27.2.1相似三角形的判定1同步练习
一、单选题 ?
1. 下列说法正确的是（???）
A．所有的等腰三角形都相似
B．所有的直角三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．有一个角相等的两个等腰三角形都相似
2. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ………………………………（ ???）
3. 如图，在△中，点D、E分别在边AB 、AC上，下列比例式不能判定∥的是(?? ).
A．； B．；C．；D． ．
4. 如图，AB是斜靠在墙壁的梯子，梯脚点B距墙角点C有1.4m,，梯子上的点D距墙壁1.2m,梯子每级之间的距离（如BD）为0.5m,则梯子的长度是______米。 A. 2????????? B. 3???????? C. 4?????????? D. 5 www.21-cn-jy.com
5. 在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（?????） 21cnjy.com
A．4∶5
B．5∶4
C．5∶9
D．4∶9
二、填空题 ?
6. 如图，使△AOB∽△COD，则还需添加一个条件是：???? ?????(写一个即可)
7. 如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：?????????? ． ? 2·1·c·n·j·y
8. 如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
9. 如图，AD∥EF∥BC ， 则图的相似三角形共有_____对．
三、解答题 ?
10. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．
11. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形． （1）求证：△MEF∽△MBA； （2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．21世纪教育网版权所有
参考答案
答案：B
4.知识点：相似三角形的判定 答案：B 解析：试题分析：由题意可知运用相似三角形的基本知识可以得到， ， 故选B 考点：相似三角形的判定 点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相等 21教育网
5.知识点：平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的判定 答案：D 解析：试题分析：由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，21·cn·jy·com
∵ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC=AD ∴△BEF∽△DAF ∴BE：DA=BF：DF ∵BE∶EC=4∶5 ∴BE∶BC=4∶9 ∵BC=AD ∴BF：FD= BE：DA=BE：BC=4：9 故选D. 考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定 点评：平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握平行四边形的性质极为重要 【来源：21·世纪·教育·网】
6.答案：∠B=∠D（答案不唯一）
7.知识点：平行四边形的性质、相似三角形的判定 答案：△ABP∽△AED 解析：试题分析： 解：∵BP∥DF， ∴△ABP∽△AED． 故答案为△ABP∽△AED 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质 21·世纪*教育网
8.答案：△ABC，三边对应成比例的两个三角形相似 解析：试题分析：根据D、E、F分别是△ABC各边的中点可得 ， ， ， 根据三边对应成比例的两个三角形相似即可证得△DEF∽△ABC. ∵D、E、F分别是△ABC各边的中点 ∴ ， ， ∴ ∴△DEF∽△ABC 理由是三边对应成比例的两个三角形相似. 考点：三角形的中位线定理，相似三角形的判定 点评：三角形的中位线定理的运用是初中数学平面图形知识里的重点，是中考中的常见知识点，学生在解决图形问题时若注意到图中出现不止一个中点即要考虑是否运用三角形的中位线定理解题 www-2-1-cnjy-com
9.知识点：平行线分线段成比例、相似三角形的判定 答案：3
10.知识点：相似三角形的判定 答案：证明见解析. 解析：试题分析：利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可． 试题解析：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD． ∴△ADE∽△EFC． 考点: 相似三角形的判定． 2-1-c-n-j-y
11. 知识点：角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行四边形的性质、相似三角形的判定 答案：（1）根据平行四边形的性质可得∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，即可证得结论； （2）由AB∥CD可得∠DFA=∠FAB，再结合角平分线的性质可得∠DAF=∠DFA，从而证得结论.
27.2.1相似三角形的判定1同步练习
一、单选题 ?
1. 下列说法正确的是（???）
A．所有的等腰三角形都相似
B．所有的直角三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．有一个角相等的两个等腰三角形都相似
2. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ………………………………（ ???）
2.答案：B
3. 如图，在△中，点D、E分别在边AB 、AC上，下列比例式不能判定∥的是(?? ).
A．； B．；C．；D． ．
4. 如图，AB是斜靠在墙壁的梯子，梯脚点B距墙角点C有1.4m,，梯子上的点D距墙壁1.2m,梯子每级之间的距离（如BD）为0.5m,则梯子的长度是______米。 A. 2????????? B. 3???????? C. 4?????????? D. 5 21教育网
4.知识点：相似三角形的判定 答案：B 解析：试题分析：由题意可知运用相似三角形的基本知识可以得到， ， 故选B 考点：相似三角形的判定 点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相等 21世纪教育网版权所有
5. 在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（?????） 21cnjy.com
A．4∶5
B．5∶4
C．5∶9
D．4∶9
5.知识点：平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的判定 答案：D 解析：试题分析：由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，21·cn·jy·com
∵ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC=AD ∴△BEF∽△DAF ∴BE：DA=BF：DF ∵BE∶EC=4∶5 ∴BE∶BC=4∶9 ∵BC=AD ∴BF：FD= BE：DA=BE：BC=4：9 故选D. 考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定 点评：平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握平行四边形的性质极为重要 2·1·c·n·j·y
二、填空题 ?
6. 如图，使△AOB∽△COD，则还需添加一个条件是：???? ?????(写一个即可)
6.答案：∠B=∠D（答案不唯一）
7. 如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：?????????? ． ? 【来源：21·世纪·教育·网】
7.知识点：平行四边形的性质、相似三角形的判定 答案：△ABP∽△AED 解析：试题分析： 解：∵BP∥DF， ∴△ABP∽△AED． 故答案为△ABP∽△AED 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质 www.21-cn-jy.com
8. 如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
8.答案：△ABC，三边对应成比例的两个三角形相似 解析：试题分析：根据D、E、F分别是△ABC各边的中点可得 ， ， ， 根据三边对应成比例的两个三角形相似即可证得△DEF∽△ABC. ∵D、E、F分别是△ABC各边的中点 ∴ ， ， ∴ ∴△DEF∽△ABC 理由是三边对应成比例的两个三角形相似. 考点：三角形的中位线定理，相似三角形的判定 点评：三角形的中位线定理的运用是初中数学平面图形知识里的重点，是中考中的常见知识点，学生在解决图形问题时若注意到图中出现不止一个中点即要考虑是否运用三角形的中位线定理解题 www-2-1-cnjy-com
9. 如图，AD∥EF∥BC ， 则图的相似三角形共有_____对．
9.知识点：平行线分线段成比例、相似三角形的判定 答案：3
三、解答题 ?
10. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．
10.知识点：相似三角形的判定 答案：证明见解析. 解析：试题分析：利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可． 试题解析：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD． ∴△ADE∽△EFC． 考点: 相似三角形的判定． 21·世纪*教育网
11. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形． （1）求证：△MEF∽△MBA； （2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．2-1-c-n-j-y
11.知识点：角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行四边形的性质、相似三角形的判定 答案：（1）根据平行四边形的性质可得∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，即可证得结论； （2）由AB∥CD可得∠DFA=∠FAB，再结合角平分线的性质可得∠DAF=∠DFA，从而证得结论.
27.2.1相似三角形的判定2同步练习
一、单选题 ?
1. 已知△ABC如右图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（???）,???????
2. 能判定与相似的条件是 ．
A．
B． ， 且
C．且
D． ， 且
3. 下列所给条件中，不能使△ABC与△A’B’C’相似的是(???? )
A．AB＝AC， A'B'＝A'C'，∠A＝∠A'
B．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A'＝40°，∠C'＝60°
C．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A'B'＝20，B'C'＝25， A'C'＝40
D． ， ∠A＝∠B'
4. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是
A．∠ABD＝∠C
B．∠ADB＝∠ABC
C．＝
D．＝
5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（???）
二、填空题 ?
6. 在和中， 则与是否相似？ （填“是”或“不是”）．
7. 如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件????? ， 可使△ABC∽△ACD． ??? 21世纪教育网版权所有
8. 如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）????????????????????时，∽ ．21·cn·jy·com
9. 如图，在中，点分别在边上，且 ， 若cm，则 cm．
10. 在△ABC与△A’B’C’中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A?＝∠；（4）∠C＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A’B’C’的共有??????组． 21教育网
三、解答题 ?
11. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．www.21-cn-jy.com
12. 如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。请你在图中画出一个与△ABC相似的△DEF，使得△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，且△ABC与△DEF的相似比为1∶2。
13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=8，又BD=3，CE=2： 求证：2·1·c·n·j·y
参考答案
1.答案：C
3.答案：D
4.知识点：相似三角形的判定 答案：C
5.知识点：相似三角形的判定 答案：C. 解析：试题分析：观察图形，可知AB=,AC=,BC=2,A选项中的阴影部分三边分别是1， ， ， B选项中的三边分别是3， ， ， C选项中的三边分别是1， ， ， D选项中的三边分别是2， ， ， 根据三边的比相等的两个三角形相似，可知选项C正确. 考点：相似三角形的判定 21cnjy.com
6.答案：是 解析：试题分析：相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∵ ∴ ， ∠A=∠ ∴与是相似. 考点：相似三角形的判定 点评：本题是相似三角形的判定的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般 【来源：21·世纪·教育·网】
8.知识点：相似三角形的判定 答案：∠CDE=∠CAB（答案不唯一）. 解析：试题分析：由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可． 试题解析：由图可得，∠DCE=∠ACB，要使△ADE∽△ABC， 根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：∠CDE=∠CAB或∠CED=∠ABC； 根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加条件：CD：AC=CE：CB． 考点: 相似三角形的判定 21·世纪*教育网
答案：6 解析：试题分析：由再结合公共角∠A=∠A可证得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果. ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵cm ∴6cm. 考点：相似三角形的判定www-2-1-cnjy-com
点评：相似三角形的判定的应用是初中数学的重点和难点，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握 21*cnjy*com
10.答案：3
11.知识点：勾股定理、相似三角形的判定 答案：证明：∵ ， ∴。 ∴△ABC∽△DEF。 解析：试题分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF 2-1-c-n-j-y
12.知识点：相似三角形的判定 答案：作图如下：（答案不唯一）
解析：试题分析：首先根据已知的图形，判断出△ABC的三边长，然后同时乘以2即可得△DEF的三边长，再据此作图即可． 由图可知：AB=1，BC= ， AC=2； 若△ABC与△DEF的相似比为1：2，则DE=2，EF=2 ， DF=4； 可作图如下：（答案不唯一）【来源：21cnj*y.co*m】
考点：相似三角形的判定 点评：解题的关键是根据格点的特征及相似三角形的性质正确得到△DEF的三边长
27.2.1相似三角形的判定2同步练习
一、单选题 ?
1. 已知△ABC如右图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（???）,???????
1.答案：C
2. 能判定与相似的条件是 ．
A．
B． ， 且
C．且
D． ， 且
3. 下列所给条件中，不能使△ABC与△A’B’C’相似的是(???? )
A．AB＝AC， A'B'＝A'C'，∠A＝∠A'
B．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A'＝40°，∠C'＝60°
C．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A'B'＝20，B'C'＝25， A'C'＝40
D． ， ∠A＝∠B'
3.答案：D
4. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是
A．∠ABD＝∠C
B．∠ADB＝∠ABC
C．＝
D．＝
4.知识点：相似三角形的判定 答案：C
5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（???）
5.知识点：相似三角形的判定 答案：C. 解析：试题分析：观察图形，可知AB=,AC=,BC=2,A选项中的阴影部分三边分别是1， ， ， B选项中的三边分别是3， ， ， C选项中的三边分别是1， ， ， D选项中的三边分别是2， ， ， 根据三边的比相等的两个三角形相似，可知选项C正确. 考点：相似三角形的判定 21cnjy.com
二、填空题 ?
6. 在和中， 则与是否相似？ （填“是”或“不是”）．
6.答案：是 解析：试题分析：相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∵ ∴ ， ∠A=∠ ∴与是相似. 考点：相似三角形的判定 点评：本题是相似三角形的判定的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般 21世纪教育网版权所有
7. 如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件????? ， 可使△ABC∽△ACD． ??? 21·cn·jy·com
8. 如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）????????????????????时，∽ ．www.21-cn-jy.com
8.知识点：相似三角形的判定 答案：∠CDE=∠CAB（答案不唯一）. 解析：试题分析：由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可． 试题解析：由图可得，∠DCE=∠ACB，要使△ADE∽△ABC， 根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：∠CDE=∠CAB或∠CED=∠ABC； 根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加条件：CD：AC=CE：CB． 考点: 相似三角形的判定 2·1·c·n·j·y
9. 如图，在中，点分别在边上，且 ， 若cm，则 cm．
9.答案：6 解析：试题分析：由再结合公共角∠A=∠A可证得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果. ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵cm ∴6cm. 考点：相似三角形的判定和性质 点评：相似三角形的判定和性质的应用是初中数学的重点和难点，与各个知识点的结合极为容易，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握 【来源：21·世纪·教育·网】
10. 在△ABC与△A’B’C’中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A?＝∠；（4）∠C＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A’B’C’的共有??????组． www-2-1-cnjy-com
10.答案：3
三、解答题 ?
11. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．2-1-c-n-j-y
11.知识点：勾股定理、相似三角形的判定 答案：证明：∵ ， ∴。 ∴△ABC∽△DEF。 解析：试题分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF 21·世纪*教育网
12. 如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。请你在图中画出一个与△ABC相似的△DEF，使得△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，且△ABC与△DEF的相似比为1∶2。
12.知识点：相似三角形的判定 答案：作图如下：（答案不唯一）
解析：试题分析：首先根据已知的图形，判断出△ABC的三边长，然后同时乘以2即可得△DEF的三边长，再据此作图即可． 由图可知：AB=1，BC= ， AC=2； 若△ABC与△DEF的相似比为1：2，则DE=2，EF=2 ， DF=4； 可作图如下：（答案不唯一）21教育网
考点：相似三角形的判定 点评：解题的关键是根据格点的特征及相似三角形的性质正确得到△DEF的三边长
13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC=8，又BD=3，CE=2： 求证： 21*cnjy*com
27.2.1相似三角形的判定3同步练习
一、单选题 ?
1. 下列四组图形中不一定相似的是 ．
A．有一个角等于的两个等腰三角形
B．有一个角为的两个直角三角形
C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D．有一个角是的两个等腰三角形
2. 如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是(????? )
A．都相似?????? B．都不相似????????? C．只有(1)相似????? D．只有(2)相?
3. 如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（????）
A．ΔPAB∽ΔPDA
B．ΔABC∽ΔDCA
C．ΔPAB∽ΔPCA
D．ΔABC∽ΔDBA
4. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法： ①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ． 其中，正确的结论是???????????。
A．①②④
B．①③⑤
C．②③④
D．①④⑤
5. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中 相似三角形有（ ）21世纪教育网版权所有
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
二、填空题 ?（每题x分，共5题）
6. 如图，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是???????????????（注：只需写出一个正确答案即可）。21教育网
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=900 ， AD⊥BC，则图中相似的三角形有????????????（写出一对即可）．21cnjy.com
8. 如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，PD⊥BD，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=6，CD=2，则当DE=?????????时，△ABC与△CDE相似．21·cn·jy·com
9. 如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为????或?????时，使得由点B、O、C组成的三角形与相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．www.21-cn-jy.com
10. 如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有???????????（多选、错选不得分）.2·1·c·n·j·y
①∠A+∠B=90°????????????② ③????????????????④
三、解答题 ?（每题x分，共3题）
11. 如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE．
12. 已知：如图，将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，点B落在点Q处，折痕为EF ， PQ与BC交于点G ．
求证：△PCG∽△EDP
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P.求证：【来源：21·世纪·教育·网】
(1)D是BC的中点； (2)△BEC∽△ADC
参考答案
2.知识点：相似三角形的判定 答案：A
3.答案：D
4.知识点：平行线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定 答案：①④⑤. 解析：试题分析：首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确． ∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△， ∴AB=AC=BC= ， CD=DE=CE； ∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°； ①∵∠ACB=∠DCE=45°， ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE； 即∠ECB=∠DCA；故①正确； ②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC； 当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角； 故②不完全正确； ④∵ ， ∴； 由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC； ∴∠DAC=∠B=45°； ∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确； ③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°； ∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA； ∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD； 因此△EAD与△BEC不相似，故③错误； ⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大； 由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长； 故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= ， AD=1； 故S梯形ABCD=（1+2）×1= ， 故⑤正确； 因此本题正确的结论是①④⑤. 考点：1.相似三角形的判定；2.平行线的判定；3.等腰三角形的性质．
5.答案：C 解析：试题分析：先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP 再证明时注意图形中隐含的相等的角． 解：∵∠CPD=∠B，∠C=∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD=∠A，∠D=∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD=∠A=∠B， ∴∠APG=∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 故选C． 考点：相似三角形的判定． 点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．21·世纪*教育网
6.答案：答案不唯一
8.答案：1或4 解析：试题分析：依题意知，若△ABC与△CDE相似，则其对应边成比例。 因为AB=3，BC=6，CD=2，所以AB：CD=BC：ED（即3:2="6:DE" ）或AB：DE=BC：CD(即3:DE=6:2)。 故求出DE的解有两个，DE=1或DE=4 考点：相似三角形性质 点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形判定知识点的掌握。确定相似三角形判定条件即可。注意：该题中E为不确定点，故有两种情况
9.知识点：相似三角形的判定 答案：
10.答案：①②④
11.知识点：相似三角形的判定 答案：证明见解析. 解析：试题分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 试题解析：在中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 考点: 相似三角形的判定． www-2-1-cnjy-com
知识点：正方形的性质、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的判定 答案：证明：
27.2.1相似三角形的判定3同步练习
一、单选题 ?
1. 下列四组图形中不一定相似的是 ．
A．有一个角等于的两个等腰三角形
B．有一个角为的两个直角三角形
C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D．有一个角是的两个等腰三角形
2. 如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是(????? ) A．都相似?????? B．都不相似????????? C．只有(1)相似????? D．只有(2)相?
2.知识点：相似三角形的判定 答案：A
3. 如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（????）
A．ΔPAB∽ΔPDA
B．ΔABC∽ΔDCA
C．ΔPAB∽ΔPCA
D．ΔABC∽ΔDBA
3.答案：D
4. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法： ①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ． 其中，正确的结论是???????????。
A．①②④
B．①③⑤
C．②③④
D．①④⑤
4.知识点：平行线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定 答案：①④⑤. 解析：试题分析：首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确． ∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△， ∴AB=AC=BC= ， CD=DE=CE； ∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°； ①∵∠ACB=∠DCE=45°， ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE； 即∠ECB=∠DCA；故①正确； ②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC； 当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角； 故②不完全正确； ④∵ ， ∴； 由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC； ∴∠DAC=∠B=45°； ∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确； ③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°； ∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA； ∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD； 因此△EAD与△BEC不相似，故③错误； ⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大； 由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长； 故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= ， AD=1； 故S梯形ABCD=（1+2）×1= ， 故⑤正确； 因此本题正确的结论是①④⑤. 考点：1.相似三角形的判定；2.平行线的判定；3.等腰三角形的性质．
5. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中 相似三角形有（ ）21世纪教育网版权所有
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
5.答案：C 解析：试题分析：先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP 再证明时注意图形中隐含的相等的角． 解：∵∠CPD=∠B，∠C=∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD=∠A，∠D=∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD=∠A=∠B， ∴∠APG=∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 故选C． 考点：相似三角形的判定． 点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角． 21教育网
二、填空题 ?（每题x分，共5题）
6. 如图，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是???????????????（注：只需写出一个正确答案即可）。21cnjy.com
6.答案：答案不唯一
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=900 ， AD⊥BC，则图中相似的三角形有????????????（写出一对即可）．21·cn·jy·com
8. 如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，PD⊥BD，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=6，CD=2，则当DE=?????????时，△ABC与△CDE相似．www.21-cn-jy.com
8.答案：1或4 解析：试题分析：依题意知，若△ABC与△CDE相似，则其对应边成比例。 因为AB=3，BC=6，CD=2，所以AB：CD=BC：ED（即3:2="6:DE" ）或AB：DE=BC：CD(即3:DE=6:2)。 故求出DE的解有两个，DE=1或DE=4 考点：相似三角形性质 点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形判定知识点的掌握。确定相似三角形判定条件即可。注意：该题中E为不确定点，故有两种情况
9. 如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为????或?????时，使得由点B、O、C组成的三角形与相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．【来源：21·世纪·教育·网】
9.知识点：相似三角形的判定 答案：
10. 如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有???????????（多选、错选不得分）.www-2-1-cnjy-com
①∠A+∠B=90°????????????② ③????????????????④
10.答案：①②④
三、解答题 ?（每题x分，共3题）
11. 如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE．
11.知识点：相似三角形的判定 答案：证明见解析. 解析：试题分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 试题解析：在中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 考点: 相似三角形的判定． 21·世纪*教育网
12. 已知：如图，将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，点B落在点Q处，折痕为EF ， PQ与BC交于点G ．
求证：△PCG∽△EDP
12.知识点：正方形的性质、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的判定 答案：证明：
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P.求证：2·1·c·n·j·y
(1)D是BC的中点； (2)△BEC∽△ADC
课件24张PPT。新人教九年级数学下第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定（1）小松中学 温光洪新人教九年级数学下学习目标1.知道相似三角形的定义,能应用符号语言表示两个相似三角形.
2.知道相似三角形中相似比、对应边、对应角的概念,类比三角形全等,总结寻找相似三角形中对应元素的基本方法.
3.通过度量与计算掌握判断两个三角形相似的方法.学习重点相似三角形的相关概念以及三个定理及应用学习难点平行线分线段成比例定理和判断两个三角形相似的预备定理过程新人教九年级数学下（阅读本节课教材）1．相似多边形对应角______，对应边的比______；如果两个多边形满足对应角______，对应边的比______，那么这两个多边形______．2．相似多边形对应边的比称为______；当相似比为1时，两个多边形______．4．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝2，EF＝4，则BC＝______.预习导学3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比______．相等相等相等相等相似相似比全等相等6新人教九年级数学下1.如图，已知若，AB=BC，请同学们猜想DE与EF的大小关系，并通过实际测量验证。（相等）你能证明吗？请试一试！连接AE、CE，由于AB=BC，则BE是△ACE的中线，
所以 (同底等高的两个三角形面积相等)
连接DB、FB，又， ，
则， ， 又△BDE和△BEF的高相等
根据面积公式知DE=EF 新人教九年级数学下2.已知， 猜想：若AB=5BC，DE与EF的大小关系如何？若AB=nBC呢？DE=5EF DE=nEF解析：若AB=nBC，则DE=nEF，我们可以换成比的形式，即把AB=nBC和DE=nEF都写成
，我们自然就会发现
结合以上发现，你还能猜得出什么结果？ 新人教九年级数学下3.哪一位同学用符号语言表述一下我们的发现？ 若 ，则 若 ，则归纳结论：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等 新人教九年级数学下4.如下两图，上面所归纳的结论是否成立？小组讨论，发现与归纳：归纳结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。 成立 所截的对应该线段成比例新人教九年级数学下5.如图，若D点为线段AB上任意一点，DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系？相似证明：过E作EF//AB，交BC与点F.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上， DE∥BC， 若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于( )．新人教九年级数学下寻疑之小测试1．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比______． 3．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则( )．
A．△ABC∽△ADE B．△ABC∽△AED C．△ABC≌△ADE D．△ABC≌△AED A.3 B.4 C.6 D.8D4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形______．A相似相等图1【例1】 已知：如图，l1∥l2∥l3， 新人教九年级数学下分析：根据平行线分线段成比例定理，得到线段AB，BC，DE，EF的比例式，再根据比例的性质对比例式变形就得到要求的结果．证明：∵l1∥l2∥l3，新人教九年级数学下【例2】 如图，已知在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为( )．A. B.8 C.10 D.16解析：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，C2．(2014·包头)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则 的值为( )1．已知，如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. CA新人教九年级数学下新人教九年级数学下3．在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则下列结论不正确的是( ).4．如图，△ABC中，DE∥BC，则下列比例式不成立的是( )DC新人教九年级数学下1．(2014·天津)如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于( )2．如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中相似三角形共有( )A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2DCA．2对 B．3对 C．4对 D．5对新人教九年级数学下3．如图，DE∥BC.
(1)如果AD＝2，DB＝3，则DE∶BC＝ ；
(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．2∶5新人教九年级数学下4．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，小明由此得出了以下四个结论：① ② ③ ④ .其中正确结论的个数为( )DA．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝ .4新人教九年级数学下6．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 ．6或127．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则 的值是（ ）.CA． B． C． D． 新人教九年级数学下请谈谈你的收获小组合作讨论新人教九年级数学下1．如图，已知F是AB的中点，AE＝AF，D是BC延长线上一点，DF交AC于点E.问： 成立吗？为什么？解：成立．解析：如图，过点C作CH∥AB交DF于H，则△DCH∽△DBF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵CH∥AB，∴∠CHE＝∠AFE，∵∠CEH＝∠AEF，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，2.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45o,∠ACB=40o.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
解（1）∵DE ∥ BC∴△ADE∽△ABC∴∠AED=∠C=40o.解（2）∵△ADE∽△ABC在△ADE中, ∠ADE=180o-40o-45o=95o.新人教九年级数学下(2014·上海)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC，BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)连接AE，交BD于点G，求证：新人教九年级数学下(2014·上海)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC，BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；解：(1)∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC，∴∠ADC＝∠DAB.∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠DAB＝∠DCE.在△ABD和△CDE中，∠DAB＝∠DCE，AB＝CD，∠ABD＝∠CDE，∴△ABD≌△CDE，∴AD＝CE.又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形新人教九年级数学下(2014·上海)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC，BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD.
(2)连接AE，交BD于点G，求证：解(2)∵四边形ACED是平行四边形，∴FC∥DE，∵AD∥BE，又∵AD＝CE，提示已证四边形ACED是平行四边形新人教九年级数学下把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评课件29张PPT。新人教九年级数学下第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定（2）小松中学 温光洪新人教九年级数学下学习目标1.知道相似三角形的两个判定定理，并能用三角形的两个判定定理判定三角形相似.
2.能够举出反例证明当两个三角形具备两组对应边成比例，且存在一组对角相等，这样的三角形不一定相似.
3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力学习重点相似三角形的判定定理的应用学习难点探究两个三角形相似定理的过程和会准确地运用两个三角形相似的条件判定三角形是否相似新人教九年级数学下（阅读本节课教材）1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形______．2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形______．4．能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是( )．预习导学3．如果两个三角形的两组对应边的比______，并且相应的夹角______，那么这两个三角形相似．相等相等相似相似C5. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形 .相等成比例6. 相似三角形的 , 各对应边——————.对应角相等成比例7.如何识别两三角形是否相似? ∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?预习导学 是否有△ABC∽△A’B’C’？ABC三边对应成 比例已知:如图△ABC和△A'B'C'中A'B':AB=A'C':AC=B'C':BC.
求证:△ABC∽△A'B'C'证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B', DE过点D作DE∥BC交AC于点E. 又A'B':AB=B'C':BC=C'A':CA ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A'B'∴AD:AB=A'B':AB ∴DE:BC=B'C':BC,EA:CA=C'A':CA.因此DE=B'C',EA=C'A'.∴△A'B'C'∽△ABC ∴△ADE≌△A'B'C'△ABC∽△A’B’C’ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.∠A＝∠A'△ABC ∽ △A'B'C'如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不
能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？如何证明呢？请同学们利用所学知识证明这个结论已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A ' =∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC求证：△A'B'C' ∽ △ABC 解析：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE ∴ DE//BC∴ △ADE ∽ △ABC∴ △A'B'C' ∽ △ABC A'B'C'ABCDE新人教九年级数学下寻疑之小测试1．满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形是( )．DA．∠A＝60°，AB＝5 cm，AC＝10 cm；∠A′＝60°，A′B′＝3 cm，A′C′＝10 cmB．∠A＝45°，AB＝4 cm，BC＝6 cm；∠D＝45°，DE＝2 cm，DF＝3 cmC．∠A＝∠D＝30°，AB＝8 cm，BC＝4 cm；DF＝6 cm，FE＝3 cmD．∠A＝∠A′，且AB·A′C′＝AC·A′B′新人教九年级数学下寻疑之小测试2．已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD＝3 cm，AB＝8 cm，AC＝10 cm.若△ADE∽△ABC，则AE的值为( )．CA. B. C. D. 3．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝8，CD＝6，则当BD＝__________时，△ADC∽△CDB，∠ACB＝_________.90o新人教九年级数学下寻疑之小测试4．如图，为测得一养鱼池的两端A，B间的距离，可在平地上取一直接到达A和B的点O，连接AO，BO并分别延长到C，D，使 如果量得CD＝30 m，那么池塘宽AB＝__________.60 m5．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，可以添加_____ __ _(写出一种情况即可)．∠A＝∠D （1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm解：（1）∵又 ∠A＝∠A'∴ △ABC∽△A'B'C' 【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：两三角形的相似比是多少？ （1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm解（2）∵△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等，它们不相似 【例1】根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：要使两三角形相似，不改变AC的长，A'C'的长应当改为多少？【例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于F，且 求证：(1)△DEF∽△CBF新人教九年级数学下分析：根据已知条件先证明△ADE∽△ABC2．如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1， 乙三角形木框的三边长分别为5, 则甲、乙两个三角形( )AB新人教九年级数学下A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断新人教九年级数学下3．如图，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁点中的( )4．如图，∠DAB＝∠CAE，AB·AD＝AE·AC，则∠D＝_ _．C∠CA．甲 B．乙 C．丙 D．丁新人教九年级数学下1．如图，AB·AE＝AC·AD，则△ADE∽_ _，∠D＝_ _．2．如图，已知 ∠BAD＝20°，求∠CAE的大小． △ABC∠B∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，又∠DAC是公共角，∴∠CAE＝∠BAD＝20°新人教九年级数学下3．如图，下列条件中，能使△ACD∽△ABC的是( )DC．CD2＝AD·BD D．AC2＝AD·AB4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似B新人教九年级数学下5．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△DBA∽△ABC.证明：∵AB＝2，BD＝1， DC＝3，∴BC＝BD＋DC＝4，又∵∠B＝∠B，∴△DBA∽△ABC①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( )新人教九年级数学下6．如左图所示，在正方形网格上有6个三角形：BA．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥7．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE.新人教九年级数学下请谈谈你的收获小组合作讨论新人教九年级数学下1．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)当AC，CD,BD满足什么数量关系时，△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．理由提示∵CD2＝AC·BD，又∠ACP＝∠PDB＝120°∴△ACP∽△PDB(2)∠APB＝120°x解：(1)当CD2＝AC·BD时，△ACP∽△PDB.2.一个钢筋三脚架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案．
解：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边．把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有 ，从而两个三角形相似2.一个钢筋三脚架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案．
解：②30厘米与50厘米长的两根钢筋为对应边．把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有 ，从而两个三角形相似新人教九年级数学下(2014·淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD.连接MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN和△BDC之间的关系，并说明理由．新人教九年级数学下(2014·淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD.连接MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；解：(1)△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC∵BN平分∠ABE，AC⊥BD∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°∴△BMN是等腰直角三角形新人教九年级数学下(2014·淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD.连接MF，NF.
(2)判断△MFN和△BDC之间的关系，并说明理由．解：(2)△MFN∽△BDC证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，∵△BMN是等腰直角三角形，∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°，∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°，∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，∴△MFN∽△BDC提示（1）中已证△BMN是等腰直角三角形新人教九年级数学下把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评课件28张PPT。新人教九年级数学下第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定（3）小松中学 温光洪新人教九年级数学下学习目标1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”这一判定三角形相似的方法以及直角三角形所特有的相似的判定方法.
2.能够运用三角形相似解决简单问题.
3.让学生经历从实验探究到归 纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力学习重点两个三角形相似的两个判定定理3及直角三角形所特有的相似判定方法的应用学习难点探究两个三角形相似定理的过程和会准确地运用三角形相似的条件判定三角形是否相似新人教九年级数学下（阅读本节课教材）1．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应______，那么这两个三角形______．2．如果两个直角三角形的斜边的比等于一组______的比，那么这两个直角三角形______．4．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝3，BC＝4，A′B′＝10，A′C′＝6，则这两个三角形__________，记作_ ____ _____．预习导学3．如果两个三角形的两组对应边的比______，并且相应的夹角______，那么这两个三角形相似．相等相等相等相似相似相似直角边Rt△ABC∽Rt△A′B′C′预习导学5.如图所示，点D是△ABC中AC边上一点. ① 若∠1= ，则△CBD∽△CAB；[来源:
② 若∠2= ，则△CBD∽△CAB；
③ 若 ，则△CBD∽△CAB；6.如图所示，如果∠B=∠C，那么 ，
。7.如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，那么图形中相似的三角形有哪几对？ ∠CAB∠CBA△DBO∽△ECO△ABE∽△ACD△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么现？满足：∠C = ∠C'△ABC∽△A'B'C' 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？
△ABC和△A'B'C'相似吗？一样△ABC和△A'B'C'相似得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，
求证: △ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A',AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABC新人教九年级数学下寻疑之小测试1．下列各对三角形中不一定相似的是( )．DA．△ABC中，∠A＝54°，∠B＝78°； △A′B′C′中，∠C′＝48°，∠B′＝78°B．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm；△A′B′C′中，∠C′＝90°，A′C′＝12 cm，A′B′＝15 cmC．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，AC＝13；△A′B′C′中，∠B′＝90°，A′B′＝2.5a，B′C′＝6aD．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AB＝5；△A′B′C′中，∠A′＝45°，A′B′＝5新人教九年级数学下寻疑之小测试2．如图，AB∥CD，AC，BD交于O，BO＝7，DO＝3，AC＝25，则AO长为( )．DA. 10 B. 12.5 C.15 D. 17.5 3．在△ABC中，MN∥BC，MC，NB交于O，则图中共有( )对相似三角形B4．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果 ,那么 ．A．1 B．2 C．3 D．4新人教九年级数学下寻疑之小测试5．已知如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )6．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和 cm这两个直角三角形__________相似三角形(填“是”或“不是”)．A.都相似 B.都不相似
C.只有(1)相似 D.只有(2)相似A是【例1】 如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证PA·PB＝PC·PD证明：连接AC、BD．∵ ∠A和∠D都是 所对的圆周角，∴ ∠A＝∠D同理 ∠C＝∠B∴ △PAC∽△PDB即 PA·PB＝PC·PD·ABCDOP点拨：证明线段的等积式的一般思路是证明四条线段所在的三角形相似，或者转化其中的等线段然后再考虑各自所在的三角形相似，或者通过等比来代换． 【例2】 如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件__________．(只要写出一种合适的条件即可)解析：这是开放型题目，只要在已知条件下，添加的条件符合三角形相似的判定方法即可．答案：∠1＝∠2(或AC2＝AD·AB等)点拨：一定要结合已知条件添加，此外，应熟悉相似三角形的几种判定方法，选择一个最简单，最有把握的条件填写．∠1＝∠2 【例3】 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D在AC上，DE⊥AB于点E，AD=5，求AE的长.证明：∵∠C=90°，DE⊥AB于点，∴∠AED=90°=∠C，又∠DAE=∠BAC（公共角），∴△ADE∽△ABC2．如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠1＝∠2＝∠B，则图中相似三角形有( ).1．下列各组图形中有可能不相似的是( )AC新人教九年级数学下A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形A．1对 B．2对 C．3对 D．4对新人教九年级数学下3．如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件_ _.4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，则图中与△ABC相似的三角形有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个∠2=∠ACB 或∠1=∠B 或AC2=AD?AB∠2=∠ACB D 新人教九年级数学下5．(2014·永州)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长.解：在△ABD和△ACB中，∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，则CD＝AC－AD＝9－4＝5新人教九年级数学下1．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( ).2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝ .AA．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和Ⅳ C．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ2.4新人教九年级数学下3．(2014·毕节)如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于( )A． B． C． D． 4.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为 ．A5. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．已知：等腰△ABC, AB = AC 和等腰△A'B'C' ，A'B'=A'C'且有∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵等腰三角形 AB=AC ∴∠B=∠C∴△ABC∽△A'B'C' ∵等腰三角形 A'B'=A'C' ∴∠B'=∠C'∵∠B=∠B',∴∠C=∠C'6.已知:第腰△ABC 有AB=AC 和 △A'B'C' 有A'B'=A'C'， 并且∠A=∠A', 求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵ △ABC中AB=AC，∠B =∠C∴ 2∠B =180°－∠A同理 △A'B'C'中A'B'=A'C'，∠B' =∠C'∴ 2∠B' =180°－∠A'又 ∠A=∠A'∵ ∠B=∠B',∵ △ABC∽△A'B'C'新人教九年级数学下请谈谈你的收获小组合作讨论1. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．△ACD∽△ABC△CBD∽△ABC证明：∵∠ACB=∠ADC=90°又∠ A = ∠ A=90°∴ △ACD∽△ABC∵∠CDB=∠ACB=90°∠B = ∠B = 90°∴ △CBD∽△ABC新人教九年级数学下2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在边AD上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.求证：△ABE∽△DEF解:证明:∵EF⊥BE,∴∠FEB＝90°,∴∠DEF＋∠AEB＝90°,在矩形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF3.如图，∠ACB＝90°，四边形DEFG为正方形，且四个顶点D，E，F，G在三角形ACB的边上． 求证：FG2＝AG·BF.证明∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°，又∵四边形DEFG为正方形，∴DE＝EF＝FG＝DG,∠EFB＝∠DGA＝90°,∴∠B＋∠BEF＝90°，∴∠A＝∠BEF，∴△ADG∽△EBF，∴DG·EF＝BF·AG，∴GF2＝BF·AG.新人教九年级数学下1.(2013·枣庄)如图，矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝______．设AD＝x，由对应边的比相等―→列比例式―→求解．新人教九年级数学下2.(2014·岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．解：(1)在矩形ABCD中，由对称性可得∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，∴△BEF∽△CDF(2)由(1)知△BEF∽△CDF，解得CF＝169，即CF的长度是169 cm(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长．新人教九年级数学下把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评
