
①若Mi>0 (i∈N*), a>0,且a ≠ 1,则
loga(M1·M2· ··· ·Mn) = logaM1+ logaM2+ ··· + logaMn.
②若a>0,且a ≠ 1, M>0, n , p∈N*,则
loga = logaM.
③若a>0,且a ≠ 1, M>0,则
loga =-logaM.
新知讲解
【例1】求下列各式的值：
解：
（1）
（2） =
(1) ; (2) log2(47×25).
=
=7×2+5×1
=19
loga(MN)=logaM + logaN
初试身手
1.求下列各式的值：
解：(1) 方法1 log3(27×92)=log327+log392
(2) =
(3)
(1) log3(27×92);
⑵ ;
⑶ .
=log333+log334
=3log33+4log33
=3+4=7.
方法2 log3(27×92) = log3(33×34)
=log337
=7log33
=7.
=
=1.
=
=0.
注意：
新知讲解
【例2】用lnx, lny, lnz 表示.
解：
=
=
=.
初试身手
解析：
⑴
2.用lgx, lgy, lgz 表示下列各式：
(1) ; (2) .
⑵
.
新知探究
探究3 换底公式
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求任意正数常用对数或自然对数。现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数.
新知探究
探究3 换底公式
(1)利用计算工具求ln2, ln3的近似值;
(2)由对数的定义,你能利用ln2, ln3的值求log23的值吗？
(3)根据对数的定义, 你能用logca, logcb表示logab(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1)吗？
抽象概括：
新知形成
探究3 对数换底公式
设logab=x, 则ax=b,于是
logcax=logcb
根据对数运算性质(3)得 xlogca=logcb, 即
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．
我们把上式叫做对数换底公式．
ln2≈0.6931, ln3 ≈1.0986.
log23
≈1.5851.
新知形成
在4.2.1的问题1中, 求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍, 就是计算x=log1.112的值, 由换底公式, 可得
x = log1.112= ≈ 6.64 ≈ 7.
由此可得, 大约经过7年, B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
想一想：对数的换底公式用常用对数、自然对数的表示形式是什么？
;
;
探究3 对数换底公式
新知形成
对数换底公式的推论
探究3 对数换底公式
(1)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且n≠0).
(2)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且m≠0, n∈R).
(3) logab·logba=1
(a>0, 且a≠1; b>0, 且b≠1 ).
(4) logab·logbc·logcd= logad
(a>0, b>0, c>0, d>0, 且a≠1, b≠1, c≠1).
请同学们课后,利用对数换底公式给出这四个推论的证明.
新知形成
【例2】尽管目前人类还无法准确预测地震, 但科学家通过研究, 已经对地震有所了解, 例如, 地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为
lgE=4.8+1.5M.
2011年3月11日, 日本东北部海域发生里氏9.0级地震, 它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？(精确到1)
解：
设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2．
由lgE＝4.8＋1.5M，可得
lgE1＝4.8＋1.5×9.0，
lgE2＝4.8＋1.5×8.0．
于是，
利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍．
初试身手
解：
课本第126页练习第3题
3. 化简下列各式：
(1) log23×log34×log45×log52;
(2) 2(log43+log83)(log32+log92).
(1)原式=
=1
(2)原式=2(+)(log32+)
=2( log23+ log23)(log32+ log32)
=2× log23× log32
= log23·log32 = ×1 = .
课堂小结
知识点1　对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
积的对数等于对数和
⑵；
商的对数等于对数差
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
乘方的对数等于对数倍数
对数的运算性质的推广：
①若Mi>0 (i∈N*), a>0,且a ≠ 1,则
loga(M1·M2· ··· ·Mn) = logaM1+ logaM2+ ··· + logaMn.
②若a>0,且a ≠ 1, M>0, n , p∈N*,则
loga = logaM.
③若a>0,且a ≠ 1, M>0,则
loga =-logaM.
注意：既要会正用，又要会逆用.
课堂小结
知识点2　对数换底公式
对数换底公式的推论：
注意：既要会正用，又要会逆用.
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．
(1)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且n≠0).
(2)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且m≠0, n∈R).
(3) logab·logba=1
(a>0, 且a≠1; b>0, 且b≠1 ).
(4) logab·logbc·logcd= logad
(a>0, b>0, c>0, d>0, 且a≠1, b≠1, c≠1).
作业布置
作业：p126-127. 习题4.3 3，4，5，7.
补充题：
求下列各式值：
⑴lg14-2lg+lg7-lg 18; ⑵lg25+lg8+lg5·lg20+(lg2)2.
⑶+-; ⑷；
⑸； ⑹.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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