课件28张PPT。2.2 乘法公式?
2.2.1 平方差公式1.理解平方差公式的结构特征.(重点)
2.会进行平方差公式的推导和应用.(重点、难点)用多项式乘多项式的法则计算下列各式:
(1)(x+2)(x-2)=____.
(2)(3+y)(3―y)=____.
(3)(3a+1)(3a-1)=_____.
(4)(m+5n)(m―5n)=_______.x2-49-y29a2-1m2-25n2【思考】1.观察以上算式,等号的左边的两个因式有什么特点?
提示:第一个因式是两个数的和,第二个因式是这两个数的差.
2.具有上述特点的两个因式的积等于什么?
提示:这两个数的平方差.【总结】平方差公式:
(1)式子表示:(a+b)(a-b)=_____.
(2)语言叙述:两个数的___与这两个数的___的积等于这两个数的
_______.a2-b2和差平方差 (打“√”或“×”)
(1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.( )
(2)(-a+b)(-a-b)=a2-b2.( )
(3)(a+b)(b-a)=a2-b2.( )
(4)(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2.( )×√××知识点 1 运用平方差公式进行计算?
【例1】计算:(1)(3x+1)(3x-1).(2)(a-2b)(-a-2b).
【思路点拨】观察两个二项式中各式的特点,分清相同的项与相反的项,根据平方差公式,用相同的项的平方减去相反的项的平方,然后再计算.【自主解答】(1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12
=9x2-1.
(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a)
=(-2b)2-a2
=4b2-a2.【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法知识点 2 平方差公式的简单应用?
【例2】计算:1003×997.
【解题探究】1.若用平方差公式,把1003看成哪两个数的和,把997看成哪两个数的差?
提示:设两个数中较小的为x,则较大的为1003-x.
所以1003-x-x=997,
解得x=3,
所以1003-x=1003-3=1000.2.若用平方差公式,原式如何变形?
提示:1003×997=(1000+3)(1000-3).
3.运用平方差公式计算:
1003×997=(1000+3)(1000-3)
=________
=__________
=_______.10002-321000000-9999991【互动探究】观察下列等式19×21=202-1,28×32=302-22,
37×43=402-32,…,已知m,n为实数,仿照上述的表示方法可
得:mn= .
【解析】根据观察,可设mn=x2-y2=(x+y)(x-y),
则x-y=n,x+y=m.因为
所以
所以
答案：【总结提升】灵活运用平方差公式的三种情形
1.用平方差公式简便计算两数的积.
2.在整式的混合运算中,正确识别符合平方差公式的部分.
3.变化系数灵活运用平方差公式.题组一:运用平方差公式进行计算
1.计算(2a+b)(2a-b)的结果是( )
A.4a2-b2 B.b2-4a2
C.2a2-b2 D.b2-2a2
【解析】选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.2.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A.(3a+b)(a-b)
B.(-3a-b)(-3a+b)
C.(3a+b)(-3a-b)
D.(-3a+b)(3a-b)
【解析】选B.平方差公式中必须存在一组完全相同的项和一组互为相反数的项.A,C,D中不存在相同的项,因此A,C,D都不符合平方差公式的要求.3.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )
A.-x2-y2 B.-x2+y2
C.x2+y2 D.x2-y2
【解析】选B.(x-y)(-y-x)=(-y)2-x2=y2-x2.4.计算(3m+4)(4-3m)的结果是 .
【解析】原式=(4+3m)(4-3m)=16-9m2.
答案:16-9m25.方程(x+6)(x-6)-x(x-9)=0的解是 .
【解析】因为(x+6)(x-6)-x(x-9)=x2-36-(x2-9x)=x2-36-x2+9x=9x-36,
所以方程可化为9x-36=0,解得x=4.
答案:x=46.(2013·台州中考)化简:(x+1)(x-1)-x2.
【解析】原式=x2-1-x2=-1.题组二:平方差公式的简单应用
1.计算20142-2013×2015的结果是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【解析】选A.原式=20142-(2014-1)(2014+1)
=20142-(20142-12)=20142-20142+1=1.2.(2013·枣庄中考)若a2-b2= a-b= 则a+b的值为____.
【解析】因为a2-b2=(a+b)(a-b)= a-b=
所以
答案：3.用简便方法计算:
503×497= ;1.02×0.98= .
【解析】503×497=(500+3)(500-3)=5002-32
=250000-9=249991;
1.02×0.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022=0.9996.
答案:249991 0.99964.先化简,再求值:
a(a+1)-(a+1)(a-1),其中a=3.
【解析】原式=a2+a-(a2-1)=a2+a-a2+1=a+1,
当a=3时,原式=a+1=3+1=4.5.街心花园有一块边长为am的正方形草坪,经规划后,草坪南北方向要加长2m,而东西方向要缩短2m,问改造后的长方形草坪的面积和以前相比变化多少?
【解析】改造后草坪的面积为:(a+2)(a-2)=(a2-4)(m2).
而以前正方形草坪的面积为a2m2,故改造后草坪的面积和以前相比减少4m2.【想一想错在哪？】计算:(-2x-3y)(2x-3y).
提示:只考虑了结果是两数的平方差,忽略了应该是相同项的平方减相反项的平方.课件33张PPT。2.2.2 完全平方公式1.会推导完全平方公式,并能掌握公式的结构特点.(重点)
2.灵活应用完全平方公式进行计算.(重点、难点)一、完全平方公式
根据多项式的乘法,计算下列各式并直接写出结果:
(1)(x+1)2=_______;(2)(x+2)2=_______;
(3)(x-3)2=_______;(4)(x-4)2=________.x2+2x+1x2+4x+4x2-6x+9x2-8x+16【思考】1.上面算式左边有什么共同特点?
提示:上面算式左边是二项式的平方,即两个相同的二项式相乘.
2.上面算式的结果有什么相同点?
提示:(1)都是二次三项式;(2)是左边二项式中两项的平方和,
加上或减去这两项乘积的2倍.
3.由上面算式的规律可写出:(x+6)2=_________.x2+12x+36【总结】1.语言叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的_______,
加(或减)它们的___的2倍.
2.式子表示:(a+b)2=_________.
(a-b)2=_________.平方和积a2+2ab+b2a2-2ab+b2二、几何解释
1.两数和的完全平方公式:
如图,最大正方形的面积可用两种形式表示:
(1)______.(2)_________,
由于这两个代数式表示同一正方形的面积,所以它们应相等,即
______=_________.(a+b)2a2+2ab+b2(a+b)2a2+2ab+b22.两数差的完全平方公式:
如图,正方形ABCD的面积可用两种形式表示:
(1)______.(2)_________,由于这两个代数式表示同一正方形
的面积,所以它们应相等,即______=_________.(a-b)2a2-2ab+b2(a-b)2a2-2ab+b2 (打“√”或“×”)
(1)(m+3)2=m2+9.( )
(2)(a+2b)2=a2+2ab+4b2.( )
(3)(3m-2n)2的结果有三项.( )
(4)(-m-n)2=m2-2mn+n2.( )
(5)(x-1)2=x2-2x+1.( )××√×√知识点 1 运用完全平方公式进行计算
【例1】计算：(1) (2)(-3m-2n)2.
【思路点拨】观察括号内式子特点，分清是哪两个数的和或
差，选用两数和或差的完全平方公式进行计算.【自主解答】(1)方法一:原式=
方法二:原式=
(2)(-3m-2n)2=(3m+2n)2
=(3m)2+2·(3m)·2n+(2n)2=9m2+12mn+4n2.【总结提升】运用完全平方公式计算的“技巧”
1.口诀:“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍在中央”.
2.变形:(-a+b)2,(-a-b)2在计算中易出现符号错误,可作如下变形:(-a+b)2=(b-a)2,(-a-b)2=(a+b)2.知识点 2 完全平方公式的应用?
【例2】已知a+b=5,ab=6,求a2+b2的值.
【思路点拨】由公式(a+b)2=a2+b2+2ab,将“a+b”,“a2+b2”,
“ab”分别看作一个整体,把已知数据代入可得到关于“a2+b2”
的“方程”,求解即可.【自主解答】因为(a+b)2=a2+2ab+b2,
即(a+b)2=a2+b2+2ab,
而a+b=5,ab=6,
所以52=a2+b2+2×6,因此a2+b2=13.【总结提升】常见完全平方公式的五种变形
1.a2+b2=(a+b)2-2ab.
2.a2+b2=(a-b)2+2ab.
3.(a+b)2=(a-b)2+4ab.
4.(a-b)2=(a+b)2-4ab.
5. 题组一:运用完全平方公式进行计算
1.(2013·临沂中考)下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.(x-2)2=x2-4
C.2x2·x3=2x5 D.(x3)4=x7
【解析】选C.A.本选项不是同类项,不能合并,错误;B.(x-2)2=x2-4x+4,本选项错误;C.2x2·x3=2x5,本选项正确;D.(x3)4=x12,本选项错误.2.下列各式计算正确的是( )
A.(a+b)2=a2+b2
B.(2a-b)2=4a2-2ab+b2
C.(a+2b)2=a2+2ab+b2
D.
【解析】选D.(a+b)2=a2+2ab+b2;
(2a-b)2=4a2-4ab+b2;(a+2b)2=a2+4ab+4b2.3.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于( )
A.64 B.48 C.32 D.16
【解析】选A.因为16x=2×x×8,所以这两个数是x,8,所以k=82=64.【变式备选】已知4x2+4mx+36是完全平方式,则m的值为( )
A.2 B.±2 C.-6 D.±6
【解析】选D.因为(2x±6)2=4x2±24x+36,
所以4mx=±24x,即4m=±24,所以m=±6.4.(2013·徐州中考)当m+n=3时,式子m2+2mn+n2的值为_____.
【解析】m2+2mn+n2=(m+n)2=9.
答案:95.计算:(1)(a-3)2= .
(2)(m+3n)2-(m-3n)2= .
【解析】(1)(a-3)2=a2-2·a·3+32=a2-6a+9.
(2)(m+3n)2-(m-3n)2
=(m2+6mn+9n2)-(m2-6mn+9n2)=12mn.
答案:(1)a2-6a+9 (2)12mn6.计算:(1)(2a-5b)2.(2)(-2a+3b)2.
【解析】(1)原式=(2a)2-2·2a·5b+(5b)2=4a2-20ab+25b2.
(2)原式=(-2a)2+2·(-2a)·3b+(3b)2=4a2-12ab+9b2.7.(2013·宜昌中考)化简:(a-b)2+a(2b-a).
【解析】原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2.题组二:完全平方公式的应用
1.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=( )
A.10 B.6 C.5 D.3
【解析】选C.因为(m-n)2=8,所以m2-2mn+n2=8①,
又因为(m+n)2=2,所以m2+2mn+n2=2②,
①+②,得2m2+2n2=10,所以m2+n2=5.2.已知a-b=1,ab=6,则(a+b)2的值为( )
A.1 B.4 C.9 D.25
【解析】选D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
=12+4×6
=1+24
=25.3.(2013·珠海中考)已知实数a,b满足a+b=3,ab=2,则a2+b2= .
【解析】a2+b2=(a+b)2-2ab=9-4=5.
答案:54.如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,
请利用图中空白部分面积的不同表示方法,
写出一个关于a,b的恒等式___________.
【解析】空白部分的面积为(a+b)2-4ab;
空白正方形的边长是(a-b),故其面积为(a-b)2.
所以(a+b)2-4ab=(a-b)2.
答案:(a+b)2-4ab=(a-b)25.(2013·晋江中考)先化简，再求值：(x+3)2-x(x-5)，其中
【解析】原式=x2+6x+9-x2+5x=11x+9,
当 时，原式=6.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.
【解析】因为(a+b)2=1,(a-b)2=25,
所以a2+b2+2ab=1,a2+b2-2ab=25.
所以4ab=-24,ab=-6,
所以a2+b2+ab=(a+b)2-ab=1-(-6)=7.【高手支招】两数和的平方公式常见的几种应用形式:
1.变位置:
如(-a+b)2变形为(b-a)2.
2.变项数:
如(a+b+c)2可先变形为[a+(b+c)]2或[(a+b)+c]2或者[(a+c)+b]2,再进行计算.3.变结构:
如(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)2.
(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)2.
(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)2.【想一想错在哪？】计算:(x+2y)2.
提示:混淆了完全平方公式与积的乘方的运算:(ab)2=a2b2,(a+b)2=a2+2ab+b2.课件27张PPT。2.2.3 运用乘法公式进行计算 1.熟练应用平方差公式和完全平方公式进行计算.(重点)
2.理解公式中的字母可以代表多项式.(重点、难点)一、平方差公式
1.公式表示:(a+b)(a-b)=_____.
2.说明:字母a,b不仅可以代表单个的数或字母,也可代表一个
单项式或一个_______.
3.特征:左边两个多项式相乘,在这两个多项式中,一部分项___
_______,另一部分项互为相反数.右边等于_____________的平
方减去_______________的平方.a2-b2多项式完全相同完全相同的项互为相反数的项二、完全平方公式
1.公式表示:(a±b)2=__________.
2.说明:字母a,b不仅可以代表单个的数或字母,也可以代表一
个单项式或一个_______.
3.结构特征:左边为两个整式和(或差)的_____.右边为这两个
整式的_______,再加上(或减去)这两个整式________.a2±2ab+b2多项式平方平方和积的2倍 (打“√”或“×”)
(1)m-n-x+y=m-(n-x+y).( )
(2)a-b-c+1=(a-b)-(c-1).( )
(3)m-a+b-c=m+(a-b+c).( )
(4)(x-y+z)2=[(x-y)+z]2.( )×√×√知识点 1 运用平方差公式解决较复杂问题?
【例1】计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t).
【思路点拨】确定相同项和相反项→应用平方差公式计算→应用完全平方公式计算.【自主解答】(m-2n+3t)(m+2n-3t)
=[m+(3t-2n)][m-(3t-2n)]
=m2-(3t-2n)2
=m2-(9t2-12tn+4n2)
=m2-9t2+12tn-4n2.【总结提升】平方差公式应用的三种类型
1.直接利用平方差公式计算.
2.从左到右重复利用平方差公式计算.
3.两个三项式相乘,把其中两项看作一项利用平方差公式计算.知识点 2 利用完全平方公式解决较复杂问题?
【例2】计算:(x-2y+z)2.
【解题探究】(1)完全平方公式等号左边为几项式的平方?
提示:两项.
(2)而x-2y+z是三项式,应该怎么办?
提示:把(x-2y)看作一项.(3)如何利用完全平方公式计算(x-2y+z)2?
提示:原式=[(x-2y)+z]2
=(x-2y)2+2(x-2y)·z+z2
=x2-4xy+4y2+2xz-4yz+z2.【总结提升】适用完全平方公式的条件
完全平方公式适用的前提是两项式的平方,故在利用完全平方公式时,有时需把一项拆成两项的和或差,有时需把某几项结合在一起,当作一项,只有把题目变形,具备完全平方公式的特征时,才可使用.题组一:运用平方差公式解决较复杂问题
1.计算(a+2)(a-2)(a2+4)的结果是( )
A.a4+16 B.-a4-16
C.a4-16 D.16-a4
【解析】选C.原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.2.一个正方形的边长增加了3cm,它的面积增加了51cm2,这个正方形原来的边长是( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
【解析】选C.设正方形原来的边长为xcm,
则(x+3)2-x2=51,
所以(x+3+x)(x+3-x)=51,(2x+3)×3=51,
所以2x+3=17,解得x=7.3.计算:(3x+2y)(9x2+4y2)(3x-2y)= .
【解析】原式=(3x+2y)(3x-2y)(9x2+4y2)=(9x2-4y2)(9x2+4y2)=81x4-16y4.
答案:81x4-16y44.如果(a+b+1)(a+b-1)=63,那么a+b的值为 .
【解析】因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以a+b=±8.
答案:±85.计算:(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1.
【解析】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
=(24-1)(24+1)…(232+1)+1=264-1+1=264.6.计算:(x2+x+1)(x2-x+1).
【解析】原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-x]
=(x2+1)2-x2=x4+2x2+1-x2=x4+x2+1.题组二:利用完全平方公式解决较复杂问题
1.矩形ABCD的周长为18cm,以AB,AD为边向外作正方形ABFE和正方形ADGH,若正方形ABFE和正方形ADGH的面积之和为35cm2,那么矩形ABCD的面积是( )
A.20cm2 B.21cm2 C.22cm2 D.23cm2【解析】选D.设AB=x,AD=y,
根据题意,得x2+y2=35①,
2(x+y)=18②,由①,得(x+y)2-2xy=35,
所以2xy=81-35=46,所以xy=23,
即矩形ABCD的面积是23cm2.2.(2013·常州中考)有3张边长为a的正方形纸片,4张边长分别为a,b(b>a)的矩形纸片,5张边长为b的正方形纸片,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),则拼成的正方形的边长最长可以为( )
A.a+b B.2a+b
C.3a+b D.a+2b【解析】选D.3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2,4张边长分别为a,b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab,5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2.因为a2+4ab+4b2=(a+2b)2,所以拼成的正方形的边长最长可以为(a+2b).3.方程5(x-1)2-2(x+3)2=3(x+2)2+7(6x-1)的解为 .
【解析】原方程变形为5(x2-2x+1)-2(x2+6x+9)
=3(x2+4x+4)+7(6x-1),
5x2-10x+5-2x2-12x-18=3x2+12x+12+42x-7,
整理得-76x=18,解得
答案:4.正方形的面积是 的一半，则该正方形的
边长为________.
【解析】
所以正方形的边长为
答案：5.计算:(a-2b-c)2.
【解析】原式=[a-(2b+c)]2
=a2-2·a(2b+c)+(2b+c)2
=a2-4ab-2ac+4b2+4bc+c2.【想一想错在哪？】化简:(x+2)(x-2)-(3x-2)2.
提示:没有将完全平方计算后的结果加括号!
