第二轮总复习-模拟卷/08高考数学考前必读资料

08高考数学考前必读资料
集 合 (注意空集的情况)
注意斜率不存在的情况
例：已知点A(2,-2)，B(-1,5),过原点的直线L与线段AB交于P点，则L的斜率K的取值范围是(D)
(A)[-5,-1] (B)[-1,+] (C)[- ,-5] (D)[-,-5][-1,+ ]
巧用直线方程x-xo=m(y-yo)
当直线过定点(x0,y0)时，若仅会使用y-y0=k(x-x0),有时会出现下列情况:
(1)容易忽视斜率不存在的情形；
(2)运算较繁，有时还会陷入僵局。
若已知斜率不为零，则可设x-x0=m(y-y0)，这不仅可以避免讨论直线斜率的存在性，有时还可以简化运算。
例:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与该抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2,求证:y1.y2=-p2。
证明：显然，直线的斜率k ≠0，因为倾斜角不为零，故可设直线方程为
由 消去x,
解析几何(抛物线.巧设方程免讨论)
如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准
线上，且BC ∥x轴。证明：直线AC经过原点O。
由 消去x,
慎用双曲线定义解题
解析几何(双曲线)
双曲线的三个区域
双曲线 及其渐近线把平面分成
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个区域。
(1)当P(x0,y0)在区域Ⅰ内时，有
(2)当P(x0,y0)在区域Ⅱ内时，有
(3)当P(x0,y0)在区域Ⅲ内时，有
解 析 几 何 (轨迹)
广义判别式
*设f(x)是关于实数x的一个解析式，a、b、c都是与x有关或无关的实数且a≠0,则 △=b2-4ac≥0是方程
a[f(x)]2+bf(x)+c=0有实根的必要条件，称“△”为广义判别式。
例：解方程x2-2xsinxy+1=0 (x,y∈R).
解:方程有实根 △= [-2sinxy]-4 ≥0 sinxy ≥1或sinxy≤-1 sinxy=±1,把sinxy =±1分别代入原方程,得{ { 经检验, { 都是原方程的根。
立体几何 中的一个重要结论
*过空间的一个定点P与已知异面直线L1、L2所成的角为定值的直线条数的分布规律。
设异面直线L1、L2所成的角为,其中∈(0, ],P为空间的一个定点，则过定点P且与L1、L2所成的角都为 的直线条数有 条。
(1)当 ∈(0, )时，有0条； (2)当 = 时，有1条；
(3)当 ∈( , )时，有2条； (4)当 = 时，有3条；
(5)当 ∈( , )时，有4条； (6)当 = 时，有1条.
注：异面直线L1和L2所成的角为，则的取值范围是∈(0, ].
利用“五点法”确定初相
今结合教材中“五点描图法”画函数y=Asin(wx+ ) (A>0,w>0) 图像的方法，给出一种求初相 的简便易行的方法，我们把wx+ 看成一个整体，列出下表:
wx+ 0
x x1 x2 x3 x4 x5
y 0 A 0 -A 0
根据这五个点的求法，可知有下列等式成立：
wx1+ =0, wx2+ = , wx3+ = , wx4+ = , wx5+ = ,
只要知道上述五个等式中的任意两个就能求出w和 ，此法称为用五点法确定初相 。
但应注意:用五点法确定初相，这五个点一定要在同一个周期内:即第二、第四两点应分别为图像的最高点与最低点；第二、第四两点之间的图像与x轴的交点为第三点；第一点为最高点前面的最靠近最高点的图像与x轴的交点；第五点则是最低点后面的最靠近最低点的图像与x轴的交点。
*函数y=Asin( x+ ) (A>0, >0)在一个周期内的图像如图所示，求其解析式。
2 y
解：易知A=2，由图像得知，
则
等比数列(注意公比为q=1的情形)
关于四个数成等比数列的问题
例：设四个实数成等比数列，其积为210，中间两项的和为4，求公比q。
依题意{ 消去a， 得
分析及改正：
在等差数列中，若有连续四项，可设为：
正解
数列
*(2006年 重庆 理14)
数 列 （周期数列）
反思:是否扩大或缩小了范围
函 数（定义域·奇偶性）
还应由{ 得x>3
全面考虑问题例(2001年上海高考题)
设F1、F2为椭圆 ＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的
三个顶点，且|PF1|＞|PF2|, 求 的值.
构 造 对 称 式 解 题
“1”的妙用 (最值)
三 角 函 数(选择填空题) *(1998年全国高考题)
函数(反函数·中心对称)
三 角 函 数 (对称性 中心对称)
缩小限制范围，避免出现增解
函 数 (分段函数·单调性)
*(2006年 北京 理5)
已知 是 上的减函数，那么 a 的取值范 围是( C )
(A) (0，1) (B) (0， ) (C) (D)
函数(正难则反·补集法)
不等式恒成立的问题(转移视角·换位思考)
整体化归，回避讨论
整 体 思 想 (等比数列 极限)
数 形 结 合 要 防 止 以 偏 概 全
例：试问方程2x-1-x2=0有几个实根？
分析：图解法
C1: y=2x
C2: y=x2+1.
易知x=0,x=1是它的两个实根，
还有第3个实根。
*已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，若抛物线y=-x2+mx-1与线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围。
错解：令f(x)=-x2+mx-1
则
剖析：上面解法错误地(或片面地)认为抛物线的顶点应在线段AB的上方。事实上，它忽略了顶点在线段AB下方而抛物线与线段AB有两个交点的情形。
正解：
由{
得 x2-(m+1)x+4=0. (*)
欲满足题设条件，只需方程(*)在[0,3]内有两个不同的实根。
令f(x)=x2-(m+1)x+4.
则
设 问 的 否 定 形 式
*(2005年 全国Ⅰ 理17)
设函数f(x)=sin(2x+ ) ,y=f(x)图像的一条对称轴是直线 .
(Ⅰ)求 ；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间；
(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切 .
解： (Ⅰ) ∵ 是函数y=f(x)图像的一条对称轴， ∴sin ,
(Ⅱ)
(Ⅲ)
*(2005 江苏 第9题)
设K=1，2，3，4，5，则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是 ( C )
(A) 10 (B) 40 (C) 50 (D) 80
解：
开 放 性 试题
*(2005年 福建 理16)
把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。
若函数f(x)=3+log2x的图像与g(x)的图像关于( )对称，则函数g(x)=( ).
(注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形).
解：答案不惟一，例如，
(1)x轴 -3-log2x ; (2)y轴，3+log2(-x ) ; (3)原点，-3-log2(-x) ; (4)直线y=x, 2x-3 .
图 表 信 息 题 (信息检索、数据处理)
*(2004年 江苏)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
函 数 (复合函数)
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
图形信息题(给图考图)
*(1998年 全国高考题)
数 列 (等比数列·数表题)
第1行 1
第2行 2 3
第3行 4 5 6 7

“不等式恒成立时参数确定问题”的两个基本思路
不等式恒成立问题(分离变量，利用函数单调性解题)
*(1990年 广东高考题)
不等式恒成立问题(分离参数法)
比较大小(归纳、猜想、证明)
重复排列
向 量 (两个向量的夹角 解三角形)
向 量 (记住一个重要结论)
命题的否定与否命题
逆 否 命 题 (简易逻辑)
命 题 的 否 定 (简易逻辑)
极 限
△
-1<1-2x<1 -2<-2x<0 0又当x=0时，极限也存在，
∴x的取值范围是[0,1).
具有无限形式的题目
函 数 (对函数的综合考查)
*(2007年 江西 理11)
导 数 (函数的单调性)
定理：设函数f(x)在区间(a,b)内可导，如果在(a,b)内f ,(x)>0,那么f(x)在(a,b)内是增函数；如果在(a,b)内f ,(x)<0，那么f(x)在(a,b)内是减函数；如果在(a,b)内恒有f ,(x)=0，那么f(x)在(a,b)内是常函数。(此为充分条件但不是必要条件，即它的逆定理不成立。)
注1：不论区间是开的、闭的或半开半闭，是有限 或无穷，该定理都成立。
注2： f ,(x)>0(或<0)仅是函数f(x)=为增(或减)函数的充分条件，而不是必要条件。当f ,(x)在(a,b) 内个别点处为零，而在其余处均为正(或负)时, f(x)在(a,b)内仍为增(或减)函数.
定理：设函数f(x)在区间(a,b)内可导，若在(a,b)内f ,(x)>0(或<0),则f(x)在(a,b)内严格增加(或严格减少).(此为充分条件但不是必要条件，即它的逆定理不成立.)
定理：设函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内单调增加(或单调减少)的充要条件是f ,(x) ≥0 (或f ,(x) ≤0).
导 数 (单调性)
判断函数单调性时遗漏f ,(x)等于0的情况致误。
*已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围。
错解：求导， f ,(x)=3ax2+6x-1,依题意， f ,(x)在R上恒小于0，
则有{ { a<-3. ∴a∈(-∞,-3).
评析：利用导数，函数单调性的判断法则为：
在区间D上，若f ,(x)>0，则f(x)在D上是增函数；若f ,(x)<0，则f(x)在D上是减函数。
反之，若f(x)在D内可导，则f(x)在D上是增(减函数), 应有f ,(x) ≥0(≤0)。
特别地，当f ,(x) 为二 次函数时， f ,(x) =0的情况是绝对不能漏掉的。
正解：求导， f ,(x) =3ax2+6x-1,
依题意， f ,(x)在R上恒小于等于0，
则有{ { a≤-3. ∴a∈(-∞,-3].
注：f ,(x)>0(或<0)只是函数f(x)在区间D上单调递 增(或递减)的充分条件，可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)的充要条件是：对任意x∈D， 都有f ,(x) ≥0(或≤0)，且f ,(x)在D的任意子区间上都不恒为零.
导 数 (错解及改正)
*已知函数f(x)=x3+ax2+3x-1(a>0),且f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围。
错解：求导， f ,(x)=3x2+2ax+3.
∵ f(x)为增函数，∴ f ,(x)>0, 即3x2+2ax+3>0.则必△=(2a)2-4·3·3<0, 得a2<9, -3∵a>0, ∴0改正：应考虑f ,(x)=0, 由f ,(x)= 3x2+2ax+3≥0及△≤0，∴0函 数 (单调性)
函数的极大值与极小值
定理(极值的必要条件)设函数f(x)在点x0处可导，且f(x)在点x0处取得极值(极大或极小)，则f ,(x0)=0.
注：曲线f ,(x)在它的极值点x0 处的切线都平行于x轴，即f ,(x0)=0.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是,反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.
例如: f(x)=x3 ， f ,(x)=3x2， f ,(0)=0，但x=0不是函数的极值点.
同时应注意：如果函数f(x)在其定义域内有导数
定理(极值判别法1，第一充分条件)
设函数f(x)在点x0附近(即点x0的一个邻域内)具有导数且f ,(x0)=0.
(1)若x< x0时, f ,(x0)>0;而x> x0时,f ,(x0)<0,则f(x0)为极大值。
(2)若x< x0时, f ,(x0)<0;而x> x0时,f ,(x0)>0,则f(x0)为极小值。
简言之，一阶导数由正变负，极大值；由负变正，极小值。
注:“在点x0附近 ”是指在x0左右两侧附近所有各点。 如果函数f(x)在区间[a,b]上有定义，那么只有这区间内部的点(不包括a,b两点)才可能成为函数的极值点.
导 数 (极值)
*确定实数p、q的值，使函数f(x)=x2+px+q在x=1处取得极小值3.
解：求导， f ,(x) = (x2+px+q) ’=2x+p. 则有
∴p=-2,q=4.
注:定理（极值存在的必要条件）
设函数f(x)在点x0处可导，且f(x)在点x0处取得极值(极大或极小),则f ,(x0)=0.
应注意：
(1)导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)=x3，在点x=0处的导数是0，但它不是极值点，即在
点x=0处无极值.
(2)在导数不存在的点，函数也可能取得极值。如函数f(x)= x ，虽然在点x=0处连续，但在点x=0
处不可导，而x=0是极小值点，极小值为f(0)=0.
运用导数求函数的极值、最值
导 数 (最值)
*(2004年 江苏 第10题)
函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ C ）
　A．1，-1　　　 B．1，-17　　 C．3，-17　　　 D．9，-19
导 数 (切线的斜率与切线方程)
曲线的切线方程
用导数求解数学应用问题
导 数 (应用题)
关于求积符号
函数的对称性
函 数 的 凹 凸 性
函数的不动点
零点定理
符号函数sgnx
数 制 转 换
我们通常采用“十进制”.其它的计数制，如二进制、八进制、十六进制等也会遇到，应注意数制间的转换.
*2005年 全国Ⅲ 理12.
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
格 点 (整点)
四色问题
x
y
0
Ⅲ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅱ

x
O
y
A
A
y
x
(示意图)
3
-2
(A)
D)
(C)
(B)
V
0 h0 H h
A
B
D
C
示意图
L2
L1
0 x
y
x
h
y
0
x
x2
x1
x0
1, x是有理数，
0, x是无理数.
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