北师大版九年级数学上册第6章反比例函数 单元综合练习题（含答案）

北师大版九年级数学上册《第6章反比例函数》单元综合练习题
一．选择题
1．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝2x2 C．y＝ D．y＝
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
4．对于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．图象位于第一、三象限
C．图象关于直线y＝﹣x对称 D．图象经过点（﹣2，﹣2）
5．已知反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，则a的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，y2的最小值为a+2，则实数a与k的值为（　　）
A．a＝3，k＝1 B．a＝﹣1，k＝﹣1 C．a＝3，k＝3 D．a＝﹣1，k＝3
7．如图，点A是函数图象上的任意一点，点B、C在反比例函数的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，Pn，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，…，Sn，…，则S1+S2+S3+ +S2022的结果为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过OB上一点D，与AB相交于点C，若OD＝2BD，△OBC的面积为，则k的值是（　　）
A．﹣． B．﹣3． C． D．3
10．已知点A（x1，y2），B（x1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜y2＜0 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
11．已知反比例函数的图象上有两点A（2，y1）、B（m，y2），如果y1＜y2，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．0＜m＜2 D．m＜0或m＞2
12．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
二．填空题
13．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　 　．
14．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于点A，B，其横坐标分别为1，5．则关于x的不等式k1x+b＞的解集是 　 　．
15．如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y＝交于A，B两点，若△AOB的面积为4，则k的值为 　 　．
16．如图，过原点且平行于y＝3x﹣1的直线与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于点C，过直线OC上的点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD＝2BD，那么点C的坐标为 　 　．
三．解答题
17．已知反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点A（1，a），点C的坐标为（0，1），将线段AC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到线段CB．
（1）求直线AB的解析式．
（2）点P是线段AB上的一点，连接CP，若CP将△ABC的面积分成2：3两部分，求点P的横坐标．
18．如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在直角坐标系中，点A（﹣2，1），点B（n，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象的交点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）利用函数图象回答：当x为何值时，y1＞y2？
20．如图，直线y＝3x与反比例函数交于点A，B，点C的坐标为（5，0），AC＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集为 　 　；（直接写出结果，无需解答过程）
（3）过点B作y轴的垂线，垂足为D，求△ACD的面积．
21．如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
22．A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
23．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．燃尽后y与x成反比例（1）求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量．
（2）画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
24．如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限，AC∥x轴，反比例函数的图象经过顶点D．
（1）若A（0，2），B（1，0）．
①求反比例函数的解析式；
②证明：点C落在反比例函数的图象上；
（2）若，∠ABD＝30°，求菱形ABCD的边长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、y＝3x是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝2x2是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、y＝不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限；
当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限；
故选：D．
3．解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．
解得：r＝2．
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且＝r．
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故选：D．
4．解：∵y＝﹣，
∴反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，函数图象关于原点成中心对称，关于直线y＝﹣x成轴对称，
故选：C．
5．解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，
∴2﹣a＞0，
解得：a＜2，
故a的值可能是1．
故选：A．
6．解：∵k＞0，当﹣3≤x≤﹣2时，y1的最大值为a，
∴当x＝﹣3时，a＝，
∵﹣k＜0，y2的最小值为a+2，
x＝﹣3时，a+2＝，
联立a＝与a+2＝，
解得a＝﹣1，k＝3，
故选：D．
7．解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，
∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM＝|k|，
∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，
设ON＝a，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴AN＝＝BM，
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴OM＝，
∴MN＝﹣a，
由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，
（﹣a）×＝4，
即k﹣2＝4，
∴k＝6，
故选：D．
8．解：当x＝1时，P1的纵坐标为2，
当x＝2时，P2的纵坐标1，
当x＝3时，P3的纵坐标，
当x＝4时，P4的纵坐标，
当x＝5时，P5的纵坐标，
…
则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；
S2＝1×（1﹣）＝1﹣；
S3＝1×（﹣）＝﹣；
S4＝1×（﹣）＝﹣；
…
Sn＝﹣；
S1+S2+S3+…+Sn＝2﹣1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝．
∴S1+S2+S3+…+S2022＝＝．
故选：D．
9．解：过点D作DE⊥AO于点E，
∵DE⊥AO，∠OAB＝90°，
∴AB∥DE，
∴△OED∽△OAB，
∵OD＝2BD，
∴，
∵点D和C在反比例函数图象上，
∴△AOC和△DOE的面积为，
∴，
解得：k＝﹣3．
故选：B．
10．解：∵反比例函数y＝中k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B都在第三象限，
∴y2＜y1＜0．
故选：D．
11．解：∵k2＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
若点A（2，y1）、B（m，y2）在同一象限，
∵y1＜y2，
∴0＜m＜2，
若点A（2，y1）、B（m，y2）在不同象限，
则y1＜y2不成立，
实数m的取值范围是0＜m＜2．
故选：C．
12．解：∵k2+2＞0，
∴函数y＝（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：A．
二．填空题
13．解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
14．解：如图所示：关于x的不等式k1x+b＞的解集是：x＜0或1＜x＜5．
故答案为：x＜0或1＜x＜5．
15．解：∵直线y＝﹣x+4与双曲线y＝关于直线y＝x对称，
∴△AOC≌△BOD，
∵直线y＝﹣x+4与x轴相交于C点，与y轴交于D，
∴C（0，4），D（4，0），
∴S△COD＝＝8，
∵△AOB的面积是4，
∴S△AOC＝2，
∴×4×xA＝2，
解得xA＝1，
代入y＝﹣x+4得，y＝﹣x+4＝3，
∴A（1，3），
∵双曲线y＝过点A，
∴k＝1×3＝3，
∴k的值为3，
故答案为：3．
16．解：过原点且平行于y＝3x﹣1的直线为y＝3x，
∵A（1，3），
∴AB＝3，OB＝1，
∵AD＝2BD，
∴AB＝3BD，
∴BD＝1，
∴D（1，1）
将D坐标代入反比例解析式得：k＝1；
∴反比例函数的解析式为；y＝，
由解得：或，
∵x＞0，
∴C；
故答案为：．
三．解答题
17．解：（1）作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点A（1，a），
∴a＝4，
∴A（1，4），
∵C的坐标为（0，1），将线段AC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到线段CB，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝1，BN＝CM＝4﹣1＝3，
∴B（﹣3，2），
设直线AB 的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB为y＝x+；
（2）∵点P是线段AB上的一点，CP将△ABC的面积分成2：3两部分，
∴＝或＝，
∴P的横坐标为﹣或﹣．
18．解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，
∵A（1，4），
∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）如图2，∵△COD≌△AOB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
19．解：（1）∵点A（﹣2，1），点B（n，﹣2）是一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象的交点．
∴m＝（﹣2）×1＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y2＝﹣，
∴﹣2n＝﹣2，解得n＝1，
∴B（1，﹣2），
把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y1＝kx+b得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣x﹣1；
（2）观察图象，当0＜x＜1或x＜﹣2时，y1＞y2．
20．解：（1）设点A坐标为（m，3m），作AE⊥x轴，则OE＝m，AE＝3m，
∴CE＝5﹣3m，
在Rt△AEC中，AE2+CE2＝AC2，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m＝1，
∴A（1，3），
∴k＝xy＝3，
∴反比例函数解析式为；
（2）由反比例函数的对称性可知B（﹣1，﹣3），
∴不等式的解集为x＜﹣1或0＜x＜1，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1；
（3）依题意点D坐标为（0，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝k1x﹣3（k1≠0），
将A点坐标代入得3＝k1﹣3，解得k1＝6，
∴直线AD的解析式为y＝6x﹣3，
令y＝0得，
∴，
∴＝．
21．解：（1）依题意得：xy＝30，
∴y＝．
又∵墙长为6m，
∴≤6，
∴x≥5．
∴y关于x的函数表达式为y＝（x≥5）．
（2）∵x，y均为整数，x≥5，且y＝，
∴x可以为5，6，10，15，30．
又∵2x+y≤20，即2x+≤20，
∴x可以为5，6，
∴共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
22．解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
23．解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为y＝k1x（k1≠0），由题意得：8＝10k1，
∴k1＝，
∴此阶段函数解析式为y＝x（0≤x≤10），
当x＝5时，y＝4，
故第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量为4毫克．
（2）设药物燃烧结束后函数解析式为y＝（k2≠0），由题意得：，
∴k2＝80，
∴此阶段函数解析式（x≥10），
其图象如下：
（3）当y＞1.6时，得，
解得x＜2，
当y＞1.6时，得，
∵x＞0，
∴1.6x＜80，
解得x＜50．
即从消毒开始2分钟到50分钟之间时学生不能停留在教室里．
24．解：（1）①过点D作y轴垂线交于点F，
∴∠OFD＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BE＝DE，AE＝AC，BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵AC∥x轴，
∴∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴四边形AOBE为矩形，
∴AO＝BE，
∵A（0，2），B（1，0），
∴AO＝BE＝DE＝2，AE＝OB＝1，
同理：四边形AEDF为矩形，
∴AF＝DE＝2，DF＝AE＝1，
∴D（1，4），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴反比例函数的解析式为；
②过点C作x轴垂线交于点G，
同①的方法得，四边形AEBO、ACGO为矩形，
∴AO＝CG＝2，AC＝2AE＝2，
∴C（2，2），
∵反比例函数的解析式为，
当x＝2时，y＝＝2，
∴C落在反比例函数y＝的图象上；
（2）四边形ABCD为菱形，
∴BE＝DE，AE＝AC，BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
设AE＝a，
在Rt△ABE中，∠ABD＝30°，
∴，AB＝2a，
同（1）的方法得，，
∵k＝18，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵D在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∴a＝3（由于a＞0，舍去负值），
∴AB＝2a＝6，
即菱形ABCD的边长为6．