数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共28张ppt，含视频）

(共28张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
什么是圆锥曲线
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线 (conic sections).
椭圆
抛物线
双曲线
圆
1
3.1.1椭圆及其标准方程
探究1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是怎样的图形？
探究2：把细绳的两端拉开一段距离，固定在图板的两点，，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆
笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
椭圆的定义：
平面内到两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点叫做椭圆的焦点；焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距
由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.
思考：平面内到两个定点的距离的和等于的点的轨迹是什么图形？
思考：平面内到两个定点的距离的和小于的点的轨迹是什么图形？
M
F1
F2
点轨迹为线段
点轨迹不存在
当 时，轨迹为椭圆；
当 时，轨迹为线段；
当 时，轨迹不存在.
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
(3)到F1(-2,0)、F2(0，2)的距离之和为3的点的轨迹.
是
不是
是
2.用定义判断动点轨迹是否为椭圆
概念辨析1：椭圆的定义
B
回顾：我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
设点
限制
代换
化简
建立适当的直角坐标系；
设M（x，y）是圆上任意一点；
由限制条件，列出几何等式，写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
用坐标法表示条件P(M)，代换列出方程，化简方程.
类比这个方法，我们开始求取 椭圆的标准方程
探讨:根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系？
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
以焦点F1，F2的所在直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy.
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c > 0)，则F1，F2的坐标分别是( c，0)、(c，0)，M与F1和F2的距离之和等于常数2a (2a > 2c).
由椭圆的定义得
O
x
y
M
F1
F2
观察下图，你能从中找出表示a，c， 的线段吗？
由图， ，
令 ，所以焦点在x 轴上椭圆的方程为：
思考：如图，如果焦点在轴上，且的坐标为,的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
F1
F2
M


x
y
O
（问题：下面怎样化简？）
由椭圆的定义得，限制条件：
由于
得方程

(焦点在y轴上)
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
思考：椭圆的两种标准方程有怎样的特征？
焦点在x轴上 焦点在y轴上
椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程
焦点坐标
图示
a,b,c的关系
x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上
a
c
b
小结：椭圆的定义及标准方程
概念辨析2：椭圆的标准方程
概念辨析2：椭圆的标准方程
焦点在x轴上的椭圆
焦点在y轴上的椭圆
椭圆
圆
若椭圆焦点位置不确定，可设为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n)
巩固：求椭圆的标准方程
求a,b
定位
定量
焦点位置
待定系数法求椭圆的标准方程
(法1)
知曲线上一点和焦点
(法2)
点代入方程
a,b,c的关系
求a,b
定位
定量
焦点位置
待定系数法求椭圆的标准方程
(法1)
(法2)
未知焦点位置:巧设方程
求a,b
定位
定量
焦点位置
小结：求椭圆的标准方程
【方法说明】
(3) 求椭圆的标准方程，要先要定“位”，
1. 求椭圆标准方程的主要方法有：
a, b, c 满足的关系有：
根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
用定义寻找a, b, c的方程；
(1) 定义法：
(2) 待定系数法：
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
即求 a, b 的大小 .
即确定焦点的位置；
其次是定“量”，
小结：椭圆方程的常用设法
求动点轨迹方程
寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.
求动点轨迹方程
将圆“压缩”可得到椭圆
将圆“拉伸”可得到椭圆
思考：由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
，
，
求动点轨迹方程
椭圆定义
(直接法)
(定义法)
求动点轨迹方程
O
x
y
M
A
B
求动点轨迹方程
p109练习 4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
x
y
B
M
O
A



2.椭圆的标准方程
当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
1.椭圆的定义：
3.轨迹方程的求法
定义法, 待定系数法, 相关点代入法, 直接法.