惠来一中学2023-2024学年度第一学期阶段考（一）
高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知命题，则为（）
A. B.
C. D.
3. 已知集合．则（）
A. 或 B.
C.或 D.
4. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 若，则的值是（）
A. B. 0 C. 1 D. 2
6. “”是“”的（）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若，则的最小值是（）
A. B. C. D.
8. 在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. （多选）对任意实数a，b，c，下列结论不正确是（）
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分条件
10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
11. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（）
A. B. C. D.
12. 已知集合，，若，则实数的取值可以是（）
A. 0 B. 1 C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的__________条件．（填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等．）
14.已知，，判断a，b大小关系______.（填“>、=、<”）
15. 若集合，且，则实数a取值的集合为______
16. 已知，，，则的最小值为________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，
（1）求；
（2）求．
18. 已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19. （1）已知，比较与大小；
（2）已知，试比较与的大小.
20. 已知，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
21. 已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
22. 阅读材料：
（1）若，且，则有
（2）若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
(
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)惠来一中学2023-2024学年度第一学期阶段考（一）
高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
2. 已知命题，则为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题否定形式判断即可得出答案.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知命题p的否定为:
，选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
3. 已知集合．则（）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】因为集合或，
，
所以或，
故选：C
4. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合、元素之间的关系，结合集合与集合之间的有关系逐一判断即可.
【详解】①：根据子集的定义可知，显然本序号不正确；
②：根据子集的定义可知是正确的，显然本序号正确；
③：空集是任何集合的子集，所以本序号正确；
④：空集是任何集合的子集，所以本序号不正确；
⑤：集合是两个元素，是单元素集合，这两个集合不可能相等，所以本序号不正确；
⑥：显然是集合中的元素，所以，因此本序号不正确，
正确的个数是，
故选：B
5. 若，则的值是（）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由可得①或②，解出，再由集合的互异性检验即可得出答案.
【详解】因为，
所以①或②，
由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，
由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同.
故选：B.
6. “”是“”的（）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简已知条件，根据充分条件、必要条件的概念可得解.
【详解】由，得，
即，则，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：A
7. 若，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B.
8. 在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.
【详解】因为，故，故①错误；
而，故，故②正确；
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确
若整数a，b属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同，
故a，b属于同一“类”，
故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；
故选:
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. （多选）对任意实数a，b，c，下列结论不正确的是（）
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】ACD可举出反例；B选项，根据等式的基本性质可得.
详解】A选项，已知，当时，则，故A错误；
C选项，已知，当时，则，故C错误；
B选项，已知，方程两边同乘以，可得，故“”是“”的必要条件，B正确；
D选项，不妨设，满足，但不满足，D错误.
故选：ACD
10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可得是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可.
【详解】关于x的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
11. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知，通过分类讨论对含绝对值的式子去绝对值计算.
【详解】当时，，
当中有两个大于0，另一个小于0时，，
当中有两个小于0，另一个大于0时，，
当时，，
所以代数式的值组成的集合是，故B错误.
故选：ACD.
12. 已知集合，，若，则实数的取值可以是（）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解.
【详解】当时，，满足条件，
当时，若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，得，
综上可知，或，只有AC符合条件.
故选：AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的__________条件．（填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等．）
【答案】必要不充分条件.
【解析】
【分析】正确理解题意，直接利用充分条件，必要条件的定义法得到答案.
【详解】故不积跬步，无以至千里，等价于“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必须“积跬步”，
所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件
14. 已知，，判断a，b大小关系______.（填“>、=、<”）
【答案】
【解析】
【分析】运用估算法进行求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
所以，
故答案：
15. 若集合，且，则实数a取值的集合为______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：集合可以是，逐一分析求解即可.
【详解】由，所以集合可以是，
当时，则，解得；
当时，可得；
当时，可得；
所以取值的集合为.
故答案为：.
16. 已知，，，则最小值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】将所求式子化简整理为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】根据分式及绝对值不等式的解法化简两个集合.
（1）根据集合的补集的定义进行求解即可；
（2）根据集合的交集和并集的定义进行求解即可.
【详解】.
（1）所以；
（2）所以，
.
18. 已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）由交集结果知，结合集合的描述易知方程的两根为或，应用韦达定理求参数；
（2）由并集结果知，讨论、，结合判别式、根与系数关系求参数，注意验证所得参数.
【小问1详解】
由方程，解得或，所以，
由，而，故，
即方程的两根为或，
利用韦达定理得：，即；
【小问2详解】
由已知得，又，
时，则，即，解得或；
时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
19. （1）已知，比较与的大小；
（2）已知，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用作差法判断即可.
【详解】（1）
，
∵，∴，又，∴，
所以.
（2）∵，
又∵，，
∴当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
综上，当时，；当时，；当时，.
20. 已知，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用不等式即可得解；（2）根据“乘1法”并利用基本不等式即可得解．
【小问1详解】
我们首先来证明一个不等式：因为，所以，
所以不等式成立，当且仅当时，等号成立；
由题意，且，因此，
所以的最大值为，当且仅当，即时，等号成立.
【小问2详解】
因为，所以根据“乘1法”并利用基本不等式可得
，
所以的最小值为，当且仅当时，等号成立.
21. 已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意设，将点的坐标代入函数解析式，求出的值，即可得出所求二次函数的解析式；
（2）分析二次函数在上的单调性，即可得出函数在上的最大值和最小值.
【小问1详解】
解：因为一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，
且图象的对称轴为，
设，
因为函数的图象过点，则有，解得.
所以，函数的解析式为.
【小问2详解】
解：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取最大值，
当时，；当时，，则.
故函数在上的最大值为，最小值为.
22. 阅读材料：
（1）若，且，则有
（2）若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.
【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，
所以原不等式成立.
(
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